Prova de Física 3 - Osciladores Harmonicos e Pendulo Fisico

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAISDEPARTAMENTO DE FÍSICA Prova de Física 3 1 Um oscilador harmônico amortecido é descrito pela equação diferencial de 2 ordem completa homogênea md 2x dt 2 b dx dt kx0 onde m é a massa do corpo preso a mola e k é a constante elástica da mola a Calcule a taxa de dissipação da energia mecânica dE dt em função da constante de amortecimento b e da velocidade v dx dt Como você relaciona isso com a potência elétrica dissipada em um resistor PRi2 b Um oscilador harmônico amortecido forçado é descrito pela equação diferencial de 2 ordem completa não homogênea md 2x dt 2 b dx dt kxf mcos ωt substituindo a equação por uma correspondente na variável complexa z C ztxt iy t x y Re no final tomando xt ℜ z t é obtido a amplitude como uma função da frequência dada por xmω f m m 2ω 2ω0 2 2m 2b 2ω0 2 onde ω0 k m é a frequência de oscilação natural do sistema Obtenha a amplitude na ressonância Qual a amplitude no limite b0 Por fim escreva a equação diferencial para o circuito RLC forçado correspondente 2 Um pêndulo físico é formado por uma barra de comprimento L cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito a uma distância x do centro de massa barra uniforme A Obtenha o período de oscilação em função de x para pequenas oscilações Determine o valor de x cujo período é mínimo B Para grandes oscilações a equação do pêndulo é dada por d 2θ dt mgh I sinθ0 e o período é dado pela integral elíptica T2 I mghsin 2 θ 2 0 dθ 1k 2sin 2θ k 2 01onde I é o momento de inercia e h é a distancia do centro de massa ao eixo de rotação Explique qualitativamente como esse resultado se reduz ao resultado T2π I mgh no limite de pequenas oscilações θ 10 3 Um objeto quadrado de massa m é formado por quatro varetas finas idênticas todas de comprimento L amarradas juntas Esse objeto é pendurado em um gancho pelo seu canto superior conforme mostrado na figura Se ele for girado levemente para a esquerda e depois solto em que frequência ele irá oscilar para a frente e para trás 4 A corda de uma guitarra de comprimento L é puxada de tal modo que a onda resultante é a soma do modo fundamental com o segundo harmônico Ou seja a onda resultante é dada por yx ty1xt y2x t onde y1xtCsenω1t senk1t e y2xtCsenω2t senk 2t a Para que valores de x ocorrem os nós de y1 b Para que valores de x ocorrem os nós de y2 c A soma das duas ondas y1 e y2 produz uma onda estacionária Explique 5 Um avião a jato voa passando verticalmente sobre sua cabeça com Mach 170 e permanece a uma altura constante de 950 m a Qual é o ângulo a do cone das ondas de choque b Quanto tempo depois de o avião passar sobre a vertical acima da sua cabeça você ouvirá o estrondo sônico Despreze a variação da velocidade do som com a altura x x Questão 1 Oscilador Harmônico Amortecido m d²x b dx kx 0 dt² dt a Energia mecânica E m v² k x² v dx dt 2 2 Derivando dE m 2 v dv K 2 x dx dt 2 dt 2 dt m ẍ v K x v v m ẍ k x dE v b dx dt dt ou dE b v² dt Relacionando com P Ri² temos um paralelo entre a resistência R e a constante b b m ẍ bẋ kx fm cosω t zt xt i yt xt Re zt xm ω fm m²ω² ω₀²² m² b² ω₀² ω₀ km Frequência de ressonância m² ωr² ω₀²² m² b² ω₀² 0 ωr⁴ 2 ωr² ω₀² ω₀⁴ b² ω₀² 0 ωr² χ χ² 2 ωr² χ ω₀² ωr² b² 0 Δ 2 ωr²² 4 1 ωr² ω₀² b² 4 ω₀⁴ 4 ω₀² 4 b² ω₀² 4 b² ω₀² χ 2 ω₀² 4 b² ω₀⁴ 2 2 ω₀² 2 b ω₀² 2 χ ω₀² 1 b χ ωr² ω₀² 1 b ωr ω₀ 1 b frequência de ressonância No limite de b 0 ωr ω₀ Em um circuito RLC forçado d²I R dI 1 I fm cosω t dt² L dt LC Questão 2 Pela segunda lei de Newton para rotação J I α J r x p J r p senθ h x L2 mgh senθ I d²θdt² θ mgh senθ 0 I a Para pequenas oscilações senθ θ θ mgh θ 0 Eq da Onda I Portanto ω² mgh I T 2πω 2π Imgh b Temos T 2 Imgh sen² θ dθ 1 k² sen² θ 0 φ Com θ 10 Teremos senθ θ ou seja T 2 Imgh 1θ²4 dθ 1 k² θ² 0 φ Ou seja T Imgh 2θ2 dθ 1 k² θ² 0 φ Assumimos então que para θ 10 a integral será 4 dθ 1 k² θ² 0 φ 2π Questão 5 Mach 170 h950m a Sabemos que Semα vsvs vs Velocidade do Som v do Objeto O raio de Mach é vsv 170 Sem α 117 0588 α 3602 b 950m vsom 343 ms Δt chegada hvsom 950343 277 segundos Tempo de chegada do som no chão Questão 4 Corda L y₁xt C Senω₁t Sen k₁x y₂xt C Senω₂t Sen k₂x a Os nós estão em x n λ2 n 012 Como ou k₁x nπ x nπk₁ Para y₁xt b Em y₂xt os nós estarão em k₂x nπ x nπk₂ n 012 c Em geral a soma de duas ondas estacionárias só é outra onda estacionária se haver nó no mesmo lugar Em geral nπk₁ nπk₂ nk₁ nk₂ Só é verdade em soluções muito específicas Questão 3 2ª Lei de Newton p rotações J Iα I θ r p I θ r L²4 L²4 r² L²2 r L²2 L2 Lmg Senoθ I θ Momento de Inércia do CM de uma barra Ib m L²12 Para cada barra em torno do cm da modura I m L2² mL²12 mL²14 112 mL²312 112 mL²3 Para as quatro barras Itotal 4I 4 mL²3 mT 4m Itotal mT L²3 massa de cada barra massa total L mT g Senoθ mT L²3 θ θ g2 Senoθ 0 Senoθ θ Para pequenos ângulos θ 3g2 L θ 0 w² 3g2 L w 3g2 L T 2πw 2π 2 L3g FORON