Gabarito Resolucao Exercicio 7 Sinais Sistemas 2024-1 Transformada Z Inversa

GABARITO DO EXERCÍCIO nº 7 de SINAIS E SISTEMAS 20241 Professor ROBERTO ADES Cálculo da transformada z inversa Item 1 𝑋𝑧 3𝑧 𝑧 5 1º Método Divisão polinomial 3𝑧 𝑧 53 15 15 𝑧 515𝑧1 75𝑧1 75𝑧1 𝑧 575𝑧2 375𝑧2 375𝑧2 𝑧 5375𝑧3 1875𝑧3 1875𝑧3 𝑧 51875𝑧4 9375𝑧4 Portanto 3𝑧 𝑧 53 15𝑧1 75𝑧2 375𝑧3 1875𝑧4 9375𝑧4 𝑥𝑛 3 15 75 375 1875 2º Método Frações parciais Note que nesse caso 𝑋𝑧 já está no formato para se determinar a transformada inversa 𝑥𝑛 𝒵1𝑋𝑧 35𝑛𝑢𝑛 𝑥𝑛 3 15 75 375 1875 3º Método Computacional 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑈𝑧 3𝑧 𝑧 5 𝑧𝑌𝑧 5𝑌𝑧 3𝑧𝑈𝑧 Aplicando a transformada inversa e considerando que a entrada é um impulso chegase na seguinte equação diferença 𝑦𝑛 1 5𝑦𝑛 3𝛿𝑛 1 Para 𝑛 1 𝑦0 5𝑦1 3𝛿0 0 31 3 Para 𝑛 0 𝑦1 5𝑦0 3𝛿1 53 30 15 Para 𝑛 1 𝑦2 5𝑦1 515 75 Para 𝑛 2 𝑦3 5𝑦2 575 375 Para 𝑛 3 𝑦4 5𝑦3 5375 1875 Portanto 𝑥𝑛 3 15 75 375 1875 Item 2 𝑋𝑧 4𝑧 𝑧 1𝑧 2 1º Método Divisão polinomial 4𝑧 𝑧2 3𝑧 24𝑧1 12 8𝑧1 12 8𝑧1 𝑧2 3𝑧 212𝑧2 28𝑧1 24𝑧2 28𝑧1 24𝑧2 𝑧2 3𝑧 228𝑧3 60𝑧2 56𝑧3 60𝑧2 56𝑧2 𝑧2 3𝑧 260𝑧4 124𝑧3 120𝑧4 Portanto 4𝑧 𝑧2 3𝑧 20 4𝑧1 12𝑧2 28𝑧3 60𝑧4 124𝑧3 120𝑧4 𝑥𝑛 0 4 12 28 60 2º Método Frações parciais Realizando a expansão em frações parciais 𝑋𝑧 4𝑧 𝑧 1𝑧 2 𝑎 𝑧 1 𝑏 𝑧 2 𝑎 4𝑧 𝑧 2 𝑧1 4 𝑏 4𝑧 𝑧 1 𝑧2 8 Substituindo os valores e aplicando a transformada inversa 𝑋𝑧 4 𝑧 1 8 𝑧 2 𝑥𝑛 41𝑛1𝑢𝑛 1 82𝑛1𝑢𝑛 1 𝑥𝑛 0 4 12 28 60 3º Método Computacional 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑈𝑧 4𝑧 𝑧2 3𝑧 2 𝑧2𝑌𝑧 3𝑧𝑌𝑧 2𝑌𝑧 4𝑧𝑈𝑧 Aplicando a transformada inversa e considerando que a entrada é um impulso chegase na seguinte equação diferença 𝑦𝑛 2 3𝑦𝑛 1 2𝑦𝑛 4𝛿𝑛 1 Para 𝑛 2 𝑦0 3𝑦1 2𝑦2 4𝛿1 0 Para 𝑛 1 𝑦1 3𝑦0 2𝑦1 4𝛿0 4 Para 𝑛 0 𝑦2 3𝑦1 2𝑦0 34 12 Para 𝑛 1 𝑦3 3𝑦2 2𝑦1 312 24 28 Para 𝑛 2 𝑦4 3𝑦3 2𝑦2 328 212 60 Portanto 𝑥𝑛 0 4 12 28 60 Item 3 𝑌𝑧 4 𝑧 1𝑧 2 Note inicialmente que 𝑌𝑧 𝑧1𝑋𝑧 Portanto utilizando a propriedade 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 0 0 4 12 28 1º Método Divisão polinomial 4 𝑧2 3𝑧 24𝑧2 12𝑧1 8𝑧2 12𝑧1 8𝑧2 𝑧2 3𝑧 212𝑧3 28𝑧2 24𝑧3 28𝑧2 24𝑧3 𝑧2 3𝑧 228𝑧4 60𝑧3 56𝑧4 Portanto 4 𝑧2 3𝑧 20 0𝑧1 4𝑧2 12𝑧3 28𝑧4 60𝑧3 56𝑧4 𝑥𝑛 0 0 4 12 28 2º Método Frações parciais Realizando a expansão em frações parciais 𝑋𝑧 4 𝑧 1𝑧 2 𝑎 𝑧 1 𝑏 𝑧 2 𝑎 4 𝑧 2 𝑧1 4 𝑏 4 𝑧 1 𝑧2 4 Substituindo os valores e aplicando a transformada inversa 𝑋𝑧 4 𝑧 1 4 𝑧 2 𝑥𝑛 41𝑛1𝑢𝑛 1 42𝑛1𝑢𝑛 1 𝑥𝑛 0 0 4 12 28 3º Método Computacional 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑈𝑧 4 𝑧2 3𝑧 2 𝑧2𝑌𝑧 3𝑧𝑌𝑧 2𝑌𝑧 4𝑈𝑧 Aplicando a transformada inversa e considerando que a entrada é um impulso chegase na seguinte equação diferença 𝑦𝑛 2 3𝑦𝑛 1 2𝑦𝑛 4𝛿𝑛 Para 𝑛 2 𝑦0 3𝑦1 2𝑦2 4𝛿2 0 Para 𝑛 1 𝑦1 3𝑦0 2𝑦1 4𝛿1 0 Para 𝑛 0 𝑦2 3𝑦1 2𝑦0 4𝛿0 41 4 Para 𝑛 1 𝑦3 3𝑦2 2𝑦1 34 20 12 Para 𝑛 2 𝑦4 3𝑦3 2𝑦2 312 24 28 Portanto 𝑥𝑛 0 0 4 12 28