Logaritmos Decimais - Teoria, Propriedades e Aplicações

Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais Campus Curvelo Departamento de Formacao Geral Professor Farlei Ferreira Trabalho Logaritmos Decimais 30 Introducao Apos o estudo da teoria dos logaritmos veremos agora algumas aplicacoes aos calculos numericos Os logaritmos quando da sua invencao foram saudados alegremente por Kepler Johann Kepler 15711630 astrˆonomo alemao pois aumentavam enormemente a capacidade de computacao dos astrˆonomos No temos que com as propriedades operatorias dos logaritmos podemos trans formar uma multiplicacao em uma soma uma divisao em uma subtracao e uma potenciacao em uma multiplicacao isto e com o emprego da teoria de logaritmos podemos transformar uma operacao em outra mais simples de ser realizada Dentre os diversos sistemas de logaritmos estudaremos com particular interesse o sistema de logaritmos de base 10 Lembremos as principais propriedades da funcao logarıtmica de base 10 i log 1 0 ii log 10 1 iii x 1 log x 0 e 0 x 1 log x 0 Os logaritmos decimais sao definidos pela funcao exponencial y 10x E podem ser representados como log y x A manipulacao dos logaritmos nos calculos exige que possamos deter minar rapidamente os logaritmos de numeros naturais com determinadas aproximacoes Vamos neste estudo fazer uso das tabuas de logaritmos para determinarmos alguns logaritmos As tabuas de logaritmos hoje pratica mente esquecidas devido ao avanco da tecnologia que nos tras calculadoras sofisticadas que alem de trazer o valor do logaritmo esboca tambem seus graficos soa tabelas ordenadas dos numeros naturais e seus logaritmos cal culados com uma determinada aproximacao Podemos destacar duas propriedades interessantes 1 P1 O logaritmo decimal de qualquer potˆencia de 10 coincide com seu proprio expoente log 103 3 log 105 5 log 1000000 log 106 6 P2 Quando o numero nao for potˆencia de 10 seu logaritmo decimal sera composto da soma de uma parte inteira denominada caracterıstica com uma parte decimal denominada mantissa Assim temos log N caracteristica mantissa As tabuas de logaritmos fornecem apenas as mantissas que sao sempre positivas Vamos considerar mantissas com 5 algarismos decimais que e uma aproximacao mais do que suficiente para calculos corriqueiros A carac terıstica correspondente de cada numero pode ser determinada fazendo uso das seguintes regras R1 Se o numero N for inteiro ou um numero decimal com parte inteira N 1 sua caracterıstica sera dada pelo inteiro determinado pelo numero de algarismos da parte inteira do numero dado diminuıdo de 1 unidade Por exemplo se tivermos N 19 sua caracterıstica sera 21 1 se tivermos N 123 17 sua caracterıstica sera 312 R2 Se o numero N for um numero decimal com a parte inteira nula N 1 sua caracterıstica e negativa representada por uma barra vertical sobre o numero e e determinada pela quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo incluindo o zero a esquerda da vırgula Se tivermos N 0 0072345 sua caracterıstica sera 3 pois ha 3 zeros precedendo o numero 7 que e o primeiro algarismo significativo se tivermos N 0 8742 sua caracterıstica sera 1 se tivermos N 0 0009 sua caracterıstica sera 4 Vamos agora resolver alguns exemplos de problemas utilizando as tabuas de logaritmos Exemplo 1 Vamos determinar log 4391 Como N e um numero inteiro sua caracterıstica e a quantidade de alga rismos menos 1 que neste caso 41 3 Agora devemos procurar em uma tabua de logaritmos o numero na coluna intitulada de N e encontrar a 2 mantissa correspondente na coluna intitulada Log Neste caso a mantissa correspondente ao numero 4391 e 64256 Entao temos que log 4391 3 64256 Onde 3 numero a esquerda da vırgula e a caracterıstica e 64256 numero a direita da vırgula e a mantissa Exemplo 2 Vamos determinar log 27 A caracterıstica neste caso e 21 1 Procurando na tabua de logaritmos na coluna N o numero 27 encontramos a mantissa correspondente na coluna Log que e 43136 Portanto log 27 1 43136 Onde 1 numero a esquerda da vırgula e a caracterıstica e 43136 numero a