Processos Estocásticos - Estacionariedade, Regressão Espúria e Séries Temporais

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Processo estocástico Processos estacionários e nãoestacionários Tipos de tendência Processos estacionários integrados Regressão espúria Processos estocásticos Processo estocástico aleatório é um conjunto de variáveis aleatórias ordenadas no tempo Conjunto de valores possíveis é um espaço de estados Os valores são chamados de estados Processos estocásticos Uma sequência de valores observados no tempo compõe uma trajetória do processo estocástico um valor observado ou uma sequência de valores observados é chamada de realização Por exemplo Uma série temporal do PIB representa os valores observados do PIB para cada instante de tempo realizações equivalendo a uma realização ou trajetória do PIB Processos estocásticos Processo estacionário Deve apresentar média constante variância constante covariância constante estacionariedade forte ou de primeira ordem ou estrita se covariância depende da distância entre os períodos de tempo considerados s ou seja cov Yt Yts fs por exemplo cov Yt0 Yt2 cov Yt1 Yt3 cov Yt2 Yt4 para s 2 estacionariedade fraca ou de segunda ordem ou em covariância Processo estacionário Exemplos Fonte Hill Griffiths Judge Fonte Gujarati Processo estacionário Exemplo Yt 03 Yt1 εt supondo Y0 0 e ε1 20 com choques subsequentes nulos ou seja ε2 ε3 ε4 0 Y0 0 Y1 03 Y0 ε1 20 Y2 03 Y1 ε2 6 Y3 03 Y2 ε3 18 Y4 03 Y3 ε4 054 No caso de média zero variância constante e covariância zero o processo é chamado de puramente aleatório ou ruído branco Y tende a retornar ao seu valor histórico antes do choque O efeito do choque é dissipado ao longo do tempo Y também é chamado de série temporal fracamente dependente Processo estacionário Exemplo a hipótese de mercados eficientes Wooldridge cap 11 A hipótese de mercados eficientes estabelece que informações passadas não devem ajudar a prever o retorno presente Esta hipótese pode ser testada a partir do modelo yt β1 β2 yt1 εt sendo yt retorno no período t yt1 retorno no período t1 A hipótese subjacente é a de que toda informação passada está contida no resultado do retorno passado yt1 Portanto a hipótese de mercados eficientes não seria rejeitada caso β2 0 Processo estacionário Exemplo a hipótese de mercados eficientes Wooldridge cap 11 Wooldridge estimou o seguinte modelo a partir de dados semanais da bolsa de valores de Nova York 𝑦t 0180 0059 yt1 0081 0038 n 689 R2 00035 A estatística t 155 permite concluir que o coeficiente associado a yt1 é estatisticamente igual a zero e que portanto a hipótese de mercados eficientes não pode ser rejeitada Processo estacionário Exercício Fazer o mesmo exercício a partir dos dados diários da Bovespa contidos no arquivo mqa 220905 bovespatxt Processo estacionário Exercício Script em R comandos mínimos definir diretório de trabalho setwdxxxx leitura do arquivo de dados arq1 readtablemqa 220905 bovespatxtheaderTRUE dec attacharq1 regressão MQO reg1 lmretornot retornot1 summaryreg1 Processo estacionário Exercício Resultados Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 0070830 0025492 2779 000547 retornot1 0006153 0012015 0512 060858 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 2121 on 6927 degrees of freedom Multiple Rsquared 3786e05 Adjusted Rsquared 00001065 Fstatistic 02623 on 1 and 6927 DF pvalue 06086 Processo estacionário Exercício Interpretação Equação a ser estimada yt β1 β2 yt1 εt sendo yt retorno no período t yt1 retorno no período t1 Equação estimada 𝑦t 0071 0006 yt1 0025 0012 A estatística t 0512 permite concluir que o coeficiente associado a yt1 é estatisticamente igual a zero e que portanto a hipótese de mercados eficientes não pode ser rejeitada Processo nãoestacionário Não apresenta uma ou mais características do processo estacionário Exemplo Yt Yt1 εt supondo Y0 0 e ε1 20 com choques subsequentes nulos ou seja