Avaliacao de Concreto sobre Dimensionamento e Armação de Pilares

Quarta Avaliação de CONCRETO II Nome 1Determinar os esforços solicitantes finais para o dimensionamento do pilar mostrado abaixo 100 pontos fck30 MPa Considere Le 350 cm Pilar P1 em cm 2Calcule e detalhe a armadura longitudinal necessária para a seção de concreto resistir aos esforços analisados na questão 1 considerandose d de 6 cm e aço CA50 Faça todas as verificações no detalhamento da seção transversal 100 Nd1864 kN 1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CIVIL NOTAS DE AULA DE CONCRETO II Professora Eliene Pires Carvalho Colaboração Marina Dias da Mota 2 Tema 1 Flechas em vigas de concreto armado 1 Estados Limites de Serviço ELS São aqueles que correspondem a condições em serviço Sua ocorrência repetição ou duração podem causar efeitos estruturais que não respeitam condições especificadas para o uso normal da construção ou que são indícios de comprometimento da durabilidade Podem ser citados como exemplos a Danos estruturais localizados que comprometem a estética ou a durabilidade da estrutura fissuração b Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou o seu aspecto estético flechas c Vibrações excessivas que causem desconforto a pessoas ou danos a equipamentos sensíveis Nestas notas de aula será especificado um modelo para o cálculo de flechas em vigas de concreto armado considerandose estádio I e estádio II conforme será descrito nos itens seguintes Segundo a NBR 61182014 no estado limite de serviço a estrutura pode trabalhar parcialmente no estádio I não fissurada e parcialmente no estádio II fissurada conforme mostrado na figura 11 Figura 11 Comportamento de uma viga biapoiada Observe na viga mostrada na figura 11 que a seção aa encontrase no estádio I não fissurada e a seção bb no estágio II fissurada Para avaliar se as seções transversais da viga estão no estádio I ou II fazse a comparação entre o momento de serviço Mdserv e o momento de fissuração Mr Se Mdserv Mr temse estádio I caso contrário estádio II P0 P0 P1 P1 P2 P2 3 O momento de serviço deve ser calculado adotandose a combinação de ações para o ELS apresentada na equação 1 Mqik é o valor característico do momento produzido pela ação variável direta i O momento de fissuração pode ser calculado adotandose a equação 2 onde 12 para seções T 13 para seções I 15 para seções retangulares é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto fct é a resistência à tração direta do concreto No caso da determinação do momento de fissuração deve ser usado o fctm resistência à tração média para concretos de classes até C50 fctm 03 fck 23 fctm e fck são expressos em megapascal para concreto de classes de C50 até C90 fctm 212 ln 1 011 fck fctm e fck são expressos em megapascal 1 2 4 2 Cálculo da flecha em vigas de concreto armado De acordo a teoria das estruturas o cálculo dos deslocamentos flechas em barras devido à flexão se baseia na solução da equação diferencial clássica da linha elástica para vigas 2 2 d y M EI dx y é a equação da linha elástica função da variável x eixo da viga M equação de momento fletor função de x E módulo de elasticidade longitudinal do concreto secante I momento de inércia da seção transversal de concreto que é função da sua geometria e do detalhamento das armaduras e EI rigidez à flexão PINHEIRO 2010 apresenta a tabela abaixo para o cálculo de flechas em vigas considerandose a equação 3 com algumas condições de carregamento e apoio 3 5 Observe que em todas as expressões o produto EI rigidez à flexão da viga aparece no denominador e influencia diretamente no cálculo da flecha Portanto a ordem de grandeza da flecha depende do módulo de elasticidade do material e do momento de inércia da seção transversal Importante citar que quando a viga começa a apresentar fissuração a rigidez à flexão EI diminui e há um aumento no valor da flecha que deve ser considerado no cálculo Uma vez que a seção de concreto armado é composta por dois materiais diferentes aço e concreto e pode estar no estádio I ou II fissurada ou não a verificação da flecha deve ser realizada através de modelos que considerem a presença da armadura e a existência de fissuras no concreto Por isto a importância de se avaliar inicialmente se as seções da viga estão trabalhando no estágio I ou II como citado no item anterior Para levar em consideração os fatores citados acima de uma forma aproximada a ABNT NBR 6118 apresenta a equação 4 para o cálculo da rigidez equivalente EIeq das seções de concreto armado 1 3 3 I I I r r eq cs c II cs c a a M M EI E E M M Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado ou seja o momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços para a combinação de ações no ELS Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto Ecs i Eci i 0802 80 fck 10 Eci E 5600 fck para fck de 20 MPa a 50 MPa Eci 215103 E 3 1 ck 1 25 10 f para fck de 55 MPa a 90MPa E 12 para basalto e diabásio E 10 para granito e gnaisse E 09 para calcário E 07 para arenito Onde Eci e fck são dados em megapascals MPa O valor de EIeq pode ser adotado para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas de concreto armado e depende entre outros fatores do momento de inércia da seção bruta de concreto e do momento de inércia da seção fissurada estádio II No item seguinte serão apresentados os conceitos e as expressões para o cálculo dessas duas propriedades 4 6 3 Homogeneização das seções de concreto armado e cálculo dos momentos de inércia no estádio I e no estádio II Para o cálculo do momento de inércia da seção de concreto no estádio II é necessário homogeneizar a seção transversal uma vez que ela é formada por dois materiais com propriedades diferentes concreto e aço Essa homogeneização é feita substituindose a área de aço por uma área correspondente de concreto Ou seja a área de aço As é multiplicada pela relação n ESEcs entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto conforme mostrado na figura 12 Seção original Seção Homogeneizada Figura 12 Homogeneização da seção de concreto armado De acordo com a figura 12 no estádio II o concreto tracionado que se encontra abaixo da LN é desprezado pois ele está fissurado A seção homogeneizada fica então representada por uma área de concreto comprimida 1 e uma área de aço transformada teoricamente em concreto 2 na região tracionada O cálculo do momento de inércia da seção homogeneizada no estádio II deve ser feito com relação à linha neutra LN portanto o primeiro passo será determinar a posição da mesma Para a determinação da posição da LN considerandose a seção homogeneizada como uma figura composta pelas figuras 1 e 2 fazse o momento estático da seção com relação ao centroide C igual a zero MC0 ou seja 0 2 xII M b x nAs d x C II II n ESEcs e Es 210 GPa21000 kNcm2 A área de aço As da viga deve ser calculada previamente conforme apresentado no curso de concreto I 1 2 5 xII 7 O momento de inércia da seção no estágio II pode ser calculado adotandose a equação 6 3 2 3 bxII I nAs d x II II Essa equação foi deduzida com base no teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner para a determinação do momento de inércia de figuras compostas Figura 13 Momento de inércia e teorema de Steiner Prof Damin Apostila de tópicos de Mecânica Para o caso da seção homogeneizada da figura 12 Momento de inércia da área de concreto 1 com relação à LN 3 1 3 bxII I Momento de inércia da área de aço após homogeneização 2 com relação à LN 2 I2 I nAs d xII No caso da armadura I pode ser desprezado O momento de inércia total da figura composta III I1I2 de acordo com a equação 6 O momento de inércia da seção transversal no estádio I seção não fissurada é calculado considerandose que o concreto resiste à tração Para a seção retangular a posição da linha neutra e o momento de inércia podem ser calculados com base na Figura 14 Figura 14 Seção de concreto Estádio I 6 8 Por simplificação o momento de inércia da seção no estádio I será considerado igual ao da seção bruta de concreto Icbh312 4 Flecha adicional devido à fluência do concreto Conforme visto em Concreto I a fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada Ela ocorre devido à explulsão de àgua quimicamente inerte de camadas mais internas para regiões superficiais da peça o que desencadeia um processo de crescimento da deformação inicial até um valor máximo no tempo infinito Portanto a flecha imediata a ser calculada conforme mostrado nos itens anteriores sofrerá um acréscimo ao longo do tempo de serviço da viga A flecha adicional diferida decorrente das cargas de longa duração em função da fluência pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado pela equação 7 50 1 f d b As é um coeficiente função do tempo que pode ser obtido diretamente na tabela 2 ou ser calculado pelas expressões seguintes 0t t 068 0996 032 t t t para t 70 meses t 2 para t 70 meses Tabela 2 Valores do coeficiente em função do tempo Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente t 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 sendo t é o tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por 1 f A flecha total obtida deve ser comparada aos valores limite apresentados na ABNT NBR 6118 ELS para deformação Caso esse limite seja ultrapassado temse entre as soluções possíveis aumentar a idade para aplicação da carga aumentar t0 mantendo o escoramento por mais tempo adotar uma contraflecha 7 9 Segundo a ABNT NBR 6118 Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura Para os efeitos desta Norma são classificados nos quatro grupos básicos a seguir relacionados aaceitabilidade sensorial o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável A limitação da flecha para prevenir essas vibrações em situações especiais de utilização deve ser realizada como estabelecido na seção 23 befeitos específicos os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção cefeitos em elementos não estruturais deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que apesar de não fazerem parte da estrutura estão a ela ligados defeitos em elementos estruturais os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados incorporandoas ao modelo estrutural adotado Na Tabela abaixo são dados valores limites de deslocamentos que visam proporcionar um adequado comportamento da estrutura em serviço Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite Aceitabilidade sensorial Visual Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Total 250 Outro Vibrações sentidas no piso Devido a cargas acidentais 350 Efeitos estruturais em serviço Superfícies que devem drenar água Coberturas e varandas Total 2501 Pavimentos que devem permanecer planos Ginásios e pistas de boliche Total 350 contraflecha2 Ocorrido após a construção do piso 600 Elementos que suportam equipamentos sensíveis Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento De acordo com recomendação do fabricante do equipamento Efeitos em elementos não estruturais Paredes Alvenaria caixilhos e revestimentos Após a construção da parede 5003 e 10 mm e 00017 rad4 Divisórias leves e caixilhos telescópicos Ocorrido após a instalação da divisória 2503 e 25 mm Movimento lateral de edifícios Provocado pela ação do vento para combinação freqüente 1030 H1 700 e Hi8505 entre pavimentos6 Movimentos térmicos verticais Provocado por diferença de temperatura 4007 e 15 mm 10 Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite Efeitos em elementos não estruturais Forros Movimentos térmicos horizontais Provocado por diferença de temperatura Hi500 Revestimentos colados Ocorrido após construção do forro 350 Revestimentos pendurados ou com juntas Deslocamento ocorrido após construção do forro 175 Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos Deslocamento provocado pelas ações decorrentes da frenação H400 Efeitos em elementos estruturais Afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados incorporandoos ao modelo estrutural adotado 1 As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas de modo a não se ter acúmulo de água 2 Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas Entretanto a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que 