Prova Online Metodos Matematicos

Métodos Matemáticos Sistemas lineares Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Isso significa que você pode interagir com o conteúdo de diversas formas a qualquer hora e lugar Na versão impressa porém alguns conteúdos interativos ficam desabilitados Por essa razão fique atento sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Nesta webaula conheceremos o método da matriz inversa que é comumente utilizado em situações problemas de sistemas lineares Sabemos que existem diversos tipos de matrizes por isso é importante identificar as principais características de uma matriz inversa para facilitar no momento da resolução Matriz inversa Para trabalhar com inversão de matrizes dois fatores são importantes as operações elementares e a forma matrizlinha reduzida à forma escada Neste aspecto dizemos que uma matriz A é invertível se sua matrizlinha reduzida à forma escada é a matriz identidade Além disso sendo A1 a inversa de A o produto AA1 resulta na matriz identidade Veremos como esse procedimento funciona na prática Como exemplo considere a matriz A dada por A21 0 0 1 01 1 0 1 1 1 10 0 3 Para começar o processo de inversão da matriz A colocamos a matriz identidade junto à matriz A e aplicamos as operações elementares com as linhas a fim de reduzir a parte esquerda que corresponde a A à forma escada da linha reduzida Além disso as operações devem ser feitas simultaneamente na parte direita Isto é Matriz A Matriz identidade 21 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 10 0 301000 01000 0010 0001 A primeira operação elementar que faremos é trocar a primeira linha com a segunda linha isto é L1L2 10 1 10100 21 0 010 00 1 1 1001 0 0 30001 A segunda operação que faremos é somar a quarta linha e a segunda linha a primeira linha multiplicada por 2 isto é L4L42L1 L2L22L1 Pesquise mais Para finalizar é importante enfatizar que assim como as demais matrizes a matriz inversa surgiu da necessidade de um método para a resolução de sistemas lineares Por sua vez os sistemas lineares são utilizados em muitas situações por exemplo tráfego de veículos e balanceamento de equações químicas Portanto conhecer e se familiarizar com os métodos na utilização de matrizes se faz necessário Métodos Matemáticos Autovalores e autovetores Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Isso significa que você pode interagir com o conteúdo de diversas formas a qualquer hora e lugar Na versão impressa porém alguns conteúdos interativos ficam desabilitados Por essa razão fique atento sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Nesta webaula conheceremos sobre os espaços vetoriais que são uma das estruturas algébricas mais importantes da álgebra cujas aplicações são encontradas em diversos aspectos do nosso dia a dia Além disso iremos entender a definição de base e dimensão definições estas também muito importante para o estudo da álgebra linear Espaço vetorial Um espaço vetorial V sobre um campo F é um conjunto cujos elementos são chamados de vetores de modo que se pode adicionar e subtrair vetores e multiplicar um vetor por uma constante de F Essas constantes são chamadas escalares Matematicamente os axiomas que definem um espaço vetorial são V é um grupo Abeliano Propriedades Lei comutativa v w w v Lei associativa u v w u v w Elemento neutro u 0 0 u u Elemento oposto u u 0 V admite uma multiplicação escalar por elementos de F Propriedades u 1u Distibitva a u v au av Associativa a bu abu Um exemplo de aplicação referente a espaços vetoriais é a que envolve a mudança de coordenadas nos espectros de cores em relação ao sistema de cores RGB redgreenblue Por exemplo em física o modelo matemático que se adequa à representação do espaço espectral de cores é necessariamente um espaço vetorial de dimensão finita em que o processo de reconstrução de cor utiliza uma base de cores primárias que seria a base do espaço vetorial gerando o modelo tricromático de YoungHelmholtz baseado no padrão RGB Subespaço vetorial Dizemos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de subespaço quando se torna um espaço vetorial com as operações herdadas de V ou seja quando somas e múltiplos escalares de vetores em W pertencem a W Matematicamente dizemos que W é um subespaço vetorial de V quando W V tal que o W u v W e au W Dentre exemplos podemos destacar o subspaço chamado de span isto é se A é um conjunto de vetores em V então o spanA de A é o menor subespaço de V que contém A Base Podemos trabalhar com o conceito de base e dimensão abordado no exemplo sobre espectro de cores descrito anteriormente Neste aspecto dizemos que uma base é uma coleção de vetores B de um espaço vetorial V quando cada vetor em V pode ser escrito de uma maneira única como combinação linear