Nocões de Hidrodinâmica na Dinâmica dos Fluidos

H Moy Sér Nussenzveig Fluídos 2 Oscilações e Ondas Calor CURSO DE FÍSICA BÁSICA NOCÕES DE HIDRODINÂMICA A dinâmica dos fluidos é um assunto bastante complexo Vamos limitar o tratamento a algumas noções introdutórias 21 Métodos de descrição e regimes de escoamento Como descrever o movimento de um fluido Uma possibilidade é imaginálo subdividido em elementos de volume suficientemente pequenos para que possamos tratar cada um deles como uma partícula e depois descrever o movimento de cada partícula do fluido Para identificar uma dada partícula basta dar sua posição r0 no fluido num dado instante t0 Num instante posterior ela ocupará uma posição r rt r0 t Quando t varia o vetor r descreve a trajetória da partícula do fluido Na prática poderíamos individualizar a partícula colocando um ponto de corante no ponto r0 no instante t0 e a trajetória seria então materializada através de uma fotografia de longa exposição do fluido Se soubermos calcular r em função de para qualquer partícula temos uma descrição do movimento do fluido Este método de descrição é devido a Lagrange Entretanto é difícil que se consiga obter uma solução tão completa a raramente há interesse em conhecer em detalhes as trajetórias das partículas do fluido de forma que não é um método muito empregado No método mais utilizado devido a Euler fixamos a atenção em cada ponto r do fluido e descrevemos como varia com o tempo a velocidade v nesse ponto fixo do fluido v vr t Em geral a cada instante t será uma partícula diferente do fluido que passará pela posição r A associação de um vetor a cada ponto do fluido define nele um campo vetorial que é neste caso o campo de velocidades no fluido Para materializar esse campo num determinado instante podemos introduzir partículas de corante em diferentes pontos do fluido e depois tirar uma fotografia com tempo de exposição curto Capítulo 2 NOCÕES DE HIDRODINÂMICA ponto As linhas de corrente são as linhas de força do campo de velocidade é bem conhecido que as linhas de força do campo magnético podem ser materializadas com o auxílio de limalha de ferro A Fig 22 mostra o aspecto das linhas de corrente para o exemplo da página precedente de escoamento numa canalização Chamase tubo de corrente a superfície formada num dado instante por todas as linhas de corrente que passam pelos pontos de uma dada curva C fechada no fluido Fig 23 Em geral as linhas e tubos de corrente variam de instante para instante Escoamento estacionário O escoamento de um fluido chamase estacionário ou em regime permanente quando o campo de velocidade do fluido não varia com o tempo ou seja quando a 211 se reduz a v vr Isto quer dizer que diferentes partículas do fluido sempre passam pelo mesmo ponto com a mesma velocidade embora possa variar de ponto a ponto O escoamento de água a baixas velocidades numa canalização ligada a um grande reservatório é com boa aproximação um escoamento estacionário Num escoamento estacionário as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas do fluido Das linhas de corrente não podem se cruzar porque num ponto de cruzamento haveria uma ambiguidade na direção da velocidade com duas direções diferentes no mesmo ponto Logo num escoamento estacionário as partículas de fluido que estão dentro de um dado tubo de corrente num dado instante nunca podem atravessar as paredes desse tubo permanecem sempre dentro dele e o fluido escorre dentro do tubo como se suas paredes fossem sólidas constituindo uma canalização Num escoamento não estacionário as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem mais com as trajetórias Um caso extremo é o escoamento turbulento como o de água numa cachoeira em que v varia de forma extremamente rápida e irregular tanto com r 22 Conservação da massa Equação de continuidade Os resultados básicos da dinâmica dos fluidos que vamos estudar decorrem de leis de conservação Uma delas é a lei de conservação da massa aplicada ao movimento do fluido Para ver quais são as consequências dessa lei consideremos um tubo de corrente cuja seção transversal no entorno de um dado ponto do fluido num dado instante tem área A Fig 24 Qual é a massa Δm do fluido que atravessa essa seção num intervalo de tempo infinitesimal Δt Se v é a velocidade do fluido no ponto e no instante considerado será a massa contida num cilindro de base A e altura Δt onde v v O volume desse cilindro é AΔt logo se ρ é a densidade do fluido no entorno do ponto considerado a massa Δm será dada por Consideremos agora um escoamento estacionário e uma porção do tubo de corrente situada entre duas seções transversais de áreas A1 e A2 Fig 25 onde as velocidades e densidades são respectivamente v1 ρ1 e v2 ρ2 Como o escoamento é estacionário a massa do fluido contida entre as seções A1 e A2 não pode variar com o tempo ou seja a massa Δm1 que entra por A1 num intervalo de tempo Δt tem de ser igual a massa Δm2 que sai do tubo por A2 nesse mesmo intervalo Δm1 ρ1A1v1Δt ρ2A2v2Δt 222 o que dá ρ1A1v1 ρ2A2v2 223 ou seja o produto ρAv permanece constante ao longo do tubo de corrente representando o fluxo de massa por unidade de tempo através da seção transversal do tubo Em particular se o fluido é incompressível temos ρ1 ρ2 ρ constante e a 223 fica A1v1 A2v2 fluido incompressível 224 O produto Av constante neste caso mede o volume de fluido que atravessa a seção transversal do tubo por unidade de tempo e chamase vazão do tubo A vazão medese em m³s A 224 mostra que para um fluido incompressível a velocidade é inversamente proporcional à área da seção transversal do tubo de corrente considerado Assim nas regiões onde o tubo sofre um estrangulamento o fluido tem de se escorregar mais rapidamente para que a vazão permaneça a mesma Na Fig 25 vemos que isto corresponde a uma maior densidade das linhas de corrente representadas Esta convenção é usualmente adotada no traçado das linhas de corrente representadas Esta convenção é usualmente adotada no traçado das linhas de corrente a velocidade é maior onde elas estão mais próximas entre si Os resultados acima também se aplicam ao escoamento estacionário de um fluido numa canalização o tubo de corrente neste caso é definido pelas paredes da canalização pois o fluido se escoa tangencialmente a elas v nΔt S m ρV 25 Vemos que ρvnΔS representa o fluxo de massa para fora do volume V por unidade de tempo através de ΔS no instante considerado Isto continua valendo se for vn 0 por exemplo se invertermos o sentido de v na Fig 27 o sinal negativo significa simplesmente que o fluxo neste caso está dirigido para dentro de V Por exemplo na Fig 25 o fluxo através de A1 é negativo e através de A2 é positivo A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado instante é m V ρdV 226 onde dV é o elemento de volume ρ é a densidade em cada ponto de V no instante considerado e a integral é estendida ao volume V A massa m pode variar com o tempo Entretanto como massa não pode ser criada nem destruída tal variação só pode ser devida ao fluxo resultante através da superfície S aumenta se entra mais fluido do que sai e diminui em caso contrário Pela 225 o fluxo resultante por unidade de tempo é S ρv ndS 227 onde dS é o elemento de superfície e S significa a integral estendida à superfície fechada S Este fluxo dá o decréscimo por unidade de tempo da massa de fluido contida dentro de V ou seja S ρv ndS dmdt ddt V ρdV 228 onde o sinal é negativo porque dmdt 0 quando o fluxo total para fora é positivo A 228 que é a expressão geral da lei de conservação da massa num fluido chamase equação de continuidade Num escoamento estacionário p em cada ponto é independente do tempo e o 0º membro da 228 se anula Se tomarmos como volume V a porção do tubo de corrente ilustrada na Fig 25 o 1º membro se reduz a ρ2A2v2 ρ1A1v1 de modo que a 228 se reduz à 223 neste caso particular Note que o fluxo através da superfície lateral de um tubo de corrente é nulo porque vn 0 nas paredes do tubo um força volumétrica interna que corresponde ao atrito no deslizamento de camadas fluidas umas sobre as outras a força de viscosidade Seção 11 Essa força que só surge quando o fluido está em movimento corresponde ao aparecimento de tensões tangenciais Um fluido real sempre tem alguma viscosidade embora para a água ela seja muito menor do que para um fluido espesso como o mel por exemplo Como a viscosidade introduz complicações consideráveis a dinâmica dos fluidos desenvolveuse em primeiro lugar ignorando os seus efeitos levandoos em conta somente numa abordagem posterior Chamase fluido perfeito ou fluido ideal um fluido de viscosidade desprezível Embora nenhum fluido real seja perfeito os resultados obtidos na dinâmica dos fluidos ideais podem ser aplicados em muitos casos com algumas precauções a fluidos reais o que justifica o seu estudo Num fluido perfeito não existem tensões tangenciais mesmo quando ele está em movimento de modo que as forças superficiais continuam correspondendo a pressões normais às superfícies sobre as quais atuam Continua também valendo a 128 ou seja a pressão num ponto do fluido não depende da orientação do elemento de superfície sobre o qual atua Com efeito na demonstração dada para um fluido em equilíbrio a contribuição das forças volumétricas