Prova de Circuitos Elétricos II - Transformada de Laplace e Aplicações

Instruções 1 A prova é individual e com consulta 2 Indique CLARAMENTE sua resposta 3 É necessário apresentar os cálculos em todas as questões 4 A interpretação das questões faz parte da avaliação 5 O valor total da avaliação é de 100 pontos Questão 1 15 pontos De origem humilde seus pais eram agricultores pobres Pierre Simon Laplace nasceu na França em 1749 Laplace produziu seus melhores trabalhos nas áreas de mecânica celeste probabilidade equações diferenciais e geodésicas O seu nome está fortemente ligado à Transformada de Laplace poderosa ferramenta utilizada para a resolução de equações diferenciais que posteriormente se tornaria a chave principal para o cálculo operacional de Heaviside Laplace morreu em 1827 exatamente um século depois do falecimento de Isaac Newton Segundo um relato suas últimas palavras foram O que realmente sabemos é insignificante o que não sabemos é imenso Determine a transformada de Laplace para a função abaixo 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑒10 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑢𝑡 1 5 𝑡2 10 𝑢𝑡 CURSO ENGENHARIA ELÉTRICA TURMA ELT0701N COORDENAÇÃO AVALIAÇÃO APS GRAU RUBRICA DOCENTE DISCIPLINA GELT1079 CIRCUITOS ELÉTRICOS II AVALIAÇÃO A1 A2 A3 UNIDADE BONSUCESSO DOCENTE DATA 09122022 ALUNOA MATRÍCULA Questão 2 25 pontos A transformada inversa de Laplace é uma operação matemática que permite encontrar uma expressão no domínio do tempo correspondente a qualquer função racional da variável s isto é qualquer função que pode ser expressa na forma de uma razão entre dois polinômios em s tal que nenhuma potência não inteira de s apareça nos polinômios Esta técnica é muito empregada na análise de circuitos lineares de parâmetros concentrados cujos componentes têm valores constantes uma vez que neste caso as expressões no domínio da frequência para as tensões e correntes desconhecidas serão sempre funções racionais de s Em cada caso calcule a função no domínio do tempo t f correspondente à expressão no domínio da frequência s F apresentada a 15 pontos 𝐹𝑠 𝑠2 2 𝑠 6 𝑠 1 2 b 10 pontos 𝐹𝑠 𝑠 3 𝑠2 6 𝑠 25 Questão 3 25 pontos Considere o circuito representado na figura abaixo a Sabendo que a fonte de tensão tem valor 𝑣𝑡 100 𝑢𝑡 𝑉 e a fonte de corrente tem valor 𝑖𝑡 25 𝑢𝑡 𝐴 encontre uma expressão no domínio da frequência para a tensão no resistor 𝑅1 15 pontos V R1 4Ω C 05F L 1H R2 2Ω I b Considerando que a fonte de corrente é substituída por um curto aberto determine a impedância equivalente vista pela fonte de tensão 𝑣𝑡 100 𝑢𝑡 𝑉 10 pontos Questão 4 20 pontos Considere o circuito representado na figura abaixo Suponha que a tensão inicial no capacitor 𝐶1 seja de 20 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 