de elementos de B As bases são precisamente os conjuntos máximos independentes de vetores e os conjuntos de abrangência mínima de vetores que em particular cada conjunto de abrangência pode ser reduzido a uma base Vale lembrar também que todo espaço vetorial tem uma base Dimensão Definimos o que é base mas e o que é dimensão Para definir esse conceito tome quaisquer duas bases de V que têm o mesmo tamanho Esse tamanho é chamado de dimensão de V e denotamos por dimV O conceito de base e dimensão são importantes quando se trata de espaço vetorial Além disso ter em mente suas formas de aplicação facilitará no entendimento dos próximos assuntos Para visualizar o vídeo acesse seu material digital Métodos Matemáticos Matrizes Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Isso significa que você pode interagir com o conteúdo de diversas formas a qualquer hora e lugar Na versão impressa porém alguns conteúdos interativos ficam desabilitados Por essa razão fique atento sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Nesta webaula conheceremos um método matemático que é utilizado em muitas áreas do conhecimento as matrizes Além disso destacaremos dez tipos de matrizes que poderão ser encontrados em situaçõesproblemas Matrizes As matrizes são essenciais para muitos problemas não apenas porque elas ordenam e simplificam mas também porque oferecem novos métodos de resoluções e novos olhares sobre o problema Entendese por uma matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas Tipos de matrizes Dos tipos mais conhecidos destacaremos dez deles 1 Matriz quadrada é um tipo de matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas 1 1 2 3 2 Matriz nula é aquela matriz em que todos seus termos são nulos 0 0 0 0 3 Matriz coluna é o tipo de matriz formada apenas por uma coluna 1 2 4 Matriz linha é aquela matriz que é formada por apenas uma linha 3 1 2 5 Matriz diagonal é aquela matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal são nulos 8 0 0 0 2 0 0 0 1 6 Matriz identidade é um tipo de matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal são iguais a um e os elementos fora da diagonal são iguais a zero 1 0 0 1 7 Matriz triangular superior é aquela matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal são nulos 8 2 1 0 2 3 0 0 1 8 Matriz triangular inferior é aquela matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal são nulos 8 0 0 1 2 0 3 5 1 9 Matriz simétrica é aquela matriz quadrada em que se tem aijaij 8 5 1 5 2 0 1 0 1 10 Matriz transposta é a matriz obtida da operação em que dada uma matriz A obtémse uma matriz A tal que as linhas de A são as colunas de A A 2 2 4 4 5 7 At2 4 5 4 1 5 Pesquise mais Para finalizar é importante enfatizar que com o conhecimento dos tipos de matrizes teremos a facilidade de organizar uma tabela e dar andamento nos cálculos necessários para a resolução de situações problemas Métodos Matemáticos Métodos de tomada de decisão Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Isso significa que você pode interagir com o conteúdo de diversas formas a qualquer hora e lugar Na versão impressa porém alguns conteúdos interativos ficam desabilitados Por essa razão fique atento sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Nesta webaula definiremos o teste Z Mas para isso inicialmente apresentaremos alguns conceitos referente ao teste de hipótese que serão muito úteis para o entendimento do teste Z Teste de Hipótese Definição Em termos matemáticos um teste de uma hipótese estatística é uma função de decisão dXa0a1 em que a0 corresponde à ação de considerar a hipótese H0 como a1 verdadeira corresponde à de considerar a hipótese H1 como verdadeira e X é o espaço amostral associado à amostra X1 Xn CASELLA BERGER 2010 Erros Temos dois tipos de erros a considerar para considerar ao tomarmos uma decisão Erro do tipo I Quando rejeitamos a hipótese nula quando de fato ela é verdadeira Erro do tipo II Quando não rejeitamos a hipótese nula quando de fato ela é falsa No geral denotamos as probabilidades desses dois tipos de erro como α e β respectivamente Risco O rico vai determinar a probabilidade dos erros do tipo I e tipo II Mas antes de trabalhar com essa função precisamos de uma definição da função de perda que é a seguinte Definição CASELLA BERGER 2010 sejam e a função de perda definida por lθid0 se a decisão for correta lθid1 se a decisão for incorreta Agora é possível trabalhar com a função de risco Nesse caso a função de risco que determina a probabilidade dos erros do tipo I e II com base na função de perda é dada por RθidElθidPXA1θ0αErro do Tipo I RθidElθidPXA0θ1βErro do Tipo II Em que E representa o valor esperado ou média Teste Z O teste Z para média é um teste estatístico baseado na distribuição normal para amostras