Introdução ao Conceito de Carga Elétrica e a Lei de Coulomb

Neste capítulo vamos introduzir o conceito de carga elétrica e discutir a lei de interação entre duas cargas descoberta por Coulomb Por que razão uma interação muitas ordens de grandeza mais forte do que a gravitacional só foi investigada muito depois desta e não se manifesta de forma mais diretamente perceptível A razão é que enquanto a força gravitacional é sempre atrativa as forças elétricas podem ser tanto atrativas como repulsivas O análogo da massa gravitacional a carga elétrica manifestase de duas formas diferentes que convencionamos chamar de positiva ou negativa levando à possibilidade de atração ou repulsão e a matéria é normalmente neutra cancelando os efeitos das interações elétricas Podese produzir um desequilíbrio na distribuição das cargas através do atrito entre substâncias diferentes Num dia seco um pente que se esfrega no cabelo atrai pedacinhos de papel Essa propriedade de eletrização por atrito já era conhecida na Grécia antiga sabiase que o âmbar uma resina amarelada seiva de árvore solidificada ao longo de séculos quando atritado com pele de animais atraía partículas leves como sementes ou fragmentos de palha O nome do âmbar em grego é elektron esta é a origem da palavra electricidade e do nome da partícula elementar elétron Em 1600 William Gilbert médico da corte na Inglaterra publicou seu tratado De magnete onde menciona outros corpos que se eletrizam por atrito tais como o vidro o enxofre e o lacre A existência de dois tipos diferentes de cargas foi descoberta por Charles François de Fay em 1733 que mostrou que duas porções do mesmo material por exemplo âmbar eletrizadas por atrito com um tecido repelemse mas o vidro eletrizado atrai o enxofre e o lacre ámbar eletrizado O tipo de carga que chamou de vítrea foi depois chamado por Benjamin Franklin de positiva e a resinosa recebeu o nome de negativa A justificativa para esses nomes baseouse em experiências realizadas por Franklin que o convenceram de que o processo de eletrização não cria cargas apenas as transfere de um corpo a outro Normalmente um corpo é neutro por ter igual quantidade de carga positiva e negativa quando ele transfere carga de um dado sinal a outro corpo fica carregado com carga de mesmo valor absoluto e sinal contrário Essa hipótese de Franklin constituiu a mais antiga formulação de um princípio fundamental da física a lei de conservação da carga elétrica Franklin acreditava que era a carga positiva que imaginava como um fluido aquela que se transferia Hoje sabemos que na eletrização por atrito são os elétrons que se transferem de um corpo a outro e sua carga é negativa segundo a convenção historicamente adotada que é inteiramente arbitrária A transferência ocorre por contato e o objetivo do atrito é meramente o de incrementar o contato O sinal da carga adquirida por um corpo na eletrização por atrito depende da substância com a qual é atritado o âmbar se eletriza negativamente por atrito com lã mas positivamente quando atritado com enxofre A experiência de du Fay mostra que cargas de mesmo sinal se repelem cargas de sinais opostos se atraem Quando encostamos a mão num objeto carregado a carga se escoa para a terra através de nosso corpo nossa pele umedecida pela transpiração é boa condutora O escoamento através de um bom condutor é extremamente rápido ao passo que um bom isolante pode permanecer carregado por muitas horas ou dias Vários dos efeitos já discutidos podem ser demonstrados com o auxílio de um eletroscópio Conforme ilustrado na fig 21 esse aparelho consiste num frasco de vidro com uma rolha isolante atravessada por uma haste metálica encimada por uma bola de metal Na parte inferior da haste está presa uma lâmina leve de folha de alumínio ou de ouro O frasco protege esse conjunto das correntes de ar Quando aproximamos da bola um bastão de vidro carregado positivamente por atrito com um pano de seda por exemplo as cargas negativas do conjunto hastebola são atraídas para cima e a parte inferior fica carregada positivamente A lâmina com carga de mesmo sinal que a haste é repelida por ela e se afasta com ângulo de abertura tanto maior quanto maior a carga Ao retirarmos o bastão a carga total do eletroscópio volta ao zero e a lâmina cai fig21 b A separação inicial da carga em a sob a influência do bastão chamase indução eletrostática Na sequência da fig 21 ce vemos como se pode carregar um corpo por indução Para esse fim aproximamos o bastão de vidro carregado positivamente ao mesmo tempo que tocamos com a mão a bola do eletroscópio Isso equivale a colocála em contato com a terra Tudo se passa como se a carga positiva separada por indução e repelida pelo bastão se escoasse para a terra na verdade conforme indicado pela seta na fig 21 c são elétrons provenientes da terra que neutralizam a carga positiva separada Ao retirarmos a mão da bola a carga negativa induzida nela permanece ainda sob a atração do bastão fig 21d Removido o bastão a carga se redistribui pelo conjunto bolahaste que permanece carregado provocando o afastamento da lâmina fig 21e Na eletrostática consideramos somente configurações de cargas em repouso com respeito a um referencial inercial em equilíbrio estático nada varia com o tempo F₂1 k q₁q₂ r₁₂² f₁₂ F₁2 Entretanto a unidade assim definida é muito pequena para as aplicações práticas particularmente na engenharia Vamos adotar o sistema mais empregado nas aplicações práticas do eletromagnetismo que é o Sistema Internacional SI baseado em m kg s e na escolha de uma unidade independente para corrente elétrica o ampère A que será definido mais adiante Supondo que q e q tenham o mesmo sinal as forças F₁ e F₂ exercidas sobre q respectivamente por q e q têm a mesma magnitude e as orientações indicadas na fig 24 A força resultante F tem magnitude F 2F₁cosθ 2F₁dr Usando a lei de Coulomb obtemos finalmente F qq2πε₀r³d qq2πε₀da² D²32 A força é paralela ao segmento que une as duas cargas e aponta para q Se q tem sinal oposto a q o sentido de F é o oposto Emprengando o princípio de superposição podemos passar da descrição em termos de cargas puntiformes à descrição macroscópica em termos de cargas distribuídas sobre volumes Se subdividimos um volume v em porções Δvj suficientemente pequenas para que a carga Δqj em cada uma delas possa ser tratada como puntiforme teremos Δqj ρjΔvj A lei de Coulomb Cap 2 Problemas Uma partícula está a uma distância de massa m e carga negativa q está vinculada a moverse sobre a mediatriz do segmento que liga duas cargas positivas Q separadas por uma distância d fig Inicialmente a partícula y d do centro desse segmento Mostre que ela executa um movimento harmônico simples em torno do centro e calcule a frequência angular ω de oscilação 3 O CAMPO ELÉTRICO Analogamente ao que foi feito no caso gravitacional vamos introduzir neste capítulo o campo elétrico um conceito cuja importância se tornará particularmente visível quando passarmos da eletrostática ao estudo da eletrodinâmica em que se aditem variações com o tempo 31 Campo elétrico Pelo princípio de superposição a força sobre uma carga pontiforme qi devida a sua