Projeto Eletromagnetismo I - Anel Carregado: Cálculo de Carga e Campo Elétrico

Projeto 2 Eletromagnetismo I Considere um anel carregado com uma densidade linear de carga 𝜌 Cm O anel tem raio 𝑎 m está localizado no plano 𝑥𝑦 e centrado na origem Questão 1 25 pontos Determine a carga total do anel se a 𝜌 𝜌 onde 𝜌 é uma constante para 0 𝜙 2𝜋 b 𝜌 𝜌 cos 𝜙 onde 𝜌 é uma constante para 0 𝜙 2𝜋 c 𝜌 𝜌 0 𝜙 𝜋 𝜌 𝜋 𝜙 2𝜋 d 𝜌 𝜌 cos 𝜙 0 𝜙 𝜋 𝜌 sin 𝜙 𝜋 𝜙 2𝜋 e Escreva um código para fazer o gráfico das distribuições de cargas nos itens a b c e d Considere 𝜌 1 Enviar o código e os gráficos Questão 2 40 pontos Determine o campo elétrico no ponto de coordenadas 00 ℎ as distribuições de cargas dos definidas nos itens a b c e d da questão 1 Questão 3 35 pontos Escreva um código fazer o gráfico o campo elétrico calculado no item a da questão 1 Faça o gráfico do campo normalizado em função da altura ℎ m para os valores de 𝑎 2 4 6 𝑒 8 m Considere 𝜌 1 Cm 𝜀 10 Fm e 12 ℎ 12 Comente e discuta o resultado obtido Considere um anel carregado com uma densidade linear de carga rholCm O anel tem raio am está localizado no plano xy e centrado na origem Questão 1 Questão 1 25 pontos Determine a carga total do anel se a rhol rho0 onde rho0 é uma constante para 0 phi 2pi b rhol rho0 cos phi onde rho0 é uma constante para 0 phi 2pi c rhol left rho0 0 phi pi rho0 pi phi 2pi right d rhol left rho0 cos phi 0 phi pi rho0 sin phi pi phi 2pi right e Escreva um código para fazer o gráfico das distribuições de cargas nos itens a b c e d Considere rho0 1 Enviar o código e os gráficos Solução Com efeito a carga interna é calculada com base na distribuição linear de carga rho do anel de fato fracdQintdL rhol Rightarrow Qint intL dL rhol a intlphi dphi rholphi onde usamos que que dL adphi que segue da geometria circular do anel Ademais rótulo lphi denota um conjunto de integração na variável phi correspondente a densidade linear de carga Em particular escolhemos essa forma visto que os itens todos ficam associados a dependência do ângulo phi De posse disso vamos calcular agora a carga interna para cada um dos itens dados Com efeito a Para rhol constante com 0 phi 2pi temos que Qint a intlphi dphi rholphi a int02pi dphi rho0 2 pi a rho0 b Para rhol rho0 cosphi com 0 phi 2pi temos que Qint a intlphi dphi rholphi a int02pi dphi rho0 cosphi arho0 sinphi bigg02pi 0 c Aqui teremos que Qint a intlphi dphi rholphi a int0pi dphi rho0 a intpi2pi dphi rho0 a rho0pi 0 2pi pi 0 d Aqui teremos que Qint a intlphi dphi rholphi a int0pi dphi rho0 cosphi a intpi2pi dphi rho0 sinphi a rho0 left sinphibig0pi cosphi bigpi2pi right a rho0 1 1 2 a rho0 e Os gráficos das distribuições de Carga são os seguintes Figura 1 Gráficos das distribuições de carga dos itens ad 2 Questão 2 Questão 2 40 pontos Determine o campo elétrico no ponto de coordenadas 0 0 h as distribuições de cargas dos definidas nos itens a b c e d da questão 1 Solução Para calcularmos o campo elétrico de um anel é preciso usarmos a geometria do problema Com efeito considere a Figura a seguir que esquematiza o problema Figura 2 Representação do problema dado Com efeito vamos construir uma expressão para o campo elétrico partindo da noção da Figura 1 De fato é evidente que apenas a componente z do campo elétrico será não nula uma vez que as componentes em x e y serão nulas por simetria da circunferência Então o campo dEz é tal que dEz 1 4πϵ0 dQint R2 cosw onde o termo do cosw aparece da geometria do problema basta ver a Figura 1 No entanto dessa geometria temse ainda que R2 z2 a2 cosw z R z z2 a212 3 Consequentemente segue que o campo pode ser escrito como dEz frac14 pi epsilon0 cdot fracdQintR2 cosw frac14 pi epsilon0 cdot fracdQintz2 a2 fraczz2 a212 frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 dQint Então a expressão completa para o campo Ez fica dada por Ez frac14 pi epsilon0 int fraczz2 a232 dQint onde a integral acima é avaliada na região de suporte da carga Qint do anel Note que podemos expressar o campo elétrico acima em termos da densidade de carga linear entretanto isso não é tão útil uma vez que temos os valores de dQint uma vez que resolvemos o problema presente na questão 1 Além disso veja que uma vez que nossas distribuições lineares de carga independem dos valores de z podemos reescrever ainda a expressão por Ez frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 int dQint frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 Qint o que reduz o problema então de calcularmos novamente as integrais a apenas usarmos os resultados obtidos na questão 2 Desse modo temos as seguintes componentes a Teremos que Ez frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 Qint frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 2 pi a rho0 fracza rho02 z2 a232 epsilon0 b Teremos que Ez frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 Qint frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 0 0 c Teremos que Ez frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 Qint frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 0 0 d Teremos que Ez frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 Qint frac14 pi epsilon0 fraczz2 a232 2 pi a rho0 fracza rho02 z2 a232 epsilon0 Agora para o ponto 00h segue que os campos são a Teremos que vecE Ez 00h hatz fracha rho02 h2 a232 epsilon0 hatz b Teremos que E Ez0 0 hˆz 0ˆz c Teremos que E Ez0 0 hˆz 0ˆz d Teremos que E Ez0 0 hˆz haρ0 2h2 a232ϵ0 ˆz que é as expressões desejadas 5 Questão 3 Questão 3 35 pontos Escreva um código fazer o gráfico o campo elétrico calculado no item a da questão 1 Faça o gráfico do campo normalizado em função da altura hm para os valores de a 2 4 6 e8m Considere rho0 1Cm epsilon0 frac136 pi 109 Fm e 12 h 12 Comente e discuta o resultado obtido Solução Com efeito o campo elétrico associado ao item a da primeira questão foi calculado na segunda questão no item a e é dado por vecE xyh fracha rho02h2 a232 epsilon0 hatz O campo normalizado é obtido fazendo por vecEnorm xyh fracfracha rho02h2 a232 epsilon0 hatzvecExyh fracfracha rho02h2 a232 epsilon0 hatzsqrtleftfracha rho02h2 a232 epsilon0 right cdot leftfracha rho02h2 a232 epsilon0 right fracfracha rho02h2 a232 epsilon0 hatzfracha rho02h2 a232 epsilon0 hatz A normalização do campo nos leva a ter que o campo elétrico é vecEnorm xyh 1 hatz Note que o maior valor que o campo elétrico deve assumir é um ponto crítico de Ez ou seja devemos ter que 0 fracdEzdh fraca rho02h2 a232 epsilon0 frac3 a h2 rho02h2 a252 epsilon0 fraca rho0 h2 a2 3 a h2 rho02h2 a252 epsilon0 fraca3 rho0 2 a h2 rho02h2 a252 epsilon0 logo disso segue que 0 a3 rho0 2 a h2 rho0 a3 2 a h2 Rightarrow h2 fraca22 Rightarrow hm pm fracasqrt2 Note que esse ponto crítico é o valor que trará o máximo da função tomando Ez nesse sentido temos que o maior valor do campo elétrico é dado por Ez xyhm fraca2 rho0sqrt2 frac12 leftfraca22 a2right32 epsilon0 fraca2 rho02 sqrt2 leftfrac3 a22 right32 epsilon0 fraca2 rho02 sqrt2 left3 sqrt3 sqrt23 right a3 epsilon0 fracrho03 sqrt3 a2 epsilon0 equiv N Então o campo sob normalização de N é dado por fracEzN frac1N cdot frach a rho02 h2 a232 epsilon0 frac3 sqrt3 a2 epsilon0rho0 cdot frach a rho02 h2 a232 epsilon0 frac3 sqrt3 a3 h2 h2 a232 De posse disso podemos então elaborar os gráficos pedidos para os campos elétricos Com efeito esses gráficos serão os seguintes Figura 3 Gráficos dos campos elétricos pedidos para diferentes valores de a Normalizados e não normalizados 7