Cinemática dos Elementos de Máquinas: Movimentos de Rotação e Translação

No movimento de rotação em torno de um eixo fixo todas as partículas do corpo rígido se movem em planos paralelos em trajetórias circulares que têm seu centro em um eixo fixo Caso esse eixo de rotação intercepte o corpo as partículas que estiverem sobre ele terão aceleração e velocidade nulas Esse tipo de movimento é chamado plano uma vez que cada partícula se move em um dado plano BEER JOHNSTON JR CORNWELL 2012 O movimento de rotação não pode ser confundido com o de translação curvilínea conforme demonstrado na Figura 2 BEER JOHNSTON JR CORNWELL 2012 Figura 2 Diferença entre translação curvilínea e rotação Fonte Beer Johnston Jr e Cornwell 2012 p 921 A B 3 Cinemática dos elementos de máquinas Figura 4 Se a ponta do pião fica parada sobre um único ponto ele movimentará seu corpo em torno de um ponto fixo Fonte Beer Johnston Jr e Cornwell 2012 p 921 o Por fim qualquer movimento que não se encaixe em qualquer outra clas sificação pode ser considerado um movimento geral BEER JOHNSTON JR CORNWELL 2012 Movimentos de elementos de máquinas posição velocidade e aceleração Um mecanismo pode ser definido como um sistema composto por corpos rígidos unidos entre si e organizados de forma a transmitir movimentos de uma determinada maneira Esses corpos são chamados de elos e têm ao menos dois pontos de conexão denominados nós com outros elos NORTON 2010 Em um mecanismo os elos são ligados entre si por juntas que são co nexões entre dois ou mais elos em seus nós e permitem movimento entre eles Existem vários tipos de juntas com diferentes graus de liberdade GDL NORTON 2010 Uma importante propriedade para a análise de mecanismos é o seu número de graus de liberdade O grau de liberdade de um mecanismo pode ser definido como o número de entradas independentes necessárias para definir a posição de todos seus elos em relação a um referencial MYSZKA 2011 5 Cinemática dos elementos de máquinas Ele também pode ser definido como o número de atuadores necessários para operar um mecanismo Esse atuador pode ser a mão de uma pessoa que movimenta o elo de um mecanismo um motor elétrico ou um cilindro hidráulico MYSZKA 2011 Por exemplo quando a configuração de um mecanismo é completamente definida pelo posicionamento de um único elo esse sistema apresenta um grau de liberdade MYSZKA 2011 É o caso do mecanismo a da Figura 5 nele o movimento de rotação de um motor elétrico é capaz de comandar o mecanismo inteiro Já o mecanismo c apresenta dois graus de liberdade uma vez que utili zando a lógica dos atuadores para se obter uma posição definida de todos os elos do mecanismo é necessário um motor comandando a rotação de um dos elos e um cilindro hidráulico movimentando o bloco deslizante Por outro lado o mecanismo b não tem graus de liberdade uma vez que não pode ser movimentado Figura 5 Graus de liberdade de mecanismos Fonte Myszka 2011 p 08 Na Figura 5 também é possível observar que o mecanismo a tem quatro elos sendo conhecido como mecanismo de quatro barras três de seus elos são facilmente identificáveis o quarto elo um elo fixo é representado pelo solo Nesse tipo de mecanismo o elo por onde o movimento é introduzido no mecanismo é chamado de elo de entrada A barra para onde o movimento é transmitido é chamada de elo de saída Já o elo móvel que conecta os elos de entrada e saída é chamado de acoplador ERDMAN SANDOR 1984 A Figura 6 ilustra um braço robótico com uma garra fixa em sua ponta que apresenta três graus de liberdade de rotação Cinemática dos elementos de máquinas 6 Figura 6 Graus de liberdade de um braço robótico Fonte Rovai 2016 documento online Rotação Rotação Rotação Garra fxa Um ponto localizado em um elo de um mecanismo plano pode ter sua posição em relação a um referencial definida por um vetor posição que pode ser expresso em coordenadas polares ou cartesianas conforme a Figura 7 Na forma polar o vetor é definido pelos seus