interação eletrostática com outras cargas pontiformes fixas em posições predeterminadas é proporcional a qi e pode ser escrita como veja a 241 Fi qiEi 311 onde Ei 14πε0 ji qjrji2fji 312 Podemos então pensar nas demais cargas como fontes do campo elétrico Ei que é sentido pela carga qi através da força Fi dada pela 311 o campo representa assim a força por unidade de carga atuando sobre qi na posição onde está colocada Analogamente no Exemplo 2 da Sec 24 o campo elétrico produzido pelo anel carregado na posição da carga q seria dado por E Fiq A unidade do campo elétrico é 0 NC A carga q nesse exemplo atua como corpo de prova para medir o valor do campo criado pelas demais cargas a ideia básica é que uma distribuição de cargas no espaço vazio vácuo afeta todos os pontos do espaço produzindo em cada um deles um valor do campo elétrico e a carga de prova revela a existência deste campo pela força nela exercida Podemos visualizar a detecção do campo num ponto imaginando colocar neste ponto uma pequena partícula carregada suspensa por um fio isolante pêndulo eletrostático Supondo desprezíveis a massa da partícula e do fio a força eletrostática sobre a partícula seria equilibrada pela tensão do fio cuja magnitude dividida pela carga daria a magnitude do campo a direção e orientação do fio dariam a direção e o sentido do campo Entretanto há um cuidado importante a tomar A carga de prova também cria o seu próprio campo elétrico e pode assim perturbar a distribuição das demais cargas modificando o campo que se deseja medir Um exemplo disso é o efeito de indutância eletrostática discutido na Sec 22 Para minimizar essa perturbação devese tomar o valor da carga de prova tão pequeno quanto possível Poderíamos pensar em definir E rigorosamente pelo limFiq quando q tende a zero Entretanto como vimos na Sec 25 isso não seria possível pois q não pode ser menor que a carga elementar e Como estaremos lidando em geral com cargas macroscópicas produzidos por distribuições de cargas muitas ordens de grandeza maiores que e isso não constituirá um problema Já vimos na Hidrodinâmica outro exemplo de um campo vetorial o campo de velocidades no interior de um fluido em movimento Vimos também como se pode visualizálo num dado instante introduzindo no fluido partículas de corante e fotografandoas com tempo de exposição suficientemente curto o traço descrito por cada partícula de corante durante o tempo de exposição dá uma ideia do campo de velocidades no fluido No caso hidrodinâmico o campo tem uma interpretação bastante concreta em termos do movimento de partículas do fluido O que significa porém um campo elétrico no vácuo Historicamente houve inúmeras tentativas de interpretar o vácuo como análogo a um meio elástico era chamado de éter e o campo elétrico como uma modificação deste meio análoga a uma tensão num meio elástico Entretanto tais tentativas fracassaram conforme será discutido no vol 4 deste curso Entretanto se concebemos a interação como sendo mediada pelo campo que a transmite através do vácuo o processo de transmissão pode ocorrer com velocidade finita causando uma retardação nos efeitos do movimento da carga sobre as demais elas só sentiriam esses efeitos após um intervalo de tempo suficiente para a propagação intervalo tanto maior quanto mais distantes estejam da carga que se moveu O próprio Newton considerava inadmissível a ideia da ação à distância Referindose à gravitação ruma carta a Bentley escrita em 1693 ele disse que um corpo possa atuar sobre outro à distância através do vácuo sem qualquer agente intermediário que possa transmitir esta ação de um ao outro pareceme um absurdo tão grande que não acredito que qualquer pessoa competente para raciocinar em termos de filosofia natural possa acreditar nisso Vemos portanto que diferenças entre o ponto de vista da ação à distância e o ponto de vista do campo deverão aparecer quando houver variações da distribuição de cargas com o tempo As equações de Maxwell que estudaremos no final do curso levam a uma velocidade finita de propagação das interações eletromagnéticas no vácuo que é a velocidade da luz Uma demonstração eloquente dos efeitos da retardação pode ser sentida durante os contatos entre os astronautas na Lua e a base terrestre A transmissão dos sinais e a eletromagnética levando a interações entre cargas e correntes da antena transmissora e da antena receptora Aquem acompanhou os contatos pela televisão percebia uma demora da ordem de 2 segundos entre perguntas da base e a recepção das respostas da Lua A distância TerraLua é da ordem de 1 segundoluz Vamos introduzir uma descrição em termos de campo já na eletrostática o que servirá como preparação para utilizála no tratamento de todos os fenômenos eletromagnéticos 32 Cálculo do campo Segundo a 312 o campo elétrico E produzido por uma distribuição de cargas pontiformes q1 q2 qN num ponto P é dado pela soma vetorial E 14πε0 i1N qiri2fi 321 onde ri é a distância da carga qi ao ponto P e fi é o vetor unitário na direção que liga a carga a este ponto apontando fig 31 no sentido da carga para P se qi é negativo o campo devido a qi aponto em sentido oposto Se tomarmos a origem das coordenadas num ponto O sendo x o Se tivermos uma distribuição contínua de cargas a somatória 321 é substituída por uma integral E 14πε₀ r r²dq 14πε₀ r³dq onde cf322 r x x r r e x é o vetor de posição do ponto P onde se calcula o campo x o vetor de posição do elemento de carga dq cuja contribuição se está calculando fig 33 As variáveis de integração são as coordenadas de x Se a distribuição de carga é tridimensional temos dq ρ dv onde ρ é a densidade volumétrica de carga e dv o elemento de volume se é uma distribuição superficial ou linear empregamos as 243 ou 244 respectivamente Um disco circular horizontal de raio a está uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro a uma distância D do centro Conforme ilustra a fig 34 podemos pensar no disco como subdividido em anéis de largura infinitesimal dp e raio ρ variando de 0 a a A carga de um anel é 2πσρdp e o campo dE que ele cria no ponto P é dado pelo resultado do Exemplo 2 da Secç 24 ou seja é vertical e de magnitude dE 2πρσD 4πε₀ρ² D²32 σDρdp 2ε₀ρ² D²32 Como todas as contribuições têm a mesma direção basta integrar essa expressão em relação a ρ desde 0 até a para obter o resultado final Uma carga puntiforme q está localizada no ponto 00d de um sistema de coordenadas cartesianas e outra q no ponto de coordenadas 00d Qual é o campo num ponto xyz Identificando q₁ com a carga q e q₂ com a carga q e denotando por ijk os vetores unitários dos três eixos vem x x₁ x i y j z d k x x₂ x i y j z d k e as 321 e 322 dão Exyz q4πε₀ 1 x² y² z d²32 xi yj 1 x² y² z d²32 x i y j z d x² y² z d²32 k z d x² y² z d²32 k Em particular no plano z 0 num ponto à distância ρ x² y²12 da origem obtemos Exy0 p 4πε₀ρ² d²32 k a direção do campo em cada um dos seus pontos bastando traçar a tangente à curva e podemos também obter o sentido do campo indicando uma orientação sobre cada linha Assim por exemplo para uma carga puntiforme o campo elétrico tem a direção radial apontando para fora se a carga é positiva e