Probabilidades Condicionais e Problemas Estatísticos

Lista 4 Introdução à Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional e Independência 1 Dois dados são lançados a Qual a probabilidade condicional de ter saído 6 dado que os números das faces viradas para cima dos dados foram diferentes b Qual a probabilidade condicional do primeiro dado ter mostrado um 6 dado que a soma é i i 2 12 2 Uma urna contém 6 bolas brancas e 9 bolas ne gras Se 4 bolas são escolhidas ao acaso e sem reposição qual a probabilidade de que as duas primeiras bolas es colhidas sejam brancas e as duas últimas bolas escolhi das sejam negras 3 Considere uma urna contendo 12 bolas das quais 8 são brancas Uma amostra de tamanho 4 é retirada com reposição sem reposição Qual a probabilidade condicional em cada caso de que a primeira e a ter ceira bola retirada sejam brancas dado que a amostra retirada tem exatamente 3 bolas brancas 4 Um casal tem 2 filhos Qual a probabilidade de que ambas crianças sejam meninas se a maior for me nina 5 Considere 3 urnas A urna A contém 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas a urna B contém 8 bo las brancas e 4 bolas vermelhas e a urna C contém 1 bola branca e 3 bolas vermelhas Uma bola é escolhida aleatoriamente de cada urna Qual a probabilidade de que bola escolhida da urna A seja branca dado que a amostra retirada possui exatamente 2 bolas brancas 6 Três cartas são retiradas aleatoriamente sem re posição de um baralho de 52 cartas Calcule a probabi lidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada dado que a segunda e a terceira também o são 7 Duas cartas são retiradas sem reposição de um baralho de 52 cartas Seja B o evento em que ambas cartas são ases seja As o evento em que o ás de espadas é escolhido e seja A o evento em que pelo menos um ás é escolhido Calcule a PBAs b PBA 8 Suponha que um baralho com 52 cartas é alea toriamente dividido em 4 mãos de 13 cartas cada Que remos calcular a probabilidade p de que em cada mão há um ás Seja Ei o evento em que a iésima mão tem exatamente um ás Determine p PE1 E2 E3 E4 utilizando a regra da multiplicação 9 Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras Toda vez que uma bola é retirada sua cor é registrada e é substituída na urna por duas bolas da mesma cor Calcule a probabilidade de que a As primeiras duas bolas retiradas são negras e as outras duas são brancas b Entre as primeiras 4 bolas retiradas há exata mente duas negras 10 Em uma certa comunidade 36 das famílias possuem um cachorro e 22 dessas famílias são donas de um gato também Sabese também que 30 das famílias possuem um gato Qual a a probabilidade de que uma família escolhida ale atoriamente seja dona de um gato e de um ca chorro b a probabilidade condicional de que família esco lhida aleatoriamente seja dona de um cachorro dado que é dona de um gato 11 Um total de 46 dos eleitores de uma certa cidade se declaram Independentes enquanto que 30 se declaram Liberais e 24 se declaram conservadores Em uma eleição recente 35 dos independentes 62 dos liberais e 58 dos conservadores votaram Um elei tor é escolhido aleatoriamente Dado que esta pessoa votou na eleição local qual a probabilidade de que seja a independente b liberal c conservador d qual a porcentagem de eleitores que participaram da eleição local 12 João tem duas moedas idênticas a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara Uma delas é honesta ou seja tem probabilidade 12 de sair cara A outra é desonesta e tem probabilidade 13 de sair cara Uma moeda é escolhida ao acaso e lan çada resultando em cara Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta 13 Joana tem três moedas na bolsa duas hones tas e uma terceira desonesta com probabilidade p de sair cara e probabilidade 1 p de sair coroa Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas 14 Cinquenta e dois por cento dos estudantes de uma universidade são do sexo feminino Cinco por cento dos estudantes desta universidade são formandos em Ci ências da Computação Dois por cento dos estudantes são mulheres formandas no curso de Ciências da Com putação Se um estudante é escolhido aleatoriamente calcule a probabilidade de que a seja do sexo feminino dado que o estudante es colhido é formando em Ciências da Computação b este estudante seja formando em Ciências da Computação dado que o estudante escolhido é do sexo feminino 15 Um dado vermelho um azul e um amarelo são jogados Queremos calcular a probabilidade de que o número mostrado pelo dado azul seja menor do que o número mostrado pelo dado amarelo e que por sua vez este último