foi desprezada por ser proporcional a ΔV infinitésimo de ordem superior pg 4 Para um fluido em movimento porém o 1º membro da 231 que representa o efeito do movimento também é proporcional a ΔV de forma que a demonstração dada na Seç 12 continua válida a pressão num fluido perfeito em movimento só pode depender da posição No caso de equilíbrio este resultado vale tanto para um fluido perfeito como real A resultante das forças volumétricas e das forças superficiais de pressão sobre um elemento de volume ΔV calculada na Sec 13 para um fluido em equilíbrio permanece válida portanto para um fluido perfeito em movimento cf linha acima da 135 ΔFv ΔFs f grad pΔV 232 onde f é a densidade de força volumétrica externa veja 131 Substituindoa 232 na 231 obtemos a equação de movimento de um fluido perfeito pa f grad p 233 A relação entre a aceleração a e a velocidade v num ponto fixo do fluido cf 211 não é simples porque a é a aceleração de uma partícula do fluido acompanhada em seu movimento enquanto v se refere a um ponto fixo O caso mais importante na prática é aquele em que f se reduz à densidade de força gravitacional dada por cf 142 e 144 f grad pgz A 233 fica pa grad p pgz 24 Equação de Bernoulli Vamos aplicar ao movimento de um fluido perfeito descrito pelas 235 a lei de conservação da energia note que não há atrito Vamos nos limitar para isto ao escoame 23 EQUAÇÃO DE BERNOULLI que exprime a conservação da energia por unidade de massa ao longo do filete Foi suposto que o fluido é incompressível porque para um fluido compressível existe a pos 25 Aplicações a Fórmula de Torricelli Consideremos um reservatório contendo líquido em cuja parede lateral há um pequeno orifício circular através do qual o líquido se escoa Conform a zero Um tal ponto chamase ponto de estagnação Por outro lado num ponto como A na Fig 210 b a velocidade de escoamento quase não sofre perturbação ou seja continua igual a v Se p é a pressão em A e p0 a pressão em O como a diferença de altura entre esses pontos é desprezível a equação de Bernoulli 246 dá tomando v0 0 em O p0 p 12ρv² 252 A pressão no ponto de estagnação se eleva para p0 que é chamada de pressão dinâmica devido ao freamento do fluido Acoplando o corpo considerado a um manômetro diferencial para medir p p0 obtemos um tubo de Pilot Fig 211 Se ρ0 é a densidade do fluido no tubo em U e h a diferença de nível entre os dois ramos temos analogamente a 151 p0 p ρ0gh 12ρv² pela 252 o que permite medir a velocidade v de escoamento do fluido v 2ρ0ghρ 253 Este sistema é usado para medir a velocidade de aviões c Fenômeno de Venturi Consideremos o escoamento estacionário de um fluido incompressível numa canalização horizontal de secção transversal variável Fig 212 Sejam A1 e A2 as áreas da secção nos pontos 1 e 2 e p1 v1 e p2 v2 as pressões e velocidades correspondentes supomos as secções suficientemente pequenas para que essas grandezas possam ser tomadas como constantes sobre elas e que as alturas geométricas z das secções possam ser consideradas idênticas A equação de Bernoulli 246 dá então p1 12ρv1² p2 12ρv2² 254 e a equação de continuidade 224 dá v2 A1A2 v1 255 de modo que v2 v1 e consequentemente p2 p1 nos pontos de estrangulamento onde a velocidade de escoamento é maior a pressão é menor Este fenômeno foi primeiro observado por Venturi que esperava obter o resultado contrário acreditando que a pressão teria de aumentar no estrangulamento devido ao espaço mais reduzido Pela constância da vazão é a velocidade que tem de aumentar e essa aceleração tem de ser devida a uma força que só pode se originar de uma queda da pressão Na Fig 212 o líquido sobe até alturas h1 e h2 em manômetros inseridos nos pontos 1 e 2 o que permite medir a diferença de pressão p1 p2 p1 p2 p0 ρgh1 p0 ρgh2 ρgh1 h2 ρgh 256 onde h é a diferença entre as alturas Uma aplicação do fenômeno de Venturi é o medidor de Venturi empregado para medir a velocidade de escoamento ou a vazão numa tubulação Para este fim inserese nela um estrangulamento e medese a diferença de pressão como na 256 Resolvendo as 254 255 e 256 em relação à velocidade desejada v1 obtémse v1 A22ghA1² A2² 257 e a vazão é A1 v1 O fenômeno de Venturi também é aplicado para aspirar fluidos e produzir vácuo utilizando a queda de pressão não estrangulante é o princípio das bombas aspirantes como a trompa de água que permite evacuar um recipiente até pressões da ordem de 20 mm Hg A aspiração de ar para mistura com o jato de gás num bico de Bunsen e a aspiração de vapor de gasolina num motor de explosão baseiamse no mesmo princípio Se duas folhas de papel estão bem juntas e se procura separálas soprando no espaço entre elas elas se grudam uma na outra A Fig 213 mostra uma forma de realizar essa experiência soprando pela abertura A de um canudo de papel que se comunica com o espaço entre dois discos de papel bem próximos o disco de baixo em lugar de se afastar é puxado para cima A explicação desse paradoxo hidrodinâmico é o fenômeno de Venturi o escoamento de ar com grande velocidade reduz a pressão no interstício entre os discos A face de cima do disco inferior fica então sujeita a uma pressão menor que a de baixo onde atua a pressão atmosférica O disco inferior é soarçado por essa diferença de pressão 26 Circulação Aplicações a Circulação Uma grandeza importante para caracterizar o tipo de escoamento de um fluido é a circulação Seja Γ uma curva fechada orientada ou seja para a qual é definido um sentido positivo de percurso situada no interior do fluido Chamase circulação CΓ ao longo de Γ a integral de linha CΓ v dl 261 onde v é a velocidade do fluido e dl o elemento de linha ao longo de Γ orientado Fig 214 no sentido positivo de percurso Os conceitos de integral de linha e de circulação de um vetor foram introduzidos em 1 Seção 73 quando discutimos o trabalho de uma força ao longo de um caminho Analogamente ao que foi visto nesse caso só intervém na 261 a projeção de v sobre o deslocamento dl produto escalar ou seja a componente da velocidade ao longo do caminho Exemplo 1 Consideremos um recipiente cilíndrico contendo líquido em rotação uniforme com velocidade angular ω pg 7 O líquido gira como um corpo rígido com essa velocidade angular A velocidade v num ponto P do líquido à distância r do eixo de rotação Fig 215 é portanto v ωr ô vθ 262 A circulação ao longo de um caminho tem uma propriedade aditiva ilustrada na Fig 217 se decom pusermos Γ em dois circuitos de mesma orientação CABC e BADB através de uma partição por um arco AB temos Cr C CABCD C BADB 268 porque a porção comum AB é percorrida duas vezes em sentidos opostos dl dl e as contribuições correspondentes se cancelam Utilizando esta propriedade podemos tomar uma superfície qualquer ao contorno Γ e decom pôla numa malha de subconjuntos de mesma orientação Fig 218 Cr se reduz a soma das circulações ao longo de todos os subcircuitos Eventualmente tomando subconjuntos infinitesimais podemos associar a circulação a uma propriedade local definida em cada ponto do fluido Desde ponto de vista existe uma diferença fundamental entre os escoamentos dos exemplos 1 e 2 considerados acima Consideremos um circuito infinitesimal ABCD Fig 219 de abertura dθ com centro no eixo compreendendo entre os círculos de raios r e r dr Em ambos os exemplos temos v v0 onde v vr é função somente de r Logo sobre os lados AB e CD é v dl 0 e vem C ABCD r drvr dr² rvr² dθ 2ω rdrdθ 2610 desprezando infinitésimos de ordem superior Como drdθ é área envolvida pelo circuito infinitesimal considerado vemos que para este circuito Cr área 2ω Exemplo 1 2611 onde área é a área envolvida pelo circuito Γ Logo no exemplo 1 a circulação por unidade de área para um circuito infinitesimal é constante e igual a 2ω Pela propriedade aditiva isto continua valendo para um circuito fino conforme é ilustrado pela 265 Crπr² 2ω No exemplo 2 pela 266 é r drvr dr rvr Cr2π e a 269 dá para o circuito ABCD Crárea 0 exemplo 2 2612 Pela propriedade aditiva este resultado se estende a qualquer circuito que não envolva o eixo já vimos que neste caso o eixo é uma linha singular e deve ser excluído Se a circulação por unidade de área no entorno de cada ponto se anula numa dada região o escoamento nessa região se chama irrotacional exemplo 2 Caso contrário exemplo 1 o escoamento se diz rotacional A distinção entre estes dois tipos de escoamento é fundamental no escoamento rotacional um elemento de fluido com centro num ponto possui momento angular em torno desse ponto ou seja gira ao mesmo tempo em que é transportado pelo movimento no escoamento irrotacional o momento angular de cada partícula fluida em torno de seu centro é nulo Podemos detectar a diferença colocando no interior do fluido uma pequena rodinha de pás no escoamento rotacional a rodinha gira enquanto é transportada exemplo 1 Fig 220 a no escoamento irrotacional a rodinha é transportada sem girar exemplo 2 Fig 220 b Se o escoamento é irrotacional a propriedade aditiva implica Cr Γ v dl 0 para qualquer circuito Γ na região considerada Por analogia com o que vimos em 1 Seções 73 e 74 a 2613 implica a existência de uma função φ tal que v grad φ A função φ chamase potencial de velocidades e um escoamento irrotacional é também chamado por isto de escoamento potencial Os