para dentro se é negativa O aspecto das linhas de força correspondentes está indicado na fig 35 Em ambos os casos não se deve esquecer que o campo é tridimensional tendo simetria de revolução em torno de qualquer eixo que passa pela carga No Exemplo 1 da seção anterior em que se têm duas cargas puntiformes opostas vimos que o campo no plano z 0 é vertical Na vizinhança imediata de cada uma das cargas o campo deve ser dominado por essa carga e as linhas de força devem assemelharse às da fig 35 a ou b o que dá uma ideia qualitativa do aspecto dessas linhas que estão representadas na fig 36 Nesse caso existe simetria axial em torno do eixo z de forma que devemos imaginar o resultado da rotação dessa figura em torno do eixo que liga as duas cargas Para um plano uniformemente carregado com o campo dado pela 326 o aspecto das linhas de força está representado na fig 37 O campo é uniforme acima e abaixo do plano linhas de força paralelas e igualmente espaçadas mas tem sentidos opostos nos dois semiespaços com uma descontinuidade ao atravessar o plano no qual nascem todas as linhas de força a partir das cargas É muito importante reconhecer os elementos de simetria de um problema pois isto permite prever a simetria das linhas de força Na fig 37 temos simetria plana e as linhas de força têm de ser radiais Para um fio cilíndrico infinito uniformemente carregado fig 38 temos simetria axial cilíndrica e as linhas de força são radiais em planos perpendiculares ao fio ou seja têm a direção do vetor unitário 𝑟 em coordenadas cilíndricas ρ ϕ z Embora ajude a visualizar o campo a representação por linhas de força tem limitações dá a direção e o sentido do campo em cada ponto mas não a sua magnitude Entretanto é possível dar uma ideia também da magnitude convencionandose que ela é inversamente proporcional ao espaçamento das linhas de força o que foi feito nos exemplos acima Duas linhas de força não podem se cruzar porque a direção do campo E suposto 0 num ponto de interseção deixaria de ser única Linhas de força não são trajetórias de partículas carregadas soltas em repouso no campo dãose neste caso a direção inicial do movimento Para partículas já em movimento a direção da força num ponto da trajetória não coincide em geral com a direção da trajetória O volume de fluido por unidade de tempo que se escoa através de ΔS fluxo vazão é então v n ΔS Em particular se o fluido é incompressível e se S é uma superfície fechada dentro da qual não há fontes nem sorvedouros de fluido e n é o versor da normal externa a S fig 310 S v n dS 0 341 onde significa integral estendida a toda a superfície fechada S Isso equivale a dizer que o volume de fluido que sai através de S é igual ao que entra Por analogia com a hidrodinâmica chamase fluxo do campo elétrico através de um elemento de superfície ΔS cujо versor da normal é n a grandeza ΔΦ definida por ΔΦ E n ΔS E cos θ ΔS 342 onde θ é o ângulo entre E e n fig 311 Devese notar que i o elemento de superfície é orientado ou seja sua normal n tem um sentido preferencial ii ΔΦ é 0 ou 0 conforme θ seja agudo ou obtuso Assim na 341 contribuições positivas e negativas se cancelam iii A unidade de fluxo é 1N m² C Fluxo devido a uma carga puntiforme Para uma carga q puntiforme situada num ponto O o campo E puntiforme em um ponto P de um elemento de superfície ΔS é dado por EP q 4πε₀ r² 343 onde r r r é o versor de OP fig 312 O fluxo através de ΔS é então dado por ΔΦ q 4πε₀ r² ΔS cos θ 344 onde cos θ r n A expressão que aparece na 344 ΔΩ ΔS cos θ r² 345 é o que se chama um elemento de ângulo sólido Tratase de uma extensão do conceito de ângulo plano expresso em radianos cujas propriedades vamos discutir agora Num plano o ângulo Δφ em radianos subtendido por um elemento de arco orientado Δl em relação a um ponto O situado à distância r de Δl é o mesmo que aquele associado ao arco de círculo Δs com centro em O de raio r compreendendo entre as mesmas direções fig 313 ou seja Δφ Δs r Δl cos θ r 346 que pode ser positivo ou negativo conforme a orientação do arco Notese que Δφ é o arco de um círculo de raio unitário compreendido entre essas direções Δs é proporcional a r Analogamente no espaço o ângulo sólido ΔΩ subtendido por um elemento de superfície orientado ΔS com normal n em relação a um ponto O situado à distância r de ΔS é o mesmo que para ΔS área correspondente da esfera de raio r compreendida dentro do mesmo cone de direções fig 313 Temos ΔS ΔS cos θ ΔS n r 347 onde n e r são as normais a ΔS e ΔΣ respectivamente que crescem como r² Definimos assim ΔΩ ΔS r² ΔS cos θ r² 348 seja S uma superfície fechada orientada em cada ponto segundo a normal externa n Temos então se O é um ponto interno a S fig 314 a e S representa a integral sobre a superfície S fechada Ω S dΩ 4π O interno 349 pois esta é a área de uma superfície esférica de raio r 1 Por outro lado se O é um ponto externo a S fig 314 b S dΩ 0 O externo 3410 pois neste caso há duas interseções e elementos correspondentes delas dão contribuições de mesmo módulo e sinais contrários n n Esses resultados sobre pontos internos e externos continuam valendo quando há mais de duas interseções como mostra a fig 315 contribuições adicionais em número par se cancelam O elemento de área dS sobre uma esfera de raio r em coordenadas esféricas fig 316 é o produto dos arcos ȲP1 r dθ P2 r sen θ dφ ou que dá dS r² sen θ dθ dφ e dΩ dS r² sen θ dθ dφ 3411 Essa expressão é importante em grande número de aplicações Vamos usála a título de exemplo para calcular o ângulo sólido subtendido pelo círculo equatorial da esfera da fig 316 com centro em O1 de raio p à distância OO1 z do centro O Para isso basta integrar a expressão 3411 sobre o domínio de variação das coordenadas esféricas ao longo desse círculo Ω 𝑑Ω 0 2π 0 d 0 φ sen θ dθ 2π cos θ 0 2π o que dá Ω 2π 1 cos θ ou seja usando o triângulo OO1 P da fig 316 Ω 2π 1 z ρ² z²¹² 3413 Comparando essa expressão com o resultado obtido no Ex 2 Seq 32 vemos que aquele resultado com D p e a z corresponde a Ω ângulo sólido subtendido pelo disco em P E σ 2ε₀ Ω 2π σΩ 4πε₀ 3414 A razão é simples Na contribuição para o campo de um anel de largura infinitesimal figs 34 25 basta considerar por simetria a componente perpendicular dada por fig 25 dE dE cos θ σ dS cos θ 4πε₀ r² σ 4πε₀ dΩ Em particular para um plano infinito temos se Ω 2π acima do plano Ω 2π abaixo dele o que leva à 326 Terminado essa digressão sobre o conceito de ângulo sólido voltamos à expressão 344 para o fluxo do campo de uma carga q puntiforme através de um elemento de superfície dS orientado com normal n Vemos pela 344 que esse fluxo é dΦ q 4πε₀ dΩ onde dΩ é o ângulo sólido subtendido por dS visto da posição da carga O fluxo Φₛ através de uma superfície S fechada por normal externa n é então pelas 349 e 3410 Φₛ q 4πε₀ S dΩ q ε₀ se q está dentro de S 0 se q está fora de S Todos esses resultados valem para o campo de uma carga q puntiforme Como qualquer distribuição de cargas pode ser decomposta em elementos de carga assimétricas a cargas puntiformes e o campo resultante pelo princípio de superposição é a soma dos campos de todos esses elementos resulta então a lei de