350 3 O vão deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve 4 Rotação nos elementos que suportam paredes 5 H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos 6 Esse limite aplicase ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento quando Hi representa o comprimento do lintel 7 O valor referese à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno NOTAS 1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem Quando se tratar de balanços o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço 2 Para o caso de elementos de superfície os limites prescritos consideram que o valor é o menor vão exceto em casos de verificação de paredes e divisórias onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve limitandose esse valor a duas vezes o vão menor 3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 11 4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas 11 5 Exemplo Livro Comentários técnicos e exemplos de aplicação da NB1 Fazer a verificação do estado limite de serviço correspondente à deformação excessiva flecha para a viga biapoiada de um edifício residencial Figura 1 5 Figura 15 Viga biapoiada Dados Seção transversal da viga b 22 cm h40 cm e d 359 cm Armadura longitudinal composta por 4ϕ20 mm 1260cm2 Vão efetivo da viga lef 410 cm Concreto com resistência à compressão 25 MPa classe C25 Retirada do escoramento aos 28 dias e concreto feito com brita gnaisse As ações serão compostas por carga permanente gk e carga acidental qk com valores característicos dados por gk 40 kNm e qk 10 kNm a Análise inicial Para este exemplo será considerada a flecha máxima admissível tendo em vista o efeito de aceitabilidade sensorial visual ou seja fadm 250 vão da viga Portanto em serviço a viga do exemplo deve apresentar flecha máxima igual a fadm 250 410250 164 cm Nos itens seguintes vamos calcular a flecha da viga sob as ações de serviço e vamos comparar com este valor máximo admissível Iniciaremos com o cálculo do momento de fissuração e as verificações sobre o comportamento da viga no estádio I ou II 12 ck b Momento de fissuração Considerandose a equação 2 apresentada no texto 15 seção retangular e yt 40220 cm 3 22403 4 117333 12 12 bh Ic cm fct fctm 03 f 2 3 0325 2 3 2565 MPa 02565 kN cm2 M 15 02565 117333 2257 kNcm 226 kNm r 20 c Momento de serviço x Momento de fissuração Combinação para o estado limite de serviço ELS ver página 3 Fdserv gk ψ2 qk 400310 43 kNm 43412 9035 8 M kN m d serv Como Mdserv Mr 226 kNm a viga pode estar fissurada e é necessário calcular a posição da linha neutra xII e o momento de inércia III no estádio II d Cálculo da posição da linha neutra e da inércia da seção no estádio II Para seção retangular com armadura simples xII é obtido com a equação 5 0 2 xII M b x nAs d x LN II II Es 210 GPa 210 000 MPa Para o cálculo do módulo de elasticidade do concreto ver página 5 Ecs i Eci i 0802 80 fck 086 Eci 1 5600 fck 28000 MPa Ecs 086 Eci 086 2800024080 MPa n Es Ecs 210 000 24080 872 13 22 x 2 8721260x 8721260359 0 2 xII 146 cm a raiz negativa é ignorada O momento de inércia é dado ela equação 6 221463 2 4 872126 359 146 73242 3 I cm II A rigidez equivalente é dada pela equação 4 1 3 3 226 226 2408 117333 73242 2408 7393207 9035 9035 x eq EI e Cálculo da flecha imediata De acordo com a tabela 1 4 4 5 5 43100 410 09 384 384 2408 7393206 F d serv l f cm i EI eq f Cálculo da flecha diferida e da flecha total no tempo t Considerandose a retirada do escoramento aos 28 dias e de acordo com a equação 7 e tabela 2 0 armadura simples t t 2 068 132 0 132 1 50 f Flecha total ftfi 1 f 09 1132209 cm g Comparação da flecha total diferida no tempo com a Flecha admissível ELS Conforme analisado anteriormente a flecha admissível é fadm 250 410250 164 cm 14 Portanto haverá necessidade de especificar uma contraflecha pois ft209 cm fadm164 cm A contraflecha máxima não pode passar de 410350 117 cm Para atender aos dois critérios será especificada no projeto uma contraflecha igual a 10 cm Outras providências Quando forem necessárias outras providências podem ser adotadas para diminuir as deformações A mais comum é aumentar a seção transversal h ou b EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Fazer a verificação do estado limite de serviço correspondente à deformação excessiva flecha para a viga biapoiada de um edifício residencial Figura 1 6 Figura 16 Viga biapoiada Considere seção transversal de 22cm x 50cm vão efetivo l 450cm concreto C30 aço CA50 armadura longitudinal 4ϕ20 1260cm2 e d 45 cm Considere a retirada do escoramento aos 14 dias e concreto feito com brita gnaisse As ações serão compostas por carga permanente gk e carga acidental qk com valores característicos dados por gk 45 kNm e qk 10 kNm Referências Bibliográficas ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p ABNT NBR 6118 Comentários e Exemplos de AplicaçãoEd IBRACON NEY AMORIM SILVA Apostila de Concreto Armado I Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia de Estruturas 2015 LIBÂNIO M PINHEIRO e CASSIANE D MUZARDO Apostila de Estruturas de Concreto capítulo 14 2004 15 Tema 2 Torção em vigas de concreto armado 21Conceito e comportamento de vigas de concreto armado em ensaios de torção A torção em um elemento acontece devido à ação de um momento torsor Mt que o faz girar em torno do seu próprio eixo figura 21 Figura 21 Ação de um momento torsor A Figura 22 mostra uma viga de concreto armado submetida à torção Observe as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular As fissuras apresentamse com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45 com o eixo longitudinal da viga Figura 22 Trajetórias das fissuras em uma viga submetida à torção 2 Vários ensaios foram realizados para avaliar o comportamento de vigas de concreto submetidas à torção e segundo 4 um ensaio importante consistiu no estudo de cilindros de concreto como mostrado na figura 23 16 Figura 23 Vigas de concreto estudadas por Morsch 1 Os resultados dos ensaios indicaram que nas seções de concreto as tensões principais de tração e de compressão são inclinadas de 45 e com traçado helicoidal Além disto após o surgimento das fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice apenas uma casca externa e com pequena espessura colaborou na resistência da seção à torção Os resultados experimentais obtidos por Morsch para o momento de fissuração e para o momento de torção na ruptura são mostrados na tabela 1 2 Comparandose os resultados dos corpos de prova mostrados na tabela 1 podese considerar que o uso de armadura somente longitudinal ou somente transversal não resultou em um aumento de resistência significativo com relação aos corpos de prova sem armadura Por outro lado os corpos de prova com armadura longitudinal e transversal apresentaram uma maior resistência Os corpos de prova com armadura helicoidal colocadas segundo a trajetória das tensões principais de tração apresentaram um aumento de resistência significativa quando comparados com os demais corpos de prova Esse comportamento foi observado em ensaios com seções de concreto ocas ou cheias e com armaduras idênticas 17 Como citado anteriormente os ensaios mostraram que apenas uma casca externa e com pequena espessura colaborou na resistência da seção de concreto à torção Portanto as seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas conforme mostrado na figura 24 Figura 24 Resistência de seções de concreto armado submetida à torção 2 22Situações de projeto em que as vigas de concreto armado estão submetidas à torção Este tipo de ação pode acontecer em vigas de apoio de lajes em balanço como no caso de marquises conforme mostrado na figura 25 Figura 25 Exemplo de viga submetida à momento torsor 1 Observe na Fig 25 que a laje em balanço não tem continuidade com outras lajes internas logo ela deve estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio de modo que a flexão da laje passa a ser torção na viga Observe também que a torção na viga de apoio tornase flexão no pilar Essa transferência de esforços é necessária para o equilíbrio da estrutura e para o caso da viga de apoio considerase que ela está submetida à torção de equilíbrio 18 A avaliação do diagrama de torção solicitante na viga de apoio pode ser feita conforme mostrado na Fig 26 Figura 26 Diagrama de Torção solicitante 2 Para este caso o momento torsor foi calculado considerandose faixas de laje com larguras iguais a 10 m perpendiculares à viga de apoio Posteriormente o momento torsor foi considerado uniformente distribuído ao longo do comprimento da viga O diagrama de torção solicitante foi elaborado considerandose as reações dos pilares de apoio da viga de forma semelhante ao desenho de um diagrama de força cortante Uma vez determinado o diagrama de torção solicitante devese fazer o dimensionamento da viga para resistir a este esforço Os conceitos principais sobre dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à torção serão abordados nos itens seguintes 23Dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à torção A avaliação teórica da resistência de vigas de concreto armado submetidas à torção foi feita considerandose uma treliça espacial figura 27 concebida inicialmente considerando que a viga apresenta fissuras inclinadas de 45 com o eixo longitudinal as diagonais comprimidas desenvolvemse em hélice com inclinação de 45 Os banzos paralelos representam a armadura longitudinal e os montantes verticais e horizontais representam estribos fechados a 90 com o eixo longitudinal da viga 19 Figura 27 Treliça espacial para viga submetida à torção 1 Segundo a norma NBR 6118 o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção considera um modelo resistente constituído por treliça espacial definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar Fig 28 A seção vazada equivalente é definida com espessura da parede igual a he calculada considerandose as seguintes expressões 20 Seção vazada equivalente Figura 28 Seção de concreto resistente à torção ABNT NBR 6118 2 Na figura 29 é apresentada uma ilustração dessa situação Figura 29 Seção de concreto resistente à torção ABNT NBR 6118 2 Segundo a ABNT NBR 6118 as diagonais de compressão dessa treliça formada por elementos de concreto têm inclinação que pode ser arbitrada no intervalo de 30 45 O ângulo de inclinação das bielas de compressão deve ser igual ao ângulo adotado no dimensionamento da viga à força cortante A resistência do elemento estrutural numa determinada seção deve ser verificada segundo os seguintes critérios 21 a verificação da compressão diagonal do concreto Tsd TRd2 αv2 1 fck 250 e fck em megapascal 14 fck fcd Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada real ou equivalente incluindo a parte vazada he é a espessura equivalente da parede da seção vazada real ou equivalente b Cálculo dos estribos Tsd TRd3 A90s área de um ramo vertical ou horizontal do estribo para equilibrar a treliça espacial c Cálculo da armadura longitudinal Tsd TRd4 d Armadura mínima de torção 22 Exemplo Livro ABNT NBR 61182014 Comentários e Exemplos de Aplicação Dimensionar e detalhar a viga simplesmente apoiada para as cargas verticais e engastada nas extremidades para a torção torção de equilíbrio da marquise esquematizada na figura abaixo O esquema estrutural e os diagramas de esforços também são apresentados na figura Considere concreto de classe C25 fck25 MPa aço CA50 cobrimento do aço 25 cm e d 755 cm para a altura útil da seção e peso específico do concreto armado γconc 25 kNm3 Medidas abaixo em cm Solução aAvaliação dos esforços solicitantes Carga na laje Peso próprio da laje 010 m x 25 kNm3 25 kNm2 Revestimento 10 kNm2 Sobrecarga 05 kNm2 TOTAL 40 kNm2 Carga vertical na viga Peso próprio da viga 030 x 080 x 25 kNm3 60 kNm Reação laje na viga 40 kNm2 x 215 m 86 kNm TOTAL 146 kNm Momento Torsor na viga 40 kNm2 x 215 m x 1 m x 215m2 92 kNxm 23 bCaracterísticas da seção vazada equialente Considerações iniciais C 25 cm Φt 100 mm estimado Φl 200 mm estimado C1 251010 45 cm Seção vazada equivalente 2xC1 he Au Ae bhexhhe uebhex2 hhex2 A 30 x 80 2400 cm2 U 3080x2 220 cm Au 109 cm 2c1 2 x 45 90 cm 90 he 109 Adotado he109 cm Logo Ae 30109 x 