exemplos de escoamentos nas Seções anteriores são todos irrotacionais c Efeito Magnus Se um cilindro é introduzido num campo de escoamento inicialmente uniforme as linhas de corrente no escoamento em torno do cilindro têm o aspecto indicado na Fig 221 a Conforme v0 a velocidade é maior na região onde as linhas de corrente estão mais juntas A grande distância o escoamento permanece aproximadamente uniforme A Fig 221 b mostra as linhas de corrente para uma circulação constante em torno do cilindro que é o escoamento do exemplo 2 com v dado pela 266 Finalmente a Fig 221 c mostra as linhas de corrente resultantes da superposição dos dois escoamentos a velocidade em cada ponto é a soma vetorial das velocidades correspondentes nos escoamentos a e b escoamentos irrotacionais de fluidos incompressíveis podem ser superpostos desta forma Em pontos acima do cilindro as velocidades de a e b se somam em magnitude ao passo que abaixo se subtraem Isto dá origem a distribuição assimétrica das linhas de corrente da Fig 221c cuja densidade é maior acima do que abaixo do cilindro correspondendo a uma velocidade de escoamento que assume valores mais elevados na metade superior do cilindro do que na inferior Em consequência do fenômeno de Venturi Seção 25 c esta assimetria da distribuição de velocidade produz uma assimetria correspondente da distribuição de pressão sobre o cilindro a pressão abaixo é maior do que a pressão acima A resultante das forças de pressão E é portando um empuxo vertical E dirigido para cima Fig 221 c que se chama empuxo dinâmico Se inverteu o sentido da circulação tomandoo como antihorária em lugar de horária como em b invertese também o sentido de E Este efeito estudado experimentalmente por Magnus em 1853 é conhecido como efeito Magnus Passando para um referencial em que o fluido a grande distância está em repouso o escoamento descreve agora o deslocamento do cilindro dentro do fluido e a circulação pode ser obtida imprimindo uma rotação ao cilindro O efeito Magnus atuando sobre uma esfera é responsável pelo desvio das bolas de tênis ou pinguepongue lançadas com efeito de forma a girar rapidamente sobre o próprio eixo Em 1920 Flettner propôs utilizar o efeito Magnus para a propulsão de um barco pelo vento utilizando em lugar de uma vela um cilindro vertical em rotação rápida o empuxo dinâmico é horizontal neste caso A ideia não alcançou muito sucesso na prática d Conservação da circulação Vórtices Em lugar de considerar a circulação Cr ao longo de um circuito Γ fixo podemos também considerar a circulação ao longo de um circuito Γf formado sempre das mesmas partículas fluidas e que portanto varia com o tempo dá o índice t acompanhando o fluido no seu deslocamento William Thomson Lord Kelvin demonstrou em 1869 o seguinte teorema No escoamento de um fluido perfeito homogêneo sujeito apenas a forças conservativas temse ddt Cr 0 2615 ou seja a circulação ao longo de um circuito formado sempre das mesmas partículas fluidas se conserva Este resultado que não poderemos demonstrar aqui tem consequências importantes Se um escoamento é irrotacional num dado instante t0 temos Cr0 0 para qualquer circuito no fluido A 2615 mostra então que nas condições do teorema o movimento permanece sempre irrotacional Em particular para um fluido perfeito homogêneo sujeito apenas a forças conservativas qualquer escoamento iniciado a partir do repouso é sempre irrotacional Vórtices também conhecidos como turbilhões ou redemoinhos desempenham um papel importante nos escoamentos rotacionais Combinando os escoamentos dos Exemplos 1 e 2 pgs 2728 obtemos um modelo de um filete de vórtice retilíneo É constituído por um núcleo cilíndrico de raio r0 em que o fluido gira como um corpo rígido como no Exemplo 1 em torno do qual se toma o escoamento irrotacional de circulação constante 266 onde Cr 2pi r02omega cf 265 A Fig 224 mostra o perfil de velocidade linear na região do núcleo onde v ωr e proporcional a 1r na região externa ao núcleo O escoamento só é rotacional na região do núcleo e a circulação em torno do filete é constante Um anel de vórtice Fig 225 pode ser pensado como um filete de vórtice cilíndrico que se enrola em forma de anel toro O fluido circula em torno do anel enquanto se desloca conforme ilustrado na Fig 224 Um exemplo bem conhecido de anéis de vórtice são os anéis de fumaça O teorema de Thomson e outros resultados análogos derivados a Helmholtz mostram que num fluido perfeito filetes em particular anéis de vórtice em seu deslocamento são sempre formados pelas mesmas partículas fluidas e a circulação em torno deles se conserva Estes resultados estão relacionados com a lei de conservação do momento angular e Crítica da hidrodinâmica clássica A dinâmica dos fluidos perfeitos também conhecida como hidrodinâmica clássica conduz a uma série de resultados em flagrante contradição com a experiência Consideremos por exemplo o problema de um cilindro introduzido num campo de escoamento incomensurável Conforme indicado na Fig 221 a a magnitude do vector de escoamento em tomo do cilindro está distribuída simetricamente em plano vertical Pela equação de Bernoulli a distribuição de pressões em torno do cilindro terá também a mesma simetria Logo a resultante das forças de pressão que é a força exercida pelo fluido sobre o cilindro se anula não só não há empuxo dinâmico mas também não há componente horizontal da força A mesma simetria levando ao mesmo resultado existe no escoamento em torno de uma esfera No referencial em que o fluido a grande distância está em repouso como vimos estes escoamentos descrevem o deslocamento do cilindro ou esfera através do fluido Logo um fluido perfeito não oferece resistência a esse deslocamento Este resultado é válido não só para cilindros e esferas podese mostrar que vale para o escoamento estaticamente irrotacional de um fluido perfeito incompressível em torno de qualquer obstáculo finito o que constituiu o paradoxo de dAlembert Um fluido real naturalmente sempre opõe resistência ao deslocamento de um corpo através dele Vimos também que num fluido perfeito sob a ação de forças conservativas qualquer movimento iniciado a partir do repouso é e permanece irrotacional Num fluido real nessas condições é fácil gerar vórtices e outros movimentos rotacionais A origem de todas essas contradições é a hipótese de que o fluido é perfeito ou seja tem viscosidade desprezível Vamos discutir agora de forma extremamente sumária alguns efeitos da viscosidade 27 Viscosidade a Definição da viscosidade Conforme foi mencionado na Seção 23 a viscosidade é uma força volumétrica de atrito interno que aparece no deslizamento de camadas fluidas umas sobre outras dando origem a tensões tangenciais Consideremos uma camada de fluido contida entre duas placas planas paralelas de área A e espaçamento d Fig 226 A experiência mostra que se puxarmos a placa superior para a direita exercendo uma força constante F ela se desloca com velocidade constante v0 de modo que a resistência viscosa do fluido é igual e contraria a F por quê É um fato experimental que um fluido real em contato com um sólido permanece em repouso em relação à superfície de contato de modo que é arrastado juntamente com ela Assim o fluido em contato com a placa superior se desloca também com velocidade v0 A placa inferior e o fluido em contato com ela permanecem em repouso A experiência mostra que neste caso a velocidade varia linearmente entre esses dois extremos no espaço entre as placas ou seja com o sistema de coordenadas indicado na Fig 226 e F Fi vy fracv0dy exti vy exti 271 O escoamento chamase laminar porque o fluido se desloca em camadas paralelas ou lâminas que deslizam umas sobre as outras como as cartas de um baralho A tensão tangencial FA força por unidade de área necessária para manter o deslocamento da placa superior com velocidade v0 é dada pela lei de Newton da viscosidade 272 ou seja a tensão é proporcional à taxa de variação espacial da velocidade cf Sec 11 A constante de proporcionalidade η chamase coeficiente de viscosidade do fluido A unidade SI de η é N sm² ou seja Newton x segundom² A unidade mais empregada na prática é 0 centipoise cp dado por 1 cp 102 poise 103 Nsm² Para um líquido η é tanto maior quanto mais espesso o líquido e geralmente diminui quando a temperatura aumenta Para um gás em geral η aumenta com a temperatura Valores típicos a 20ºC são η 1 cp para a água η 800 cp para a glicerina para o ar η 18 x 102 cp O escoamento descrito pela 271 é um escoamento rotacional como é fácil ver tomando a circulação ao longo do circuito retangular Γ da Fig 227 os lados verticais 2 e 4 não contribuem porque v é perpendicular a eles e os lados horizontais de comprimento l dão Cr v1 v3 l como a velocidade v1 no lado 1 é maior que v3 no lado 3 temos uma circulação positiva no sentido horário A Fig 228 mostra o que acontece com uma partícula fluida inicialmente em forma cúbica durante o escoamento a deformação sofrida pelo fato de a velocidade ser maior em cima do que em baixo está claramente associada a uma rotação no sentido horário b A lei de HagenPoiseuille Consideremos o escoamento de um fluido viscoso através de uma tubulação cilíndrica de seção circular e raio a Para velocidades de escoamento não muito