Gauss Φₛ S EdS Q ε₀ onde dS n dS é o elemento de superfície orientado associado à normal externa n à superfície fechada S e Q é a carga total contida dentro do volume V interno à superfície S fig 317 Daqui por diante adotaremos sempre a abreviação 3418 Vemos assim que é possível detectar a presença de carga dentro de uma superfície fechada medindo a vazão total do fluido através dela Dizemos assim que as cargas são as fontes do campo eletrostático A lei de Gauss permite simplificar grandemente o cálculo do campo eletrostático de uma distribuição de cargas Para isso entretanto é essencial que a distribuição tenha elementos de simetria plana axial esférica de tal forma que se possa exprimir o fluxo total através de uma superfície gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a simetria em termos da magnitude do campo a mesma em qualquer ponto desta superfície Vejamos exemplos disso Neste caso temos simetria em relação ao plano e já vimos Sec 33 que o campo é uniforme acima e abaixo do plano mas com sentidos opostos Fig 318 E Eₗ z E Tomando para superfície gaussiana o paralelepípedo da figura com bases de área A só há fluxo através das bases e vem Φₛ 2Eₗ A Q ε₀ σA ε₀ onde σ é a densidade superficial de carga o que dá Eₗ σ 2ε₀ z o mesmo resultado da 326 Fio cilíndrico carga uniforme Vimos na Sec 33 que em coordenadas cilíndricas ρ φ z o campo deve ter a direção ρ e pela simetria axial deve ser independente de φ e de z o que dá E Eₗρ ρ O campo mais geral teria três componentes cada uma delas dependente de ρ φ z de modo que a simetria leva a uma grande simplificação A superfície gaussiana adaptada à simetria é aqui um cilindro coaxial de raio r e altura z fig 319 que contém em seu interior a carga λ Δz onde λ é a densidade linear de carga sobre o fio Só existe fluxo através da superfície lateral de forma que a lei de Gauss dá Φₛ 2π ρ Δz Eρρ λ Δz ε₀ Por que o campo é nulo dentro da camada Um elemento de superfície ΔS₁ da camada à distância r₁ do ponto interno P fig 321 contém uma carga ρ ΔS₁ Δr e gera em P um campo de magnitude ΔE₁ ρ Δr 4πε₀ ΔS₁ r₁² ρ Δr 4πε₀ ΔΩ onde ΔΩ é o ângulo sólido subtendido por ΔS₁ em P O ângulo sólido oposto pelo vértice corta a camada segundo ΔS₂ que dá uma contribuição de sentido oposto fig 321 e magnitude ΔE₂ ρ Δr 4πε₀ ΔS₂ r₂² ρ Δr 4πε₀ ΔΩ ΔE₁ Essas duas contribuições são portanto iguais e opostas o que explica o cancelamento Deve ser notado porém que esse resultado depende crucialmente do fato de que a lei de forças é como a da gravitação com proporcionalidade inversa ao quadrado da distância Se em lugar disso tivesse uma lei do tipo rⁿ com n 2 os campos não seriam proporcionais aos ângulos sólidos e o cancelamento deixaria de ocorrer Como qualquer distribuição de carga esfericamente simétrica pode ser imaginada como resultado da superposição de camadas esféricas de espessuras infinitesimais podemos agora aplicar os resultados acima a uma tal distribuição ρ ρr 357 para a qual por simetria o campo será da forma 354 Num ponto à distância r do centro uma camada interna entre r e r dr com r r dará uma contribuição do tipo 356 ou seja dEₑr ρr ε₀ r r² dr ao passo que as camadas externas r r não contribuem Logo Eₑr r₀ dEₑr 1 ε₀r₀ ρrr² dr o mesmo resultado que se teria se toda a carga até a distância r estivesse concentrada no centro O teorema de Earnshaw Um conjunto de cargas pontiformes q₁ q₂ qₙ em posições fixas criam um campo eletrostático no vácuo Seja P um ponto qualquer não ocupado por nenhuma dessas cargas fig 322 Se colocarmos em P outra carga pontiforme q poderá ela permanecer em equilíbrio estável nesta posição sob a ação do campo criado pelas demais cargas O teorema de Earnshaw diz que isso não acontece Para demonstrálo consideremos as condições para o equilíbrio estável de q i a força qEP sobre q em P deve anularse ou seja EP 0 ii estabilidade do equilíbrio para qualquer pequeno deslocamento r da carga a partir de P a força correspondente deve ser restauradora ou seja Er deve apontar de volta para P Logo imaginando uma pequena superfície gaussiana S esférica de raio r com centro em P fig 322 a componente normal do campo Eₑr deve ser 0 o que dá para o fluxo Φₛr sobre S Φₛr 0 por menor que seja r Mas isso pela lei de Gauss implicaria a existência de carga negativa em P contra a hipótese de que P é um ponto do vácuo situado fora da distribuição de cargas pontiformes dada Isso demonstra o teorema de Earnshaw Uma das consequências desse resultado é que não pode ser construído um modelo clássico estável de um átomo com base numa distribuição de cargas fixa estática Veremos mais tarde que isso permanece válido para um modelo dinâmico como o do átomo de Bohr em que elétrons descrevem órbitas em torno de um núcleo atômico carregado positivamente Nesse caso a instabilidade dentro da física clássica resultaria da emissão de radiação Campo elétrico na superfície de um condutor corpo condutor macroscópico leva apenas uma fração de segundo Sabemos por outro lado que é possível comunicar carga a um condutor isolado Onde então ela irá localizarse Só pode ser na superfície do corpo com efeito um ponto da fronteira é diferente de um ponto situado no interior do meio pois separa dois meios diferentes estando em contato com um isolante o suporte do condutor ou a atmosfera Na descrição macroscópica aparece portanto na superfície de um condutor carregado uma densidade superficial de carga σ 0 Microscopicamente essa carga reside numa camada de transição formada por algumas camadas atômicas na superfície Exatamente na superfície do lado isolante temos então E 0 mas este campo E não pode ter uma componente tangencial à superfície pois ela produziria um deslocamento de cargas sobre a superfície corrente superficial Logo a componente tangencial do campo elétrico Eₜₐₙₕ tem de anularse na superfície Eₜₐₙₕ 0 na superfície de um condutor 3510 ou seja as linhas de força de E têm de ser normais à superfície do condutor Consideremos então uma superfície gaussiana em forma de caixa cilíndrica com a tampa ΔS na superfície de um condutor e a base dentro dele fig 323 Sobre ΔS E tem a direção da normal externa 𝑛 Na base e na superfície lateral que estão dentro do material condutor E 0 Logo o fluxo total de E sobre a superfície gaussiana é 𝑛 E ΔS Eₙ ΔS ΔQ ε₀ ΔS ε₀ usando a lei de Gauss Obtemos assim na superfície do condutor E Eₙ σ ε₀𝑛 3511 onde σ é a densidade superficial da carga tomada no ponto onde se calcula o campo E Comparando com o resultado 326 válido logo acima sinal do centro de um disco circular uniformemente carregado vemos que 3511 representa o dobro do campo acima do disco A razão é simples se dividíssemos a contribuição das cargas superficiais do condutor numa porção devida a um disco circular muito pequeno com centro no ponto considerado e outra derivada do resto das cargas a segunda deve cancelar a primeira logo abaixo do disco dentro do condutor onde E 0 logo duplicaa logo acima dele que é a forma local da lei de Gauss Em particular no interior de um meio condutor onde E 0 isso implica que temos também ρ 0 conforme já havíamos visto A fig 325 mostra a relação entre o sinal de div vP e o aspecto