ε2 ε3 ε4 0 Y0 0 Y1 Y0 ε1 20 Y2 Y1 ε2 20 Y3 Y2 ε3 20 Y4 Y3 ε4 20 Y não retorna ao seu valor histórico antes do choque O efeito do choque é permanente memória infinita Y é chamado de fortemente dependente Processo nãoestacionário Exemplo O gráfico mostra uma série estacionária em que se observa um choque no instante t 70 CQt70 1 CQt 0 nos demais instantes Yt 07 Yt1 CQt εt O gráfico mostra o efeito do mesmo choque no caso de uma série forte mente dependente Yt Yt1 CQt εt Fonte Mattos Fonte Mattos memória curta memória longa Processo nãoestacionário Tendência pode ser entendida como o padrão de crescimento ou decrescimento persistente no comportamento de uma série temporal Este padrão pode ser determinístico ou estocástico Determinística Yt β1 β2 t εt padrão de crescimento é fixo Estocástica Yt Yt1 εt padrão de crescimento é aleatório Processo nãoestacionário Seja o processo estocástico dado por Yt β1 β2 t β3 Yt1 εt Caso 1 β1 0 β2 0 β3 0 Yt β1 β2 t εt tendência determinística sendo εt um ruído branco estacionário Mostrase que EYt β1 β2 t Reescrevendo Yt EYt εt Yt EYt εt estacionário em tendência ou seja após a remoção da tendência Yt é estacionário Processo nãoestacionário Caso 2 β1 0 β2 0 β3 1 Yt Yt1 εt tendência estocástica sendo εt um ruído branco Yt é chamado de passeio aleatório random walk Mostrase que EYt 0 e VYt t σ2 Reescrevendo Yt Yt1 ΔYt εt estacionário em diferenças ou seja a primeira diferença de Yt é estacionária Processo nãoestacionário Passeio aleatório exemplos Fonte Hill Griffiths Judge Fonte Gujarati Processo nãoestacionário Caso 3 β1 0 β2 0 β3 1 Yt β1 Yt1 εt sendo εt um ruído branco Mostrase que EYt t β1 Sendo Yt1 εt uma tendência estocástica Yt é chamado de passeio aleatório com constante deslocamento ou drift Reescrevendo Yt Yt1 ΔYt β1 εt estacionário em diferenças ou seja a primeira diferença de Yt é estacionária Processo nãoestacionário Mostrase que o passeio aleatório com deslocamento constante ou drift possui uma tendência estocástica E uma tendência determinística Yt β1 Yt1 εt t 1 2 Fazendose substituições sucessivas Yt β1 β1 Yt2 εt1 εt Yt β1 β1 β1 Yt3 εt2 εt1 εt e assim por diante obtémse Yt β1 t Y0 ε1 ε2 ε3 εt tendência estocástica tendência determinística Processo nãoestacionário Passeio aleatório com constante exemplos Fonte Hill Griffiths Judge Fonte Gujarati Quatro processos Em suma os processos estocásticos descritos até aqui podem ser resumidos da seguinte maneira a Estacionário yt α ρ yt1 εt ρ 1 b Tendência estacionária yt a b t εt c Diferença estacionária I yt yt1 εt d Diferença estacionária II yt α yt1 εt Um processo estacionário não apresenta tendência Um processo tendência estacionária apresenta uma tendência determinística Um processo diferença estacionária sem constante apresenta uma tendência estocástica Um processo diferença estacionária com constante apresenta tendência determinística e tendência estocástica Processos estocásticos integrados Dada a série Yt 1 Se Yt Yt1 ΔYt é estacionária Yt é integrada de ordem 1 I1 em outras palavras se a primeira diferença da série é estacionária a série é integrada de ordem 1 I1 2 Se ΔYt não é estacionária mas ΔYt ΔYt1 é estacionária Yt é integrada de ordem 2 I2 se a primeira diferença da série não é estacionária mas a segunda diferença é a série é integrada de ordem 2 I2 3 Se Yt é estacionária Yt é integrada de ordem 0 I0 se a série é estacionária a série é integrada de ordem 0 I0 Processos estocásticos integrados Propriedades 1 Se Xt I0 e Yt I1 então Zt a Xt b Yt I1 combinação linear de série estacionária e série nãoestacionária é não estacionária 2 Se Xt Id então Zt a b Xt Id combinação linear de série Id é Id 3 Se Xt Id1 e Yt Id2 então Zt a Xt b Yt Id2 com d1 d2 4 Se Xt Id e Yt Id então Zt a Xt b Yt Id com d d na maioria dos casos e d d em casos especiais Correlação espúria Exemplos Fonte wwwtylervigencom Correlação espúria Exemplos Fonte wwwtylervigencom Correlação