grandes o escoamento é laminar com velocidade máxima no centro do tubo e decrescente até zero nas paredes podemos imaginar o fluido composto em camadas cilíndricas concêntricas de espessura infinitesimais que escorregam umas sobre as outras como tubos que se encaixam numa montagem telescópica Em regime estacionário o fluido se escoa através de uma porção de comprimento l Fig 229 sob o efeito de uma diferença de pressão p1 p2 onde p1 e p2 são as pressões nas extremidades Sobre um cilindro de fluido coaxial de raio r atua uma força p1 p2pi r2 devido a essa diferença de pressão Como a área da superfície lateral do cilindro é 2pi rl essa força provoca uma tensão tangencial distribuída sobre essa superfície de valor FA fracp1 p22l fracp1 p22r 273 A velocidade v de escoamento a uma distância r do eixo só depende de r v vr e temos dvdr 0 de modo que a lei de Newton 272 fica FA η dvdr Identificando as 273 e 274 vem dvdr p1 p22η Integrando ambos os membros em relação a r de um dado valor até a e lembrando que a velocidade se anula nas paredes va 0 vem ou seja vr p1 p24η a² r² O gráfico de vr em função de r é uma parábola Fig 230 dizse que o perfil de velocidades é parabólico c Discussão qualitativa dos efeitos da viscosidade No escoamento de um fluido perfeito nada impede que ele deslize sobre um sólido com velocidade tangencial não nula É o que sucede por exemplo no escoamento em torno de um cilindro representado na Fig 221 a Para um fluido real a viscosidade não permite esse deslizamento como vimos na superfície de contato com o sólido o fluido tem de estar em repouso em relação a ele Para um fluido de viscosidade pequena como a água a ação de viscosidade confinase geralmente a uma camada muito delgada junto à superfície do obstáculo de espessura muito menor do que as dimensões do obstáculo Nesta camada limite cuja existência foi sugerida por Prandtl em 1904 a velocidade varia rapidamente desde um valor nulo junto à parede até um valor característico do escoamento no seio do fluido Esta variação da magnitude da velocidade transversal à direção do escoamento representa um escoamento rotacional dentro da camada limite conforme vimos na pág 33 da camada limite o que minimiza a resistência oposta pelo fluido ao deslocamento do corpo No caso de uma asa de avião Fig 233 a descontinuidade na direção da velocidade entre linhas de corrente que passam por cima e por baixo dá origem a um enrolamento da linha de corrente que passa pela ponta afilada gerando vórtices A circulação ao longo de um circuito A B C D suficientemente distante para que o fluido possa ser tratado como perfeito era inicialmente nula e permanece nula pelo teorema de Thomson 2615 Na porção E B C F que envolve o vórtice Fig 233 há uma circulação antihorária Logo criase assim uma circulação horária no circuito A E F D que envolve a asa dando origem ao empuxo dinâmico que sustenta o peso do avião A resistência ao deslocamento é compensada pela tração do motor Uma ampulheta é formada de cada lado por um tronco de cone circular de altura h 10 cm raio da base maior R 10 cm e raio da base menor r 01 cm Após enchela de água até a metade ela é invertida Fig P2 a Calcule a velocidade inicial de descida do nível da água b Calcule a velocidade de descida do nível depois de ele ter baixado de 5 cm c Que forma deveria ter a superfície lateral de revolução da ampulheta para que o nível da água baixasse uniformemente relógio de água Um filete de água escorre verticalmente de uma torneira de raio a como escoamento estacionário de vazão Q Ache a forma do jato de água que cai determinando o raio p da seção transversal em função da altura z de queda Fig P3 Dois tubinhos de mesmo diâmetro um retilineo e o outro com um cotovelo estão imersos numa correnteza horizontal de água de velocidade v A diferença entre os níveis da água nos dois tubinhos é h 5 cm Fig P4 Calcule v destas leis resulta precisamente do fato de que se aplicam a sistemas formados por um grande número de elementos Historicamente as leis da termodinâmica foram obtidas com leis empíricas de natureza fenomenológica Somente mais tarde com a formulação da teoria cinética dos gases precursora da teoria atômica da matéria é que se procurou a explicação microscópica das leis da termodinâmica Este processo culminou com o aparecimento da mecânica estatística e da termodinâmica estatística Inicialmente vamos partir da formulação empírica das leis sem nos preocupamos com sua explicação microscópica A seguir discutiremos a explicação fornecida pela teoria cinética dos gases Partindo de um pequeno número de leis básicas a termodinâmica leva a muitas consequências importantes de grande generalidade Uma vez obtida a explicação microscópica das leis básicas não é preciso procurála para cada uma das consequências A 1ª lei da termodinâmica não passa da extensão do princípio de conservação da energia levando em conta o calor como forma de energia Quando o movimento de um pêndulo se amortece pela resistência do ar a energia mecânica dissipada por essa força de atrito é transmitida ao movimento desordenado das moléculas de ar o calor corresponde a esta forma desordenada de energia 1 Seção 76 Com a 2ª lei da termodinâmica aparece pela primeira vez na física a seta do tempo ou seja o fato de que existe uma direção espontânea de ocorrência dos fenômenos que é geralmente irreversível É conhecido entre a 2ª lei e a irreversibilidade um dos problemas mais profundos da física 72 Equilíbrio térmico e a lei zero da termodinâmica Um sistema termodinâmico consiste geralmente numa certa quantidade de matéria contida dentro de um recipiente As paredes podem ser fixas ou móveis através de um pistão por exemplo A natureza das paredes afeta de forma fundamental a interação entre o sistema e o meio externo que o cerca Se colocarmos água dentro de um recipiente de paredes metálicas como uma panela e depois a levarmos ao fogo ou colocarmos numa geladeira o estado da água é alterado pela interação com esses diversos ambientes Se em lugar disso colocarmos a água numa garrafa térmica fechada que é um recipiente de paredes duplas entre as quais se faz o vácuo para impedir a condução de calor e metalizadas para evitar transferência de calor por radiação podemos aproximar da situação limite ideal do isolamento térmico perfeito onde o estado do sistema contido no recipiente não é afetado pelo ambiente externo em que é colocado Uma parede ideal com essas propriedades chamase parede adiabática ela pode ser de uma garrafa térmica podendo também aproximada por uma parede espessa de material com uma grande resistência à condução de calor o que significa transparente ao calor um exemplo é uma parede metálica fina Quando dois sistemas estão separados por uma parede diatérmica dizse que estão em contato térmico Um sistema em que se mantém isolado sempre tende a um estado em que nenhuma das variáveis macroscópicas que o caracterizam muda mais com o tempo Quando se diz que um sistema está em equilíbrio térmico podese extrapolar a noção intuitiva de temperatura leva à ideia de que dois sistemas em equilíbrio têm a mesma temperatura Essa se considera a temperatura do sistema A e da mesma temperatura do sistema B 73 Temperatura Um sistema termodinâmico especialmente simples é um fluido líquido ou gás homogêneo contido num recipiente de volume V A forma do recipiente é irrelevante uma vez que ele é totalmente ocupado pelo fluido Em equilíbrio térmico podemos aplicar as leis da estática dos fluidos Seção 12 e definir a pressão P do fluido exercida por ele sobre as paredes do recipiente e que é a mesma em qualquer ponto do fluido despreendendo efeitos gravitacionais Consideremos agora um sistema padrão C termômetro constituído por um fluido substância termométrica num recipiente É um fato experimental que o estado de um fluido em equilíbrio térmico fica inteiramente caracterizado pela sua pressão e volume ou seja para o fluido C pelo par PC VC Se alteramos outro valor bem definido quando o sistema atinge novamente o equilíbrio térmico Cada par irá corresponder a uma dada situação de equilíbrio térmico ou seja uma dada temperatura Seja PC0 VC0 um dado estado do sistema C e consideremos outro sistema fluido A caracterizado pelo par PA VA Verificase experimentalmente que há toda uma série de estados diferentes PA VA PA VA PA VA do sistema A que estão todos em equilíbrio térmico com PC0 VC0 e que geralmente podem ser representados por uma curva contínua numa dada região que se chama uma isoterma do sistema A Fig 732 Pela lei zero da termodinâmica se escolhermos outro sistema padrão C em equilíbrio térmico com PC0 VC0 a isoterma não se estende por toda a largura do sistema A Para outro estado PC1 VC1 de C achase Fig 732 É um fato experimental que nesta situação A e B também estarão em equilíbrio térmico entre si Este fato é chamado muitas vezes de lei zero da termodinâmica Dois sistemas em equilíbrio térmico com um terceiro estão em equilíbrio térmico entre si Para mostrar que este fato não decorre de nenhuma necessidade de lorger basta notar que um eletrodo de cobre comum tem a mesma temperatura que um só A escala Celsius é definida em termos desenvolvidos pela escolha de dois pontos fixos correspondentes a temperaturas bem definidas