80109 1320 cm2 ue 30109 x 2 80109 x 2 1764 cm 24 cVerificação da Compressão diagonal do concreto Ação da força Cortante V apostila de concreto I Vsd 14 x 73 1022 kN VRd2 utilizando o modelo de cálculo I VRd2 027 αv2 fcd bw d αv2 1 fck 250 12525009 25 2 1786 178 14 14 fck f MPa kN cm cd VRd2 027x09x178 x30 x755 9797 kN VSd VRd2 1022 9797 OK Ação da torção T Tsd 14 x 46 644 kNm 6440 kNcm TRd2 05 αv2 fcd Ae he TRd205x09x178x1320x109115248kNcm TRd2 1152 kNm TSd TRd2 6441152 OK Ação Combinada V e T 10229397 6441152 0671 OK 25 ck dCálculo das armaduras Armadura longitudinal para torção A armadura longitudinal total considerando apenas a torção é aquela relativa ao perímetro ue fywd tensão de escoamento de cálculo da armadura Como o aço é CA50 fywd fywk 115 50115 435 kNcm2 Aslue 64402 x 1320 x 435 x tg45o 00561 cm2cm Com ue 1764 cm Asl 00561xue 00561x1764 989 cm2 Armadura longitudinal mínima para torção Taxa geométrica de armadura longitudinal ρsl ρsl Aslue x he 00561109 00051 Valor mínimo ρslmin 02 fctmfywk fctm 03 fck 2 303 252 3 256 MPa 0256 kN cm2 ρsl min 02 025650 00010 ρsl ρsl min OK 26 Armadura longitudinal para Flexão Md 14 x 1825 2555 kNm Verificação do Mdmin I bh312 30x803121280000 cm4 Y40 cm W0Iy fctksup13 x fctm 333 MPa 033 kNcm2 Mdmin8448 kNcm 8448 kNm Md Mdmin calcular As para resistir Md Momento positivo Md fc 085 x fcd 151 kNcm2 K 25550 151 x 30 x 7552 0098 KL sendo KL 0295 K K 0098 Ascalc As1 151 x 30 x 755 435 x 1 1 2 x 009812 813 cm2 Armadura mínima para a flexão Asmin 015 x 30 x 80 36 cm2 Ascalculado 813 cm2 Ascalculado Asmin OK 27 Detalhamento da Armadura longitudinal Armadura para torção Asl 0056 x ue 0056 x 1764 988 cm2 Se adotarmos 125 mm 9881226 8 barras de 125 mm Armadura inferior somando torção flexão da flexão As 813 cm2 da torção As 2 x 1226 2 barras de 125 mm AsTOTAL 813 2 x 1226 1058 cm2 Se adotarmos 16 mm 10582 53 barras de 160 mm ADOTAR 6 BARRAS DE 160 mm 28 ck Armadura Transversal estribos Estribos para resistir à torção As90s aço correspondente aos estribos As90s 64402 x 1320 x 435 x tg45o 00561 cm2cm 56 cm2m Armadura transversal mínima para torção Taxa geométrica de armadura longitudinal calculada ρsw ρsw As90bw x s 0056130 00019 considerando um ramo Valor mínimo ρswmin 02 fctmfywk considerando dois ramos fctm 03 fck 2 303 252 3 256 MPa 0256 kN cm2 ρsw min 02 025650 00010 Para um ramo 000102 000050 ρsw ρsw min OK 29 Estribos para resistir à força cortante ver apostila de concreto I Análise Inicial VcVc0 06 fctd bw d fctd fctkinfγc 23 07 07 0325 178 inf 179 2 128 0128 14 f f MPa ctk ctm f MPa kN cm ctd VcVc0 06 x 0128 x 30 x 755174 kN Análise para o cálculo dos estribos Vsw Vsd Vc 1022 174 7175 kN Isto significa que na seção com força cortante igual a 1022 kN toda a força cortante é resistida por mecanismos complementares Vc Seria necessário apenas uma armadura mínima neste caso os estribos poderão ser calculados da seguinte forma para resistir à torção e à força cortante T V 56 0 56 cm2m Análise final sobre os estribos O diâmetro dos estribos Φt deve ser 50 mm ϕt bw10 30 mm Se adotada 100 mm a área de aço para um ramo do estribo será πX124 0785 cm2 Número de estribos necessários por metro 560785 713 estribosm O espaçamento entre os estribos será 100 cm713 estribos 14 cm O espaçamento máximo entre os estribos st deve obedecer a menor das seguintes condições se Vd 067 VRd2 então smáx 06 d 300 mm se Vd067 VRd2 então smáx 03 d 200 mm st 06 d 06 755 453 cm st 30 cm E também st b 30 cm Adotar um estribo Φ100 mm a cada 14 cm 30 Referências Bibliográficas 1 TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Notas de aula do Prof Dr PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP Campus de BauruSP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil 2 TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Notas de aula da Prof Ana Paula Moura UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA ENGENHARIA E TECNOLOGIA ENGENHARIA CIVIL 3 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p 4 ABNT NBR 6118 Comentários e Exemplos de Aplicação Ed IBRACON 31 Tema 3 Levantamento de ações em pilares e análise estrutural 31 Introdução O levantamento de ações nos pilares de um edifício e a determinação dos diagramas de esforços solicitantes constituem uma tarefa de extrema importância no projeto de estruturas Para iniciarmos a discussão sobre esse tema vamos partir de uma estrutura convencional formada por lajes vigas e pilares Conforme visto na disciplina de concreto I devese calcular as ações nas lajes e avaliar como elas as transferem para suas vigas de apoio A avaliação das reações das lajes nas vigas pode ser feita adotandose métodos aproximados ou tabelas de cálculo Figura 31 Figura 31 Kimura 2007 As vigas vão transferir as cargas das lajes e outras ações diretamente aplicadas sobre elas inclusive seu peso próprio para os pilares Os pilares levarão todas as ações atuantes no edifício para as fundações Neste curso de concreto II vamos tratar apenas com as ações verticais portanto não serão consideradas as ações do vento Após a determinação de todas as ações devese escolher um modelo estrutural para representar a estrutura real em estudo No caso do edifício da Figura 1 vamos citar os seguintes modelos para análise estrutural pórtico espacial pórtico plano e viga contínua O pórtico espacial é um modelo 3D que possibilita a avaliação do comportamento de todo o conjunto formado pelos pilares vigas e lajes de todos os pavimentos Figura 32 Figura 32 Pórtico espacial httpdocstqscombr 32 O pórtico plano é um modelo mais simples e consiste na avaliação de cada pórtico do edifício separadamente em cada direção Figura 33 Figura 33 Pórticos Planos Outro modelo para análise estrutural permitido pela ABNT NBR 6118 é o modelo de viga contínua para o caso de edifícios usuais Figura 34 Figura 34 Kimura 2007 Neste tema do nosso curso adotaremos os modelos de pórtico planos e viga contínua uma vez que podemos utilizar programas gratuitos disponibilizados na internet Ftool para fazermos a análise estrutural 32 Análise Estrutural adotandose o modelo de pórtico plano Para aplicarmos os conceitos apresentados considere o seguinte exemplo prático CARVALHO e PINHEIRO 2009 que foi adaptado nestas notas de aula 33 EXEMPLO 1 Calcular os momentos fletores no topo e base dos pilares P1 P4 e P5 no 1º e 2º pavimentos para a estrutura dada em planta e em elevação na Figura 35 Adotar o modelo de Pórtico Plano PLANTA CORTE Figura 35 adaptado de CARVALHO e PINHEIRO 2009 Considerar como dados Lajes de vigotas préfabricadas de altura igual a 12 cm e peso próprio de 15 kNm² Revestimento de 05 kNm² carga acidental atuante na laje de 15 kNm² Paredes de tijolo maciço sobre as vigas do primeiro e segundo pavimentos com espessura de 15 cm acabada 270 cm de altura e peso específico de 18 kNm³ Carga acidental nas lajes do forro de 05 kNm² revestimento de 05 kNm² sem paredes sobre as vigas 34 Solução Cargas nas lajes de piso do 1 e 2º pavimentos Peso próprio da laje 15 kNm² Revestimento 05 kNm² Carga acidental 15 kNm² Total p 35 kNm² Cargas na laje de forro Peso próprio da laje 15 kNm² Revestimento 05 kNm² Carga acidental 05 kNm² Total p 25 kNm² Cargas nas vigas do pórtico central P4P5P6 1º e 2º pavimentos V2 e V20 Reação da laje 140 kNm 44 área da laje 2 metade da laje descarregando na viga 4 comprimento horizontal da viga para transformar para kNm x 2 duas lajes iguais descarregam no pórtico central Peso próprio da viga 012 03 25 09 kNm Peso da parede 015 270 18 73 kNm Total pviga 222 kNm Cargas nas vigas do pórtico central P4P5P6 V200 Reação da laje 100 kNm Peso próprio da viga 012 03 25 09 kNm Total pviga 109 kNm Figura 36 Representação pórtico P4P5P6 35 Figura 37 Modelo para análise estrutural pórtico plano P4P5P6 Cargas nas vigas dos pórticos P1P2P3 e P7P8P9 1º e 2º pav V1 e V10 e V3 e V30 Reação da laje 70 kNm Peso próprio da viga 09 kNm Peso da parede 73 kNm Total pviga 152 kNm Cargas nas vigas dos pórticos P1P2P3 e P7P8P9 V100 e V300 Ação da laje 50 kNm Peso próprio da viga 09 kNm Total pviga 59 kNm Figura 38 Representação pórticos P1P2P3P7P8P9 36 Figura 39 Modelo para análise estrutural pórticos planos P1P2P3 e P7P8P9 Cargas nas vigas dos pórticos P7P4P1 P8P5P2 e P9P6P3 Vigas V4 e V40 V5 e V50 e V6 e V60 Peso próprio da viga 09 kNm Peso da parede 73 kNm Total pviga 82 kNm Cargas nas vigas dos pórticos P7P4P1 P8P5P2 e P9P6P3 Vigas V400 V500 e V600 Peso próprio da viga 09 kNm Total pviga 09 kNm Figura 310 representação pórticos P7P4P1 P8P5P2 e P9P6P3 37 Figura 311 Modelo para análise estrutural pórticos planos P7P4P1 P8P5P2 e P9P6P3 Após o levantamento das ações nos pórticos que compõe a estrutura do edifício vamos utilizar o programa Ftool para determinar os momentos fletores nos pilares Os resultados obtidos no programa são apresentados nas figuras seguintes Figura 312 Momentos Fletores no Pórtico P4P5P6 Figura 313 Momentos Fletores nos Pórticos P1P2P3 P7P8P9 38 Figura 314 Momentos fletores nos Pórticos P7P4P1 P8P5P2 P9P6P3 Conforme solicitado no enunciado do exemplo devemos calcular os momentos fletores no topo e base dos pilares P1 P4 e P5 no 1º e 2º pavimentos Faremos a seguir um resumo para representar os valores dos momentos solicitados 39 Figura 315 PILAR P1 pilar de canto Desenho esquemático do pilar P1 pode ser um caso de FCO Flexão Composta Oblíqua Viga V1 x y orientação My 2º PAV 51 62 76 77 1º PAV Viga V4 x y orientação Mx Momentos My kNm Momentos Mx kNm 2º PAV 15 29 42 42 1º PAV Mx Força Normal My Viga V4 Viga V1 40 Figura 316 PILAR P4 pilar de extremidade Desenho esquemático do pilar P4 será um caso de FCN Flexão Composta Normal Viga V2 x y orientação My 2º PAV 86 96 109 1º PAV Momentos My kNm 112 Viga V4 y orientação Mx Momentos Mx kNm 2º PAV 1º PAV Viga V4 0 0 My Força Normal Viga V4 Viga V4 Viga V2 41 Figura 317 PILAR P5 pilar central Desenho esquemático do pilar P5 seria um caso de Compressão Simples Viga V2 x y orientação My 2º PAV 0 1º PAV Momentos My kNm Viga V2 0 Viga V5 y orientação Mx Momentos Mx kNm 2º PAV 1º PAV Viga V5 0 0 Força Normal Viga V2 Viga V2 Viga V5 Viga V5 42 Mas a norma ABNT NBR 6118 especifica que todo pilar deve ser dimensionado para resistir a um momento mínimo por este motivo esse pilar será tratado como um cado de FCN Flexão Composta Normal Os detalhes sobre o cálculo do momento mínimo será posteriormente EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Determinar os diagramas de Força Normal para os pilares P1 P4 e P5 do edifício dado no Exemplo 1 utilizando o modelo de pórtico plano Listar os valores de Força normal nos pilares citados para o pavimento térreo Depois listar os valores de Força normal nos pilares citados para o último pavimento EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Para a estrutura de concreto armado das figuras abaixo calcular os momentos fletores no topo e na base do pilar P8 entre o 1º e o 2º pavimentos Determinar também o valor de Força Normal Adotar o modelo de pórtico plano FAZER UM RESUMO PARA REPRESENTAR OS MOMENTOS E O VALOR DE FORÇA NORMAL CONFORME FEITO NO EXEMPLO 1 43 CORTE medidas em cm Para calcular as reações das lajes nas vigas de apoio utilize o método das charneiras plásticas que é apresentado nos vídeos seguintes httpswwwyoutubecomwatchvacCClrltlhQ httpswwwyoutubecomwatchvHq7XWWsZ2Q Considerar como dados Lajes maciças de concreto armado com peso específico de 25 kNm3 Revestimento de 10 kNm² e carga acidental de 15 kNm² Paredes de tijolo maciço sobre as vigas dos pavimentos com espessura de 15 cm acabada 240 cm de altura e peso específico de 18 kNm³ Carga acidental nas lajes do forro de 05 kNm² revestimento de 10 kNm2 Distância entre andares igual a 310 m eixo a eixo Observe que os pilares são retangulares com dimensões iguais a 20x30 cm 44 33 Momento Mínimo segundo a ABNT NBR 6118 2014 Na execução dos pilares podem ocorrer distorções geométricas denominadas falta de retilineidade e desaprumo A Figura 318 mostra um caso de desaprumo do pilar Figura 318 Desaprumo do pilar Fonte httpswwwcaumtgovbrlaudostecnicosrevelamfalhasgravesem13obrasdacopa Elas geram excentricidades acidentais a que resultam em momentos fletores adicionais