no instante 𝑡 0 em que a fonte de corrente é aplicada ao circuito Sabendo que a corrente na fonte é dada por 𝑖𝑡 10 𝑢𝑡 𝐴 determine uma expressão no domínio do tempo para a tensão 𝑣𝑡 no capacitor para 𝑡 0 10A R1 1Ω C1 1µF Questão 5 15 pontos Para a função de transferência descrita abaixo indique qual é o tipo de filtro associado e calcule todos os seus parâmetros Além disso desenhe também um circuito capaz de implementar este filtro 𝐻𝑠 5 𝑠 5 𝑠 8000 1 Determinando L sen t e 10t Da tabela L sen b t e a t b s a2 b2 Fazendo b 1 e a 10 L sen t e 10t 1 s 102 1 Determinando L cos t 1 u t 1 Da tabela L cos a t s s2 a2 L f t c u c t e sc F s Fazendo a 1 e c 1 L cos t 1 u t 1 e s s s2 1 Determinando L 5 t2 10 Da tabela L u 1 s L tn n sn 1 Para n 2 L 5 t2 10 5 2 s2 1 10 1 s 10 s3 10 s Portanto F s 1 s 102 1 s e s s2 1 10 s3 10 s 2 a Realizando a divisão do polinômio s 12 s2 2 s 1 s2 2 s 6 s2 2 s 1 s2 2 s 1 1 5 Logo F s 1 5 s 12 Da tabela temse L tn n sn 1 L t 1 s2 L e c t f t F s c Fazendo c 1 e f t t L e t t 1 s 12 Portanto ft L1 1 5 L1 1 β 1² ft δt 5 et t ut 2 b Primeiro completamos quadrados no denominador β² 6β 25 β² 23β 3² 25 3² β² 23β 9 16 β 3² 4² Logo Fβ β 3 β 3² 4² Da tabela eat cosbt β a β a² b² Fazendo a 3 e b 4 ft e3t cos 4t ut 3 a Convertendo o circuito para β XL βL β XL 1 βC 1 05β 2 β Logo circuit diagram Por análise nodal V1 25 β V1 V2 β V1 100 β 4 0 100 4V1 4V2 βV1 100 0 4 β V1 4V2 200 V2 V1 β V2 2 V2 100 β 2 β 0 V2 β V1 β V2 2 β V2 2 50 0 2 V2 2 V1 β V2 β² V2 100 β 0 2 V1 β² β 2 V2 100 β Resolvendo o sistema linear por Cramer D 4 β 4 2 β² β 2 D 4 β β² β 2 8 D β³ β² 2 β 4 β² 4 β 8 8 D β³ 5 β² 6 β D1 200 4 100 β β² β 2 D1 200 β² 200 β 400 400 β D1 200 β² 3 β 2 D2 4 β 200 2 100 β D2 400 β 100 β² 400 D2 100 β² 4 β 4 Determinando V1 V1 D1 D 200 β² 3 β 2 β³ 5 β² 6 β A tensão sobre Rs valerá então VRS β V1 β 100 β VRS β 200 β² 3 β 2 β β² 5 β 6 100 β VRS β 100 β 2 β² 6 β 4 β² 5 β 6 1 VRS β 100 β β² β 2 β² 5 β 6 VRS β 100 β² β 2 β β² 5 β 6 b O circuito tornase Determinando Zp Zp 2 2p p 4 2 2p p 4 2p p 4 Zp 2 2 8p p2 4p 2 p Zp 2 2p 8 p2 4p 2 Zp 2p2 10p 12 p2 4p 2 Em regime puramente aplicamos o teorema do valor final Z lim Zp p0 Z lim 2p2 10p 12 p2 4p 2 p0 Z 12 2 Z 6Ω 4 Para domínio p Vp p 20 p Xc1 1 p1μ 106 p p 10 p Por LKT Vcp 106 p Ip 20 p Vcp 107 p2 20 p Vcp 20p 107 p2 Logo pelo inverso de Laplace Vt 20 107 t ut 5 Para s 0 Hs 5 0 5 0 8000 0 Para s H lims 5s 5s 8000 Por LHôpital H lims 5 5 1 Ou seja um filtro que atenua baixas frequência e entrega ganho unitário para altas frequências Um filtro passaaltos Hω 5 jω 5jω 8000 Hω 5 5 8000 jω R R 1 jω C Logo R 5 Além disso 1 jω C 8000 jω 1 C 8000 C 1 8000 C 125 104 F C 125 µF Determinando os parâmetros Wc 1 RC 1 5 125 µF Wc 1600 Rad s O circuito tornase Vit C R Vot 125 µF Vit 5Ω Vot