uma delas sendo a do gelo em fusão e a outra a da água em ebulição Mais precisamente o ponto de gelo corresponde à temperatura de equilíbrio térmico de gelo e água saturada de ar à pressão de 1 atmosfera e o ponto de vapor é a temperatura de equilíbrio de vapor de água e água pura à pressão de 1 atmosfera Na escala Celsius assinalamos arbitrariamente as temperaturas Ponto de vapor θ 100C Ponto de gelo θ 0C Para calibrar o termômetro de mercúrio nesta escala convencionamos a seguir que θ comprimento l da coluna guardam entre si uma relação linear Assim se l100 e l0 são os comprimentos no ponto de vapor e no ponto de gelo respectivamente e l é o comprimento quando em equilíbrio térmico com o sistema cuja temperatura queremos medir assinalamos a θ o valor θ l l0l100 l0 C Isto equivale a dividir a escala entre l0 e l100 em 100 partes iguais cada subdivisão correspondendo a 1C ou seja equivale a definir a dilatação da coluna de mercúrio como sendo linear com θ Outro termômetro usual é o termômetro de álcool em que se utiliza como substância termométrica o álcool em lugar do mercúrio A calibração da escala de temperatura empírica correspondente é feita de forma análoga à que acabamos de descrever Não há nenhuma razão para esperar que as leituras de um termômetro de mercúrio e de um de álcool coincidam e de fato elas apresentam discrepâncias da ordem até de alguns décimos de C Isto significa simplesmente que cada um dos dois líquidos não se dilata de maneira bem uniforme na escala em que convencionamos uniformidade de dilatação para o outro Nenhum dos dois pode ser considerado melhor que o outro uma vez que se trata de pura convenção Podemos perguntar se é possível encontrar uma escala absoluta de temperatura que não esteja associada a propriedades específicas de um particular substância Uma das propostas mais usuais é como obtidos exprimem propriedades termodinâmicas de um gás 74 O termômetro de gás a volume constante Contém hidrogênio enche um bulbo e um tubo capilar ligado a um manômetro de mercúrio de tubo aberto Seção 15 O tubo flexível permite suspender ou abaixar o nível de mercúrio no ramo da direita de tal forma que o nível do ramo da esquerda permaneça numa marca fixa N Fig Definindo um volume V constante ocupado pelo gás O bulbo é colocado em contato térmico com o sistema cuja temperatura se quer medir e a seguir é medida a pressão P0 do gás dada por cf 1 5 1 P P0 ρgh onde P0 é a pressão atmosférica suposta conhecida ρ é a densidade do mercúrio e h é o desenível entre o mercúrio contado no ramo da direita e no da esquerda Sejam P0v e Pg os valores de P no ponto de vapor e no ponto de gelo respectivamente quando M0 é a massa de gás que ocupa o volume V Suponhamos que se repetam as medidas reduzindo a massa de gás para M1 M0 o volume V sempre permanece constante As pressões medidas nos pontos de vapor e de gelo serão P1V P0v e P1g P0g Para uma massa de gás M2 M1 os valores caem para P2v P1v e P2g P1g Se se faz um gráfico da razão PvPg onde o índice V significa que o volume V é mantido constante como função da massa de gás ou o que equivale a dizer na massa m em função da pressão Pg verificamse experimentalmente que à medida que Pg vai baixando os pontos experimentais tendem a cair sobre uma reta Para gases diferentes as retas são diferentes mas se as extrapolarmos ao limite Pg 0 o que equivale a M 0 e não pode obviamente ser atingido o resultado experimental é que todas as retas interceptam o eixo das ordenadas no mesmo ponto Fig 76 correspondente ao valor 13661 Logo lim Pg0 PvPg TvTg as temperaturas absolutas Tv e Tg correspondentes ao ponto de vapor e ao ponto de gelo respectivamente Para completar a definição da escala de Kelvin impomos a condição de que a diferença Tv Tg 100 K 743 note que não se emprega a notação K mas simplesmente K Assim como 742 e 743 podem agora ser resolvidas para T e Tg na escala Kelvin Tg 10003661 T 27316 Tg 27315 Para medir uma temperatura na escala Kelvin com o auxílio do termômetro de gás a volume constante medimos a pressão P correspondente extrapolada para o limite Pg 0 como no caso da 742 A temperatura absoluta T correspondente é dada então por T Tg lim Pg0 P Pg y o que com Tg dado pela 744 determina T A escala que acabamos de definir também é chamada escala de gás ideal porque se baseia no fato empírico de que todos os gases tendem a se comportar da mesma forma quando muito rarefeitos limite em que Pg 0 Esse comportamento universal é por definição o de um gás ideal Como o intervalo de 1 grau é por definição o mesmo nas escalas Kelvin e Celsius 743 a relação entre as duas escalas é dada por θc T Tg T 27315 A temperatura mais baixa que se pode medir com um termômetro de gás é da ordem de 1 K os gases usados para isso é hélio a baixa pressão uma vez que ainda pode ser mantido gasoso a essa temperatura Temperaturas abaixo desse valor não podem ser medidas por um termômetro de gás Veremos mais tarde que é possível definir uma escala termodinâmica absoluta de temperaturas de forma independente das propriedades específicas de qualquer substância ou mesmo de categorias de substâncias tais como os gases Essa escala conforme veremos leva a resultados coincidentes com os da escala de gás ideal Ponto fixo padrão A definição 745 só depende de um único ponto fixo padrão que é o valor de Tg Em lugar do ponto de gelo é adotado atualmente como ponto fixo padrão o ponto triplo da água em que vapor de água coexistem em equilíbrio com água líquida e gelo Isto ocorre para uma pressão e temperatura bem definidas P H2O 458 mmHg e θH2O 001C Resolveuse então fixar o valor Ttr 27316 K para a temperatura do ponto triplo Com a utilização do ponto triplo em lugar do ponto de gelo a escala termodinâmica de gás ideal passa a ser definida em lugar da 745 por T 27316 K lim ptr0 PPg y onde Pr é a pressão exercida pelo volume de gás considerado quando em equilíbrio térmico com água no ponto triplo e P a pressão que exerce quando em equilíbrio térmico a temperatura que se deseja medir Como é desejável aumentar a série de medições para extrapolar à limite Pr 0 a definição também se aplica ao caso ideal em que M 0 75 Dilatação térmica A ascensão da coluna de mercúrio num termômetro exemplifica o fenômeno da dilatação térmica a alteração do tamanho de um corpo produzido por uma variação de temperatura A dilatação corresponde a um aumento do espaçamento interatômico médio Assim num corpo sólido se dois de seus pontos estão inicialmente à distância l₀ a variação Δl dessa distância é proporcional a l₀ Para uma variação de temperatura ΔT suficientemente pequena é também proporcional a Δt Logo Δl αl₀ΔT onde a constante de proporcionalidade α chamase o coeficiente de dilatação linear Para um líquido que toma a forma do recipiente que o contém só interessa o coeficiente de dilatação volumétrica β definido por ΔVV βΔT Valores típicos de β para líquidos são bem maiores que para sólidos tipicamente da ordem de 10³ por C Para o mercúrio β 18 10⁴ C Uma tira bimetálica usada para controlar termostatos é constituída de uma lâmina estreita de latão de 2 mm de espessura presa lado a lado com uma lâmina de aço de mesma espessura d 2 mm por uma série de rebites A 15C as duas lâminas têm o mesmo comprimento igual a 15 cm e a tira está reta A extremidade A da tira é fixa a outra extremidade B pode moverse controlando o termostato A uma temperatura de 40C a tira se encurvou adquirindo um raio de curvatura R e a extremidade B se deslocou de uma distância vertical y Fig P1 Calcule R e y sabendo que o coeficiente de dilatação linear do latão é 19 10⁵C e o do aço é 11 10⁵C Um tubo cilíndrico delgado de secção uniforme feito de um material de coeficiente de dilatação linear α contém um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica β À temperatura T0 a altura da coluna líquida é h0 a Qual é a variação Δh de altura da coluna quando a temperatura sobe de 1C b Se o tubo é de vidro α 9 x 106C e o líquido de mercúrio β 18 x 104C mostre que esse sistema não constitui um bom termômetro do ponto de vista prático calculando Δh para h0 10 cm A hipótese rival endossada entre outros por Francis Bacon e Robert Hooke foi assim expressa por Newton em 1704 O calor consiste num minúsculo movimento de vibração das partículas dos corpos Ideias deste gênero podem ter sido sugeridas pela geração de calor por atrito exemplificado pelo método dos escoteiros para acender uma fogueira ou pelo aquecimento do ferro martelado numa bigorna A teoria do calórico explicava esses efeitos dizendo que o atrito ou o martelo do ferreiro espreme o calórico para fora do material como o água absorvida numa esponja Vimos que uma quantidade muito grande de calor pode ser produzida pelo atrito de duas superfícies metálicas e emitida num fluxo constante em todas as direções sem interrupção e sem qualquer sinal de diminuição ou exaustão a fonte de calor gerado por atrito nessas experiências parece ser inesgotável É desnecessário acrescentar que algo que qualquer corpo ou sistema de corpos isolado pode continuar fornecendo sem limites não pode ser uma substância material e me parece extremamente difícil senão impossível conceber qualquer coisa capaz de ser produzida ou transmitida da forma como o calor o era nessas experiências