Sinais e Sistemas - Classificação Operações e Sinais Elementares

Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas Rafael Chaves CEFETRJ 20242 rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 1 38 Sumario 1 Classificacao de Sinais 2 Operacoes 3 Sinais Elementares 4 Sistemas rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 2 38 Sumario 1 Classificacao de Sinais 2 Operacoes 3 Sinais Elementares 4 Sistemas rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 3 38 Caracterizacao de Sinal E funcao de 1 variavel independente unidimensional ex sinal de fala f t mais de 1 variavel independente multidimensional ex imagem f x y Carrega informacao sobre determinado fenˆomeno fısico Classificacao de Sinais Analogico guarda analogia com grandeza fısica que descreve sua amplitude pode assumir valores contınuos Digital e representado numericamente em numero finito de dıgitos sua amplitude so pode assumir valores discretos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 4 38 Domınio Tempo Contınuo xt definido t R na pratica analogico Tempo Discreto xn definido n Z serie temporal definida nos instantes t nTs Ts perıodo de amostragem na pratica digital rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 5 38 Simetria Sinal Real simetrico par xt xt e xn xn antissimetrico ımpar xt xt e xn xn xt xpt xit e xn xpn xin Sinal Complexo conjugado simetrico xt xt e xn xn tem parte real par e parte imaginaria ımpar conjugado antissimetrico xt xt e xn xn tem parte real ımpar e parte imaginaria par xt xcst xcat e xn xcsn xcan rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 6 38 Periodicidade Sinal Contınuo no Tempo periodico se existe T R tal que xt xt T t R menor T T0 perıodo fundamental em s f0 1 T0 frequˆencia fundamental em Hz ω0 2π T0 frequˆencia angular fundamental em rads Sinal Discreto no Tempo periodico se existe N Z tal que xn xn N n Z menor N N0 perıodo fundamental em amostras Ω0 2π N0 frequˆencia angular fundamental em radamostra rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 7 38 Incerteza Sinal determinıstico completamente determinado previsıvel Sinal aleatorio estatisticamente incerto Ex canal de dados So trabalharemos com sinais determinısticos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 8 38 Energia e Potência potência densidade de energia no tempo Sinal Contínuo no Tempo potência instantânea pt xt² energia total E xt² dt potência média P limT 1T T2T2 xt² dt caso periódico com período T₀ P 1T₀ T₀ xt² dt CEFETRJ Energia e Potência Sinal discreto no tempo energia instantânea en xn² energia total E n xn² potência média P limN 12N1 nN N xn² caso periódico com período N₀ P 1N₀ nN₀ xn² Sinal de energia 0 E ex de duração finita Sinal de potência 0 P ex periódico CEFETRJ Energia e Potˆencia Sinal de Energia Sinal de Potˆencia rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 11 38 Energia e Potˆencia Exemplo 1 Determine uma medida adequada e a calcule para os seguintes sinais a b rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 12 38 Sumario 1 Classificacao de Sinais 2 Operacoes 3 Sinais Elementares 4 Sistemas rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 13 38 Operações sobre Sinais Operações na Imagem escalonamento em amplitude y cx ex amplificador ideal adição y x₁ x₂ ex ruído em fala multiplicação y x₁x₂ ex AM diferenciação yt dxtdt ex capacitor integração yt t xτ dτ ex capacitor CEFETRJ Operacoes sobre Sinais Operacoes no Domınio escalonamento temporal yt xat a R permite contracao e expansao yn xkn k Z so permite contracao perde informacao reflexao reversao temporal yt xt yn xn deslocamento no tempo yt xt t0 desloca referˆencia de t 0 para t t0 yn xn n0 desloca referˆencia de n 0 para n n0 rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 15 38 Operacoes sobre Sinais Exemplo 2 Utilizando o sinal xt da figura abaixo esboce e descreva matematicamente a funcao atrasada de 1 s Repita o problema para xt avancado de 1 s rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 16 38 Operacoes sobre Sinais Exemplo 3 Utilizando o sinal xt da figura abaixo esboce e descreva matematicamente esse sinal comprimido por um fator de 3 Repita o problema para xt expandido por um fator de 2 rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 17 38 Operacoes sobre Sinais Exemplo 4 Para o sinal xt da figura abaixo esboce xt rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 18 38 Sumario 1 Classificacao de Sinais 2 