nos pilares Conforme mostrado na Figura 319 o desaprumo do pilar causa um momento máximo adicional Mmax Nd x ea Figura 319 Momento adicional devido ao desaprumo 45 No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar Figura 320 Figura 320 Excentricidades acidentais em pilares Segundo a ABNT NBR 6118 o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem em torno de cada eixo Figura 321 Representação de M1dmin O valor do M1dmin deve ser adotado como M1dmín Nd 0015 003h Lembrando que Nd N x 14 Onde 14 coeficiente de majoração das ações para projeto Nd Força normal de cálculo M1dmín momento mínimo de primeira ordem de cálculo e h dimensão do pilar na direção perpendicular ao momento analisado ver Figura 321 Nessa equação h deve ser inserido em metros 46 O momento mínimo deve ser calculado em torno de cada eixo separadamente e é considerado constante ao longo do pilar como mostrado na Figura 322 Figura 322 Diagrama de momento mínimo no pilar Ressaltase que para pilares de seção retangular podese definir uma envoltória mínima de 1ª ordem tomada a favor da segurança de acordo com a Figura 323 Figura 323 Envoltória mínima de 1ª ordem Neste caso a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando no dimensionamento adotado obtémse uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª ordem A Figura 323 ilustra que os pontos que interceptam os eixos coordenados correspondem a situações de FCN quando existe momento em uma direção valor diferente de zero e nenhum momento na outra direção momento zero As componentes em FCN foram chamadas M1dmínxx momento em torno do eixo x e M1dmínyy momento em torno de y Os casos de FCO são pontos de coordenadas M1dminxM1dmíny 47 Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das direções do pilar a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem Este será o tema de nossos próximos estudos Ressaltase que conforme citado acima a norma NBR ABNT 61182014 considera que o efeito das imperfeições locais nos pilares denominados em algumas bibliografias como excentricidade acidental pode ser substituído pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem M1dmin A este momento mínimo devem ser acrescidos os momentos de 2ª ordem caso sejam relevantes Esta consideração é importante porque segundo Carvalho e Pinheiro 2009 os pilares de concreto podem apresentar imperfeições tais como falta de retilineidade desaprumo dimensões da seção transversal distribuição da armadura etc Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas pelos coeficientes de segurança mas as imperfeições dos eixos dos pilares devem ser destacadas e consideradas como excentricidades acidentais uma vez que podem ter um efeito significativo sobre a estabilidade do pilar Logo ao se considerar o momento mínimo somado ao efeito de 2ª ordem têmse uma avaliação indireta das imperfeições geométricas locais dos pilares e suas consequências no comportamento dos mesmos EXEMPLO 2 aDeterminar os valores de Momento mínimo em torno do eixo x e em torno do eixo y para o pilar P1 do edifício dado no EXEMPLO 1 Avaliar apenas o pavimento térreo do edifício Fazer um desenho esquemático para representar os momentos mínimos bCom base nos dados da letra a fazer um desenho esquemático para representar os valores de Momento mínimo em torno do eixo x e em torno do eixo y para o pilar P1 considerando as componentes em FCN Desenhar também os momentos aplicados no topo e na base do pilar P1 considerando as componentes como FCO ver EXEMPLO 1 48 Solução Para calcularmos os momentos mínimos precisamos dos valores de Força normal aplicados ao pilar logo vamos reproduzir abaixo os diagramas de força normal P1P2P3 P4P7P1 VALORES DE FORÇA NORMAL kN Pilar TÉRREO P1 988 49 aPilar P1 M1dmín XX M1dmínXX Nd 0015 003h Nd 988 x 14 13832 kN M1dmínXX 13832 0015 003x020 290 kNxm Pilar P1 M1dmín YY M1dmínYY Nd 0015 003h Nd 988 x 14 13832 kN M1dmínYY 13832 0015 003x020 290 kNxm bPilar P1 Em torno do eixo X Momento mínimo M1dmín XX kNxm Momento aplicado ao pilar M1d X kNxm SEÇÃO TOPO DO PILAR M1d X 28 x 14 392 SEÇÃO BASE DO PILAR M1d X 14 x 14 196 Pilar P1 Em torno do eixo Y Momento mínimo M1dmín YY kNxm Momento aplicado ao pilar M1d Y kNxm SEÇÃO TOPO DO PILAR M1d Y 53 x 14 742 SEÇÃO BASE DO PILAR M1d Y 27 x 14 378 50 EXERCÍCIO PROPOSTO 3 aDeterminar os valores de Momento mínimo em torno do eixo x e em torno do eixo y para os pilares P4 e P5 do edifício dado no EXEMPLO 1 Avaliar apenas o pavimento térreo do edifício Fazer um desenho esquemático para representar os momentos mínimos bCom base nos dados da letra a fazer um desenho esquemático para representar os valores de Momento mínimo em torno do eixo x e em torno do eixo y para os pilares P4 e P5 considerando as componentes em FCN Desenhar também os momentos aplicados no topo e na base dos pilares P4 e P5 considerando as componentes como FCO ver EXEMPLO 1 34 Análise Estrutural adotandose o modelo de viga contínua Conforme citado anteriormente outro modelo para análise estrutural permitido pela NBR 6118 é o modelo de viga contínua para o caso de edifícios usuais Figura 1 Figura 324 De acordo com Carvalho e Pinheiro 2009 na ligação vigapilar existe certa rigidez não é uma rótula conforme mostrado no modelo de viga contínua e o momento fletor transmitido pela viga não pode ser desprezado Figura 325 51 Figura 325 Ligação entre vigas e pilares CARVALHO PINHEIRO 2009 No modelo de viga contínua considerase inicialmente os pilares extremos como apoios simples e determinase o diagrama de momentos fletores Posteriormente calculamse os valores dos momentos de engastamento perfeito nos pilares extremos e intermediário Por fim avaliase o valor do momento na ligação da viga com os pilares extremos com base no valor do momento devido a um engastamento perfeito Figura 326 Figura 326 Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga com os pilares BASTOS 2017 52 De acordo com a NBR 61182014 é permitida a utilização do modelo clássico de viga contínua simplesmente apoiada nos pilares para o estudo das cargas verticais observandose a necessidade das seguintes correções adicionais Quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio medida na direção do eixo da viga for maior que a quarta parte da altura do pilar não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio Figura 327 Figura 327 Momento de ligação da viga com o pilar intermediário BASTOS 2017 nos apoios extremos os momentos fletores podem ser calculados pelas seguintes relações 53 Na extremidade da viga Figura 328 Desenho esquemático Mextrviga No tramo superior do pilar Figura 329 Desenho esquemático M1psup No tramo inferior do pilar Figura 330 Desenho esquemático M1pinf Em que rinf rsup rviga é a rigidez de cada elemento i no nó em foco pilar inferior superior e viga sendo Ii a inércia do elemento e li conforme a Figura 331 Meng é o momento de engastamento perfeito na ligação vigapilar M1psup é o momento na extremidade inferior do pilar superior seção base do pilar superior M1pinf é o momento na extremidade superior do pilar inferior seção de topo do pilar inferior 54 Figura 331 Valores de li a adotar em apoios extremos CARVALHO PINHEIRO 2009 O que ocorre na verdade é que o sistema de vigas e pilares que compõe a estrutura da edificação funciona como um pórtico o qual deveria ser calculado para determinar corretamente os momentos no pilar Por essa razão os momentos na ligação vigapilar calculados segundo a metodologia simplificada apresentada na NBR 61182014 são apenas uma aproximação que pode em alguns casos diferir bastante do valor correto EXEMPLO 3 Calcular os momentos fletores no topo e base do pilar P1 2º pavimento ligação com a viga V1 e ligação com a viga V10 para a estrutura dada em planta e em elevação na Figura 332 Adotar o modelo de Viga contínua PLANTA 55 CORTE Figura 332 adaptado de CARVALHO e PINHEIRO 2009 Considerar como dados Lajes de vigotas préfabricadas de altura igual a 12 cm e peso próprio de 15 kNm² Revestimento de 05 kNm² carga acidental atuante na laje de 15 kNm² Paredes de tijolo maciço sobre as vigas do primeiro e segundo pavimentos com espessura de 15 cm acabada 270 cm de altura e peso específico de 18 kNm³ 56 Solução Cargas nas lajes de piso do 1 e 2º pavimentos Peso próprio da laje 15 kNm² Revestimento 05 kNm² Carga acidental 15 kNm² Total p 35 kNm² Cargas na viga V1 Cargas na viga V10 Reação da laje 70 kNm Peso próprio da viga 09 kNm Peso da parede 73 kNm Total pviga 152 kNm Modelo para análise estrutural Viga contínua Após o levantamento das ações na viga vamos utilizar o programa Ftool para determinar os momentos fletores na viga e as reações de apoio nos pilares Os resultados obtidos no programa são apresentados nas figuras seguintes 57 Cálculo do momento negativo na ligação da viga V1 com o pilar P1 M1d y Pilar P1 M1dy Meng pl² 12 1524² 12 2027 kNm ver figura 3 rviga Iviga l 675 x 105 m³ rpilar rinf rsup 889 x 105 m³ Como rinf rsup M1pinf M1psup 735 kNm 58 Cálculo do momento negativo na ligação da viga V10 com o pilar P1 M1d y Pilar P1 M1dy Meng pl² 12 1524² 12 2027 kNm ver figura 3 rviga Iviga l 675 x 105 m³ rpilar rinf rsup 889 x 105 m³ Como rinf rsup M1pinf M1psup 735 kNm 59 Comparação dos valores de momentos com os valores obtidos no pórtico momentos fletores no topo e base do pilar P1 2º pavimento Observase que para este exemplo os valores obtidos com o modelo simplificado da norma 735 tiveram uma boa aproximação com os valores obtidos com o modelo de pórtico 76 e 77 60 Tema 4 Efeito de 2ª ordem em pilares No capítulo anterior fizemos uma análise estrutural para determinarmos as reações de apoio os esforços solicitantes e os deslocamentos da estrutura e consideramos o equilíbrio da estrutura na configuração geométrica inicial Ou seja os eixos dos pilares e das vigas foram modelados no Ftool como elementos retos Esta análise é chamada de Análise de 1ª ordem Na análise de 1ª ordem observamos que quando a estrutura foi solicitada pelas ações ela se deformou Analisamos também que as deformações estavam relacionadas à ordem de grandeza das ações e à rigidez do pilar na direção considerada x ou y Nesse capítulo vamos verificar que essas deformações podem gerar efeitos importantes no pilar uma vez que elas produzem momentos adicionais ao mesmo Para exemplificar isto imagine o pilar sendo analisado de forma isolada conforme mostrado na Figura 41 Figura 41 Deformada dos pilares de um edifício Para o pilar isolado podemos adotar um modelo teórico com a representação dos momentos de 1ª ordem M1 no topo e na base do pilar conforme mostrado na Figura 42 Figura 42 modelo para análise do pilar isolado Analisando a forma deformada de um pilar como o mostrado na Figura 42 observase que numa seção crítica entre o topo e a base do pilar existe um deslocamento w que causará um Nd 61 acréscimo de momentos no pilar momentos de segunda ordem M2 Nd x w O momento total nesta seção será a soma dos momentos de 1ª ordem M1 com os momentos de 2ª ordem M2 Portanto considerar os efeitos de 2ª ordem significa analisar o equilíbrio considerando a configuração deformada da estrutura Métodos para determinação do momento de 2ª ordem Existem alguns métodos para a determinação dos momentos de 2ª ordem em pilares de concreto armado Os que se aproximam mais do comportamento real da estrutura exigem cálculos mais sofisticados e o uso de programas de computadores Método Geral ou exato ou método com diagramas acoplados Outros métodos são aproximados e podem ser utilizados considerandose determinadas características dos pilares tais como o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada e o Método do pilarpadrão com rigidez κ kapa aproximada Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Carvalho e Pinheiro 2009 É permitido para pilares com índice de esbeltez λ 90 com seção constante e com armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo Utiliza equações diferenciais em um modelo aproximado de deformação com maior curvatura na seção central do pilar para pilares com extremidades rotuladas Figura 43 Deformada do pilar padrão httpmaisengenhariaaltoqicombrestruturalpilaresno comportamentodeumaestrutura Figura 43 Pilarpadrão com