exceto o MOVIMENTO Rumford assim levou a endossar a teoria alternativa do calor o calor não passa de um movimento vibratório que tem lugar entre as partículas do corpo Chamonix encontrou Joule munido de um imenso termômetro subindo ao topo de uma cachoeira Mesmo em lua de mel queria verificar a diferença de temperatura que deveria existir conforme esses cálculos entre a água em cima e em baixo da cachoeira para as cataratas de Niagara ele estimou essa diferença em 02ºC A formulação mais geral do Princípio de Conservação da Energia foi apresentada pelo físico matemático e fisiologista Hermann von Helmholtz numa reunião da Sociedade de Física de Berlim em 23 de julho de 1847 Helmholtz mostrou que ele se aplicava a todos os fenômenos então conhecidos mecânicos térmicos elétricos magnéticos também na físicoquímica na astronomia e na biologia e metabolismo dos seres vivos Em seu livro Sobre a Conservação da Energia Helmholtz ainda usava a palavra força em lugar de energia a energia cinética era chamada de força viva ele diz chegamos à conclusão de que a natureza como um todo possui um estoque de energia que não pode de forma algum ser aumentado ou reduzido e que por conseguinte a quantidade de energia na natureza é tão eterna e inalterável como a quantidade de matéria Expressa desta forma chamei esta lei geral do Princípio de Conservação da Energia Por volta de 1860 o Princípio de Conservação da Energia que corresponde conforme veremos à 1ª lei da termodinâmica já havia sido reconhecido como um princípio fundamental aplicável a todos os fenômenos conhecidos 82 Quantidade de calor Para levar à fervura 2 litros de leite levase o dobro do tempo que é necessário para 1 litro colocado na mesma panela e levado à mesma chama A variação de temperatura é a mesma nos dois casos da temperatura ambiente ao ponto de ebulição mas a quantidade de calor fornecida é dupla para 2 litros Como o calor é uma forma de energia pode ser medido em unidades de energia como o joule Entretanto historicamente foi adotada uma unidade independente de quantidade de calor a caloria cujo uso persiste até hoje A caloria é definida atualmente como a quantidade de calor necessária para elevar de 145ºC a 155ºC 1 g de água Para que 1 kg de água sofra essa mesma elevação de temperatura é necessário fornecerlhe 10³ cal calorias 1 kcal quilocaloria pois a quantidade de calor necessária se os demais fatores permanecem os mesmos é proporcional à massa da substância A caloria empregada na nutrição corresponde na verdade a 1 kcal A quantidade de calor necessária para elevar de 1ºC a temperatura de 1 g de uma dada substância chamase calor específico c dessa substância c é medido em calgC Pela definição de calor o calor específico da água entre 145ºC e 155ºC é c 1 calgC O calor específico varia geralmente com a temperatura assim no intervalo entre 0ºC e 1ºC o calor específico da água é 1008 calgC na prática neste caso podemos desprezar tal variação Para que o calor específico esteja bem definido é preciso especificar ainda em que condições corre a variação de temperatura a pressão é mantida constante obtémse um valor diferente daquele que se obtém quando é mantido constante o volume da substância O calor específico à pressão constante cp e o calor específico à volume constante cv são chamados de calores específicos primais Para líquidos e sólidos a diferença entre cp e cv é pequena geralmente o calor específico é medido à pressão atmosférica ou seja tratase de cp Para gases cp e cv são bastante diferentes Discutiremos mais adiante a razão dessa diferença Alguns exemplos de valores de cp p 1 atm temperatura ambiente valores em calgC Al 022 Cu 0092 Au 0032 Ag 0056 Pb 0031 Hg 0033 Note que a maioria desses calores específicos são bem menores do que o da água Capacidade térmica Se tivermos m gramas de uma substância pura de calor específico c a quantidade de calor ΔQ necessária para elevar sua temperatura de ΔT é ΔQ mcΔT onde C mc chamase a capacidade térmica da amostra considerada medese em calC A capacidade térmica de um sistema formado de m1 gramas de uma substância de calor específico c1 m2 de calor específico c2 etc é C m1c1 m2c2 Se o intervalo de temperatura entre a temperatura inicial Ti e a temperatura final Tf é suficientemente grande para que seja preciso levar em conta a variação do calor específico com a temperatura c c T à 821 é substituída por ΔQ m TiTf cTdT mcTf Ti onde c é por definição o calor específico médio entre as temperaturas Ti e Tf Proporcional à diferença de temperatura ΔT T2 T1 a água ferve mais depressa se a temperatura da chama é mais alta c inversamente proporcional à espessura Δx da chapa metálica quanto mais espesso o fundo da panela mais tempo leva para ferver a água Exemplo Consideremos uma barra homogênea de seção A e comprimento l de um material de condutividade térmica k cujas extremidades são mantidas em contato com reservatórios térmicos de temperaturas T2 e T1 Fig 82a supomos a superfície lateral da barra termicamente isolada Vimos também que as experiências básicas para a determinação desse equivalente mecânico da caloria foram realizadas por Joule O tipo de aparelho que empregou em suas experiências mais conhecidas está esquematizado na Fig 84 quando bombeamos ar rapidamente para encher um pneu de bicicleta o que constituiu um processo aproximadamente adiabático ele se aquece Como vimos Seção 73 o estado de um fluido homogêneo em equilíbrio térmico fica inteiramente determinado por um par de variáveis que podem ser a pressão P e o volume V neste caso a temperatura T fica determinada mas também podem ser P T ou V T Nas experiências de Joule o volume V de fluido era mantido constante de modo que o estado do fluido ficava determinado pela sua temperatura T Passar de Ti a Tf equivale nestas condições a passar de um estado inicial i a um estado final f através da realização de trabalho adiabático Joule mostrou que fazendo isso de várias maneiras diferentes o trabalho adiabático necessário para passar do mesmo estado inicial i ao mesmo estado final f era sempre o mesmo o que permitiu determinar o equivalente mecânico do número de calorias associado à passagem Ti Tf No exemplo da Fig 85 de um gás contido num recipiente termicamente isolado com uma parede móvel pistão podemos representar graficamente num diagrama P V a passagem de um estado inicial Pi Vi a um estado final Pf Vf através de processos diferentes Partindo do ponto inicial i de coordenadas Pi Vi Fig 86 podemos por exemplo comprimir adiabaticamente o gás até o volume final Vf ponto a do gráfico e depois leválo até o ponto final f de coordenadas Pf Vf fornecendo trabalho adiabático a volume Vf constante através por exemplo de uma resistência e um gerador de corrente elétrica como nas experiências de Joule Alternativamente podemos começar a volume Vi constante usando este processo para levar o sistema ao ponto b do gráfico acima e depois por compressão adiabática leválo de b até f Ilustramos assim dois caminhos alternativos iaf e ibf para levar o sistema mantendoo sempre termicamente isolado de i até f Generalizando as experiências de Joule podemos dizer que o trabalho adiabático total para passar de i a f seria o mesmo através de qualquer destes dois caminhos Esta é uma forma de enunciar a 1ª lei da termodinâmica O trabalho realizado para levar um sistema termicamente isolado de um dado estado inicial a um dado estado final é independente do caminho Isto significa que o trabalho adiabático para passar de i a f é o mesmo quaisquer que sejam os estados intermediários pelos quais o sistema passa e qualquer que seja a forma de realizar este trabalho só pode depender dos estados inicial e final A 851 é uma caso particular da 854 vemos que um processo é adiabático se Q 0 Isto ocorre quando o sistema é isolado termicamente mas também pode ocorrer se o processo é realizado tão rapidamente que não há tempo para uma transferência de calor apreciável para dentro ou para fora do sistema Já vimos um exemplo em que isso acontece as compressões ou rarefações de ar numa onda sonora pág 128 851 ΔU Uf Ui Wif adiabático O sinal resulta da seguinte convenção que adotaremos sempre daqui por diante CONVENÇÃO sobre W W representa sempre o trabalho realizado POR um sistema Assim a energia interna de um sistema aumenta ΔU 0 quando se realiza trabalho SOBRE esse sistema Wif 0 Notese que como no caso da mecânica somente são definidas pela 851 as variações de energia interna ficando indefinida a escolha do nível zero A 851 também é equivalente a ΔU Uf Ui Wii adiabático 852 o que corresponde ao processo adiabático inverso em que se passa de f para i e podemos igualmente bem definir a variação de energia interna pela 852 em lugar da 851 Esta observação está longe de ser trivial porque conforme veremos mais tarde os processos naturais realmente não são reversíveis Dos processos i f ou f i pode ser só um seja exeqüível e por isto é importante que ΔU seja definido quer pela 851 quer pela 852 Fig 88 Neste caso o movimento do pistão na expansão ou compressão estará associado a um trabalho Wif mas ele não será mais igual ao que se teria no caso adiabático Como a energia interna do sistema é uma função de estado e os estados i inicial e f final são sempre os mesmos a