módulo e ângulo Já na forma cartesiana ele é definido em coordenadas xy Figura 7 Posição do ponto A em relação a um referencial ex pressa nas formas polares e cartesianas Fonte Norton 2010 p 191 7 Cinemática dos elementos de máquinas A distância em linha reta entre a posição inicial e a final de um ponto que se moveu é chamada de deslocamento NORTON 2010 O deslocamento de um ponto não deve ser confundido com caminho percorrido por ele Na Figura 8a é possível observar a trajetória percorrida por uma partícula entre as posições A e B O vetor RBA define o seu deslocamento relativo ao ponto A Já a Figura 8b ilustra seu deslocamento em relação a um referencial XY NORTON 2010 Figura 8 Deslocamento de uma partícula Fonte Norton 2010 p 192 RBA RBA RB RB RA RA RBA B B A A Y X O a c b Cinemática dos elementos de máquinas 8 Conforme identificado na Figura 8 as posições absolutas dos pontos A e B são definidas respectivamente pelos vetores RA e RB É possível encontrar o vetor deslocamento ou diferença de posições RBA por meio da diferença entre eles HIBBELER 2011 RBA RB RA Assim podese dizer que a posição de B em relação a A é igual à posição absoluta de B RB menos a posição absoluta de A RA NORTON 2010 cuja operação é ilustrada na Figura 8c Além do conceito de deslocamento ou seja uma diferença de posição de um mesmo corpo em dois momentos diferentes é possível analisar a Figura 8 de forma a considerar o vetor RBA como a diferença de posição entre duas partículas em um mesmo instante nesse caso a posição de B em relação a A Para essa situação as mesmas considerações e equações continuam válidas NORTON 2010 Para movimentos de corpos rígidos ou elos de mecanismos é necessário evolver tanto a posição de pontos como a orientação das linhas entre eles Na Figura 9a é possível observar um elo com os pontos A e B A diferença de posição entre estes pontos é dada pelo vetor RBA e o sistema de eixos foi fixado ao ponto A para facilitar o problema NORTON 2010 Na Figura 9b o elo AB realiza um movimento de translação até a posi ção AB assim surgem os deslocamentos AA e BB que pela definição de translação devem ser iguais NORTON 2010 Já na Figura 9c o elo AB realiza o movimento de rotação Assim o ponto A permanece na mesma posição e o ponto B vai para a posição B por meio do vetor RBB que pode ser descrito como RBB RBA RBA A soma desses dois movimentos é classificada como um movimento plano geral e está representada na Figura 9d É importante notar que a ordem dos movimentos não altera o resultado final uma vez que o deslocamento dos pontos é o mesmo não importando sua trajetória NORTON 2010 9 Cinemática dos elementos de máquinas Figura 9 Movimentos de um elo AB Fonte Norton 2010 p 194 Y Y Y B B B B Y B B B RBA RBA RBA RBA RBA RBA RBB RBB RBB RBB RBA RBA RAA RAA A A A A A X X X X b d c a Trajetória da translação curvilínea A B Assim o deslocamento total do ponto B ou seja em relação ao seu ponto inicial B pode ser representado por RBB RBB RBB Já a nova posição absoluta do ponto B em relação à origem é RBA RAA RBA Para aplicar a análise de posições a um mecanismo podese criar uma malha fechada de vetores que representem os elos deste A Figura 10 mostra um mecanismo de quatro barras como o da Figura 5a representado por uma malha fechada de vetores NORTON 2010 Cinemática dos elementos de máquinas 10 Figura 10 Cadeia de vetores para um mecanismo de 4 barras Fonte Norton 2010 p 198 Y X y b c d a A B R3 R4 R1 R2 O2 O4 θ4 θ3 θ2 x Essa malha termina em si mesma resultando na somatória dos seus vetores igual a zero O comprimento de seus vetores é a distância entre os nós de cada elo que já é conhecida e a posição atual do mecanismo é definida pelo ângulo do elo de entrada θ2 uma vez que é um mecanismo de 1 GDL Além das posições podese também analisar as velocidades em um me canismo Essa é uma grandeza vetorial assim como a posição R e pode ser angular ω ou linear V NORTON 2010 A velocidade angular ω nada mais é que a taxa