Operacoes 3 Sinais Elementares 4 Sistemas rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 19 38 Contínuos no Tempo Impulso unitário delta de Dirac δt 0 t 0 δtdt 1 CEFETRJ Propriedades do Impulso de Tempo Contínuo Multiplicação de uma função por impulso φtδt φ0δt φtδt T φTδt Propriedade amostradora do impulso xtδt t0dt xt0 Escalonamento δat 1a δt O escalonamento por a multiplica a área do impulso unitário por 1a CEFETRJ Exemplo 5 Mostre que a t³ 3δt 3δt b sint² π2 δt δt c e2tδt δt d ω² 1ω² 9 δω 1 15 δω 1 e δtejwt dt 1 f δt 2 cosπt4 dt 0 g δ2 t e2xt dt e2x2 CEFETRJ Contínuos no Tempo Degrau unitário ut 0 t 0 1 t 0 ut from to t δτdτ dutdt δt Contínuos no Tempo Rampa unitária rt 0 t 0 t t 0 rt tut rt from to t uτdτ drtdt ut Impulsos e Relacionados Exemplo 6 Expresse o seguinte sinal por uma unica expressao valida para todo t rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 25 38 Discretos no Tempo Impulso unitário delta de Kronecker δn 0 n 0 1 n 0 Degrau unitário un 0 n 0 1 n 0 un k0 δnk un un1 δn Rampa unitária rn 0 n 0 n n 0 rn nun rn k0 unk Impulsos e Relacionados Exemplo 7 Desenhe o sinal xn n 2un 2 un 6 n 8un 6 un 9 Exemplo 8 Expresse o seguinte sinal por uma unica expressao valida para todo n rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 29 38 Exponenciais Contınuas no tempo Exponencial real xt eat com a R magnitude decrescente se a 0 magnitude constante se a 0 magnitude crescente se a 0 Senoide geral xt cosω0t ϕ com ω0 ϕ R periodica com frequˆencia fundamental ω0 decomponıvel em exponenciais complexas Exponencial complexa periodica de frequˆencia fundamental ω0 xt ejω0t com ω0 R Senoide amortecida por exponencial xt eat cosω0t ϕ com a ω0 ϕ R Exponencial complexa geral xt eajω0t est com s C e a ω0 R rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 30 38 Exponenciais Discretas no Tempo Exponencial real xn γn com γ R magnitude decrescente se γ 1 magnitude constante se γ 1 ou γ 0 magnitude crescente se γ 1 OBS alternˆancia para γ 0 Senoide geral xn cosΩ0n ϕ com Ω0 ϕ R pode nao ser periodica decomponıvel em exponenciais complexas Exponencial complexa associada xn ejΩ0n com Ω0 R Senoide amortecida por exponencial real xn rn cosΩ0n ϕ com r R e Ω0 ϕ R Exponencial complexa geral xn rejΩ0n zn com z C r R e Ω0 R rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 31 38 Sumario 1 Classificacao de Sinais 2 Operacoes 3 Sinais Elementares 4 Sistemas rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 32 38 Caracterizacao de Sistemas Sistema Processa sinalis de entrada gerando sinalis de saıda Nome Entradas Saıdas SISO 1 1 MISO mais de 1 1 SIMO 1 mais de 1 MIMO mais de 1 mais de 1 Processamento Analogico em tempo real mais veloz Digital numerico flexıvel repetıvel Controle sobre o erro ex tolerˆancia de componente quantizacao de valor numerico rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 33 38 Representacao Geral de Sistema y Hx x entrada do sistema H operador geral representando a sequˆencia de operacoes aplicadas a x y saıda do sistema rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 34 38 Classificacao de Sistemas BIBO Estabilidade Sistema estavel no sentido entrada limitada saıda limitada todo x x Mx t ou n produz y y My t ou n Integrador e Memoria y depende de valores anteriores eou posteriores de x Integracao e atraso sao memorias Causalidade y nao depende de valores posteriores de x Diferenciador e Pode haver sistemas praticos naocausais contınuos discretos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 35 38 Classificacao de Sistemas Invertibilidade H1 H1y x H preserva biunivocidade entre x e y nao ha perda de informacao Ex equalizador Invariˆancia no Tempo sendo y Hx aplicandose a entrada x deslocada de no tempo ao sistema obtemse a mesma saıda y deslocada de no tempo rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 36 38 Propriedades Escalabilidade Homogeneidade Sendo y Hx garante Hαx αy α C Aditividade Superposicao Sendo y1 Hx1 e y2 Hx2 garante Hx1 x2 y1 y2 Esse resultado e chamado de Princıpio da Superposicao Sistema Linear Sendo y1 Hx1 e y2 Hx2 obedece Hα1x1 α2x2 α1y1 α2y2 α1 α2 C rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 37 38 Propriedades Exemplo 9 Determine se os seguintes sistemas sao causais a yt xt b yt xt 1 c yt 1 xt Exemplo 10 Mostre que o sistema descrito pela seguinte equacao e um sistema variante no tempo yt sintxt 2 rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas 38 38