variação de energia interna correspondente ΔU Uf Ui é sempre a mesma mas a 851 deixa de valer quando o trabalho Wif não é adiabático A 1ª lei da termodinâmica que equivale ao princípio de conservação da energia identifica a contribuição a ΔU que não é devida a trabalho fornecido ao sistema com uma nova forma de energia o calor Q transferido ao sistema ΔU Uf Ui Q Wif 854 Na 854 que é a definição termodinâmica de Q o calor já é medido em unidades de energia O sinal de Q resulta da convenção que será sempre adotada CONVENÇÃO sobre Q Q representa sempre o calor fornecido A um sistema Assim a energia interna de um sistema aumenta ΔU 0 quando lhe fornecemos calor Q 0 e realizamos trabalho sobre ele Wif 0 As convenções de sinal sobre Q e W se originam historicamente da aplicação da termodinâmica às máquinas térmicas para as quais é conveniente contar positivamente o calor FORNECIDO à máquina e o trabalho REALIZADO POR ela A 851 é um caso particular da 854 vemos que um processo é adiabático se Q 0 Isto ocorre quando o sistema é isolado termicamente mas também pode ocorrer se o processo é realizado tão rapidamente que não há tempo para uma transferência de calor apreciável para dentro ou para fora do sistema Já vimos um exemplo em que isso acontece as compressões ou rarefações de ar numa onda sonora pág 128 A Fig 87 ilustra um exemplo onde Wif 0 e a variação de energia interna se deve somente à transferência de calor A compressão ou expansão isovolumétrica de um gás Fig 88 fornece um exemplo onde Q 0 e Wif 0 ao mesmo tempo A 854 é a formulação geral da 1ª lei da termodinâmica Podemos enunciála sucintamente dizendo a energia se conserva quando levamos em conta o calor Neste sentido as forças nãoconservativas ou dissipativas encontradas na mecânica I Seção 52 como a força de atrito também conservam a energia total nela incluindo o calor Para o sistema total como o calorímetro tem paredes adiabáticas Q 0 e Wif 0 vem ΔU ΔUA ΔUB 0 QB QA quad 856 Logo o calor cedido por A é transferido para B água ocasionando uma variação de temperatura que é a base da definição calorimétrica Vemos assim que as duas definições coincidem A subdivisão entre calor e trabalho depende do que decidimos incluir como fazendo parte do sistema ou de sua vizinhança Assim se aquecemos água por meio de uma resistência elétrica e fornecemos trabalho para alimentar o gerador de corrente há transferência de trabalho quando o gerador é incluído no sistema mas se considerarmos somente a água como o sistema só há transferência de calor devido à diferença de temperatura entre a resistência e a água Consideremos um fluido por exemplo um gás em equilíbrio térmico ocupando um recipiente cilíndrico de área da base A e altura x Fig 89 sobre o qual exerce uma pressão P o volume do recipiente é V A cdot x A base superior é móvel pistão e o gás exerce sobre ela uma força F PA equilibrada por um peso equivalente representado na Fig 89 por um monte de areia colocado sobre o pistão Supomos que o atrito entre o pistão e as paredes é desprezível Vamos imaginar que o gás sofre uma expansão infinitesimal correspondente a um deslocamento infinitesimal dx do pistão podemos concebêlo como resultante da remoção de um só grão de areia do monte O trabalho realizado pelo fluido nessa expansão é dW Fdx PAdx PdV 861 onde dV Adx é a variação de volume do fluido A razão pela qual usamos a notação dW em lugar de dW é que embora se trate de um trabalho infinitesimal não representa a diferencial exata de uma função W conforme será explicado mais adiante O trabalho Wi rightarrow f realizado pelo sistema num processo reversível é dado pela 862 cuja interpretação gráfica é imediata é a área compreendida entre a curva P PV e o eixo dos V entre Vi e Vf Como P PVT a curva fica definida por T TV ou seja por um caminho entre i e f Assim na Fig 812 a área sombreada representa Wi rightarrow f ou seja o trabalho realizado ao longo do caminho ícf Evidentemente o trabalho realizado ao longo de outros caminhos tais como iaf ou ibf seria diferente Logo o trabalho Wi rightarrow f depende do caminho pelo qual se vai de i a f ao contrário da variação de energia interna Uf Ui que não depende do caminho mas apenas dos estados inicial e final É por isto que não existe uma função de estado W que representaria o trabalho contado num sistema numa dado estado da mesma forma que U é a energia interna do sistema nesse estado o que corresponde à área sombreada na figura da direita Escrevemos Da mesma forma que na 862 P depende do caminho podemos também escrever para um processo reversível onde a temperatura passa de Ti a Tf Podemos esquematizar o processo para cada porção de água convertida em vapor da forma indicada na Fig 816 No estado inicial i temos uma certa massa de água em forma líquida ocupando um volume Vi Um calorímetro de capacidade térmica igual a 50 calg contém uma mistura de 100 g de água e 100 g de gelo em equilíbrio térmico Mergulhase nele um aquecedor elétrico de capacidade térmica desprezível pelo qual se faz passar uma corrente com potência P constante Após 5 minutos o calorímetro contém água a 397ºC O calor latente de fusão é 80 calg Qual é a potência em W do aquecedor Um calorímetro de alumínio de 250 g contém 05 l de água a 20ºC inicialmente em equilíbrio Colocase dentro do calorímetro um bloco de gelo de 100 g Calcule a temperatura final do sistema O calor específico do alumínio é 0621 calgºC e o calor latente de fusão do gelo é de 80 calg durante o processo de fusão o gelo permanece a 0ºC Um calorímetro de latão de 200 g contém 250 g de água a 30ºC inicialmente em equilíbrio Quando 150 g de álcool etílico a 15ºC são despejados dentro do calorímetro a temperatura de equilíbrio atingida é de 263ºC O calor específico do latão é 009 calg Calcule o calor específico do álcool etílico determine em magnitude e sinal a a quantidade de calor Qibf associada ao caminho ibf b o trabalho Wif e a quantidade de calor Qiaf associada ao caminho iaf d Se o sistema regressa do estado final ao estado inicial segundo a diagonal fci do retângulo Fig o trabalho Wfci e a quantidade de calor Qfci associados a esse caminho 91 Equação de estado dos gases ideais As substâncias que têm o comportamento termodinâmico mais simples são os gases Já vimos que não só para um gás mas para qualquer fluido homogêneo um estado de equilíbrio termodinâmico fica inteiramente caracterizado por qualquer par das três variáveis P V T Isto significa que a terceira é uma função das outras duas ou seja que existe uma relação funcional do tipo fPVT0 que se chama a equação de estado do fluido A experiência era realizada a uma temperatura T constante temperatura ambiente com uma quantidade fixa de gás ar aprisionado A pressão P podia ser variada despejando mais mercúrio no ramo aberto O resultado foi que nessas condições o volume V era inversamente proporcional a P V k P PV k constante Esta é a Lei de Boyle O volume de uma dada quantidade de gás a temperatura constante varia inversamente com a pressão 190 91 EQUAÇÃO DE ESTADO DOS GASES IDEAIS 191 192 ΔT Tf Ti 0 Joule Thomson 929 com precisão experimental muito superior à da 921 Como Ti Tf para um gás ideal o último membro da 928 se anula neste caso pela lei de Boyle Logo ΔU 0 gás ideal 9210 e sendo ΔV Vf Vi 0 somos levados novamente à 924 da qual decorre a 925 U UT gás ideal 9211 Logo a energia interna de um gás ideal depende somente da sua temperatura Um gás ideal é caracterizado termodinamicamente por duas condições a 9211 e a equação de estado 9113 Gases reais a pressões 2 atm podem ser tratados como gases ideais o erro nos resultados obtidos é tipicamente de alguns por cento apenas c Entalpia Decorre imediatamente da 928 a seguinte propriedade H Ui PiVi Uf PVf 9212 ou seja a grandeza H U PV 9213 assume o mesmo valor nos estados inicial e final Como U P e V são funções de estado H é também uma função de estado que se chama a entalpia do sistema A 9212 mostra que a entalpia de um gás não se altera quando ele é submetido a um processo de JouleThomson expansão através de um tampão poroso Diferenciando a 9213 vem dH dU PdV VdP Pelas 865 e 867 isto equivale a dH dQ VdP 9214 que dá a variação de entalpia num processo infinitesimal reversível Em particular num processo isobárico é P constante dP 0 o que dá dH dQ processo isobárico reversível 9215 o que significa que num processo isobárico reversível a variação Hf Hi de entalpia é igual ao calor Q transferido Como processos isobáricos são comuns por exemplo à pressão atmosférica a entalpia desempenha um papel importante especialmente em química e engenharia O mesmo raciocínio que levou à conservação da entalpia no fluxo estacionário de um gás através de um tampão poroso na ausência de um fluxo de calor se generaliza ao fluxo estacionário de um fluido de desenho igual a MV M massa Para a quantidade de massa do gás V 1p e a entalpia é U Prho onde r é a densidade O resultado é que a grandeza 61 ΔZ fxy Δx fyx Δy 922 onde fxy por exemplo indica a derivada parcial 1 Seção 74 de f em relação a x o índice y serve para lembrar que Z é considerado como função de x e y e que y é mantido constante Por exemplo se Z x²y³ e x varia de 1 a 101 e y de 2 a 202 temos ΔZ 101²202³ 2³ 840 8 040 2xy³ e fyx 3x²y² o que dá com x 1 