Prova Circuitos Eletricos II - Transformada de Laplace e Transformada Inversa

Instruções 1 A prova é individual e com consulta 2 Indique CLARAMENTE sua resposta 3 É necessário apresentar os cálculos em todas as questões 4 A interpretação das questões faz parte da avaliação 5 O valor total da avaliação é de 100 pontos Questão 1 15 pontos De origem humilde seus pais eram agricultores pobres Pierre Simon Laplace nasceu na França em 1749 Laplace produziu seus melhores trabalhos nas áreas de mecânica celeste probabilidade equações diferenciais e geodésicas O seu nome está fortemente ligado à Transformada de Laplace poderosa ferramenta utilizada para a resolução de equações diferenciais que posteriormente se tornaria a chave principal para o cálculo operacional de Heaviside Laplace morreu em 1827 exatamente um século depois do falecimento de Isaac Newton Segundo um relato suas últimas palavras foram O que realmente sabemos é insignificante o que não sabemos é imenso Determine a transformada de Laplace para a função abaixo 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑒10 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑢𝑡 1 5 𝑡2 10 𝑢𝑡 CURSO ENGENHARIA ELÉTRICA TURMA ELT0701N COORDENAÇÃO AVALIAÇÃO APS GRAU RUBRICA DOCENTE DISCIPLINA GELT1079 CIRCUITOS ELÉTRICOS II AVALIAÇÃO A1 A2 A3 UNIDADE BONSUCESSO DOCENTE DATA 09122022 ALUNOA MATRÍCULA Questão 2 25 pontos A transformada inversa de Laplace é uma operação matemática que permite encontrar uma expressão no domínio do tempo correspondente a qualquer função racional da variável s isto é qualquer função que pode ser expressa na forma de uma razão entre dois polinômios em s tal que nenhuma potência não inteira de s apareça nos polinômios Esta técnica é muito empregada na análise de circuitos lineares de parâmetros concentrados cujos componentes têm valores constantes uma vez que neste caso as expressões no domínio da frequência para as tensões e correntes desconhecidas serão sempre funções racionais de s Em cada caso calcule a função no domínio do tempo t f correspondente à expressão no domínio da frequência s F apresentada a 15 pontos 𝐹𝑠 𝑠2 2 𝑠 6 𝑠 1 2 b 10 pontos 𝐹𝑠 𝑠 3 𝑠2 6 𝑠 25 Questão 3 25 pontos Considere o circuito representado na figura abaixo a Sabendo que a fonte de tensão tem valor 𝑣𝑡 100 𝑢𝑡 𝑉 e a fonte de corrente tem valor 𝑖𝑡 25 𝑢𝑡 𝐴 encontre uma expressão no domínio da frequência para a tensão no resistor 𝑅1 15 pontos V R1 4Ω C 05F L 1H R2 2Ω I b Considerando que a fonte de corrente é substituída por um curto aberto determine a impedância equivalente vista pela fonte de tensão 𝑣𝑡 100 𝑢𝑡 𝑉 10 pontos Questão 4 20 pontos Considere o circuito representado na figura abaixo Suponha que a tensão inicial no capacitor 𝐶1 seja de 20 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 