Otimização de Custos e Taxa de Elevação - Lista de Exercícios Resolvidos

O CUSTO DE SE estender UM CABO DE UMA USINA DE FORÇA TRANSMISSÃO DE 900m DE LARGURA DE UM LADO PARA OUTRO SABENDO QUE O CUSTO DO RIO 5000 REAIS CUSTO DE ESTENDER PELO RIO 5 REAIS CUSTO DE ESTENDER PELA TERRA 4 REAIS QUAL O CUSTO MAIS ECONOMICO PARA O CABO LISTA 1 Pretendese estender o cabo de uma usina de força a margem de um rio de 900 metros de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio por 3000 metros rio abaixo O custo para estender o cabo pelo rio é 5 reais por metro enquanto que para estendêlo por terra custa 4 reais o metro Qual o percurso mais econômico para o cabo RESOLUÇÃO Tomando x como a projeção do cabo estendido na água sobre sua margem temos que o custo é dado por Cx43000x5x²900²120004x5 x²900²¹² Para minimizar o custo vamos derivar e igualar a zero Cx045½x²900²¹²2x45x x²900²¹² Igualando a zero temos Cx₀045x₀x₀²900²¹² Resolvendo a equação temos 5x₀x₀²900²¹²4 5x₀4x₀²900²¹² Elevando ao quadrado temos 25x₀²16 x₀²900² 9x₀²4 900² Tirando a raiz quadrada temos 3x₀3600 x₀1200 3000x₀1800 Para garantir que esse é de fato um mínimo vamos calcular a segunda derivada Cx₀05 x₀²900²¹² 5x₀² x₀²900²³² Cx₀5 x₀²900²³² x₀²900² x₀² Cx₀5 900² x₀²900²³² Todos os dados aqui são positivos e não temos nenhuma operação que pode tornar o resultado negativo de forma que Cx₀ 0 Isso garante que x₀ é o ponto de mínimo de fato Então a forma mais barata de estender o cabo é 1800 metros sobre a terra e o restante em linha reta sobre o rio 2 Um balão de ar quente que sobre na vertical a partir do solo é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é π4 o ângulo aumenta a uma taxa de 014 radmin A que velocidade o balão sobre nesse momento RESOLUÇÃO Podemos relacionar a altura x e o ângulo θ por tg θx500 x500 tg θ Derivando em relação ao tempo temos ddt x500 sec² θ ddt θ A variação de x no tempo é a velocidade do balão e a variação de θ no tempo é dada no enunciado v500 sec² π4 0147022² v7005 v140 pesmin