y 2 Δx 001 Δy 002 fxy Δx fyx Δy 218001314002 016024 040 ΔZ o que ilustra a 922 Aplicando a 922 a UV T vem ΔU UVT ΔV UTV ΔT 923 Para a experiência de Joule de expansão livre vimos na 878 que ΔU 0 Admitindo o resultado experimental 921 vem então 0 UVT ΔV UTV ΔT UVT ΔV Como ΔV Vf Vi 0 na expansão livre concluímos que UVT 0 924 ou seja a energia interna do gás não depende do volume Como consideramos U como função de V e T e resulta ser independente de V a conclusão final é que U UT 925 ou seja a energia interna do gás só depende de sua temperatura Na realidade apesar das precauções tomadas por Joule a capacidade térmica da água e ar a 20C passando de Pi 2 atm a Pf 1 atm casose ΔT Tf Ti 26C para o hidrogênio que não teria sido detectada pelo termômetro Sabemos 60 b A experiência de JouleThomson Para eliminar a dificuldade de detectar uma variação de temperatura na experiência de Joule Joule e William Thomson Lord Kelvin realizaram a experiência do tampão poroso em que a expansão livre é substituída por uma expansão através de uma parede porosa tampão que reduz a pressão do gás O gás se expande num recipiente de paredes adiabáticas através de um tampão que pode ser constituído por exemplo de lâ de vidro Na prática é mantido um fluxo estacionário de gás através do tampão Fig 94 por bombeamento a pressão cai de Pi para Pf ao atravessar o tampão Neste regime estacionário não há fluxo de calor do gás para as paredes cuja distribuição de temperatura permanece constante de modo que mesmo uma pequena variação de temperatura do gás devido à expansão pode ser detectada Para aplicar a 1a lei da termodinâmica a uma dada massa de gás que atravessa o tampão podemos imaginar que esta massa está contida inicialmente entre o tampão e um pistão adiabático A sobre o qual se exerce uma pressão Pi ocupando um volume inicial Vi Fig 95 À direita do tampão existe outro pistão adiabático B sobre o qual se exerce uma pressão Pf Deslocando para a direita o pistão A o gás passa através do tampão e desloca para a direita o tampão B até que no estado final f toda a massa atravessou o tampão ocupando um volume final Vf Fig 95 Como o gás à esquerda passa isobàricamente à pressão Pi do volume Vi ao volume 0 o trabalho por ele realizado nessa compressão isobárica é pela 872 PiVf Vi PiVi Análogo o gás à direita sofre uma expansão isobárica à pressão Pf do volume 0 ao volume Vf realizando um trabalho PfVf 0 PfVf O trabalho total realizado pelo gás é portando Wif PfVf PiVi 926 Como todas as paredes são adiabáticas temos Q 0 Substituindoas como 926 e 927 na 1a lei da Termodinâmica 854 obtemos ΔU Uf Ui Wif PfVf PiVi 928 Joule e Kelvin medem as temperaturas Ti à esquerda do tampão e Tf à direita Para ar a 20C passando de Pi 2 atm a Pf 1 atm chegase ΔT Tf Ti 26C para o hidrogênio que não teria sido detectada pelo termômetro Sabemos dQ CdT 931 C representa a capacidade térmica molar págs 170 Como vimos na Seção 86 C depende do caminho pelo qual se efetua a transferência de calor dQ Se ele é transferido a pressão constante dQp Cp dT P constante 932 Cp é a capacidade térmica molar a pressão constante se a transferência se efetua a volume constante dQv Cv dT V constante 933 CV é a capacidade térmica molar a volume constante Como acontece com os calores específicos correspondentes pág 169 Cp e Cv chamamse as capacidades térmicas molares principais A Fig 96 a e b ilustra a diferença entre os processos 932 e 933 Em ambos os casos o recipiente contendo o gás inicialmente em equilíbrio com um reservatório térmico à temperatura T é levado a ter contato térmico com outro reservatório à temperatura T dT que lhe transfere reversivelmente uma quantidade de calor dQ Em a o processo é isocórico ou seja o volume V é mantido constante o pistão indicado na Fig está preso por dois parafusos e o calor é dQv Em b o processo é isobárico a pressão P é mantida constante e equilibrada pelo peso indicado na Fig Como a temperatura aumenta de dT o gás se expande de dV realizando um trabalho dW PdV e absorvendo calor dQp A Fig 97 ilustra o processo no plano P V a corresponde à passagem a b e b a a c entre as isoterma T e T dT A variação de energia interna em cada um dos processos dU nCV T dT 1 mol CV dU dT CV T 1 mol Para n moles de um gás ideal como a energia interna é proporcional à massa de gás temos dU nCV T dT 9312 Integrando os dois membros em relação a T entre T0 temperatura de referência arbitrária e T vem UT UT0 T0 T CV T dT gás ideal n moles 9313 A 9313 dá explicitamente a energia interna de um gás ideal como função da temperatura desde que conheçamos a variação com T da capacidade térmica molar a volume constante CV T é razão das capacidades térmicas molares a pressão constante e a volume constante A relação de Mayer 939 mostra que γ 1 Em princípio cf 9311 Cp e CV poderiam depender da temperatura mas conforme foi mencionado na obtenção da 9314 CV e por conseguinte também Cp são constantes para um gás ideal de modo que γ constante Isto nos permite integrar ambos os membros da 947 entre um estado inicial P0 V0 e um estado final P V o que dá finalmente P P0 dP P ln P P0 γ dV V γ ln V V0 949 Veremos no Cap 11 que para gases ideais monoatômicos temse γ 53 167 para gases diatômicos γ 75 140 valor este que com boa aproximação também se aplica ao ar mistura de N2 e O2 A relação 949 representa para um processo adiabático o análogo da lei de Boyle 913 para um processo isotérmico Vimos à pág 190 que a 913 define no diagrama P V uma família de hipérboles que são isotermas Da mesma forma para cada valor da constante na 949 ela define uma curva no plano P V o que leva a uma família de curvas denominadas adiabáticas A equação das isotermas é da forma P constanteV ao passo que as adiabáticas é da forma P constanteVγ Como 1Vγ para γ 1 cai mais rapidamente do que 1V as adiabáticas caem mais depressa com V do que as isotermas conforme ilustrado na Fig 98 onde γ 140 Assim num ponto de interseção entre uma adiabática e uma isoterm a como os pontos a b c ou d da Fig a declividade coeficiente angular da tangente à curva é mais abrupta para a adiabática do que para a isoterma Isto também resulta diretamente da comparação de dPdV nos dois casos para a adiabática dPdV se obtém da 947 para a isoterma da 944 onde dT 0 o que leva a dP dV isoterma dP dV adiabática 9410 mostrando que a declividade da adiabática é sempre maior Em consequência da declividade maior se consideramos uma dada adiabática como a que passa pelos pontos b e c na Fig 98 onde intercepta as isotermas de temperaturas T1 e T2 temos T1T2 Vf Viγ1 504 PROBLEMAS DO CAPÍTULO 9 1 O tubo de vidro de um barômetro de mercúrio tem seção reta de 1 cm² e 90 cm de altura acima da superfície livre do reservatório de mercúrio Num dia em que a temperatura ambiente é de 20C e a pressão atmosférica verdadeira é de 750 mmHg a altura da coluna barométrica é de 735 mm Calcule a quantidade de ar em moles aprisionada no espaço acima da coluna de mercúrio 2 Dois recipientes fechados de mesma capacidade igual a 1 l estão ligados um ao outro por um tubo capilar de volume desprezível Os recipientes contêm oxigênio inicialmente a temperatura de 25C e pressão de 1 atm a Quantas gramas de O2 estão contidas nos recipientes b Aquecese um dos recipientes até a temperatura de 100C mantendo o outro a 25C Qual é o novo valor da pressão c Quantas gramas de O2 passam de um lado para o outro Despreze a condução de calor através do capilar 3 Um recipiente de paredes adiabáticas é munido de um pistão adiabático móvel de massa desprezível e 200 cm² de área sobre o qual está colocado um peso de 10 kg A pressão externa é de 1 atm O recipiente contém 3 l de gás hélio para o qual CV 32 R à temperatura de 20C a Qual é a densidade inicial do gás Fazse funcionar um aquecedor elétrico interno ao recipiente que eleva a temperatura do gás gradualmente até 70C b Qual é o volume final ocupado pelo gás c Qual é o trabalho realizado pelo gás d Qual é a variação de energia interna do gás e Quanto calor é fornecido ao gás 4 Um mol de um gás ideal com γ75 está contido num recipiente inicialmente a 1 atm e 27C O gás é sucessivamente i comprimido isobaricamente até 34 do volume inicial V₀ ii aquecido a volume constante até voltar à temperatura inicial iii expandido à pressão constante até voltar ao volume inicial iv resfriado a volume constante até voltar à pressão inicial a Desenhe o diagrama PV associado b Calcule o trabalho total realizado pelo gás c Calcule o calor total fornecido ao gás nas etapas i e ii d Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas e Calcule a variação de energia interna no processo i e ii 5 Um mol de um gás ideal contido num recipiente munido de um pistão móvel inicialmente a 20C se expande isometricamente até que seu volume aumenta de 50 A seguir é contrariado mantendo a pressão constante até voltar ao volume inicial Finalmente é aquecido a volume constante até voltar à temperatura inicial a Desenhe o diagrama PV associado b Calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo 6 01 mol de um gás ideal com CV 32 R descreve o ciclo representado na Fig P1 no plano P T a Represente o ciclo no plano P T indicando P em atm e V em l associados aos pontos A B e C b Calcule ΔW ΔQ e ΔU para os processos AB BC CA e o ciclo