número seja menor que o número mostrado pelo dado vermelho Denotemos por BY R os números mostrados pelos dados azul amarelo e vermelho respec tivamente a Qual a probabilidade de que nenhum par de da dos mostrem o mesmo número b Dado que nenhum par de dados mostram o mesmo número qual a probabilidade de que B Y R c Calcule PB Y R 16 A urna I contém 2 bolas brancas e 4 bolas ver melhas enquanto que a urna II contém 1 bola branca e 1 bola vermelha Uma bola é escolhida aleatoriamente da urna I e colocada na urna II Logo uma bola é escolhida aleatoriamente da urna II Qual a a probabilidade de que a bola escolhida da urna II seja branca b a probabilidade condicional de que a bola trans ferida seja branca dado que uma bola branca foi escolhida da urna II 17 Maria e Carolina decidem ir a um clube para praticar tiro ao alvo Suponha que a cada disparo Maria acerta o centro do alvo com probabilidade p1 enquanto que Carolina o acerta com probabilidade p2 Suponha que as duas disparam simultaneamente e que o centro do alvo foi atingido Qual a probabilidade de que a ambas tenham acertado o centro do alvo b Maria tenha sido a única a acertar o alvo c Qual é a suposição de independência feita 18 Um carcereiro comunica a três prisioneiros que um deles foi escolhido aleatoriamente para ser trans ladado a um presídio de segurança máxima e que os outros dois serão liberados O prisioneiro A pede para o carcereiro lhe dizer em privado qual de seus colegas será liberado alegando que não será beneficiado por isto já que ele já sabe que um de seus colegas será de fato libe rado O carcereiro se recusa a responder esta pergunta sobre a alegação de que se o prisioneiro A souber esta in formação a sua própria probabilidade de ser transferido mudaria de 13 para 12 porque ele seria um dos dois 2 prisioneiros que seria transferido Comente o raciocínio do carcereiro 19 Um modelo simplificado para a variação do preço de uma mercadoria consiste em supor que a cada dia o preço aumenta em uma unidade com probabilidade p e diminui em uma unidade com probabilidade 1 p Assuma que as variações correspondentes a diferentes dias são independentes a Qual a probabilidade de que após 2 dias o preço seja o mesmo b Qual a probabilidade de que após 3 dias o preço tenha aumentado em uma unidade monetária c Dado que após 3 dias o preço aumentou em uma unidade monetária qual a probabilidade de ter aumento no primeiro dia 20 a Sejam A1 A2 e A3 três eventos indepen dentes Mostre que A 1 A2 e A3 são independen tes b O que pode ser dito sobre A1 A 2 e A3 c O que pode ser dito sobre a independência de B1 B2 e B3 onde Bi Ai A i 21 Considere o experimento que consiste em lan çar duas vezes uma moeda honesta seja A o evento em que sai cara no primeiro lançamento B o evento em que sai cara no segundo lançamento e C o evento em que o resultado é o mesmo nos dois lançamentos Mostre que os eventos A B e C são independentes dois a dois mas não são independentes 22 Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas Em caso de ser verdadeira dê uma prova Em caso de ser falsa dê um contraexemplo a Se E é independente de F e F é independente de G então E é independente de F G b Se E é independente de F e E é independente de G e F G então E é independente de F G c Se E é independente de F F é independente de G e E é independente de F G então G é inde pendente de E F 23 Sejam A e B eventos de probabilidade positiva Diga quando cada uma das seguintes afirmações for i verdadeira ii falsa e iii possivelmente verdadeira Justifique sua resposta a Se A e B são mutuamente excludentes então A e B são independentes b Se A e B são mutuamente independente então são mutuamente excludentes 3 Respostas dos Exercícios 1 b Para i 2 3 6 temos que P 0 e nos outros casos i 7 P 16 i 8 P 15 i 9 P 14 i 10 P 13 i 11 P 12 i 12 P 1 2 691 3 Sem reposição P 12 Com reposição P 12 4 12 5 711 6 1150 7 a 117 b 133 8 PE1 0 4388 PE2E1 0 4623 PE3E1 e E2 0 5200 PE4E1 e E2 e E3 1 PE1 e E2 e E3 e E4 PE4E1 e E2 e E3PE3E1 e E2PE2E1PE1 0 1055 9 a P1aN 712 P2aN1aN 813 P3aB1aN e 2aN 514 P4aB1aN e 2aN e 3aB 615 P1aN e 2aN e 3aB e 4aB P4aB1aN e 2aN e 3aB P3aB1aN e 2aN P2aN1aN P1aN 239 b 1239 10 a 00792 b 0264 11 a 0 3311 b 0 3826 c 0 2863 d 0 4862 12 35 13 1 1p 14 a 25 b 126 15 a 59 b 16 c 554 16 a 49 b 12 18 O carcereiro está confundindo probabilidade de A ser transladado sem nenhuma restrição com a Proba bilidade Condicional de A ser transladado dado que B ou C vai ser liberado PA ser transladado 13 PA ser transladadoB vai ser liberado 1323 12 19 a 2p1p b 3p21p c 23 20 21 22 a Falso b Verdadeiro c Verdadeiro 4