Método dos Deslocamentos - Reações de Apoio e Coeficientes de Rigidez

1 Teoria das Estruturas II Varginha Agosto de 2024 Método dos Deslocamentos 2 Encontre as reações de apoio para a viga engastada com rotação no sentido antihorário em B como vista na figura ao lado Equação dos momentos fletores Resistência dos materiais 3 Equação diferencial da linha elástica Integrando uma vez Integrando Mais uma vez Condições de contorno C1 0 C2 0 Condições de contorno yL 0 EIyL VAL36 MAL22 0 MA VAL3 yL θ EIyL VAL22 MAL EIθ VAL22 VAL3L EIθ VA 6EIθL2 MA 6EIθL2L3 MA 2EIθL 5 As demais reações podem ser calculadas utilizando as equações de equilíbrio estático 6 Coeficientes de rigidez locais devidos a rotações para barras sem articulação 7 Coeficientes de rigidez locais devidos a deslocamentos transversais para barras sem articulação 8 Coeficientes de rigidez locais devidos a deslocamentos axiais Momento Canto Livre Aplicando Momento Externo θp 32ML2EI δp 3ML38EI θr 12ML2EI δr ML38EI2 Momentos de Engastamento Perfeito Caso de Carregamento A B A B A B A q MA qℓ212 MB qℓ212 MA qℓ28 MB qℓ28 A B A B A B A q c2 c2 qc MA qc12ℓ212ab2 c2ℓ 3b MB qc12ℓ212a2b c2ℓ 3a MA qbc8ℓ24ab ℓ c2 MB qac8ℓ24ba ℓ c2 A B A B A B A q MA qℓ220 MB qℓ230 MA qℓ215 MB 7qℓ2120 Caso de Carregamento A B A B A B A P MA Pℓ8 MB Pℓ8 MA 3Pℓ16 MB 3Pℓ16 A B A B A B A P MA Pab2ℓ2 MB Pa2bℓ2 MA Pab2ℓ2ℓ b MB Pab2ℓ2ℓ a A B A B A B A M MA M bℓ2 3bℓ MB M aℓ2 3aℓ MA M2 3b2ℓ2 1 MB M2 3a2ℓ2 1 11 Convenções de sinais do Método dos Deslocamentos 12 1 Condições de compatibilidade 2 Leis constitutivas dos materiais 3 Condições de equilíbrio O Método dos Deslocamentos pode ser considerado como o método dual do Método das Forças Somar uma série de soluções básicas chamadas de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade mas que não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método das Forças A metodologia de cálculo do método é Método dos Deslocamentos 13 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico Sistema Hipergeométrico 14 Di deslocabilidade de uma estrutura componente de deslocamento ou rotação livre não restrita por apoio em um nó da estrutura na direção de um dos eixos globais A solução pelo Método dos Deslocamentos pode ser vista como uma superposição de soluções cinematicamente determinadas isto é de configurações deformadas conhecidas conforme ilustrada na figura abaixo 15 Considere a viga contínua mostrada na figura abaixo O valor da rigidez à flexão da viga é EI 12 x 104 kNm2 O valor da carga uniformemente distribuída é q 12 kNm 16 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico 17 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH Configuração deformada Para que o SH fique em equilíbrio com essa condição imposta aparecem reações momentos nas chapas fictícias do SH Essas reações nos apoios fictícios do SH são chamadas de termos de carga Os termos de carga β10 e β20 são apresentados genericamente na figura com seus sentidos positivos 18 Observase no diagrama traçado as descontinuidades do diagrama de momentos fletores indicando condições de equilíbrio da estrutura original sem as chapas fictícias que são violadas Entretanto o equilíbrio do SH fica satisfeito com a introdução dos termos de carga β10 e β20 Fica clara a interpretação física desses termos na figura abaixo β10 q42 12 q62 12 16 36 20 kNm β20 q62 12 q22 12 36 4 32 kNm 19 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH K11 4EI4 4EI6 12000 8000 20000 kNmrad K21 2EI4 4000 kNmrad 20 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH K12 2EI4 4000 kNmrad K22 4EI6 4EI2 8000 24000 32000 kNmrad Equações de equilíbrio β10 K11 D1 K12 D2 0 β20 K21 D1 K22 D2 0 20 32 103 20 4 4 32 D1 D2 0 0 D1 123 x 103 rad D2 115 x 103 rad 22 Determinação do diagrama de momentos fletores finais M M0 M1 D1 M2 D2 M M0 123x10 3 x M1 115x10 3 x M2 23 Considere pórtico mostrada na figura abaixo O valor da rigidez à flexão da viga é EI 26667x 103 kNm2 e AI75 10kNm 20kN 2m 2m 5m A B C D 24 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH 1 2 3 D1 D2 D3 25 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH 20 10 30 10kNm 20kN 10kNm 20kN 26 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH k21 k11 k31 D11 27 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D21 28 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH k23 k13 k33 D31 Equações de equilíbrio β10 β20 β30 k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31 k32 k33 D1 D2 D3 0 0 0 10 3125 2125 151875 0000 0375 0000 18774 0120 0375 0120 1600 D1 D2 D3 0 0 0 D1 09892EI D2 15789EI D3 13395EI 30 Determinação do diagrama de momentos fletores finais 31 10kNm 20kN 2m 2m 5m A B C D 20395kN 5162kN 367kNm Vx 0 x 204m x 32 367 Vx 0 x 204m 665 2080 2302 23020 DMFkNm 33 Considerações de barras Inextensíveis Grandes deslocamentos Pequenos deslocamentos 34 Considerações de barras Inextensíveis Grandes deslocamentos Pequenos deslocamentos 1 2 3 4 6 5 1 2 3 35 Considere pórtico mostrada na figura abaixo O valor da rigidez à flexão da viga é EI 26667x 103 kNm2 e AI75 10kNm 20kN 2m 2m 5m A B C D 36 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH 1 D1 37 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH 10 10kNm 20kN 10kNm 20kN 38 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH k11 D31 39 Equações de equilíbrio Determinação do diagrama de momentos fletores finais 40 336 Vx 0 x 20344m 668 20694 23281 DMFkNm 23281 Barras Inextensíveis 41 336 668 20694 23281 DMFkNm 23281 367 665 2080 2302 23020 Ftool Barras extensíveis Barras Inextensíveis