grandes e desviopadrão conhecido Nesse caso a estatística do teste é descrita por Zcalcxμ0σn para testar a hipótese H0μμ1 contra H1μμ1 teste bicaudal ou H0μμ1μμ1 contra H1μμ1μμ1 teste unicaudal Nesse caso para trabalhar com o pvalor trabalhamos com a tabela da distribuição normal de acordo com o nível de significância do teste Em situações que temos duas populações temos a versão do teste Z para duas médias cuja estatística do teste é dada por Zcalcxyx2nxny2ny Com isso encerramos o teste Z que é um dos testes mais simples que temos para fazer comparação de médias Saiba mais Naturalmente quando precisamos fazer os cálculos das estatísticas de testes abordadas nesta seção fazemos o uso de softwares uma vez que o tamanho da amostra pode ser muito grande Nesse caso podemos utilizar o software R porém ele não é tão familiar a muitas pessoas Então para facilitar podemos utilizar o R Commander um software que funciona igual ao R tendo o R executado em segundo plano com interface mais familiar como o Excel Pesquise mais Com o conteúdo apresentado esperamos que você possa dar início nas práticas do teste de hipótese Z Essa habilidade será importante na sua vivência profissional Para visualizar o vídeo acesse seu material digital Métodos Matemáticos Probabilidade Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Isso significa que você pode interagir com o conteúdo de diversas formas a qualquer hora e lugar Na versão impressa porém alguns conteúdos interativos ficam desabilitados Por essa razão fique atento sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Nesta webaula definiremos a regra da adição e a regra da cadeia Ambas definições são extremamente importante para compreender sobre o Teorema da probabilidade total e o Teorema de Bayes que serão apresentados logo após as regras Regra da adição MAGALHÃES 2002 Sejam A B Λ Então PA B PA PB PA B Por outro lado se A e B são eventos mutuamente exclusivos a probabilidade PA B se reduz a PA B PA PB Agora que conhecemos a regra da adição vamos definir a probabilidade condicional Em algumas situações a probabilidade necessita ser reavaliada sempre que novas informações se tornam disponíveis e essa nova informação pode causar algum tipo de interferência no resultado anterior Nessa situação trabalhamos então com a chamada probabilidade condicional Definição seja Ω Λ P um espaço de probabilidade e sejam os eventos A B Λ então a probabilidade condicional do evento A dado que o evento B ocorreu é definida como PAB PABPB Regra da multiplicação MAGALHÃES 2002 Sejam os eventos A1 A2 An com a condição de que Pⁿᵢ₁ Aᵢ 0 então a regra da multiplicação de probabilidades é definida como Pⁿᵢ₁ Aᵢ PA₁ PA₂A₁PAₙ A₁ Aₙ₁ A partir dessa regra podemos definir dois teoremas de suma importância no contexto de probabilidade o teorema da probabilidade total e o teorema de Bayes Teorema da probabilidade total MAGALHÃES 2002 suponha que os evento C₁ Cₙ em um espaço de probabilidade Ω Λ P formam uma partição de Ω e todos têm probabilidade positiva Então para qualquer evento A nesse espaço de probabilidade vale que PA ⁿᵢ₁ PCᵢ PA Cᵢ Teorema de Bayes MAGALHÃES 2002 suponha que os eventos C₁ Cₙ em um espaço de probabilidade Ω Λ P formam uma partição de Ω e todos têm probabilidade positiva Seja A um evento qualquer com PA 0 então PCₖA PCₖPACₖⁿᵢ₁ PCᵢPACᵢ k 1 n Uma das principais aplicações do tão famoso teorema de Bayes é em análises clínicas no contexto de teste de diagnósticos em que o objetivo é definir os falsos positivos e falsos negativos a fim de encontrar um padrãoouro Esperamos que com o conteúdo apresentado você possa identificar nos eventos qual a regra possível de ser utilizada para que o teste correto seja aplicado a fim de resolver situações problemas Métodos Matemáticos Estatística descritiva Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Isso significa que você pode interagir com o conteúdo de diversas formas a qualquer hora e lugar Na versão impressa porém alguns conteúdos interativos ficam desabilitados Por essa razão fique atento sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Nesta webaula conheceremos os tipos de variáveis que podemos utilizar quando assumimos diversas classificações de acordo com a origem populacional Após esse conhecimento veremos quais gráficos são possíveis de utilizar acerva das variáveis que podemos ter Tipos de variáveis Variáveis quantitativas São variáveis dizem respeito a características que podem ser medidas ou contadas por exemplo o número de árvores de uma determinada espécie a taxa de hemoglobina de um paciente etc Podemos classificar as varáveis quantitativas em dois grupos Quantitativas discretas São aquelas que são originadas de um processo de contagem como por exemplo o número de peixes de uma espécie X em um determinado lago Quantitativas contínuas São aquelas que não existe uma contagem e podem assumir qualquer valor na reta real como temperatura índices pluviométricos etc NETO 2006 Variáveis qualitativas Essas variáveis estão ligadas à descrição de uma característica não podendo ser contada ou medida mas podendo ser observada por exemplo o nível educacional a cor dos olhos o sexo de um animal etc Além dessas classificações de variáveis podemos ainda classificálas em duas subcategorias Qualitativa nominal Quando não há uma ordem de classificação Exemplos espécie de uma planta cor dos olhos e sexo de um animal Qualitativa ordinal Quando há uma ordem de classificação Exemplos classificação do nível escolar e nível de urgência em um hospital NETO 2006 Gráficos Os gráficos são uma ferramenta importante para representar as variáveis que acabamos de conhecer Em geral a utilização de gráficos para resumir os resultados de uma pesquisa é comum e é sempre recomendável E sobre isso alguns pontos devem ser levados em conta na sua construção MAGALHÃES 2002 1 Devem ser claros simples atrair a atenção e inspirar confiança 2 Servem para resumir resultados importantes de uma pesquisa 3 Sempre devem ter um título completo e ser colocado na parte superior do gráfico 4 Devem ser construídos numa escala que não implique outros tipos de interpretações 5 Devese sempre especificar dar nome e graduar criar escala os eixos 6 Quando os dados não são próprios devese citar a fonte de origem dos dados do gráfico Gráficos de barras Apresenta dados categorizados em barras retangulares em que cada barra é proporcional ao número de observações naquela categoria da variável NETO 2006 Utilizamos esse tipo de gráfico em geral para realizar comparações entre as categorias de uma variável qualitativa ou quantitativa discreta E como fazemos esse gráfico em um software como o Excel Digitamos os nossos dados na planilha e vamos em Inserir Gráficos Barra Como exemplo vamos considerar o gráfico de barras feito no Excel exposto na figura a seguir Fonte elaborada pelo autor Histograma É uma representação gráfica da distribuição de frequências em intervalos de classes de dados quantitativos contínuos E como fazemos esse gráfico no Excel Seguimos o mesmo caminho do gráfico de barras só mudamos o tipo de gráfico Nesse caso vamos na opção Inserir Gráficos Histograma Como exemplo vamos considerar o histograma feito no Excel exposto na figura a seguir Fonte elaborada pelo autor Gráfico de setores Esse tipo de gráfico é a representação gráfica da frequência relativa percentagem de cada categoria da variável qualitativa NETO 2006 E no Excel como fazemos esse tipo de gráfico Trabalhamos como nos anteriores Inserir Gráfico Pizza 2D nesse caso Como exemplo vamos considerar a representação dos dados de duas espécies de plantas descritos na tabela e em seguida veja a representação gráfica Dados relativos a duas espécies de plantas e suas respectivas porcentagens em um dado estudo biológico Plantas Amostras Carnívoras 250 25 Não carnívoras 750 75 Total 1000 100 Fonte elaborada pelo autor Gráfico de setores do número de plantas de espécies carnívoras e não carnívoras em uma determinada região Amostras das espécies de plantas Carnívora NãoCarnívora Fonte elaborada pelo autor Gráfico de linhas É um tipo de gráfico que exibe informações de uma série temporal em que os valores do eixo x representam a escala de tempo e os valores do eixo y os dados observados Os pontos são ligados por segmentos de reta MAGALHÃES 2002 E como fazemos no Excel Da mesma forma que os anteriores Inserir Gráfico Gráfico de linhas Como exemplo considere a concentração de nitrogênio no decorrer dos anos em um determinado rio conforme a figura Fonte elaborada pelo autor Boxplot É basicamente formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana No Excel trabalhamos da mesma forma que nos anteriores Inserir Gráfico Boxplot Como exemplo vamos trabalhar com as concentrações de chumbo no sangue de pacientes de um determinado hospital após sofrerem um acidente de trabalho em uma mina As concentrações em μgml de cada paciente estudado são dadas por 152 105 201 142 132 158 157 142 115 178 185 Utilizandose o Excel o gráfico dessa situação é dado pela figura Boxplot das concentrações de chumbo no sangue de pacientes após um acidente de trabalho em uma mina Concentrações de chumbo dos pacientes Fonte elaborada pelo autor Para finalizar é importante enfatizar que além da habilidade em construir os gráficos no excel é importante saber interpretar cada tipo de gráfico Lembrese de identificar o tipo de variável para que a sua interpretação seja a correta 1 Letra D 2 Letra B 3 Letra A 4 Letra D 5 Letra B 6 Letra D 7 Letra E 8 Letra C 9 Letra B 10 Letra C 11 Letra D 12 Letra D