das linhas de força de v num entorno de P Em a temos uma fonte em P e div vP 0 em b temos um sorvedouro em P e div vP 0 em c não há fonte nem sorvedouro em P e div vP 0 Vamos calcular o fluxo de v através das faces perpendiculares à direção x com área Δy Δz tomando os pontos 1 e 2 onde v é calculado no centro destas faces Assim os pontos 1 e 2 têm coordenas respectivamente x 12 Δx y z ou seja só diferem pela coordenada x em Δx O fluxo Φx através dessas duas faces considerando que Δy e Δz são infinitesimos pode ser aproximado por Φx vx2 vx1 ΔS vx2 vx1 Δy Δz Pela definição de derivada parcial como Δx é infinitesimo Numa teoria de campo queremos exprimir o estado do campo E num ponto P em termos de seu comportamento na vizinhança imediata de P Pela lei de Gauss ΦS S EdS é um indicador global da presença de cargas fontes de E no volume interno a S Queremos agora encontrar um indicador local que sinalize a presença de fontes num ponto P Para isso envolvemos P por uma superfície gaussiana fechada ΔS que limita um volume muito pequeno ΔV fig 324 e contém uma carga Δq ρP ΔV onde ρP é a densidade volumétrica de carga em P Aplicando a lei de Gauss a ΔS obtemos extcampo elétrico O ext teorema de Gauss PROBLEMAS O valor médio do campo elétrico na atmosfera num determinado dia num ponto da superfície da Terra é de 300 NC dirigido verticalmente para baixo A uma altitude de 1400 m ele reduzse a 20 NC Qual é a densidade média de carga na atmosfera abaixo de 1400 m Para mais informações sobre eletricidade atmosférica veja R P Feynman Lectures on Physics AddisonWesley Reading 1964 vol 2 Cap9 Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica ρ envolve uma esfera concêntrica de raio a também carregada uniformemente com a mesma densidade Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço 0 r a a r b b r c c r O campo eletrostático como o campo gravitacional é conservativo Isso permite simplificar sua descrição reduzindoa a uma única função escalar o potencial eletrostático que trataremos neste capítulo Veremos também uma forma de exprimir localmente e caráter conservativo do campo introduzindo o rotacional de um campo vetorial Se F é uma força central F Fr r 413 onde o 1º membro chamase circulação da força F ao longo do caminho fechado orientado C O raciocínio também vale em sentido inverso Logo é condição necessária e suficiente para que uma força seja conservativa que sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado seja 0 418 O campo devido a uma carga puntiforme q na origem Er q 4πε₀ r² 421 para o potencial coulombiano de uma carga puntiforme q na origem Ele representa o trabalho por unidade de carga necessária para trazer uma carga de prova desde uma distância infinita até uma distância r da carga q Note que o potencial coulombiano de uma carga cai com 1r em lugar de 1r² como o campo As superfícies equipotenciais são esferas com centro na carga É importante observar que a convenção 425 para a escolha do zero do potencial não pode ser adotada quando a distribuição de carga se estende até o infinito Vemos exemplos mais adiante Cálculo de campo a partir do potencial O análogo da 4111 para uma carga de prova unitária é E grad V Em particular para V Vr E dVdr ŕ que recupera o campo coulombiano a partir da 426 E q4πε₀ ddr1r ŕ q4πε₀r² ŕ A unidade de campo elétrico 1 NC é também equivalente a 1 Vm volt por metro mais familiar Já vimos no curso de Mecânica que também se usa o eV eletrónvolt como unidade de energia é a energia potencial adquirida por uma partícula de carga igual à do elétron ao atravessar uma diferença de potencial de 1 volt Pela 251 temos portanto 1 eV 16 x 10¹⁹ J Potencial de uma distribuição de cargas Pelo princípio de superposição para um sistema de cargas puntiformes como o da fig 31 VP qj4πε₀rj Para distribuições contínuas de cargas esse resultado se generaliza para VP 14πε₀ dqr onde r é a distância do ponto P ao elemento de carga dq e dq ρ dV distribuição volumétrica dq σ dS distribuição superficial dq λ dl distribuição linear Em geral é mais simples calcular V uma só função escalar e obter E como grad V do que calcular as três componentes de E Distribuições de cargas dadas e problemas de contorno Vimos na 352 que o campo elétrico na superfície de um condutor é normal à superfície Logo a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial Como E 0 no interior do meio condutor o volume do condutor contíguo à superfície também está no mesmo potencial Em princípio podemos produzir uma distribuição de cargas arbitrária num corpo isolante pois a carga permanece onde foi colocada Neste caso a 4211 resolve o problema do cálculo do potencial Entretanto isso não se aplica a condutores quando transmitimos carga a um corpo condutor a distribuição de equilíbrio eletrostático é aquela para a qual o campo no interior do meio se anula Logo a carga terá de se distribuir sobre a superfície de forma a satisfazer essa condição o que equivale a dizer que a superfície tem de ser equipotencial A solução de um problema desse tipo é portanto especificada por condições a serem satisfeitas na superfície de condutores que se chamam por isso as condições de contorno e o problema correspondente chamase um problema de contorno Não podemos resolvêlo empregando a 4211 porque não conhecemos a densidade de carga superficial σ no condutor ela é uma das incógnitas do problema e para uma conduta qualquer o variará em geral de ponto a ponto da superfície Em geral é bem mais difícil resolver um problema de contorno com condutores do que um problema com isolantes nos quais a distribuição de cargas é dada cuja solução é a 4211 Entretanto podemos empregar uma táctica inversa que poderíamos chamar de uma solução à procura de um problema em lugar de um problema ao qual procuramos a solução Dado um potencial 4211 que corresponde a uma determinada distribuição de cargas podemos determinar as suas superfícies equipotenciais Uma vez obtidas podemos imaginar uma das mais dessas superfícies materializadas como superfícies de condutores O potencial dado será então solução de um problema de contorno com esses condutores Exemplos serão vistos a seguir Exemplo 1 Anel isolante uniformemente carregado ponto P no eixo Para um anel de largura muito pequena todos os pontos são equidistantes de um ponto P no eixo fig43 Se Q é a carga total do anel temos então VP Q4πε₀r Q4πε₀ρ² z²¹² 431 o que dá E grad V dVdz ŷ Q4πε₀ ρ² z²³² ŷ que é obtido de forma bem mais simples do que seria o cálculo direto do campo Exemplo 2 Disco circular isolante uniformemente carregado ponto P no eixo Seja a o raio do disco σ a densidade superficial de carga Podemos decompor o disco em anéis concêntricos de raio variável ρ largura infinitesimal dρ e carga dQ 2π ρ dρ σ fig 44 e usar o resultado 431 para obter VP Vz dQ4πε₀ρ² z²¹² σ2ε₀ ρ dρρ² z²¹² σ2ε₀ρ² z²¹² aᵢⁿ₀ que dá Vz σ2ε₀a² z²¹² z 433 onde o último termo é z²¹² z O campo E é então E grad V dVdz ŷ que dá notando que o potencial eletrostático Ez σ 2ε₀ z a² z²12 z z Vρ λ 2πε₀ lnρa Os resultados acima dão então o potencial devido a uma esfera conductora de raio R e carga total Q VrVRRrQ4πε0r rR 4313 A fig 47 mostra