direita da vırgula e a mantissa Obs O trabalho consiste em calcular e explicar passo a passo o calculo do logarıtmo de N usando as informacoes acima juntamente com a tabua de logarıtmos Valores para N i N1Soma dos algarısmos de sua data de nascimento elevado ao quadrado Ex Farlei nasceu em 18111992 entao N 181119922 322 1024 logo N 1024 ii N2 N1 1000 3 QUESTÃO i Dados 𝑁1 𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 0 2 0 2 2 0 0 72 132 169 Solução Passo 1 Determinar a característica Bom como 𝑁1 é um número inteiro 𝑁1 1 sua característica é igual a quantidade de algarismos menos 1 Ou seja 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 3 1 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 2 Passo 2 Determinar a mantissa Para a mantissa buscase na coluna N nas tábuas de logaritmos o valor correspondente ao número Assim temse 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎 22787 Passo 3 Determinar o logaritmo Com a característica e a mantissa determinadas encontrase o seguinte resultado log 369 222787 Onde 2 equivale a característica e 22787 diz respeito a mantissa QUESTÃO ii Dados 𝑁2 𝑁1 1000 169 1000 0169 Solução Passo 1 Determinar a característica Bom como 𝑁2 é um número decimal com a parte inteira nula 𝑁2 1 sua característica é negativa com uma barra vertical na parte superior e é igual a quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo incluindo o zero à esquerda da vírgula Logo 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 1 Passo 2 Determinar a mantissa Para obtermos a mantissa de log 0169 através da tabela vamos transformálo em um número de três algarismos entre 100 e 999 simplesmente mudando a posição da vírgula para a direita do primeiro algarismo diferente de zero Logo 0169 169 Agora vamos separar o 169 em duas partes O terceiro algarismo 9 será utilizado para identificarmos a coluna na tabela e o número 16 formado pela outra parte 16 sem a vírgula será utilizado para identificar a linha da mantissa na tabela Procurando vemos que no cruzamento da linha 16 com a coluna 9 temos exatamente o valor de 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎 22789 Passo 3 Determinar o logaritmo Com a característica e a mantissa determinadas encontrase o seguinte resultado log 0169 1 22789 Onde 1 equivale a característica e 22789 diz respeito a mantissa QUESTÃO i Dados N1 Datade nascimento 202022007 213 2169 Solução Passo 1 Determinar a característica Bom como N1 é um número inteiro N11 sua característica é igual a quantidade de algarismos menos 1 Ou seja característica31 característica2 Passo 2 Determinar a mantissa Para a mantissa buscase na coluna N nas tábuas de logaritmos o valor correspondente ao número Assim temse mantissa22787 Passo 3 Determinar o logaritmo Com a característica e a mantissa determinadas encontrase o seguinte resultado log 369222787 Onde 2 equivale a característica e 22787 diz respeito a mantissa QUESTÃO ii Dados N2 N1 1000 169 10000169 Solução Passo 1 Determinar a característica Bom como N2 é um número decimal com a parte inteira nula N21 sua característica é negativa com uma barra vertical na parte superior e é igual a quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo incluindo o zero à esquerda da vírgula Logo característica1 Passo 2 Determinar a mantissa Para obtermos a mantissa de log 0169 através da tabela vamos transformálo em um número de três algarismos entre 100 e 999 simplesmente mudando a posição da vírgula para a direita do primeiro algarismo diferente de zero Logo 0169169 Agora vamos separar o 169 em duas partes O terceiro algarismo 9 será utilizado para identificarmos a coluna na tabela e o número 16 formado pela outra parte 16 sem a vírgula será utilizado para identificar a linha da mantissa na tabela Procurando vemos que no cruzamento da linha 16 com a coluna 9 temos exatamente o valor de mantissa22789 Passo 3 Determinar o logaritmo Com a característica e a mantissa determinadas encontrase o seguinte resultado log 0169122789 Onde 1 equivale a característica e22789 diz respeito a mantissa