temporal de variação da posição angular medida frequentemente em rads HIBBELER 2011 Assim sua intensidade pode ser definida como ω dθ dt Enquanto a velocidade é definida por meio da diferenciação temporal do vetor posição R HIBBELER 2011 obtendose V dR dt A Figura 11a ilustra o movimento de rotação de um elo PA em torno do ponto A em um plano xy Utilizando os conceitos de posição de elos podese observar que essa posição é definida pelo vetor RPA Em seu movimento de rotação o elo PA gira com uma velocidade angular ω 11 Cinemática dos elementos de máquinas Figura 11 Vetores velocidade em elos Fonte Norton 2010 p 290 291 A A X X Y Y P RPA RPA P ω ω VPA VPA VP VA VPA VP VA 2 3 2 θ θ O I I a b c Uma vez que se trata de um movimento de rotação pura a velocidade absoluta do ponto P em relação à origem VPA sempre será perpendicular ao vetor posição e tangente à trajetória NORTON 2010 Já a Figura 11b apresenta um movimento de rotação da anterior combinado a uma translação do ponto A com uma velocidade linear VA Note que se a velocidade angular de giro permanecer a mesma a velocidade relativa de P em relação a A permanecerá a mesma porém o vetor VPA não será mais a velocidade global do ponto P uma vez que este realiza também um movi mento de translação em relação à origem do sistema de coordenadas xy A velocidade VPA será agora considerada a diferença de velocidades entre os pontos NORTON 2010 A velocidade absoluta de um ponto P em relação aos eixos xy pode ser obtida por meio da derivada temporal da equação da diferença de posições que resultaria na seguinte HIBBELER 2011 VPA VP VA Ou seja a diferença de velocidades entre o ponto A e P é igual à diferença de suas velocidades absolutas Rearranjando a equação acima obtémse VP VP VA VPA A solução gráfica dessa equação pode ser vista na Figura 11c Cinemática dos elementos de máquinas 12 Como analisado para o deslocamento podese considerar também os pontos A e P como pertencentes a corpos diferentes Assim o vetor VPA deixa de ser a diferença de velocidades e passa a representar a velocidade relativa de P em relação a A NORTON 2010 Da mesma forma que se obteve a velocidade a partir do deslocamento podese utilizar o mesmo raciocínio para a aceleração que é definida como a taxa de variação da velocidade em função do tempo e é uma grandeza vetorial A aceleração pode ser angular α ou linear A NORTON 2010 A dV dt α dω dt A Figura 12a ilustra o mesmo mecanismo da Figura 11a em rotação pura e sujeito a um determinado valor de ω e α agora exibindo também seus vetores aceleração É possível observar que o vetor APA que representa a aceleração do ponto P em relação a A apresenta duas componentes At PA e An PA O vetor representa a taxa de variação temporal na intensidade da velocidade do ponto P Se essa velocidade está diminuindo a componente tangencial da aceleração atua na direção oposta a VPA Se a velocidade do ponto P está aumentando At PA atua no mesmo sentido da velocidade Por fim se VPA é constante a aceleração tangencial é igual a zero HIBBELER 2011 Já a componente normal An PA da velocidade atua sempre em direção ao centro da trajetória circular variando a direção do vetor velocidade HIB BELER 2011 A aceleração total do ponto P pode ser representada pela soma vetorial de suas duas componentes HIBBELER 2011 APA At PA An PA Para o caso da Figura 12a o vetor APA pode ser considerado como a ace leração absoluta do ponto P uma vez que o ponto A e a origem do sistema de coordenadas são coincidentes NORTON 2010 13 Cinemática dos elementos de máquinas Figura 12 Vetores aceleração em elos Fonte Norton 2010 p 351 352 A I PA A n PA A n PA A n PA A I PA A I PA APA APA AP AA AP AA APA a2 a2 ω2 ω2 P P 2 2 X X θ θ Y Y A 3 A I I VPA VPA a b c O A Figura 12b mostra um caso em que o ponto P do elo PA continua em rotação mas dessa vez o ponto A do elo realiza um movimento de translação com aceleração AA Assim APA não mais pode ser considerada a aceleração absoluta do ponto