gráficos da componente radial do campo Er e do potencial Vr para a casca esférica ou para uma esfera conductora maciça de raio R O campo é descontínuo é nulo até a superfície onde tem um salto e depois cai com 1r² Já o potencial é contínuo na superfície é constante dentro da esfera e depois cai mais lentamente com 1r Métodos análogos podem ser empregados para o cálculo do potencial de qualquer distribuição esfericamente simétrica de cargas cf Problemas do Cap 4 44 Dipolos elétricos Um dipolo elétrico é um par de cargas de mesma magnitude e sinais opostos q e q situadas em pontos diferentes como no Ex 1 da Seç 32 A carga total do dipolo é 0 Se l é o vetor de posição da carga positiva em relação à negativa fig 48 chamase momento de dipolo elétrico do dipolo o vetor p ql 441 Interessanos calcular V a distâncias muito maiores que o braço l 111 do dipolo Vamos tomar a origem O na carga q e o eixo Oz na direção de l O potencial do dipolo num ponto P com OP r é Vr ql cosθ4πε0r² p cos θ4πε0r² pr4πε0r³ 445 que cai como 1r² em lugar de 1r potencial coulombiano de uma carga devido à neutralização das contribuições de q e q a grande distância Na 445 p p Com r xyz também podemos escrever no sistema de eixos da fig 48 Vr pz4πε0r³ 446 Todos esses resultados valem para r l Também se costuma definir o conceito idealizado de um dipolo puntiforme como na idealização de uma carga puntiforme tomando o limite em que l 0 e q mantendo constante o produto p ql Com essa interpretação a 445 dá para qualquer r 0 o potencial de um dipolo puntiforme situado na origem Cálculo do campo A 446 permite calcular E grad V Como o gradiente é um operador de derivação vale a regra da derivada de um produto gradfg grad fg f grad g 447 Logo usando também a 4115 obtemos gradzr 1r grad z z grad1r zr² 3zr³ 448 Em particular para pontos do plano xy com z 0 temos pr 0 e a 448 fica Exy0 p4πε0r³ 449 que é antiparalelo a p e coincide com o resultado da Seç 32 Ex1 Por outro lado para pontos ao longo do eixo z alinhados com o dipolo temos r z e r r z o que dá E00z p2πε0r³ 4410 que tem sentido oposto à 449 e magnitude dupla de dipolo elétrico permanente Quando se aplica um campo elétrico externo E porém o centro de carga negativo da nuvem eletrônica se desloca em sentido oposto a E e o núcleo se desloca no sentido de E aparece um dipolo elétrico induzido pelo campo fig 410a Dizemos que o átomo se polariza sob a ação de um campo externo O mesmo acontece com átomos mais complexos e com moléculas não polares ou seja que não possuem momento de dipolo permanente os centros de carga positiva e negativa se separam e o campo externo produz polarização momento de dipolo elétrico Moléculas sem centro de simetria podem ter momentos de dipolo elétrico permanentes chamamse moléculas polares Um exemplo importante é a molécula de água em que as duas ligações OH formam um ângulo de 105 A nuvem eletrônica tende a se concentrar mais em torno do oxigênio que se torna negativo em relação aos hidrogênios formando dois momentos de dipolo p1 e p2 fig 410b cuja resultante p é o momento de dipolo permanente da molécula de H2O Seu valor é p 62 10³⁰ C m compatível com as constantes atômicas a carga típica é da ordem da do elétron 16 10¹⁹ C e distâncias interatômicas típicas são da ordem de 10¹⁰ m Da mesma forma que uma distribuição superficial de cargas também se pode ter uma distribuição superficial de dipolos que se chama uma dupla camada Exemplos importantes são encontrados em biologia Assim a membrana de uma célula é um isolante que separa o fluido no seu interior citoplasma do fluido externo Ambos são soluções salinas diluídas em que a maioria das moléculas dissolvidas estão ionizadas Embora os fluidos sejam neutros a superfície interna da membrana tem um excesso de íons negativos ânions ao passo que a superfície externa tem um excesso de cátions íons positivos devido a diferenças de permeabilidade da membrana a diferentes íons A espessura da membrana é da ordem de algumas dezenas de Å de modo que podemos usar como modelo da distribuição de cargas sobre ela uma dupla camada Vamos ver agora como se pode calcular o potencial eletrostático de uma dupla camada Potencial de dupla camada Numa dupla camada o momento de dipolo dp de um elemento de superfície dS da dupla camada contribui para o potencial num ponto P com dp r 4πε₀r² δ dS r 4πε₀r² 4412 onde r é o vetor de posição de P com origem em dS fig 411 Mas pela 345 dS r r² dS cos θ r² dΩ é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P Logo para uma distribuição com densidade superficial δ constante sobre uma superfície S o potencial VP é dado por VP δ 4πε₀ Ω 4413 onde Ω é o ângulo sólido total subtendido pela dupla camada em P fig411 O ângulo sólido Ω só depende do contorno C de S é o mesmo para qualquer superfície de contorno C Para pontos acima de S para onde apontam os dipolos do lado das cargas positivas o ângulo θ é agudo e Ω 0 para P abaixo de S lado das cargas negativas θ é obtuso e Ω 0 Em particular se P tende a um ponto P de S do lado positivo Ω 2π se P tende a um ponto P de S do lado negativo Ω 2π o que dá VP δ 2ε₀ VP δ 2ε₀ 4414 e isto leva a VP VP δ ε₀ 4415 mostrando que o potencial tem uma descontinuidade δε₀ através da dupla camada No caso da membrana celular essa diferença de potencial através dela chamase potencial de membrana e é da ordem de grandeza tipicamente de uma centena de mV Em células nervosas neurônios variações suficientemente grandes deste potencial de repouso descendiam um sinal potencial de ação cuja propagação ao longo do sistema nervoso é a base da transmissão de informações em nosso organismo Pelas 445 e 4411 um elemento de superfície dS da dupla camada contribui para o potencial num ponto P com dV dp r 4πε₀r² δ dS r 4πε₀r² 4412 onde r é o vetor de posição de P com origem em dS fig 411 Mas pela 345 dS r r² dS cos θ r² dΩ é o elemento de ângulo sólido subtendido por dS em P Logo para uma distribuição com densidade superficial δ constante sobre uma superfície S o potencial VP é dado por VP δ 4πε₀ Ω 4413 onde Ω é o ângulo sólido total subtendido pela dupla camada em P fig411 O ângulo sólido Ω só depende do contorno C de S é o mesmo para qualquer superfície de contorno C Para pontos acima de S para onde apontam os dipolos do lado das cargas positivas o ângulo θ é agudo e Ω 0 para P abaixo de S lado das cargas negativas θ é obtuso e Ω 0 Em particular se P tende a um ponto P de S do lado positivo Ω 2π se P tende a um ponto P de S do lado negativo Ω 2π o que dá VP δ 2ε₀ VP δ 2ε₀ 4414 e isto leva a VP VP δ ε₀ 4415 mostrando que o potencial tem uma descontinuidade δε₀ através da dupla camada No caso da membrana celular essa diferença de potencial através dela chamase potencial de membrana e é da ordem de grandeza tipicamente de uma centena de mV Em células nervosas neurônios variações suficientemente grandes deste potencial de repouso descendiam um sinal potencial de ação cuja propagação ao longo do sistema nervoso é a base da transmissão de informações em nosso organismo Forças e torques sobre dipolos em campos elétricos a Dipolo num campo uniforme E Se tivermos um dipolo num campo externo E uniforme