curvatura aproximada site AltoQi 62 Observe que a forma deformada do pilar mostrada na Figura 43 é uma situação aproximada para a deformada do pilar mostrada na Figura 42 Para o modelo de deformação do pilar padrão mostrado na Figura 43 tornase mais fácil a determinação do valor de w e do momento M2 A forma deformada do pilar é admitida como senoidal e com uma função conhecida podese facilmente determinar w Mas não vamos discutir os detalhes dessa determinação Passemos adiante para questões de aplicação mais direta O momento de 2ª ordem para o método do pilar padrão com curvatura aproximada pode ser definido por M2d Nd w Com e ν 05 1 M2d momento de 2ª ordem de cálculo Nd esforço normal de cálculo h dimensão do pilar perpendicular ao momento analisado le comprimento equivalente nas direções x ou y Figura 4 Ac área de concreto da seção do pilar Figura 44 Definição de le Segundo a NBR 61182014 o comprimento equivalente e do elemento comprimido pilar suposto vinculado em ambas as extremidades deve ser o menor dos seguintes valores e 0 h e onde 0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais supostos horizontais que vinculam o pilar e é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado 63 O momento total considerado numa seção entre o topo e a base do pilar será obtido considerandose a seguinte expressão Mdtotal αb M1dA M2d M1dA Mdtotal momento total solicitante de cálculo M1dA maior momento de primeira ordem solicitante de cálculo M2d momento de segunda ordem solicitante de cálculo αb coeficiente definido abaixo a para pilares biapoiados sem cargas transversais 0 40 M 0 40 M 0 60 A B b 10 b 04 onde MA e MB são os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar obtidos na análise de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais 1ª ordem 2ª ordem global no caso de estruturas de nós móveis MA é o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado MB deve ser inserido na fórmula com sinal positivo quando tracionar a mesma face de MA e negativo quando tracionar faces opostas a MA conforme mostrado na Figura abaixo b para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura b 10 c para pilares em balanço 0 85 M 0 20 M 0 80 A C b 10 b 085 onde MA é o momento de 1a ordem no engaste e MC é o momento de 1a ordem no meio do pilar em balanço d pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimob 10 64 Critério para consideração do efeito de 2ª ordem Pela norma quando o índice de esbeltez do pilar λ λ1 os esforços locais de segunda ordem em elementos isolados podem ser desprezados Por conseguinte se λ λ1 os efeitos de segunda ordem devem ser considerados O valor de λ1 deve ser calculado considerandose a seguinte expressão M1d momento de primeira ordem de cálculo de maior valor absoluto Observase desta forma que a importância do efeito de 2ª ordem M2 está relacionada entre outros fatores com o índice de esbeltez do pilar ver figura seguinte O índice de esbeltez em torno de cada eixo é dado por é o índice de esbeltez em torno do eixo y é o índice de esbeltez em torno do eixo x com e Sendo le comprimento equivalente conforme definido na figura 44 i raio de giração em x ou y I momento de inércia em x ou y A área da seção transversal do pilar A NBR 61182014 define que os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 65 Combinação de Momentos de 1ª ordem e de 2ª ordem Nos ítens anteriores foram discutidos alguns métodos para a determinação dos momentos de 1ª ordem e de 2ª ordem nas seções ao longo do eixo de um pilar seção de topo seção de base e seção intermediária entre o topo e a base Um exemplo dessa distribuição de momentos pode ser vista na Figura 45 Figura 45 Esforços solicitantes num lance de pilar O primeiro diagrama mostrado na figura referese à força normal solicitante no pilar No segundo diagrama são apresentados os momentos aplicados ao pilar sendo que a parte mais clara refere se aos momentos de 1ª ordem e a parte mais escura referese aos momentos de 2ª ordem Nesta figura o pilar está submetido apenas a momentos em torno do eixo x caso de Flexão Composta Normal FCN Além da avaliação dos momentos de 1ª ordem e se for o caso dos momentos de 2ª ordem a NBR 61182014 especifica a verificação de um momento mínimo de 1ª ordem Essa verificação deve ser feita em torno do eixo x considerando um caso de FCN Flexão Composta Normal e também deve ser feita em torno do eixo y considerando novamente um caso de FCN separadamente A combinação dos momentos de 1ª ordem e de 2ª ordem bem como a avaliação do momento mínimo serão apresentados por meio de exemplos resolvidos nos itens seguintes Exemplos resolvidos e exercícios propostos baseados no livro Comentários e Exemplos de Aplicação da NBR 61182014 66 EXEMPLO RESOLVIDO 41 FCN Flexão Composta Normal Determinar os esforços finais para o dimensionamento da armadura do pilar mostrado abaixo Seção do pilar fck 20 MPa M1dx 0 Resolução aCálculo dos Índices de esbeltez Em torno do eixo y 3 55203 4 3666667 12 12 3666667 577 2055 300 52 577 bh I cm y Iy i cm y A ley y iy Em torno do eixo x 3 20553 4 27729167 12 12 27729167 1588 2055 300 19 1588 bh I cm x Ix i cm x A lex x ix Nd950 kN 67 bVerificação dos momentos mínimos 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes FCN com M1dmin em torno do eixo y Cálculo de M1dymin 1 min 0015 003 1 min 9500015 003020 1995 M dy Nd h M dy kN m Avaliação do efeito de 2ª ordem M1dymin Se λy λ1y os momentos de segunda ordem não precisam ser considerados 1 min 25 125 1 1995 950 25 125 02 2631 1 1 M dy Nd h y b y Devese considerar 35 λ1y 90 adotar λ1y 35 αb 1 para o caso do momento mínimo A análise do efeito de 2ª ordem fica então λy 52 λ1y 35 Considerar efeito de 2ª ordem associado ao momento mínimo Momento de 2a ordem M2 2 0005 2 10 05 950 060 2 205514 32 0005 950 1943 2 10 1102 le M N dy d h Nd A c f cd M kN m dy ν 05 1 e para o problema 06 05 11 OK Daí adotar Mdymin M1dymín M2dy 1995 1943 Mdymin 3938 kNm A distribuição dos momentos topo intermediária e base considerandose o momento de 2ª ordem é mostrada abaixo FCN com M1dmin em torno do eixo x Cálculo de M1dxmin 1 min 0015 003 1 min 9500015 003055 2992 M dx Nd h M dx kN m Avaliação do efeito de 2ª ordem M1dxmin Se λx λ1x os momentos de segunda ordem não precisam ser considerados 1 min 25 125 1 2992 950 25 125 055 2572 1 1 M dx Nd h x b x Devese considerar 35 λ1x 90 adotar λ1x 35 αb 1 para o caso do momento mínimo A análise do efeito de 2ª ordem fica então λx 19 λ1x 35 Não considerar efeito de 2ª ordem associado ao mom mínimo em torno do eixo x Daí adotar Mdxmín 2992 kNm 68 Após avaliar os momentos mínimos devese avaliar os momentos de 1ª ordem aplicados ao pilar e os efeitos de 2ª ordem correspondentes Desta forma continuemos a nossa avaliação cVerificação dos momentos de 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes FCN com M1dy em torno do eixo y M1dyA 15 kNm MAmaior momento de 1ª ordem aplicado ao pilar M1dyB 13 kNm MBmenor momento de 1ª ordem aplicado ao pilar Como M1dyA M1dymin αb 1 Devese considerar 35 λ1y 90 adotar λ1y 35 A análise do efeito de 2ª ordem fica então λy 52 λ1y 35 Considerar efeito de 2ª ordem Daí adotar Mdy M1dy M2dy 15 1943 Mdy 3443 kNm Adotar o diagrama Mdy conforme mostrado na figura abaixo para as seções de topo de base e intermediária FCN com M1dx em torno do eixo x M1dx 0 Adotar Mdxtot Mdxmín 2992 kNm em qualquer seção do pilar topo intermediária e base 69 EXEMPLO RESOLVIDO 42 FCN Flexão Composta Normal Determinar os esforços finais para o dimensionamento da armadura do pilar mostrado abaixo Seção do Pilar fck 20 MPa M1dx 0 Resolução aCálculo dos Índices de esbeltez Valores iguais ao do exercício 41 bVerificação dos momentos mínimos 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes Valores iguais ao do exercício 41 Nd950 kN 70 cVerificação dos momentos de 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes FCN com M1dy em torno do eixo y M1dyA 45 kNm MAmaior momento M1dyB 20 kNm MBmenor momento Como M1dyA M1dymin 04 αb 10 20 06 04 042 45 b 1 45950 25 125 25 125 02 6657 1 1 042 M dy A Nd h y y b Devese considerar 35 λ1y 90 adotar λ1y 666 A análise do efeito de 2ª ordem fica então λy 52 λ1y 666 Não considerar efeito de 2ª ordem Adotar o diagrama Mdy conforme mostrado na figura abaixo para as seções de topo e de base FCN com M1dx em torno do eixo x M1dx 0 Adotar Mdxtot Mdxmín 2992 kNm em qualquer seção do pilar topo intermediária e base 71 EXEMPLO RESOLVIDO 43 FCN Flexão Composta Normal Determinar os esforços finais para o dimensionamento da armadura do pilar mostrado abaixo Seção do pilar fck20 MPa M1dx 0 aCálculo dos Índices de esbeltez Valores iguais ao do exercício 41 bVerificação dos momentos mínimos 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes Valores iguais ao do exercício 41 Nd950 kN 72 cVerificação dos momentos de 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes FCN com M1dy em torno do eixo y M1dyA 28 kNm MAmaior momento M1dyB 10 kNm MBmenor momento Como M1dyA M1dymin 04 αb 10 10 06 04 074 28 b 1 28950 25 125 25 125 02 3627 1 1 074 M dy A Nd h y y b Devese considerar 35 λ1y 90 adotar λ1y 363 λy 52 λ1y 363 Considerar efeito de 2ª ordem Daí Mdy Tot αbM1dy M2dy 074 28 1943 Mdy Tot 4015 kNm Adotar MdyTot 4015 kNm conforme mostrado na figura FCN com M1dx em torno do eixo x M1dx 0 Adotar Mdxtot Mdxmín 2992 kNm em qualquer seção do pilar topo intermediária e base 73 EXEMPLO RESOLVIDO 44 FCO Flexão Composta Oblíqua Determinar os esforços finais para o dimensionamento da armadura do pilar mostrado abaixo Seção do pilar fck20 MPa aCálculo dos Índices de esbeltez Valores iguais ao do exercício 41 bVerificação dos momentos mínimos 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes Valores iguais ao do exercício 41 Nd950 kN 74 cVerificação dos momentos de 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes M1dy em torno do eixo y M1dyA 38 kNm MAmaior momento M1dyB 10 kNm MBmenor momento Como M1dyA M1dymin 04 αb 10 10 06 04 049 38 b 1 38950 25 125 25 125 02 5612 1 1 049 M dy A Nd h y y b Devese considerar 35 λ1y 90 adotar λ1y 56 λy 52 λ1y 56 Não considerar efeito de 2ª ordem Adotar o diagrama Mdy conforme mostrado na figura abaixo para as seções de topo e de base M1dx em torno do eixo x M1dxA 35 kNm MAmaior momento M1dxB 10 kNm MBmenor momento Como M1dxA M1dxmin 04 αb 10 10 06 04 049 35 b 1 25 125 1 35950 25 125 055 527 1 049 M dx A Nd h x b x Devese considerar 35 λ1x 90 adotar λ1x 53 λx 19 λ1x 53 Não considerar efeito de 2ª ordem Adotar o diagrama Mdx conforme mostrado na figura abaixo para as seções de topo e de base 75 EXEMPLO RESOLVIDO 45 FCO Flexão Composta Oblíqua Determinar os esforços finais para o dimensionamento da armadura do pilar mostrado abaixo Seção do pilar fck20 MPa aCálculo dos Índices de esbeltez Valores iguais ao do exercício 41 bVerificação dos momentos mínimos 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes Valores iguais ao do exercício 41 cVerificação dos momentos de 1ª ordem e dos efeitos de 2ª ordem correspondentes Nd950 kN 76 M1dy em torno do eixo y M1dyA 65 kNm MAmaior momento M1dyB 0 kNm MBmenor momento Como M1dyA M1dymin 04 αb 10 Devese considerar 35 λ1y 90 adotar λ1y 49 λy 52 λ1y 49 Considerar efeito de 2ª ordem Daí Mdy Tot αbM1dy M2dy 06 65 1943 584 kNm Adotar o diagrama Mdy conforme mostrado na figura abaixo para as seções de topo intermediária e de base M1dx em torno do eixo x M1dxA 51 kNm MAmaior momento M1dxB 5 kNm MBmenor momento Como M1dyA M1dymin 04 αb 10 λx 19 λ1x 468 Embora o índice de esbeltez limite não tenha sido ultrapassado para este caso de FCO é necessário considerar os efeitos de 2ª ordem tanto em x quanto em y 950 060 2 205514 32 0005 950 707 2 10 11055 Nd A c f cd M kN m dx Daí Mdx Tot αbM1dx M2dx 056 51 707 MdxTot356 kNm Adotar o diagrama Mdx conforme mostrado na figura abaixo 77 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1Resolver novamente os exemplos 41 42 43 44 e 45 considerando a seção dos pilares com as seguintes medidas Seção do pilar medidas em cm Os demais dados para o problema serão os mesmos para simular uma situação em que seja necessário diminuir as dimensões dos pilares mantendose os esforços a que eles serão