P mas sim a diferença de acelerações entra P e A NOR TON 2010 Derivando a equação da diferença das velocidades em relação ao tempo obtémse a equação para a diferença das acelerações que tem a solução gráfica na Figura 12c APA AP AA Rearranjando esta equação obtémse AP AA APA A t P A n P A t A A n a A t PA A n PA No exemplo da Figura 12b a componente A n A não existe uma vez que o ponto A está em translação pura NORTON 2010 O exemplo acima tratou de um caso onde os dois pontos se encontram no mesmo corpo e estudou sua diferença de acelerações Em casos onde dois pontos se encontram em corpos separados utilizase o termo aceleração relativa NORTON 2010 Cinemática dos elementos de máquinas 14 Configurações de mecanismos Existem diversas configurações de mecanismos das mais variadas formas e para os mais variados propósitos Porém um mesmo tipo de mecanismo também pode ser utilizado para mais de um propósito A seguir você apren derá sobre duas configurações clássicas de mecanismos de quatro barras e bielamanivela Mecanismo de quatro barras Dentre os tipos de mecanismos existentes o mais simples e utilizado é o mecanismo de quatro barras composto por quatro elos conectados por juntas pinadas sendo um deles o elo fixo Ele está presente na maioria das máquinas desde o limpador de parabrisa de um automóvel até o trem de pouso de um avião MYSZKA 2011 A Figura 13 ilustra mecanismos de quatro barras e seus diagramas cinemáticos que nada mais são que representações simplifi cadas para análise de mecanismos Figura 13 Mecanismos quatro barras reais e seus respectivos diagramas cinemáticos Fonte Myszka 2011 p 21 2 1 3 4 4 3 2 1 D C X B A Como os mecanismos de quatro barras têm apenas um grau de liberdade que são totalmente operáveis por apenas um atuador MYSZKA 2011 Na Figura 14 é possível observar os vetores velocidade em um mecanismo de quatro barras clássico onde seus elos foram numerados de 1 a 4 sendo o elo 1 o elo fixo 15 Cinemática dos elementos de máquinas Figura 14 Representação dos vetores velocidade dos pontos de interesse em um mecanismo de quatro barras Fonte Norton 2010 p 293 r p p C q q B VC VA A Y θ2 VCA VB VBA 4 2 1 O2 O4 ω4 ω3 ω2 A origem do sistema de coordenadas se encontra no ponto O2 Como o elo 2 realiza um movimento de rotação com o centro na origem do sistema de coordenadas a velocidade do ponto A é representada apenas por VA que é a sua absoluta Já para a velocidade dos pontos B e C são apresentados dois vetores um para sua diferença de velocidade em relação ao ponto A VBA e VCA e suas velocidades absolutas VB e VC O mesmo acontece para os vetores aceleração de um quatro barras que são representados na Figura 15 É importante ressaltar a presença das acelerações normal e tangencial na composição dos vetores aceleração Cinemática dos elementos de máquinas 16 Figura 15 Representação dos vetores aceleração dos pontos de interesse em um mecanismo de quatro barras Fonte Norton 2010 p 355 α3 α4 α2 ω3 ω2 ω4 O2 O4 θ2 θ3 θ4 A Y X P C q p c B q 3 4 2 1 At BA At B An BA An B At A An A Mecanismo bielamanivela Outro tipo de mecanismo que é comumente encontrado é o bielamanivela Esse mecanismo também tem quatro barras com um elo fixo porém com três juntas pinadas e uma deslizante A Figura 16 mostra um exemplo de mecanismo bielamanivela MYSZKA 2011 Figura 16 A bomba manual de água é um exemplo de mecanismo bielamanivela Fonte Myszka 2011 p 22 X 3 4 1 2 B C D A 17 Cinemática dos elementos de máquinas Assim como os mecanismos de quatro barras o mecanismo bielamanivela tem apenas um GDL o que quer dizer que apenas um atuador é necessário para sua completa operação MYSZKA 2011 Geralmente o elo ligado ao pivô fixo é chamado manivela que está represen tado pelo número 2 no diagrama cinemático da Figura 16 Nem sempre a ma nivela é capaz de realizar uma revolução completa Já o termo biela é utilizado para designar o elo que conecta a manivela ao elo deslizante MYSZKA 2011 A Figura 17 apresenta os vetores