as forças que atuam sobre as cargas q e q respectivamente são dadas por Fig412a F qE F 4416 Este par de forças forma um binário cujo torque é dado por τ l F ql E p E τ pE sen θ 4417 que tende a fazer o dipolo girar até alinharse paralelamente a E b Energia potencial e força num campo qualquer Consideremos agora a energia potencial do dipolo e a força que atua sobre ele quando as cargas estão situadas em pontos r e r l de um campo externo Er qualquer que não precisa ser uniforme Fig412b A origem O é tomada num ponto arbitrário Pela definição do potencial a energia potencial de uma carga q num ponto r de um campo eletrostático externo E é qφr onde φ é o potencial associado a E Usamos a notação φ para evitar confusão com o potencial V do campo produzido pelo dipolo Logo a energia potencial de um dipolo num campo externo E qualquer é Ur q φr l φr 4418 Supondo desconsiderar as dimensões do dipolo podemos tratálo como um infinitésimo e usar φr l φr 1 grad φ 4419 o que dá Ur q1 gradφ ou seja Ur p Er 4420 A força resultante sobre o dipolo é F grad U 4421 Num campo uniforme p e E não dependem de r logo F 0 mas como vimos existe um torque sobre o dipolo dado pela 4417 Por outro lado se o campo não é uniforme campo inmogêneo temos U pxExr pyEyr pzEzr o que dá uma força nãonula sobre o dipolo suposto fixo isto é com p independente de r F px grad Exr py grad Eyr pz grad Ezr 4422 Por exemplo no entorno de um ponto em que p p e E Exx x teríamos F p dEx dx 4423 o que tem uma interpretação imediata a força resultante sobre o par de cargas tem nesse caso a direção x e amplitude dada por Fx l Fx qExx l Exx ql dEx dx p dEx dx 4424 Vamos ver que o dipolo tende a se deslocar no sentido do campo crescente dExdx 0 o que decorre no caso geral de F gradp E 4425 e do que vimos o gradiente aponta na direção do máximo aclive Podemos compreender agora por que um pente eletrizado atrai pedacinhos de papel fig 413 Por indução o pente polariza um fragmento de papel criando um dipolo que é atraído para a região de campo mais intenso na vizinhança das pontas do pente poder das pontas que voltará a ser discutido mais adiante potencial eletrostático turno dele ou seja gira ao mesmo tempo que é translacionado pelo movimento no segundo caso o momento angular de cada partícula fluida em torno de seu centro é 0 Um detector que distingue entre os dois casos é uma rodinha de pás colocada dentro do fluido no primeiro caso ela gira enquanto é transportada já no segundo sofre translacão pura sem girar Para caracterizar localmente a circulação por unidade de área consideremos primeiro um retângulo infinitesimal e tomemos o plano dele como plano xy com eixos v3 3 4 2 Δy ΔΓxy Δx Figura 416 a Circulação sobre retângulo infinitesimal b Orientações positivas de circuitos nos três planos coordenados paralelos aos lados de comprimentos respectivamente Δx e Δy Com a orientação da fig 416 a dl é paralelo a x sobre o lado 1 e antiparalelo sobre o lado 3 de modo que a circulação correspondente a esses dois lados é C1 C3 Δx v1 x v3 x vx1 vx3Δx As coordenadas em 3 diferem das em 1 por um acréscimo Δy infinitesimal de forma que isto dá C1 C3 Δx vxy Δy vxy ΔSxy onde ΔSxy é ΔxΔy é a área do circuito retangular Analogamente C2 C4 vy2 vy4Δy vyxΔy vyx ΔSxy A circulação por unidade de área sobre o circuito retangular ΔΓxy é então CΔΓxyΔSxy vyx vxy Resultados análogos valem para circuitos nos planos yz e zx as orientações são escolhidas sempre de tal forma que vistos de cima dos eixos xy ou z os circuitos são percorridos no sentido antihorário fig 416 b Obtemos então verifique CΔΓxyΔSxy vyx vxy CΔΓyzΔSyz vzy vyz CΔΓxzΔSxz vxz vzx que resultam da 457 por permutações circulares x y z x Por decomposição em malhas retangulares infinitesimas esses resultados se estendem a circuitos de forma qualquer paralelos aos três planos coordenados Consideremos agora um circuito orientado de forma triangular ΔΓn oblíquo aos planos coordenados com a normal n ao plano do triângulo orientada de tal forma que visto da extremidade de n o circuito ΔΓn é descrito no sentido antihorário e sejam ΔSxy ΔSyz e ΔSxz as projeções de ΔSm área interna a ΔΓn sobre os três planos coordenados fig 417 Temos então ΔSxy ΔSn n z ΔSyz ΔSn n x 459 ΔSxz ΔSn n y CΔΓnΔSn n rot v CΔΓnΔSn n rot v 4510 é a circulação por unidade de área para orientação arbitrária no espaço de n e para ΔΓn infinitesimo onde rot v vyx vxy x vzx vxz y vyz vzy z 4511 é a expressão em coordenadas cartesianas de um vetor cuja definição intrínseca independente da escolha das coordenadas resulta da 4510 em termos de circulação por unidade de área para uma área infinitesima compare com a definição de div v como fluxo por unidade de volume temos n rot v lim ΔS0 1ΔS ΔΓ v dl 4512 onde ΔΓ é o contorno do elemento de superfície ΔS fig 418 Há uma diferença sutil entre a definição de n neste caso e a da normal externa a uma superfície fechada A orientação da normal externa não depende de uma convenção mas a de n neste caso depende de uma convenção de orientação visto a partir da extremidade de n o contorno ΔΓ é percorrido no sentido antihorário Como vimos no curso de Mecânica Física Básica I isso implica que rot v é um vetor axial o sentido de rot v depende de uma convenção de orientação como o sentido do produto vetorial Decompondo uma superfície qualquer em elementos de superfície e lembrando que a soma das circulações em torno dos elementos da malha assim formada todas de mesma orientação é a circulação em torno do contorno da malha obtemos o teorema de Stokes Se S1 e S2 são duas superfícies diferentes que se apoiam sobre Γ em semiespaços opostos temos então Γ v dl S1 rot v n dS onde Γ é Γ percorrido em sentido oposto Logo S1 rot v n dS S2 rot v n dS S1S2 rot v n dS 0 Mas S1 S2 é uma superfície fechada S cuja normal externa é n Logo S1S2 rot v n dS S rot v n dS V div rot v dv 0 para qualquer vetor v Isto também decorre das definições em termos de componentes cartesianas verifique Por outro lado vimos que o anularento da circulação CΓ Γ v dl 0 para todo circuitio Γ numa região é a condição necessária e suficiente para que v derive de um potencial φ ou seja v grad φ Logo para qualquer função escalar φ v v a identidade rot grad φ 0 Novamente isto também decorre das expressões em termos das componentes cartesianas verifique Logo deve ser verifique grad r r rot r 0 O operador É definido por x x y y z z lêse del Operando sobre uma função escalar f f x fx y fy z fz grad f O produto escalar com um vetor v é v x vx y vy z vz div v Finalmente v x y z x y z vx vy vz rot v que é um vetor axial como o produto vetorial Para qualquer função escalar f e qualquer vetor v temos as identidades rot grad f f 0 div rot v v 0 ou seja gradfg fg fg fg gf Analogamente divfv f div v v grad f rotfv f rot v grad f v divu v v rot u u rot v A demonstração dessas identidades será deixada como problema 46 A forma local das equações da eletrostática Já vimos que a forma local da lei de Gauss é a equação de Poisson para E div E ρ ε₀ II Vamos agora que a forma local da expressão da existência do potencial E grad V campo conservativo é rot E 0 I As equações I e II para E são as equações locais do campo eletrostático caso particular das equações de Maxwell correspondentes à eletrostática descrevendo o campo gerado no vácuo por distribuições de cargas estáticas ρ densidade volumétrica de carga Há uma formulação equivalente em termos do potencial eletrostático V Da I E grad V I Substituindo na II obtemos div grad V ρ ε₀ onde div grad V V ²V ΔV define o operador Laplaciano ² Δ ²x² ²y² ²z² 465 Resulta a equação de Poisson para V ΔV ρε₀ II 466 Em particular num ponto onde não há cargas ρ 0 ΔV 0 467 que é a equação de Laplace para V Combinando os resultados já expostos sobre as interpretações físicas de div e grad obtemos a Interpretação física do laplaciano Vimos que div v 0 num ponto P implica em ter P o caráter de um sordeouro de linhas de campo de v fig 325b Tomando v gradφ concluímos então que div v Δφ 0 em P quando P se comporta como um sordeouro de linhas de campo de gradφ Mas sabemos que gradφ aponta para a direção de máximo ativo para φ Logo ΔφP 0 significa que existe em P uma concentração do campo escalar φ ou seja que φP é maior que a média de φ em pontos vizinhos por exemplo a média sobre uma esfera de raio R suficientemente pequeno com centro em P que designaremos por MRφ P φP MRφ P concentração de φ em P ΔφP 0 Analogamente ΔφP 0 rarefação de φ em P MRφ P 469 Pela equação de Poisson Δφ ρε₀ 01 caso concentração ocorre quando existe em P uma densidade de carga positiva ρ 0 02 rarefação de φ em P quando P 0 A equação de condução do calor que governam a distribuição campo de temperaturas num meio condutor de calor como uma barra metálica é Tt KΔT K 0 4610 onde TP é a temperatura e t o tempo Assim se ΔT 0 em P existe em P uma concentração de temperatura Tt 0 ou seja a temperatura em P tende a diminuir 47 Potencial de condutores Como vimos em qualquer ponto interno de um condutor tem de ser E 0 Logo se 1 e 2 são dois pontos internos V2V1r2r1 Edl0 tomando um caminho todo interno ao condutor fig 422 Logo V1V2Constante 471 O volume do condutor é portanto um volume equipotencial Em particular sua superfície externa é uma superfície equipotencial o que concorda com o fato já visto de que as linhas de força têm de ser ortogonais a ela Eang 0 na superfície Consideremos em particular um condutor oco ou seja com uma cavidade interna e suponhamos também que não exista carga dentro da cavidade Se tomarmos então uma superfície gaussiana S coincidente com a superfície interna do condutor que limita a cavidade fig 423 teremos ΦSS En dS0 472 mas isto não significa que não poderia existir uma distribuição de carga superficial sobre S Bastaria que sua densidade σ fosse compatível com carga total sobre S 0 Teria de haver então cargas em algumas partes de S e em outras partes Linhas de força teriam de iniciarse em cargas nas paredes e terminar em cargas com E 0 dentro da cavidade Mas se completássemos uma tal linha formando um circuito fechado Γ com a parte adicional passando por dentro do condutor onde E 0 teríamos fig 424 Γ Edlr2r1 Edl0 porque dlE sobre a linha de força Isso contradiz a relação básica 451 Logo i Se não há cargas dentro da cavidade não pode haver cargas na superfície interna ii E 0 não só no interior do material condutor mas também em toda a cavidade Vemos assim que o resultado ii vale não só para uma cavidade esférica caso considerado por Newton na gravitação mas também para uma cavidade de forma qualquer Ele vale quaisquer que sejam os campos eletrostáticos na região externa ao condutor ou seja a cavidade é blindada da ação de campos externos Suponhamos agora que a carga pontiforme q está dentro da cavidade mas isolada sem contato condutor com as paredes que o condutor tem carga total 0 ou seja está descarregado Nesse caso como é sempre Φs 0 as linhas de força que emanam da carga q suposta positiva na fig 425 têm de terminar em cargas negativas nas paredes internas da cavidade ou seja a carga total distribuída sobre a superfície interna da cavidade é q A carga q que lhe corresponde carga total 0 vai para a superfície externa do condutor de forma consistente com o fluxo Φs através da superfície externa que tem de valer qε₀ A separação das cargas q e q no condutor pode ser considerada como um fenômeno de indução eletrostática Se já existe uma carga inicial Q no condutor ela fica distribuída na superfície externa e seu fluxo se sobrepõe ao da carga q As densidades superficiais de carga são dadas por σ₁ q₁4πr₁² σ₂ q₂4πr₂² σ₁σ₂ q₁q₂ r₂r₁² Logo a densidade de carga é inversamente proporcional ao raio de curvatura da superfície condutora Por outro lado o campo na superfície do condutor é dado por σε₀ de forma que a mesma distribuição vale para o campo Isso explica o poder das pontas o campo elétrico tornase mais intenso na vizinhança de uma ponta onde o raio de curvatura do condutor diminui Na atmosfera existem normalmente íons átomos ou moléculas são ionizados pela radioatividade natural do solo e por raios cósmicos O campo intenso no ar perto de uma ponta atrai íons de carga oposta e repele os de mesmo sinal a aceleração que adquirem pode ser suficiente para produzir outros íons por colisão desencadeando um processo de avalanche que tende a descarregar o condutor pode produzir luminosidade efeito corona Uma forma equivalente de enunciar esse resultado na eletrodinâmica quântica é dizendo que a a massa de repouso do fóton é ε 0 Sabemos atualmente que essa massa é 5 x 10⁶ g Se introduzirmos uma carga q dentro da cavidade como vimos aparecem cargas q e q nas superfícies interna e externa respectivamente Se tocarmos a parede interna com a carga q ela neutraliza a carga q e o efeito global é o mesmo que o de transferir q ao condutor Isso vale qualquer que seja a carga Q já existente no condutor Essa é a base do funcionamento do gerador eletrostático de van de Graaff em lugar de tocar a parede a transferência de carga se dá pelo efeito corona É o que permite elevar gradualmente o potencial do terminal do gerador que acaba sendo limitado apenas pela rigidez dielétrica da atmosfera que o envolve nitrogênio sob pressão no caso do tandem Atingemse assim potenciais da ordem de 10 a 20 MV no terminal Um gerador tandem desse tipo funciona na Universidade de São Paulo potencial eletrostático Carga Posição Trabalho necessário q1 x1 0 q1 q2 4π ε0 r12 q2 x2 q3 x3 q3 4π ε0 q1 r13 q2 r23 q4 x4 q4 4π ε0 q1 r14 q2 r24 q3 r34 e assim por diante se houver mais cargas onde rij é a distância entre xi e xj Logo a energia potencial da configuração é U ij qi qj 4πε0 rij 12 ij qi qj 4πε0 rij 481 que é a soma de todas as interações entre pares de cargas Na segunda somatória cada par é contado duas vezes daí o fator 12 Também podemos escrever este resultado como U 12 i qi ji qj 4πε0 rji 12 i qi Vi 482 onde Vi é o potencial na posição da carga i devido a todas as demais cargas A generalização a uma distribuição contínua é U 12 ρrVr dv 483 Exemplo Uma esfera de raio R uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ pode ser construída como uma cebola por cascas sucessivas fig 430 Para uma casca dU ρr dq 4πε0 dq Vr onde Vr é o potencial da carga qr concentrada no centro da esfera Como qr 43 π r3 ρ resulta dq 4π r2 drρ