Gabarito P1 Sinais e Sistemas 2024-1 Resolucao Detalhada

GABARITO da P1 de SINAIS E SISTEMAS 20241 QUESTÃO 1 𝐸 52 2 102 2 52 2 102 2 254 1004 500 QUESTÃO 2 𝑃 1 5 𝑡2𝑑𝑡 𝑡 22𝑑𝑡 5 2 2 0 1 5 𝑡3 3 0 5 4 𝑡2 2 4𝑡 2 5 𝑃 1 5 125 3 50 20 8 8 1 5 35 3 7 3 QUESTÃO 3 Escrevendo a expressão do sinal ft f𝑡 5𝑢1𝑡 3 5𝑢1𝑡 5 5𝑢1𝑡 7 5𝑢1𝑡 9 10𝑢1𝑡 11 Aplicando a transformada de Laplace 𝐹𝑠 5 𝑠 𝑒3𝑠 5 𝑠 𝑒5𝑠 5 𝑠 𝑒7𝑠 5 𝑠 𝑒9𝑠 10 𝑠 𝑒11𝑠 QUESTÃO 4 𝑍1𝑠 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑍2𝑠 𝑅 𝐺𝑠 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑍2 𝑍1 𝑍2 𝑅𝑠2𝐿𝐶 1 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 𝑠2 1 𝐿𝐶 𝑠2 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝐿𝐶 QUESTÃO 5 Item a Partindo da FT fornecida basta multiplicar de forma cruzada e aplicar a transformada inversa de Laplace para se obter a EDO 𝑑2𝑣𝑜 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣𝑜 𝑑𝑡 1 𝐿𝐶 𝑣𝑜 𝑑2𝑣𝑖 𝑑𝑡2 1 𝐿𝐶 𝑣𝑖 Item b Note a partir da FT que os zeros estarão localizados nas seguintes posições 𝑠𝑧12 𝑗 1 𝐿𝐶 Assim 1 𝐿𝐶 25 𝐶2 1 25 100 𝐶 002 F E consequentemente 𝐿 2 H QUESTÃO 6 Pelo sinal de entrada fornecido 𝑉𝑖𝑠 5 𝑠2 Assim 𝑉𝑜𝑠 𝐺𝑠𝑉𝑖𝑠 60 𝑠2𝑠 1𝑠 2 𝐴 𝑠2 𝐵 𝑠 𝐶 𝑠 1 𝐷 𝑠 2 Multiplicando ambos os lados por 𝑠2 e fazendo 𝑠 0 𝐴 30 Multiplicando ambos os lados por 𝑠 1 e fazendo 𝑠 1 𝐶 60 Multiplicando ambos os lados por 𝑠 2 e fazendo 𝑠 2 𝐷 15 Finalmente analisando o coeficiente de 𝑠3 𝐵 𝐶 𝐷 0 𝐵 45 QUESTÃO 7 Item a Como se trata de um modelo BIBO estável e 𝑣𝑖 𝑆𝑆 existe pelo teorema do valor final 𝑣𝑜 𝑆𝑆 lim 𝑡 𝑣𝑜𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝑉𝑜𝑠 lim 𝑠0 𝑠 10 𝑠2 6𝑠 25 10 𝑠 100 25 4 Item b Calculando a transformada de Laplace da saída e fazendo a expansão em frações parciais 𝑉𝑜𝑠 20 𝑠𝑠2 6𝑠 25 𝐴 𝑠 𝐵𝑠 𝐶 𝑠2 6𝑠 25 Multiplicando ambos os lados por 𝑠 e fazendo 𝑠 0 𝐴 08 Analisando o termo em 𝑠2 do numerador 𝐵 𝐴 08 Analisando o termo em 𝑠 do numerador 𝐶 6𝐴 48 Substituindo os valores e rearrumando os termos 𝑉𝑜𝑠 𝐴 𝑠 𝐵𝑠 3 𝐶 3𝐵 𝑠 32 42 Aplicando a transformada inversa de Laplace 𝑣𝑜𝑡 08𝑢1𝑡 08𝑒3𝑡 cos4𝑡𝑢1𝑡 06𝑒3𝑡 sen4𝑡𝑢1𝑡 Item c Neste caso utilizaremos a resposta do item anterior a partir da propriedade de homo geneidade de sistemas lineares Aplicando Laplace na EDO 𝑠2𝑉𝑜 𝑠𝑣𝑜0 𝑣𝑜 0 6𝑠𝑉𝑜 6𝑣𝑜0 25𝑉𝑜 10𝑉𝑖 Substituindo os valores das condições iniciais 𝑠2 6𝑠 25𝑉𝑜 10𝑉𝑖 𝑠 6 𝑉𝑜 10 𝑠2 6𝑠 25 𝑉𝑖 𝑠 6 𝑠2 6𝑠 25 A resposta da primeira parcela é análoga ao que foi calculado no item anterior Assim 𝑉𝑜 10 𝑠2 6𝑠 25 𝑉𝑖 𝑠 3 075 4 𝑠 32 42 Logo 𝑣𝑜𝑡 16𝑢1𝑡 06𝑒3𝑡 cos4𝑡𝑢1𝑡 045𝑒3𝑡 sen4𝑡𝑢1𝑡 Item d Como a entrada é senoidal e o desejado é a resposta em regime permanente basta calcular a fase da FT em 𝜔 5 rads Assim 𝐺𝑗5 10 25 𝑗30 25 1 𝑗3 Logo 𝐺𝑗5 90o 270o que corresponderá a defasagem do sinal de saída em relação ao sinal de entrada