submetidos 40 78 Tema 5 Dimensionamento com ábacos No capítulo anterior foram discutidos vários exemplos de combinação dos momentos de 1ª ordem e de 2ª ordem nas seções ao longo do eixo de um pilar seção de topo seção de base e seção intermediária entre o topo e a base Este capítulo abordará o dimensionamento do pilar e o cálculo das barras de aço longitudinais Na Figura 51 são mostradas barras de aço longitudinais para resistir aos esforços solicitantes Força Normal e Momentos fletores bem como estribos para evitar a flambagem das barras longitudinais A armadura do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência atenda às solicitações correspondentes aos esforços mínimos e aos esforços solicitantes nas seções de topo base e intermediária Figura 51 Armadura de pilares LEONHARDT MÖNNIG 1978 O cálculo das barras longitudinais do pilar pode ser feito adotandose ábacos adimensionais desenvolvidos por vários autores Esses ábacos são uma coletânea de diagramas de interação semelhantes aos estudados no curso de concreto I Os exemplos seguintes apresentarão alguns casos de dimensionamento da armadura de pilares 79 EXEMPLO RESOLVIDO 51 Calcule a armadura longitudinal necessária para a seção de concreto resistir aos esforços analisados no exemplo 41 FCN considerandose d de 5 cm e aço CA50 Solução aDimensionamento da armadura para resistir aos esforços mínimos FCN com Mdymin em torno do eixo y FCN com Mdxmin em torno do eixo x Adotar Mdxtot Mdxmín 2992 kNm em qualquer seção do pilar topo intermediária e base O detalhamento das barras na seção transversal deve seguir o seguinte critério pelo Abaco A2 a armadura deve ser paralela ao lado b Para esse caso não seria necessária armadura nesta direção 80 bDimensionamento da armadura para resistir aos esforços solicitantes nas seções do pilar FCN com Mdytot em torno do eixo y Flexão Normal entre o topo e a base do pilar FCN com Mdxtot em torno do eixo x Mdxtot 0 c Avaliação da Armadura mínima e da Armadura máxima na seção transversal do pilar Asmín 015Ndfyd 01595050115 327 cm² e 0004AC 0004205544 cm2 logo Asmín 44 cm2 Asmáx 004AC 44 cm2 81 Depois de fazer as análises apresentadas nas letras ab e c podemos adotar o detalhamento final para a armação do pilar de forma a atender todos os critérios Conforme calculado nos itens anteriores a área de aço para resistir aos esforços mínimos e aos esforços solicitantes nas seções de topo base e intermediária do pilar será igual a 795 cm2 Esse valor também atende aos requisitos de armadura mínima e armadura máxima verificados na letra c Neste exemplo para o detalhamento dessa armadura na seção do pilar serão adotadas barras de 125 mm Para barras de 125 mm nnúmero de barras 795123 65 barras Como as barras devem ser detalhadas simetricamente na seção do pilar adotaremos 8 barras longitudinais Conforme mostrado no Abaco A5 a armadura deve ser paralela ao lado b detalhandose metade das barras para cada lado logo PLANTA 8 ϕ 125 mm Asadotado982 cm2 82 EXEMPLO RESOLVIDO 52 Para o exemplo 42 FCN considerando d de 5 cm e aço CA50 calcule a armadura longitudinal necessária para a seção de concreto resistir aos esforços solicitantes avaliados no capítulo 4 aDimensionamento da armadura para resistir aos esforços mínimos idem letra a do Exemplo resolvido 51 bDimensionamento da armadura para resistir aos esforços solicitantes nas seções do pilar FCN com Mdytot em torno do eixo y Flexão Normal no topo do pilar Nd 950 kN 950 060 2 205514 Nd A f c cd Mdytot45 kNm 4500 014 2 20552014 Md A h f c cd dh 520 025 Ábaco A5 ω 03 032055 2 14 50 115 2 1084 A f c cd As fyd A cm s FCN com Mdxtot tem torno do eixo x Mdxtot 0 c Avaliação da Armadura mínima e da Armadura máxima na seção transversal do pilar Asmín 015Ndfyd 01595050115 327 cm² e 0004AC 0004205544 cm2 logo Asmín 44 cm2 Asmáx 004AC 44 cm2 b 83 Depois de fazer as análises apresentadas nas letras ab e c podemos adotar o detalhamento final para a armação do pilar de forma a atender todos os critérios Conforme calculado nos itens anteriores a área de aço para resistir aos esforços mínimos e aos esforços solicitantes nas seções de topo base e intermediária do pilar será igual a 1084 cm2 Esse valor também atende aos requisitos de armadura mínima e armadura máxima verificados na letra c Neste exemplo para o detalhamento dessa armadura na seção do pilar serão adotadas barras de 125 mm Para barras de 125 mm nnúmero de barras 1084123 88 barras Como as barras devem ser detalhadas simetricamente na seção do pilar adotaremos 10 barras longitudinais Conforme mostrado no Abaco A5 a armadura deve ser paralela ao lado b detalhandose metade das barras para cada lado logo 10 ϕ 125 mm Asadotado123 cm2 10 ϕ 125 mm Asadotado123 cm2 84 EXEMPLO RESOLVIDO 53 Para o exemplo 43 FCN considerando d de 5 cm e aço CA50 calcule a armadura longitudinal necessária para a seção de concreto resistir aos esforços solicitantes avaliados no capítulo 4 aDimensionamento da armadura para resistir aos esforços mínimos idem letra a do Exemplo resolvido 51 bDimensionamento da armadura para resistir aos esforços solicitantes nas seções do pilar FCN com Mdytot em torno do eixo y Nd 950 kN 950 060 2 205514 Nd A f c cd Mdytot4015 kNm 4015 013 2 20552014 Md A h f c cd dh 520 025 Ábaco A5 ω 025 0252055 2 14 50 115 2 904 A f c cd As fyd A cm s FCN com Mdxtot em torno do eixo x Mdxtot 0 c Avaliação da Armadura mínima e da Armadura máxima na seção transversal do pilar Asmín 015Ndfyd 01595050115 327 cm² e 0004AC 0004205544 cm2 logo Asmín 44 cm2 Asmáx 004AC 44 cm2 b 85 Depois de fazer as análises apresentadas nas letras ab e c podemos adotar o detalhamento final para a armação do pilar de forma a atender todos os critérios Conforme calculado nos itens anteriores a área de aço para resistir aos esforços mínimos e aos esforços solicitantes nas seções de topo base e intermediária do pilar será igual a 904 cm2 Esse valor também atende aos requisitos de armadura mínima e armadura máxima verificados na letra c Neste exemplo para o detalhamento dessa armadura na seção do pilar serão adotadas barras de 125 mm Para barras de 125 mm nnúmero de barras 904123 73 barras Como as barras devem ser detalhadas simetricamente na seção do pilar adotaremos 8 barras longitudinais Conforme mostrado no Abaco A5 a armadura deve ser paralela ao lado b detalhandose metade das barras para cada lado logo PLANTA 8 ϕ 125 mm Asadotado982 cm2 86 EXEMPLO RESOLVIDO 54 FCO Para o exemplo 44 FCO considerandose d igual a 5 cm e aço CA50 calcule a armadura longitudinal necessária para a seção de concreto resistir aos esforços solicitantes avaliados no capítulo 4 aDimensionamento da armadura para resistir aos esforços mínimos De acordo com a ABNT NBR 6118 mesmo para pilares submetidos à FCO a armadura para resistir aos esforços mínimos deve ser calculada considerandose FCN em torno de cada eixo separadamente Logo a armadura para resistir aos esforços mínimos para esse exemplo será calculada conforme feito na letra a do Exemplo resolvido 51 sendo igual a 795 cm2 87 bDimensionamento da armadura para resistir aos esforços solicitantes nas seções do pilar considerandose FCO Análise dos esforços na FCO dxhx 555 009 dyhy 520 025 Ábaco 5A Flexão Composta Oblíqua FCO no topo do pilar 950 060 2 205514 Nd A f c cd 1000 003 2 20552014 Mdy y A h f c y cd Ábaco 5A ω 00 Flexão Composta Oblíqua FCO na base do pilar 950 060 2 205514 Nd A f c cd 1000 001 2 20555514 Mdx x A h f c x cd 3800 012 2 20552014 Mdy y A h f c y cd Ábaco 5A ω 015 0152055 2 14 2 542 50 115 A f c cd A cm s fyd c Avaliação da Armadura mínima e da Armadura máxima na seção transversal do pilar Asmín 015Ndfyd 01595050115 327 cm² e 0004AC 0004205544 cm2 logo Asmín 44 cm2 Asmáx 004AC 44 cm2 88 Depois de fazer as análises apresentadas nas letras ab e c podemos adotar o detalhamento final para a armação do pilar de forma a atender todos os critérios Conforme calculado nos itens anteriores a área de aço para resistir aos esforços mínimos considerandose FCN795 cm2 A área de aço para resistir aos esforços solicitantes nas seções de topo base e intermediária do pilar considerandose FCO 542 cm2 Neste caso será adotada a maior área de aço calculada 795 cm2 uma vez que esse valor também atende aos requisitos de armadura mínima e armadura máxima verificados na letra c Neste exemplo para o detalhamento dessa armadura na seção do pilar serão adotadas barras de 125 mm Para barras de 125 mm nnúmero de barras 795123 65 barras Como as barras devem ser detalhadas simetricamente na seção do pilar adotaremos 8 barras longitudinais Conforme mostrado no Abaco A5 a armadura deve ser paralela ao lado b detalhandose metade das barras para cada lado logo PLANTA 8 ϕ 125 mm Asadotado982 cm2 89 EXEMPLO RESOLVIDO 55 FCO Para o exemplo 55 FCO considerandose d igual a 5 cm e aço CA50 calcule a armadura longitudinal necessária para a seção de concreto resistir aos esforços solicitantes avaliados no capítulo 4 aDimensionamento da armadura para resistir aos esforços mínimos idem letra a do Exemplo resolvido 54 bDimensionamento da armadura para resistir aos esforços solicitantes nas seções do pilar considerandose FCO Análise dos esforços na FCO dxhx 555 009 e dyhy 520 025 Ábaco 5A Flexão Composta Oblíqua FCO no topo do pilar 950 060 2 205514 Nd A f c cd 0 0 2 20552014 Mdy y A h f c y cd Ábaco 5A ω 00 Flexão Composta Oblíqua FCO na base do pilar 950 060 2 205514 Nd A f c cd 500 0006 2 20555514 Mdx x A h f c x cd Ábaco 5A ω 06 Flexão Composta Oblíqua FCO na seção entre o topo e a base Ábaco 5A ω 07 90 c Avaliação da Armadura mínima e da Armadura máxima na seção transversal do pilar Asmín 015Ndfyd 01595050115 327 cm² e 0004AC 0004205544 cm2 logo Asmín 44 cm2 Asmáx 004AC 44 cm2 Depois de fazer as análises apresentadas nas letras ab e c podemos adotar o detalhamento final para a armação do pilar de forma a atender todos os critérios Conforme calculado nos itens anteriores a área de aço para resistir aos esforços mínimos considerandose FCN795 cm2 A área de aço para resistir aos esforços solicitantes nas seções de topo base e intermediária do pilar considerandose FCO 253 cm2 Neste caso será adotada a maior área de aço calculada 253 cm2 uma vez que esse valor também atende aos requisitos de armadura mínima e armadura máxima verificados na letra c Neste exemplo para o detalhamento dessa armadura na seção do pilar serão adotadas barras de 200 mm Para barras de 200 mm nnúmero de barras 253314 80 barras Como as barras devem ser detalhadas simetricamente na seção do pilar adotaremos 8 barras longitudinais Conforme mostrado no Abaco A5 a armadura deve ser paralela ao lado b detalhandose metade das barras para cada lado logo PLANTA 8 ϕ 200 mm Asadotado2512 cm2 91 COMENTÁRIOS TEÓRICOS ADICIONAIS De acordo com o livro Comentários e Exemplos de Aplicação da NBR 61182014 podese definir uma envoltória mínima de 1ª ordem tomada a favor da segurança para um pilar de seção retangular submetido a uma força normal NSd conforme mostrado na Figura 52 Figura 52 Comentários e Exemplos de Aplicação da NBR 61182014 Se forem considerados os efeitos locais de 2ª ordem a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando no dimensionamento adotado obtémse uma envoltória resistente diagrama de interação da seção que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem cujos momentos totais são calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem Figura 53 Figura 53 Comentários e Exemplos de Aplicação da NBR 61182014 A consideração dessas envoltórias mínimas pode ser realizada através de duas análises à flexão composta normal FCN conforme mostrado na Figura 543 Figura 54 Comentários e Exemplos de Aplicação da NBR 61182014 92 Observe que não foram traçadas as envoltórias para os exemplos resolvidos apenas foram calculados os valores correspondentes aos momentos míninos ressaltados com pontos vermelhos na Figura 54 As envoltórias poderiam ser traçadas facilmente por meio de programas para cálculo de pilares A Figura 55 mostra as envoltórias para o exemplo 55 traçadas pelo programa Pcalc 14 Figura 55 Envoltória resistente e envoltória do momento mínimo2ª ordem Na Figura 55 a envoltória azul representa a resistência