Vibrações Mecânicas - Frequência Natural e Amortecimento - Aula 3

PROF ME KIM MARTINELI SOUZA GONÇALVES VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS Amortecimento Frequência natural Equação característica AULA 3 Notas 2 Avisos Planilha de alunos Apresentação 3 Seminário 5 min de apresentação 2 min pergunta e troca de grupo Sequência sorteio Grupo 5 Grupo 2 Grupo 4 Grupo 6 Grupo 1 Grupo 3 Grupo 10 Grupo 7 Grupo 9 Grupo 8 70 min Planilha de alunos O que é frequência natural 4 Frequência Natural É a frequência que um sistema oscilatório tende a vibrar na ausência de qualquer esforço ou amortecimento Cada uma das frequências naturais de um corpo são chamadas de modos normais de vibração análise modal Ressonância é o fenômeno teórico quando um sistema oscilatório sem amortecimento é excitado por sua frequência natural levando o sistema à instabilidade 𝜏 Depende somente da massa e rigidez do sistema Para determinar as frequências de um sistema com n grau de liberdades veja pág 251 do RAO Exemplo Reservatório 5 Frequência Natural l 100 m dint 3m dext 36 m m 273 t Econc 28 GPa Calcular a n e T freq nat e período b xt para x0 250mm c vmax e amax Exemplo Reservatório 6 Frequência Natural Condições de contorno Massa caixa e água pontual Seção transversal uniforme Massa coluna desprezível Pode ser modelado como viga em balanço Exemplo Reservatório 7 Frequência Natural k 3 28e9 4269 100³ 358596 Nm I π 364 34 64 4269 m4 Cálculos n raiz358596 273000 1146 rads 𝜏n 2 π 1146 548 s Exemplo Reservatório 8 Frequência Natural b para x0 250 mm e considerando velocidade inicial igual a zero ẋ0 0 ms A0 raiz025² 0 1146² 025 ϕ0 tg10251146 0 90º ou π 2 rad xt 025sen1146t 157 Wolfram Alpha Exemplo Reservatório 9 Frequência Natural c velocidade e aceleração máximas Derivar a equação de deslocamento no tempo xt 025sen1146t 157 Wolfram Alpha ẋt 0287cos1146t 157 xt 0328sen1146t 157 Wolfram Alpha ẋmax 0287 ms 103 kmh xmax 0328 ms² O que é amortecimento 10 Amortecimento Amortecimento é o efeito causado a um sistema oscilatório que reduz ou previne a oscilação do sistema O conceito físico do processo é a diminuição da energia total do sistema através da dissipação da energia normalmente em forma de calor Os principais exemplos de amortecimento em sistemas mecânicos é através do atrito entre duas superfícies ou através da resistência ao escoamento de fluidos viscosos No caso de sistemas eletrônicos a resistência Ohm causa essa dissipação de energia e no caso de sistemas ópticos a absorção e dispersão são os responsáveis Conceitos 11 Amortecimento Força é proporcional à velocidade F cẋ c é o coeficiente de amortecimento cte de amort Nsm ζ é o fator de amortecimento razão entre o coeficiente de amortecimento e o amortecimento crítico do sistema ζ c cc onde cc 2km 2mn Se o coeficiente de amortecimento não for conhecido é possível determinar por meio experimental ζ 1 ζ δ 2π δ lnx1 x2 Conceitos 12 Amortecimento kx cẋ mx mx cẋ kx 0 ms² cs k 0 eq característica F ma Cálculos ms2 cs k 0 s12 c c2 4mk 2m c 2m c 2m2 k m x1t C1 es1 t e x2t C2 es2 t xt C1 es1 t C2 es2 t C1 ec 2m c 2m2 k m t C2 ec 2m c 2m2 k m t Cálculos 14 Sub Amortecido ζ 1 Criticamente amort ζ 1 Super Amortecido ζ 1 Amortecimento Amortecimento no tempo 15 Amortecimento Amortecimento na frequência 16 Amortecimento Amortecimento na frequência 17 Amortecimento Amortecimento na frequência 18 Amortecimento Exemplo ζ 1 Amortecimento Exemplo ζ 1 20 Amortecimento sugestão do colega httpswwwyoutubecomwatchv c1VD1D1hLsQ Exemplo ζ 1 Amortecimento Exercício 22 Atividade 25 min LINK da atividade Utilizando o sistema amortecido ao lado e os seguintes dados RA ABCDEF m BA kg c CD Nsm k EF Nm Responda Frequência natural do sistema Amortecimento crítico Fator de amortecimento Frequência amortecida Resposta no tempo Velocidade e aceleração máximas Equação característica tem Pode fazer no papel wolfram notebook gdocs simulador etc Não esqueça as condições de contorno Planilha de alunos 23 Chamada Digitem presente no chat do Google Meet Presença Simulações 24 Amortecimento 1 2 3 Simulador Simulações 25 Amortecimento 1 2 3 4 Simulações 26 Amortecimento 1 2 3 4 O que é equação característica 27 Equação Característica Na matemática a equação característica ou auxiliar é uma equação algébrica de grau n que depende da solução de um EDO de ordem n Só é possível utilizar ela quando a EDO é linear e homogênea com coeficientes constantes Khan Academy Achando a equação 28 Equação Característica Solução para sub amortecido 29 Equação Característica EXEMPLO WOLFRAM Solução para criticamente amort 30 Equação Característica EXEMPLO WOLFRAM Solução para super amortecido 31 Equação Característica EXEMPLO WOLFRAM Bibliografia Referências 1 SOTELO Jr José Introdução às Vibrações Mecânicas Edgard Blücher 2011 2 INMAN Daniel J Engineering Vibration Pearson 2007 3 HARTOG J P D Vibrações nos sistemas mecânicos Edgard Blucher 2008 4 RAO Singiresu S Vibrações Mecânicas 4ª ed Pearson 2009 5 httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffer entialequationsnew 32