no instante 𝑡 0 em que a fonte de corrente é aplicada ao circuito Sabendo que a corrente na fonte é dada por 𝑖𝑡 10 𝑢𝑡 𝐴 determine uma expressão no domínio do tempo para a tensão 𝑣𝑡 no capacitor para 𝑡 0 10A R1 1Ω C1 1µF Questão 5 15 pontos Para a função de transferência descrita abaixo indique qual é o tipo de filtro associado e calcule todos os seus parâmetros Além disso desenhe também um circuito capaz de implementar este filtro 𝐻𝑠 5 𝑠 5 𝑠 8000 Determinando Lsen t e10 t Da tabela Lsen b t ea t b s a2 b2 Fazendo b 1 e a 10 Lsen t e10 t 1 s 102 1 Determinando Lcos t 1 u t 1 Da tabela Lcos a t s s2 a2 Lstc u ct es c Fs Fazendo a 1 e c 1 Lcos t1 u t1 es s s2 1 Determinando L5 t2 10 Da tabela L1 1 s Ltn n sn1 Para n 2 L5 t2 10 5 2 s21 10 1 s 10 s3 10 s Portanto Fs 1 s102 1 s es s2 1 10 s3 10 s 2a Realizando a divisão do polinômio s 12 s2 2 s 1 s2 2 s 6 s2 2 s 1 s2 2 s 1 5 Logo Fs 1 5 s 12 Da tabela temse Ltn n sn1 Lt 1 s2 Lec t ft Fs c Fazendo c 1 u ft t L et t 1 s12 Portanto ft L1 1 5 L1 1 s12 ft δt 5 et t ut 2b Primeiro completamos quadrados no denominador s2 6s 25 s2 2 3s 32 25 32 s2 2 3s 9 16 s 32 42 Logo Fs s 3 s 32 42 Da tabula L eat cos b t s a s a2 b2 Fazendo a 3 e b 4 ft e3t cos 4t ut 3 Convertendo o circuito para s XL sL s Xc 1 sC 1 05s 2s Logo Por análise nodal V1 25s V1 V2 s V1 100s 4 0 100 4V1 4V2 2V1 100 0 4 s V1 4V2 200 V2 V2 V1 Ω V2 2 V2 100 Ω 2 Ω 0 V2 Ω V1 Ω V2 2 Ω V2 2 50 0 2V2 2V1 Ω V2 Ω2 V2 100 Ω 0 2V1 Ω2 Ω 2 V2 100 Ω Resolviendo o sistema linear por Cramer D 4 Ω 4 2 Ω2 Ω 2 D 4 ΩΩ2 Ω 2 8 D Ω3 Ω2 2 Ω 4 Ω2 4 Ω 8 8 D Ω3 5 Ω2 6 Ω D1 200 4 100 Ω Ω2 Ω 2 D1 200 Ω2 200 Ω 400 400 Ω D1 200 Ω2 3 Ω 2 D2 4 Ω 200 2 100 Ω D2 400 Ω 100 Ω2 400 D2 300 Ω2 4 Ω 4 Determinando V1 V1 D1 D 200 Ω2 3 Ω 2 Ω3 5 Ω2 6 Ω A tensão sobre R1 valera entao VR1 Ω V1Ω 100 Ω VR1 Ω 200 Ω2 3 Ω 2 Ω Ω2 5 Ω 6 100 Ω VR1 Ω 100 Ω 2 Ω2 6 Ω 4 Ω2 5 Ω 6 1 VR1 Ω 100 Ω Ω2 Ω 2 Ω2 5 Ω 6 VR1 Ω 100 Ω2 Ω 2 Ω Ω2 5 Ω 6 b O circuito tornase Determinado ZΩ ZΩ 2 2Ω 2 4 2 2Ω2 42Ω 2 4 ZΩ 2 2 8Ω Ω² 4Ω 2Ω ZΩ 2 2Ω 8 Ω² 4Ω 2 ZΩ 2Ω² 10Ω 12 Ω² 4Ω 2 Em regime permanente aplicamos o teorema do valor final Z lim Ω0 ZΩ Z lim Ω0 2Ω² 10Ω 12 Ω² 4Ω 2 Z 12 2 Z 6 Ω 4 Para o domínio s V0s 20s XCs 1sC 1s1μ 10⁶s 1Ω 10s Por LKT VcΩ 10⁶s1Ω 20s VcΩ 10⁷s² 20s VcΩ 20s 10⁷ s² Logo pela inversa de Laplace ϑt 20 5 0 7 t ut 5 Para s 0 H0 5 0 5 0 8000 0 Para s H lim s 5 s 5 s 8000 Por LHospital H lim s 5 5 1 Ou seja um filtro que atenua baixas frequências e entrega ganho unitário para altas frequências Um filtro passaaltos Hω 5 jω 5 jω 8000 Hω 5 5 8000 jω R R 1 jωC Logo R 5 Além disso 1 jωC 8000 jω 1 C 8000 C 1 8000 C 125 10⁴ F C 125 µF Determinando os parâmetros Wc 1RC 15125 μF Wc 1600 Rads O circuito tornase C Vit R Vot Vit 125 μF 5Ω Vot Digitalizado com CamScanner