da seção considerandose 8 barras de aço CA50 com 200 mm de diâmetro e concreto com fck20 MPa diagrama de interação da seção de concreto armado As envoltórias verdes representam os momentos mínimos sem o efeito de 2ª ordem e com o efeito de 2ª ordem respectivamente Os pontos verdes representam os momentos aplicados ao pilar submetido à FCO nas seções de topo base e intermediária ÁBACO A2 CA50A γs 115 dh010 DOMÍNIO 5 Cω180 DOMÍNIO 4α Cω150 Cω120 Cω090 Cω060 Cω030 Cω000 DOMÍNIO 4 DOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOMDOM 01 02 03 04 05 06 07 08 μ DOMÍNIO 2 DOMÍNIO 1 COMPRESSÃO TRAÇÃO γ Nd Ac fcd μ Md A c h fcd ω A s f y d Ac fcd 95 Mdy Mdx hy hx dy dx μy μx 010 025 96 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1Resolver novamente os exemplos 51 52 53 54 e 55 considerando as seções dos pilares com as seguintes medidas Seção do pilar medidas em cm Os demais dados para o problema serão os mesmos para simular uma situação em que seja necessário diminuir as dimensões dos pilares mantendose os esforços a que eles serão submetidos 2 Cite uma situação prática onde poderia ser necessário diminuir as dimensões dos pilares 40 97 Tema 6 Detalhamento da armadura para pilares Após a determinação da área de aço que será utilizada na seção de concreto do pilar devese fazer o detalhamento da armadura Algumas prescrições sobre o detalhamento da armadura segundo a NBR 61182014 serão descritas nos itens seguintes Área mínima de aço para pilares de concreto armado Asmín e diâmetro mínimo para as barras de aço longitudinais Para encontrar a área mínima de aço em uma seção de pilar de concreto armado a norma apresenta as duas expressões a seguir Devese comparar os valores calculados e adotar o maior Asmín O diâmetro das barras não deve ser inferior a 10 mm nem superior a 18 da menor dimensão da seção transversal do pilar Área máxima de aço para pilares de concreto armado Asmáx A área de aço em uma seção transversal de pilar deve ser de no máximo 8 da área de concreto se não houver emenda por traspasse ou 4 da área de concreto se houver emenda por traspasse Detalhamento da armadura Conforme Carvalho e Pinheiro 2009 o detalhamento da armadura de um pilar deve contemplar a quantidade e o posicionamento correto da armadura longitudinal e da armadura transversal estribos além de indicar claramente as distâncias entre as barras os traspasses e as barras de espera Em relação ao comprimento das barras é preciso levar em conta o processo de execução dos pilares em que cada andar é produzido por vez e dessa forma barras precisarão ser emendadas sendo necessário calcular o traspasse entre as barras de um andar e outro Armadura longitudinal Segundo a NBR 61182014 as armaduras longitudinais de pilares devem ser dispostas na seção transversal sendo que emm seções poligonais deve existir pelo menos uma barra em cada vértice em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro Figura 61 Figura 61 Arranjo da armadura longitudinal do pilar 98 O espaçamento livre entre as faces das barras e deve se igual ou superior ao maior dos seguintes valores onde ϕl e dmáxagr são o diâmetro das barras da armadura longitudinal e o diâmetro máximo do agregado respectivamente O espaçamento máximo entre eixos das barras deve ser menor ou igual a 2 vezes a menor dimensão da seção do pilar no trecho considerado sem exceder 400 mm Figura 62 Figura 62 Espaçamento entre as barras longitudinais Armadura transversal estribos Segundo a NBR 61182014 a armadura transversal de pilares constituída por estribos e quando for o caso por grampos suplementares deve ser colocada em toda a altura do pilar sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes Essa armadura deve ser calculada para garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais bem como para garantir a costura das emendas das barras longitudinais entre outras funções O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 14 do diâmetro da barra que constitui a armadura longitudinal O espaçamento longitudinal entre estribos medido na direção do eixo do pilar deve principalmente para garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores 200 mm menor dimensão da seção do pilar ou 12ϕl Admitese que os estribos poligonais garantam contra a flambagem as barras longitudinais posicionadas em suas quinas e as por eles abrangidas e situadas no máximo à distância 20ϕt do 99 canto se nesse trecho não houver mais de duas barras não contando a da quina Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barras fora dele deverá haver estribos suplementares Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta terminada em gancho grampo ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal Figura 63 Fonte NBR 61182014 Fonte Apostila concreto Murilo A Scadelai Libânio M Pinheiro Figura 63 Estribos e grampos adicionais Na Figura 64 estão esquematizados arranjos de estribos para pilares retangulares Na Figura 65 estão alguns arranjos possíveis para pilares quadrados com armadura longitudinal distribuída nas quatro faces Figura 64 Arranjos de estribos para pilares retangulares FIORIN 1998 Figura 65 Arranjos de estribos para pilares quadrados ACI 318 1992 100 Emendas por traspasse das barras longitudinais do pliar As barras de aço da armadura longitudinal dos pilares necessitam ser emendadas e é usual adotarse as emendas por traspasse Figura 66 Figura 66 Emendas por traspasse das barras longitudinais do pilar Em barras comprimidas o comprimento do trecho do traspasse deve ser igual ao comprimento de ancoragem l0c lbnec conforme mostrado na expressão Ocmin bnec Oc Onde 0 c min é o maior valor entre 06 b 15 e 200 mm O valor de lbnec é dado pela expressão O valor de α1 é igual a 1 para barras sem gancho e Asef é a área de armadura adotada para o pilar enquanto Asnec é a área de armadura necessária calculada O comprimento de ancoragem básico é dado por fbd η1 η2 η3 fctd valor de cálculo da resistência à tração do concreto MPa η1 10 para barras lisas CA25 η1 14 para barras entalhadas CA60 η1 225 para barras de alta aderência CA50 η2 10 para situações de boa aderência η2 07 para situações de má aderência η3 10 para ϕ 32 mm ϕ é o diâmetro da barra em mm 101 Recomendase que as emendas sejam feitas no terço inferior ou superior da altura do pilar pois em caso de ocorrência do efeito de segunda ordem o momento máximo na região central da altura do pilar não romperá a emenda O melhor é que as emendas sejam feitas no nível do pavimento e dessa forma o tamanho final de uma barra será igual à distância de piso a piso mais o comprimento da emenda Figura 67 Figura 67 Emenda das barras longitudinais do pilar Conforme a NBR 61182014 se a proporção de barras emendadas na mesma seção for maior que 25 devem ser satisfeitas as recomendações seguintes figura 68 A armadura transversal estribos deve ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada considerando os ramos paralelos ao plano da emenda concentrarse nos terços externos da emenda ter pelo menos uma barra da armadura transversal posicionada 4ϕ além das extremidades da emenda Figura 68 Armadura transversal nas emendas de barras comprimidas 102 EXEMPLO RESOLVIDO 1 CARVALHO e PINHEIRO 2009 Calcular o comprimento de traspasse das barras longitudinais de um pilar que serão emendadas na mesma seção e verificar qual a armadura transversal a ser empregada Dados barra longitudinal ϕl 125 mm As 123 cm² aço CA50 Estribos ϕt 63 mm As 032 cm² aço CA60 concreto fck 20 MPa considerar região de boa aderência Resolução Comprimento de ancoragem Com ϕ diâmetro da barra longitudinal fbd η1 η2 η3 fctd 225 1 1 111 fbd 2498 MPa η1 225 CA50 η2 10 região de boa aderência η3 10 barra com Φ inferior a 32 mm Comprimento de ancoragem necessário Em que α1 é igual a 1 para barras sem gancho e considerando Asef Asnec Comprimento da emenda por traspasse Como l 0c lbnec l 0c 55 cm 0 c min também atende ao critério maior valor entre 06 b 15 e 200 mm Armadura transversal necessária Uma barra da armadura longitudinal resiste a uma força igual a Fl1 As fyd 123 50 115 54 kN Um estribo simples 2 ramos resiste a uma força igual a Ft1 2 As fyd 2 032 60 115 Ft1 33 kN Número de estribos necessários n Fl1 Ft1 54 33 16 Pelo cálculo para a costura da emenda seriam necessários apenas 2 estribos detalhados conforme proposto na figura 68 Mas não devemos esquecer que deve ser respeitado o espaçamento máximo entre estribos mostrado na figura 68 e também o espaçamento adotado para as outras seções do pilar O cálculo feito acima é apenas uma verificação na região da emenda para avaliar a necessidade de estribos suplementares de costura 103 EXEMPLO RESOLVIDO 2 CARVALHO e PINHEIRO 2009 Detalhar a armadura para um pilar com seção transversal de 20 cm x 75 cm sendo armadura calculada para o pilar Asnec 32 cm² considerada constante em todos os pavimentos do edifício e aço CA50 fck 20 MPa d 4 cm e diâmetro máximo do agregado19 mm Resolução Escolha da armadura longitudinal Adotando ϕl 160 mm As1ϕ 20 cm² Número de barras n As As1ϕ 32 2 16 Como a armadura deve ser simétrica 8 ϕ1600 mm Espaçamento entre as barras da armadura longitudinal emin 2 2200 400 max 400 b mm e mm Logo emin 23 cm e emax40 cm Para o problema adotandose d 4 cm o espaçamento entre os eixos das barras e será 2 75 8 957 7 7 h d e cm eixo a eixo das barras 95716797 cm 23 cm ok face a face das barras emáx também está atendido nas duas direções 104 Estribos suplementares Para o exercício proposto considerandose estribos de 63 mm de diâmetro 20 ϕt 20 063 126 cm logo haverá a necessidade da adoção de ganchos suplementares Para o detalhamento final da armadura do pilar considerandose os ganchos suplementares podese fazer as seguintes análises adotandose uma barra de canto2 barras no trecho igual a 120 cm a partir do canto do estribo obtêmse o seguinte detalhamento 105 outras formas de detalhamento também poderiam ser adotadas conforme mostrado na figura abaixo Comprimento dos estribos Cabe destacar que o diâmetro interno das curvas e dos ganchos dos estribos é três vezes o diâmetro das barras 3 ϕt e a ponta reta do gancho a 45 deve ser maior que 5 ϕt ou 50 cm Para o exemplo considerouse o cobrimento igual a 25 cm Logo o detalhamento do estribo pode ser adotado conforme mostrado na figura abaixo Detalhe do gancho Comprimento total do estribo lest 2 15 70 2 5 180 cm 106 Comprimento dos ganchos suplementares O comprimento de um gancho suplementar é a soma do comprimento reto mais dois ganchos semicirculares a ponta é igual à do gancho a 45 Gancho semicircular Comprimento lf 15 2 9 33 cm Comprimento das barras longitudinais A altura de cada andar l0 pode ser definida considerandose Supondo que as vigas do edifício tenham 30 cm de altura a distância de um andar para outro em uma concretagem é 280 30 310 cm Para o comprimento de traspasse pode ser empregado o que foi calculado no Exemplo 1 ou seja l0c 55 cm Comprimento final de cada barra longitudinal llong 310 55 365 cm 107 Espaçamentos entre estribos ao longo do comprimento do pilar CA50 s Adotado s 15 cm para atender aos critérios acima e facilitar o detalhamento Número de estribos Como a distância entre os andares é 310 cm Desenho final das armaduras do pilar A figura seguinte mostra parte de um projeto de formas e a elevação com o detalhamento da armadura de um pilar PT 14x40 PT 14x40 PT 14x40 CA 1430 CA 1430 L3 h8 L4 h8 L7 h8 L8 h8 L10 h8 531 231 630 14 14 14 14 14 14 180 14 241 4 301 14 1155 25 805 14 256 14 136 14 99 14 1535 2895 12 406 895 10691 10403 676 1851 PT 1440 LAJE 48X 40 14 8 NI10 9 35 29 N4 5 C100 29 N3 5 C21 S LAJE 288 70 120 6 NI 10 C285 Nd N4 N3 24 6 C 72 135 N4 N3 70 N2 6 C110 93 ÁBACO A5 CA50A γs 115 dh025 DOMÍNIO 5 DOMÍNIO 4α Cω180 Cω150 Cω120 Cω090 Cω060 Cω030 Cω000 DOMÍNIO 4 DOMÍNIO 3 DOMÍNIO 2 COMPRESSÃO TRAÇÃO γ Nd Ac fcd μ Md A c h fcd ω A s f y d Ac fcd 109 EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Resolver novamente o Exemplo 1 considerandose concreto com fck35 MPa 110 Tema 7 Lajes Nervuradas Segundo 1 uma laje nervurada é constituída por um conjunto de vigas nervuras que se cruzam bidirecional ou não unidirecional e são solidarizadas entre si pela mesa Uma das principais características das lajes nervuradas é a redução do consumo do concreto na região tracionada Nesta região pode ser utilizado um material inerte como enchimento para substituir o concreto Esse material deve ser o mais leve possível e ter resistência necessária que garanta com segurança as atividades da fase de construção embora essa resistência seja desprezada no projeto Entre os materiais de enchimento mais utilizados destacamse bloco cerâmico figuras 1 e 2 bloco de concreto bloco de EPS figura 3 e caixotes modulados reaproveitáveis de polipropileno ou de metal figura 4 Figura 1 Laje préfabricada com vigotas de concreto armado Fonte wwwclassiwebgratiscombr Figura 2 Laje treliçada unidirecional Fonte wwwlajesfortalezacombr Figura 3 Laje treliçada bidirecional Fonte wwwbloco cerâmicolajecombr 111 Figura 4 Laje nervurada moldada no local com caixotes modulados As lajes nervuradas depois de desformadas apresentarão a seção transversal conforme mostrado na figura 5 Observase a economia de concreto que será obtida com a adoção dos espaços vazios ou preenchidos com elementos inertes Como consequência também haverá uma redução do peso próprio da laje Figura 5 Laje nervurada moldada no local com caixotes modulados Esse tipo de laje tornouse uma alternativa interessante para lajes com vão maiores que consequentemente também terão uma maior espessura Inicialmente a espessura de uma laje h pode ser obtida a partir de uma avaliação prática em função do seu menor vão lajes maciças em concreto armado 40 h 36 lajes nervuradas em concreto armado h 30 lajes de piso em concreto protendido h 42 lajes de forro em concreto protendido h 48 Segundo a NBR 61182014 as dimensões limites para uma laje nervurada devem seguir as seguintes recomendações 112 Figura 6 Seção transversal da laje nervurada com especificações da NBR 61182014 As lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas como vigas de um vão considerado no sentido das nervuras Dependendo das condições de contorno essas vigas podem ser biapoiadas apoiadaengastada ou biengastadas Além disto a norma prescreve as seguintes condições a para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras permitese a consideração dos critérios de laje b para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm exigese a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas permitese essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm c para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos maior que 110 cm a mesa deve ser projetada como laje maciça apoiada na grelha de vigas respeitandose os seus limites mínimos de espessura As lajes nervuradas bidirecionais conforme ABNT NBR 148592 podem ser calculadas para efeito de esforços solicitantes como lajes maciças Segue abaixo um exemplo do cálculo de uma laje nervurada unidirecional com blocos cerâmicos dimensões 9 cm x 19 cm x19 cm Esse exemplo foi adaptado do livro 2 e as medidas no desenho abaixo estão em cm Considere que a laje é de um edifício residencial 113 PLANTA BAIXA Considerar Carga de revestimento do piso 10 kNm2 Carga acidental 30 kNm2 Peso específico dos blocos cerâmicos 130 kNm3 Peso específico do concreto 250 kNm3 Aço CA50 Concreto fck20 MPa Ecs 21287 MPa módulo de elasticidade secante do concreto Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço daltura útil 224 cm Escolha da seção transversal da laje arbitrada Para que não haja necessidade de verificar a mesa à flexão nem as nervuras ao cisalhamento como vigas e principalmente em função das dimensões dos blocos a seção transversal será arbitrada com as seguintes dimensões 114 Observe que todas as medidas atendem as prescrições da norma mostradas na figura 6 bw 9 cm largura das nervuras hf 6 cm maior que 4 cm e 361524 cm A figura abaixo mostra o sentido das nervuras apoiandose nas vigas V1 e V2 Ressaltase que elas deverão ser consideradas em toda a extensão da laje da viga V3 até a viga V4 Como ilustração foram desenhadas apenas 3 nervuras 115 Solução aCarga por nervura Carga permanente por metro de nervura PP do concreto 009 x 019045 x 006 x 25 110 kNm PP do bloco cerâmico 036 x 019 x13 089 kNm Revestimento do piso 10 x 045 045 kNm Total 245 kNm Carga acidental 30 x 045 135 kNm Combinação de ações para o ELU 245 135 x 14 532 kNm b Momento fletor máximo atuante em uma nervura Considere a nervura como uma viga biapoiada apoio na viga V1 e na viga V2 Md Fd x l28 532 x 528 1663 kN x m 1663 kN x cm 116 c Dimensionamento da nervura e cálculo da armadura para resistir à flexão bf 45 cm bw 9 cm h 25 cm d 224 cm hf 6 cm Verificação do Mdmin Mdmin 08 W0 fctksup O centro geométrico para a seção T de concreto em relação à bw ycg 45x6 x22 19x9x 95 45x6 9x19 1715 cm O momento de Inércia com relação ao CG Ixcg 45x631245x6x4852 9x193129x19x7652 2231267 cm4 fctksup 039 x 2023 287 MPa 029 kNcm2 Mdmin 08 x 2231267 1715 x 029 30180 kNxcm Md Mdmin calcular As para resistir a Md Cálculo da Armadura As fc 085 x fck 14 121 kNcm2 Kseção T 1663 121x 9 x 2242 459 1 x 6224 x 162x2240 063 K 1663121x45x2242 006 KL 0295 K K 006 As 121x45x224435 x 112x006174 cm2 por nervura Com uma barra de Φ125 mm e outra de Φ80 mm resulta As 125 05 175 cm2 117 d Verificação da resistência ao cisalhamento Conforme citado para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm permitese a consideração dos critérios de laje para a verificação do cisalhamento da região das nervuras Essa verificação será conforme mostrado abaixo Ressaltase que segundo 2 o ideal é que a laje nervurada não necessite de armadura de cisalhamento desde de que não haja cargas concentradas ou lineares Essa condição é atendida se Sendo tensão de cisalhamento atuante na nervura e tensão resistente ao cisalhamento da nervura Vsd Força cortante solicitante de cálculo Combinação de ações para o ELU Fd 245 135 x 14 532 kNm Tensão de cisalhamento solicitante Vsd Fd x vão2 532 x 52 1330 kN 13309x224 0066 kNcm2 fctd 021fck 2314 fck em MPa K1 para elementos onde 50 da armadura inferior da nervura não chega até o apoio K 16 d não menor que 1 com d em metros para os demais casos e ρ1 As1bwd não maior que 002 Tensão de cisalhamento resistente fctd 021 x fck 2314 021 x 202314 111 MPa 0111 kNcm2 025 x 0111 00277 kNcm2 Considerando que toda a armadura inferior das nervuras chegue até os apoios K 16 0224 1376 1 ok ρ1 As1bwd 1759 x 224 00087 00277 x 1376 x 12 40 x 00087 0059 kNcm2 118 Verificação 0066 kNcm2 0059 kNcm2 Nesse caso a tensão solicitante é maior que a tensão resistente portanto para evitar a necessidade de armadura transversal devese aumentar a largura da nervura 1330bw x 224 0059 kNcm2 bw 1006 cm Adotar bw 10 cm d Novo cálculo da armadura de flexão considerando bw 10 cm bf 45 cm bw 10 cm h 25 cm d 224 cm hf 6 cm Verificação do Mdmin Mdmin 08 W0 fctksup O centro geométrico para a seção T de concreto em relação à bw ycg 45x6 x22 19x10x 95 45x6 10x19 1684 cm O momento de Inércia com relação ao CG Ixcg 45x631245x6x4852 10x1931210x19x7652 2395111 cm4 fctksup 039 x 2023 287 MPa 029 kNcm2 Mdmin 08 x 2395111 1684 x 029 327 kNxcm Md Mdmin calcular As para resistir a Md Cálculo da Armadura As fc 085 x fck 14 121 kNcm2 Kseção T 1663 121x 10 x 2242 4510 1 x 6224 x 162x2240 054 K 1663121x45x2242 006 KL 0295 K K 0061 As 121x45x224435 x 112x0061178 cm2 por nervura Continuar com uma barra de Φ125 mm e outra de Φ80 mm que resulta As 125 05 175 cm2 pequena diferença 119 e Verificação da flecha ver tema 1 da apostila de concreto II Homogeneização da seção nEsEcs 21000021287986 Momento de fissuração onde 12 para seções T 13 para seções I 15 para seções retangulares yt ycg 45x6 x22 19x10x 95 45x6 10x19 1684 cm O momento de Inércia com relação ao CG Ic 45x631245x6x4852 10x1931210x19x7652 2399617 cm4 Momento de serviço x Momento de fissuração Combinação para o estado limite de serviço ELS Fdserv gk ψ2 qk 24503135 286 kNm Mdserv Fd x l28 286 x 528 894 kN x m 894 kN x cm Como Mdserv Mr 328 kNm a seção da laje pode estar fissurada e é necessário calcular a posição da linha neutra xII e o momento de inércia III no estádio II Para seção T com armadura simples xII é obtido com a equação abaixo considerando a princípio que a LN vai cortar a mesa da seção bf xII xII2 nAs d xII 0 45 xII xII2 986 175 224 xII 0 xII 378 cm a raiz negativa é ignorada xII hf a linha neutra corta a mesa Portanto a inércia da seção no estádio II pode ser obtida com a seguinte expressão III 67925 cm4 A rigidez equivalente é dada por 1 3 3 I I I r r eq cs c II cs c a a M M EI E E M M 120 Cálculo da flecha imediata Cálculo da flecha diferida e da flecha total no tempo t Considerandose a retirada do escoramento aos 28 dias 0 armadura simples t t 2 068 132 0 132 1 50 f Flecha total ftfi 1 f 138 113232 cm Comparação da flecha total diferida no tempo com a Flecha admissível ELS A flecha admissível é fadm 250 500250 20 cm Portanto haverá necessidade de especificar uma contraflecha pois ft32 cm fadm20 cm A contraflecha máxima não pode passar de 500350 143 cm Para atender aos dois critérios bem como às condições de execução da obra será especificada no projeto uma contraflecha igual a 15 cm Referências Bibliográficas 1 LIBÂNIO M PINHEIRO JULIO A RAZENTE Apostila de Estruturas de Concreto 2003 2 LIBÂNIO M PINHEIRO e ROBERTO C CARVALHO Cálculo e Detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 2009 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p 1 Dados do pilar Propriedades geométricas ℎ𝑥 60𝑐𝑚 ℎ𝑦 25𝑐𝑚 𝐿𝑒𝑞𝑥 350𝑐𝑚 𝐿𝑒𝑞𝑦 350𝑐𝑚 Propriedades mecânicas 𝑓𝑐𝑘 30𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑦𝑘 500𝑀𝑃𝑎 Esforços solicitantes de cálculo 𝑁𝑑 1864𝑘𝑁 𝑀1𝑥𝑑𝑇𝑂𝑃𝑂 7000𝑘𝑁𝑐𝑚 𝑀1𝑥𝑑𝐵𝐴𝑆𝐸 4000𝑘𝑁𝑐𝑚 𝑀1𝑦𝑑𝑇𝑂𝑃𝑂 5000𝑘𝑁𝑐𝑚 𝑀1𝑦𝑑𝐵𝐴𝑆𝐸 6000𝑘𝑁𝑐𝑚 Excentricidade Mínima Em x Em y 𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑥 15 003ℎ𝑥 15 003 60 330𝑐𝑚 𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑁𝑑𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑥 1864 330 6151𝑘𝑁𝑐𝑚 𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑦 15 003ℎ𝑦 15 003 25 225𝑐𝑚 𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑦 𝑁𝑑𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑦 1864 225 4194𝑘𝑁𝑐𝑚 Índice de Esbeltez Em x Em y 𝜆𝑥 12𝐿𝑒𝑞𝑥 ℎ𝑥 12 350 60 2021 𝜆𝑦 12𝐿𝑒𝑞𝑦 ℎ𝑦 12 350 25 4850 Índice de Esbeltez Limite 𝜆1 25 125 𝑒 ℎ 𝛼𝑏 Em x Em y 𝛼𝑏𝑥 06 04 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝛼𝑏𝑥 06 04 4000 7000 0371 𝛼𝑏𝑥 04 𝑒1𝑥𝑑 𝑀1𝑥𝑑 𝑁𝑑 7000 1864 376𝑐𝑚 𝜆1𝑥 25 125 376 60 04 6446 𝜆1𝑥 35 𝛼𝑏𝑦 06 04 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝛼𝑏𝑦 06 04 5000 6000 0267 𝛼𝑏𝑦 04 𝑒1𝑦𝑑 𝑀1𝑦𝑑 𝑁𝑑 6000 1864 322𝑐𝑚 𝜆1𝑦 25 125 322 25 04 6652 𝜆1𝑦 35 Não haverá efeito de segunda ordem em x Pois 𝜆𝑥 𝜆1𝑥 Não haverá efeito de segunda ordem em y Pois 𝜆𝑦 𝜆1𝑦 Excentricidade de primeira ordem adotada 𝑒1𝑥𝑑 376𝑐𝑚 𝑀1𝑥𝑑 𝑁𝑑𝑒1𝑥𝑑 1864 376 7000𝑘𝑁𝑐𝑚 𝑒1𝑦𝑑 322𝑐𝑚 𝑀1𝑦𝑑 𝑁𝑑𝑒1𝑦𝑑 1864 322 6000𝑘𝑁𝑐𝑚 Resumo dos esforços finais 𝑁𝑑 1864𝑘𝑁 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑥 7000𝑘𝑁𝑐𝑚 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑦 6000𝑘𝑁𝑐𝑚 2 Área de aço necessária aplicando no Ábaco 𝜇𝑥 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑥 ℎ𝑥2ℎ𝑦𝑓𝑐𝑑 7000 602 25 30 14 𝜇𝑥 0036 𝜇𝑦 𝑀𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑦 ℎ𝑦2ℎ𝑥𝑓𝑐𝑑 6000 252 60 30 14 𝜇𝑦 0075 𝜈 𝑁𝑑 ℎ𝑥ℎ𝑦𝑓𝑐𝑑 1864 60 25 30 14 𝜈 0580 Á𝑏𝑎𝑐𝑜 2𝐴 𝜔 009 𝐴𝑠 𝜔 ℎ𝑥ℎ𝑦𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 009 60 25 30 14 50 115 665𝑐𝑚2 Área de aço mínima e máxima 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 40𝐴𝑐 40 100 60 25 6000𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 04𝐴𝑐 04 100 60 25 600𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 015 𝑁𝑑 𝑓𝑦𝑑 015 1864 50 115 643𝑐𝑚2 Detalhamentos das armaduras Longitudinal 𝐴𝑠𝑎𝑑𝑜𝑡 665𝑐𝑚2 𝑎𝑑𝑜𝑡 125𝑚𝑚 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑛 𝐴𝑠𝑎𝑑𝑜𝑡 𝐴𝑠 665 123 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝐴𝑠 6125𝑚𝑚 Transversais 𝑠 20𝑐𝑚 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 ℎ 20𝑐𝑚 25𝑐𝑚 𝑠 20𝑐𝑚 𝑡 5𝑚𝑚 𝑙𝑜𝑛𝑔 4 5𝑚𝑚 125 4 3125𝑚𝑚 𝑡 50𝑚𝑚 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑛 𝐿 𝑠 350 20 18 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝐴𝑠𝑤 1850𝑐𝑐𝑚 25 60 5 5 6 50 15 18 N1 ø50 C142 350 347 6 N3 ø125 C347 350 18 N1 c20 0