velocidade e aceleração para dois casos de movimento de mecanismos bielamanivela Figura 17 Vetores velocidade e aceleração representados em dois movimentos de me canismos bielamanivela Fonte Norton 2010 p 321 362 VBA AB VA VB θ3 θ3 θ2 O2 B 4 ω3 ω3 X X Y Y y A ω2 a A A t A A t BA A n BA AA y 4 B x a3 ω2 a2 a O2 θ2 X a b 1 Sobre o movimento de translação de corpos rígidos é correto afirmar que a a translação é um movimento exclusivo do planeta Terra b o movimento de translação de corpos rígidos é normalmente dividido em uniforme e variado c a translação não pode ser considerada um movimento plano d na translação qualquer linha reta dentro do corpo rígido mantém a mesma direção ao longo do movimento e no movimento de translação todas as partículas se movem ao longo de trajetórias não paralelas 2 Considere um corpo rígido rotacionando em torno de um eixo fixo Sobre essa situação assinale a alternativa correta a Todas as partículas desse corpo se movem em trajetórias circulares em planos paralelos Cinemática dos elementos de máquinas 18 b Cada partícula desse corpo se move em torno de seu próprio eixo de rotação c Quando o eixo de rotação intercepta o corpo rígido as partículas que são interceptadas por esse eixo apresentam aceleração e velocidade máximas d Como o corpo rígido está rotacionando ele não pode ser considerado um movimento plano e O movimento de rotação em torno de um eixo fixo pode ser considerado um sinônimo da translação curvilínea 3 Sobre os movimentos dos corpos rígidos podese afirmar que a eles podem ser divididos em movimentos planos e de translação b nos movimentos planos cada partícula de um corpo rígido se move ao longo de um determinado plano c o movimento de um pião apoiado sobre determinado ponto é considerado um movimento de rotação em torno de um eixo fixo d o movimento de rotação em torno de um ponto fixo não pode ser considerado um movimento plano e um mesmo mecanismo não pode combinar mais de um tipo de movimento de seus elementos 4 Posição velocidade e aceleração são vetores de uma partícula em um corpo rígido Sobre eles é correto afirmar que a o vetor velocidade de um ponto em um determinado corpo rígido pode ser determinado pela integração de seu deslocamento b o caminho percorrido entre dois pontos é chamado deslocamento c a velocidade relativa entre dois pontos é dada pela diferença entre suas velocidades absolutas d a aceleração angular de uma partícula contida num corpo rígido nada mais é que a taxa de variação temporal de sua posição angular e a aceleração de uma partícula de um corpo rígido rotacionando tem apenas uma componente a aceleração tangencial 5 Sobre os mecanismos de quatro barras e bielamanivela assinale a alternativa correta a Embora o nome do mecanismo seja quatro barras na verdade existem quatro elos móveis e um fixo b Em um mecanismo biela manivela existem três juntas pinadas e uma deslizante c Mecanismos bielamanivela têm dois graus de liberdade uma vez que existe uma junta deslizante d O trem de pouso de um avião é um bom exemplo para um mecanismo bielamanivela e Apenas um atuador não é suficiente para operar totalmente um mecanismo bielamanivela 19 Cinemática dos elementos de máquinas BEER F P JOHNSTON JR E R CORNWELL P J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre AMGH 2012 ERDMAN A G SANDOR G N Advanced mechanism design analysis and synthesis Englewood Cliffs PrenticeHall 1984 v 4 HIBBELER R C Estática mecânica para engenharia 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 MYSZKA D H Machines mechanisms applied kinematic analysis 4th ed Upper Saddle River Pearson Education 2011 NORTON R L Cinemática e dinâmica dos mecanismos Porto Alegre AMGH 2010 ROVAI M Tutorial braço robótico programável projeto final 2016 Disponível em httplabdegaragemcomprofilesblogstutorialbraorobticoprogramvel projetofinal Acesso em 02 jul 2018 Cinemática dos elementos de máquinas 20 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra