Fundamentos de Dinâmica - Movimento Curvilíneo - Aula 2

Fundamentos de Dinâmica Aula 2 Movimento Curvilíneo Prof Dr Raphael Tsukada RaphaelIssamuprofuniedukcombr 25022021 Correção do exercício 2 x v a 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 න 𝑑𝑡 න 𝑑𝑡 𝑎 6𝑡 0 𝑡 5 𝑎 2𝑡 20 5 𝑡 10 Aceleração Velocidade 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑎𝑑𝑡 𝑑𝑣 න 𝑣0 𝑣 𝑑𝑣 න 0 𝑡 𝑎𝑑𝑡 න 𝑣0 𝑣 1𝑑𝑣 න 0 𝑡 6𝑡𝑑𝑡 0 𝑡 5𝑠 ȁ 𝑣 𝑣0 𝑣 ȁ 3𝑡2 0 𝑡 𝑣 𝑣0 3𝑡2 0 𝑣 3𝑡2 Correção do exercício 2 Posição 0 𝑡 5𝑠 𝑣 3𝑡2 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 න 𝑥0 𝑥 𝑑𝑥 න 0 𝑡 𝑣𝑑𝑡 න 𝑥0 𝑥 𝑑𝑥 න 0 𝑡 3𝑡2𝑑𝑡 ȁ 𝑥 𝑥0 𝑥 ȁ 𝑡3 0 𝑡 𝑥 𝑥0 𝑡3 0 𝑥 𝑡3 Correção do exercício 2 x v a 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 න 𝑑𝑡 න 𝑑𝑡 𝑎 6𝑡 0 𝑡 5 𝑎 2𝑡 20 5 𝑡 10 Aceleração Velocidade 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑎𝑑𝑡 𝑑𝑣 න 𝑣5𝑠 𝑣 𝑑𝑣 න 5 𝑡 𝑎𝑑𝑡 න 𝑣5𝑠 𝑣 1𝑑𝑣 න 5 𝑡 2𝑡 20𝑑𝑡 5 𝑡 10 ȁ 𝑣 𝑣5𝑠 𝑣 𝑡2 20𝑡 ȁ 5 𝑡 𝑣 𝑣5𝑠 𝑡2 20𝑡 52 20 5 𝑣 75 𝑡2 20𝑡 125 𝑣 𝑡2 20𝑡 50 Correção do exercício 2 Posição 5 𝑡 10𝑠 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 න 𝑥5𝑠 𝑥 𝑑𝑥 න 5 𝑡 𝑣𝑑𝑡 න 𝑥5𝑠 𝑥 𝑑𝑥 න 5 𝑡 𝑡2 20𝑡 50 𝑑𝑡 ȁ 𝑥 𝑥5𝑠 𝑥 ቚ 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 5 𝑡 𝑣 𝑡2 20𝑡 50 𝑥 𝑥5𝑠 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 53 3 10 52 50 5 𝑥 125 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 125 3 Correção do exercício 2 Posição 𝑥 125 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 125 3 𝑥 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 125 3 125 𝑥 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 125 3 125 𝑥 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 125 3 375 3 𝑥 𝑡3 3 10𝑡2 50𝑡 250 3 Correção do exercício 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 2 4 6 8 10 12 Velocidade ms e Posição m Tempo s Velocidade Posição Movimento Curvilíneo componentes retangulares Ԧ𝑟 𝑥 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 𝑧𝑘 Vetor Posição 5 10 7 𝑟5𝑠 5 Ƹ𝑖 10 Ƹ𝑗 7𝑘 𝑟5𝑠 5 Ƹ𝑖 10 Ƹ𝑗 7𝑘 4 3 5 𝑟2𝑠 3 Ƹ𝑖 5 Ƹ𝑗 4𝑘 Ԧ𝑟 𝑟5𝑠 𝑟 2𝑠 5 Ƹ𝑖 10 Ƹ𝑗 7𝑘 3 Ƹ𝑖 5 Ƹ𝑗 4𝑘 5s 2s Ԧ𝑟 5 Ƹ𝑖 10 Ƹ𝑗 7𝑘 3 Ƹ𝑖 5 Ƹ𝑗 4𝑘 2 Ƹ𝑖 5 Ƹ𝑗 3𝑘 Velocidade e Aceleração Ԧ𝑣 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 Vetor Velocidade Ԧ𝑟 𝑥 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 𝑧𝑘 Vetor Posição 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 𝑣𝑧 𝑘 Ԧ𝑎 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑘 Vetor Aceleração Ԧ𝑎 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 𝑎𝑧 𝑘 𝑑 𝑑𝑡 Problema Uma partícula é forçada a se mover ao longo da trajetória Se 𝑥 4𝑡4 m onde t é dado em segundos determine a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando t 05 s 𝑥 4𝑡4 𝑦2 4𝑥 Velocidade Ԧ𝑣 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 16𝑡3 Ƹ𝑖 8𝑡 Ƹ𝑗 𝑣𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 16𝑡3 𝑣𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 8𝑡 𝑦 4𝑥 𝑦 4 4𝑡4 𝑦 16𝑡4 𝑦 4𝑡2 Problema 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 𝑥 16𝑡3 1 4𝑡4 16𝑡3 1 2𝑡2 16𝑡3 8t 𝑦 4𝑥 4 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 05 𝑑𝑦 𝑑𝑥 205𝑥05 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 16𝑡3 Derivada implícita Problema Ԧ𝑣 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 16𝑡3 Ƹ𝑖 8𝑡 Ƹ𝑗 𝑣𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 16𝑡3 𝑣𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 8𝑡 𝑣05𝑠 16 053 Ƹ𝑖 8 05 Ƹ𝑗 𝑣05𝑠 2 Ƹ𝑖 4 Ƹ𝑗 𝑚𝑠 𝑣05𝑠 22 42 20𝑚𝑠 Aceleração Ԧ𝑎 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 Ԧ𝑎 48𝑡2 Ƹ𝑖 8 Ƹ𝑗 𝑎05𝑠 48 052 Ƹ𝑖 8 Ƹ𝑗 12 Ƹ𝑖 8 Ƹ𝑗 𝑚𝑠² 𝑎05𝑠 122 82 1442 𝑚𝑠² Lançamento de projetil Ԧ𝑣0 x y Ԧ𝑣0𝑥 Ԧ𝑣0𝑦 Ԧ𝑣0 𝑣0𝑥 Ƹ𝑖 𝑣0𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝑔 981 Ƹ𝑗 𝑚𝑠² Ԧ𝑣0𝑥 Ԧ𝑣𝑦 Ԧ𝑣 𝑣0𝑥 Ƹ𝑖 Ԧ𝑣𝑦 Ԧ𝑣0𝑥 Velocidade Constante A c e l C t e 𝑣𝑦 𝑣0𝑦 𝑎𝑡 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑦𝑡 𝑎𝑡2 2 𝑣𝑦2 𝑣0𝑦 2 2𝑎 𝑦 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑣𝑥𝑡 𝑎𝑥 0 𝑎𝑦 𝑔 Ԧ𝑣0 Ԧ𝑣0𝑥 Ԧ𝑣0𝑦 𝜃 𝑣0𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣0𝑦 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 Ԧ𝑣0𝑦 Ԧ𝑣0𝑥 Ԧ𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜃 Ԧ𝑣0𝑥 Ԧ𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝜃 Ԧ𝑣0𝑦 Ԧ𝑣0 Lançamento de projetil Velocidade Inicial 𝑣0 𝑣0𝑥 Ƹ𝑖 𝑣0𝑦 Ƹ𝑗 y x 𝑣0𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣0𝑐𝑜𝑠0 𝑣0 𝑣0𝑦 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣0𝑠𝑒𝑛0 0 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑦𝑡 𝑎𝑡2 2 10 0 𝑡 10𝑡2 2 10 10𝑡2 2 𝑡2 2 𝑡 14𝑠 𝑥 𝑥0 𝑣𝑥𝑡 𝑥 𝑥0 𝑣𝑥𝑡 15 𝑣𝑥14 𝑣𝑥 107 ms Problema Pacotes pequenos movendose sobre uma esteira transportadora caem dentro de um carrinho de carga de 1m de comprimento Se a esteira está se movendo com uma velocidade escalar constante de vc 2ms determine a menor e a maior distância R na qual a extremidade A do carro possa ser colocada em relação à esteira de maneira que os pacotes entrem no carro 𝑣0 𝑣0𝑥 𝑣0𝑦 𝜃 Problema 𝑣0 𝑣0𝑥 𝑣0𝑦 𝜃 Calcular as componentes da velocidade inicial 𝑣0𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝑐𝑜𝑠30 2 087 174 𝑚𝑠 𝑣0𝑦 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝑠𝑒𝑛30 2 05 10 𝑚𝑠 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑦𝑡 𝑎𝑡2 2 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑦𝑡 𝑎𝑡2 2 3 1𝑡 10𝑡2 2 5𝑡2 𝑡 3 0 12 4 5 3 1 60 61 𝑡 1 61 2 5 0681 𝑠 𝑥 𝑣0𝑥 t 174 0681 1185 m 0185 𝑅 1185 𝑚 Um barco está se movendo ao longo da trajetória circular com uma velocidade escalar de 𝑣 00625𝑡2 ms onde t é dado em segundos Determine a intensidade da sua aceleração quando t 10s Movimento Curvilíneo componentes normal e tangente Solução Procedimento de Solução 𝑎𝑡 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 Ԧ𝑎 𝑎𝑡 𝑢𝑡 𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑡 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 O vetor aceleração é dado por Solução 𝑎𝑡 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 Ԧ𝑎 𝑎𝑡 𝑢𝑡 𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑡 𝑎𝑛 𝑎𝑡 𝑑00625𝑡2 𝑑𝑡 𝑎𝑡 2 00625𝑡 𝒂𝒕 𝟎 𝟏𝟐𝟓𝒕 Para t 10s 𝑎𝑡 0125 10 125 𝑚𝑠2 Calculando a componente tangencial da aceleração 𝒂𝒕 Solução Ԧ𝑎 𝑎𝑡 𝑢𝑡 𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑡 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 Para t 10s 𝑣 00625 102 625 𝑚𝑠 Calculando a componente normal da aceleração 𝒂𝒏 𝑎𝑛 6252 40 𝑎𝑛 390625 40 𝑎𝑛 0977 𝑚𝑠2 Solução Ԧ𝑎 𝑎𝑡 𝑢𝑡 𝑎𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑡 𝑎𝑛 Para t 10s Vetor de aceleração Ԧ𝑎 125 𝑢𝑡 0977 𝑢𝑛 Intensidade da aceleração Ԧ𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 Ԧ𝑎 1252 09772 Ԧ𝑎 1252 09772 Ԧ𝑎 159 m𝑠2 Problema Problema As caixas na figura ao lado deslocamse ao longo do transportador industrial Se a caixa apresentada na figura abaixo parte do repouso em A e aumenta sua velocidade escalar de tal maneira que 𝑎𝑡 02𝑡 𝑚𝑠2 onde t é dado em segundos determine a intensidade da sua aceleração quando ela chega no ponto B Solução A posição da caixa em qualquer instante é definida a partir do ponto fixo A A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 1 Diferentemente do problema anterior nós não temos o tempo que a caixa leva para chega ao ponto B 2 Desta forma antes de calcular a aceleração devemos calcular o tempo que a caixa leva para chegar no ponto B Algumas observações Solução A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 න 0 𝑣 𝑑𝑣 න 0 𝑡 𝑎𝑡𝑑𝑡 𝑎𝑡 02𝑡 𝑚𝑠2 Dado no enunciado 1 𝑣 න 0 𝑠 𝑑𝑠 න 0 𝑡 𝑣𝑑𝑡 2 𝑡 3 𝑎𝑡𝐵 𝑎𝑡 02𝑡 𝑚𝑠2 4 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 𝑎𝑛𝐵 5 Ԧ𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 Ԧ𝑎 Solução A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 𝑎𝑡 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 න 0 𝑣 𝑑𝑣 න 0 𝑡 𝑎𝑡𝑑𝑡 න 0 𝑣 𝑑𝑣 න 0 𝑡 𝑎𝑡𝑑𝑡 𝑎𝑡 02𝑡 𝑚𝑠2 Dado no enunciado 𝑣 න 0 𝑡 02𝑡𝑑𝑡 𝑣 01𝑡2 Desta forma o primeiro passo é integrar a aceleração tangencial e encontrar a velocidade 1 𝑣 න 0 𝑡 02𝑡𝑑𝑡 02𝑡2 2 Solução A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 න 0 𝑠 𝑑𝑠 න 0 𝑡𝐵 01𝑡2𝑑𝑡 න 0 614 𝑑𝑠 න 0 𝑡𝐵 01𝑡2𝑑𝑡 614 0033𝑡𝐵 3 𝑡𝐵 569 𝑠 Desta posse da velocidade podemos integrar novamente e encontrar o tempo 2 𝑠 𝟑 𝟐𝝅𝟐𝟒 614 m න 0 𝑠 𝑑𝑠 න 0 𝑡𝐵 𝑣𝑑𝑡 𝑠 3 2𝜋𝑅4 Solução A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 𝑎𝑡 02𝑡 𝑚𝑠2 Desta posse do tempo podemos calcular a aceleração tangencial em B 3 𝑎𝑡 02 569 𝑚𝑠2 𝑎𝑡 1138 𝑚𝑠2 Solução A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 Desta posse do tempo e da velocidade podemos calcular a velocidade tangencial tangencial em B e a aceleração normal 4 𝑣 01𝑡2 𝑣 01 5692 𝑣 3238 𝑚𝑠 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 𝑎𝑛 32382 2 𝑎𝑛 5242 𝑚𝑠2 Solução A 𝑎𝑡 𝑎𝑛 Por fim podese calcular a intensidade da aceleração 5 Ԧ𝑎 11382 52422 Ԧ𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 Ԧ𝑎 536 𝑚𝑠2 Problema As caixas na figura ao lado deslocamse ao longo do transportador industrial Se a caixa apresentada na figura abaixo parte do repouso em A e aumenta sua velocidade escalar de tal maneira que 𝑎𝑡 05𝑡 𝑚𝑠2 onde t é dado em segundos determine a intensidade da sua aceleração quando ela chega no ponto B A barra AO na figura abaixo gira no plano horizontal de tal maneira que 𝜃 𝑡3 Ao mesmo tempo o anel B está escorregando para fora ao longo de AO de maneira que 𝑟 100𝑡2 mm Se em ambos os casos t é dado em segundos determine a velocidade e aceleração do anel quando t 1s Movimento Curvilíneo componentes polares Solução Visto que equações paramétricas da trajetória em função do tempo são dadas não é necessário relacionar r com θ 𝑟 100𝑡2 𝜃 𝑡3 Solução Sistema de coordenadas Visto que equações paramétricas da trajetória em função do tempo são dadas não é necessário relacionar r com θ Coordenadas polares Posição Coordenadas polares Velocidade Coordenadas polares Aceleração Problema A barra AO na figura abaixo gira no plano horizontal de tal maneira que 𝜃 𝑡3 Ao mesmo tempo o anel B está escorregando para fora ao longo de AO de maneira que 𝑟 100𝑡2 mm Se em ambos os casos t é dado em segundos determine a velocidade e aceleração do anel quando t 1s Solução Sistema de coordenadas Visto que equações paramétricas da trajetória em função do tempo são dadas não é necessário relacionar r com θ Solução Dados Enunciado 𝑟 100𝑡2 𝜃 𝑡3 Objetivo Calcular Ԧ𝑣 e Ԧ𝑎 para t 1s Procedimento 1 Calcular as derivadas temporais de r e θ 2 Encontrar os valores das derivadas para t 1s 3 Substituir os valores nas equações Ԧ𝑣 ሶ𝑟 𝑢𝑟 ሶ𝑟𝜃 𝑢𝜃 Ԧ𝑎 ሷ𝑟 𝑟 ሶ𝜃2 𝑢𝑟 𝑟 ሷ𝜃 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑢𝜃 4 Calcular os módulos dos vetores Ԧ𝑣 e Ԧ𝑎 Solução 1 Calcular as devidas temporais de r e θ Para r 𝑟 100𝑡2 𝑚𝑚 𝜃 𝑡3 𝑟𝑎𝑑 ሶ𝑟 200𝑡 𝑚𝑚𝑠 ሷ𝑟 200 𝑚𝑚𝑠2 ሶ𝜃 3𝑡2 𝑟𝑎𝑑𝑠 ሷ𝜃 6𝑡 𝑟𝑎𝑑𝑠2 Para θ Solução 𝑟 ቚ 100𝑡2 𝑡1𝑠 100 𝑚𝑚 𝜃 ቚ 𝑡3 𝑡1𝑠 1 𝑟𝑎𝑑 573 ሶ𝑟 ቚ 200𝑡 𝑡1𝑠 200 𝑚𝑚𝑠 ሷ𝑟 ቚ 200 𝑡1𝑠 200 𝑚𝑚𝑠2 ሶ𝜃 3 ቚ 𝑡2 𝑡1𝑠 3 𝑟𝑎𝑑𝑠 ሷ𝜃 6 ቚ𝑡 𝑡1𝑠 6 𝑟𝑎𝑑𝑠2 2 Encontrar os valores das derivadas para t 1s Solução Ԧ𝑣 ሶ𝑟 𝑢𝑟 ሶ𝑟𝜃 𝑢𝜃 Ԧ𝑣 200 𝑢𝑟 100 3 𝑢𝜃 200 𝑢𝑟 300 𝑢𝜃 𝑚𝑚𝑠 3 Substituir os valores nas equações Ԧ𝑎 ሷ𝑟 𝑟 ሶ𝜃2 𝑢𝑟 𝑟 ሷ𝜃 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑢𝜃 Ԧ𝑎 200 100 3 2 𝑢𝑟 1006 2 100 3 𝑢𝜃 Ԧ𝑎 700 𝑢𝑟 1800 𝑢𝜃 𝑚𝑚𝑠2 Velocidade Aceleração Solução A intensidade de Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 2002 3002 361 𝑚𝑚𝑠 𝛿 𝑡𝑔1 300 200 563 𝛿 573 114 4 Calcular os módulos dos vetores Ԧ𝑣 e Ԧ𝑎 Velocidade Aceleração Ԧ𝑎 700218002 1930 𝑚𝑚𝑠2 𝜑 𝑡𝑔1 1800 700 687 180 𝜑 573 169 A intensidade de Ԧ𝑎 O avião no parque de diversões movese ao longo de uma trajetória definida pelas equações r 4m 𝜃 02𝑡 𝑟𝑎𝑑 e 𝑧 05𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚 onde t é dado em segundos Determine as componentes cilíndricas da velocidade e aceleração do avião quando t 6s Movimento Curvilíneo componentes cilindricas Coordenadas cilíndricas