espúria Duas variáveis y e x são relacionadas devido às suas correlações com uma terceira variável z Então regredindo y e x encontrase uma relação significativa Mas adicionando a variável z na regressão o efeito parcial de x sobre y perde significância No contexto de séries temporais essa terceira variável seria uma tendência Regressão espúria Sejam duas séries nãoestacionárias Yt β1 Yt1 εt Xt γ1 Xt1 ωt A regressão Yt α1 α2 Xt et pode gerar resultados significativos não porque X tenha influência sobre Y mas porque ambas apresentam tendências que se correlacionam entre si Regressão espúria Exemplo Hill Griffiths e Judge Dados Yt Yt1 05 N01 Xt Xt1 N01 A regressão Yt α1 α2 Xt et gerou os seguintes resultados 𝑌𝑡 142040 05263 Xt 05429 00096 valores entre parênteses são os errospadrões dos estimadores R2 07465 DW 00305 O R2 aponta para um elevado poder explicativo do modelo e o coeficiente associado à variável X é estatisticamente significativo Porém a estatística DW sugere autocorrelação nos erros números gerados aleatoriamente respeitandose a distribuição Regressão espúria Exemplo Hill Griffiths e Judge cont Esses resultados são totalmente sem significado ou espúrios as duas séries foram geradas aleatoriamente e não têm nenhuma relação entre si A significância aparente da relação é falsa resultado de relacionarmos duas séries que oscilam lenta e aleatoriamente no tempo ambas as séries possuem tendências estocásticas Granger e Newbold sugerem que se R2 DW a regressão provavelmente é espúria Quando se usam séries temporais em um modelo de regressão os resultados podem falsamente indicar uma relação significante entre as variáveis que na verdade não existe Regressão espúria Se alguma série utilizada no modelo de regressão for nãoestacionária as propriedades do estimador de mínimos quadrados não são satisfeitas comprometendo a estimação e os testes de hipóteses Portanto antes de estimarmos um modelo de regressão com séries temporais é preciso verificar se as séries são estacionárias Sob condições específicas o estimador de mínimos quadrados pode ser adequado na estimação de modelos com séries nãoestacionárias cointegração Exercícios 1 ENADE 2006 adaptado Considere o modelo auto regressivo AR1 dado por yt ρ yt1 ut onde Eut 0 varut σ2 e covut us 0 Ɐ s t É correto afirmar que A se І ρ І 1 o processo yt é não estacionário B se І ρ І 1 o processo yt é estacionário C se І ρ І 1 o processo yt é não estacionário D se І ρ І 1 o processo yt guarda pouca relação com o seu passado E yt é um processo conhecido como ruído branco Exercícios 1 ENADE 2006 adaptado Considere o modelo auto regressivo AR1 dado por yt ρ yt1 ut onde Eut 0 varut σ2 e covut us 0 Ɐ s t É correto afirmar que A se І ρ І 1 o processo yt é não estacionário B se І ρ І 1 o processo yt é estacionário C se І ρ І 1 o processo yt é não estacionário D se І ρ І 1 o processo yt guarda pouca relação com o seu passado E yt é um processo conhecido como ruído branco Exercícios 2 Considere as seguintes afirmações sobre processos estocásticos estacionários I A média e a variância de um processo estocástico estacionário devem ser constantes II Nos processos estocásticos estacionários o efeito de um choque tende a ser dissipado ao longo do tempo ou seja o processo tende a retornar ao seu valor de origem III Nos processos estocásticos não estacionários o efeito de um choque tende a ser dissipado ao longo do tempo ou seja o processo tende a retornar ao seu valor de origem É correto o que se afirma em A Apenas I B Apenas II C Apenas III D Apenas I e II E Apenas I e III Exercícios 2 Considere as seguintes afirmações sobre processos estocásticos estacionários I A média e a variância de um processo estocástico estacionário devem ser constantes II Nos processos estocásticos estacionários o efeito de um choque tende a ser dissipado ao longo do tempo ou seja o processo tende a retornar ao seu valor de origem III Nos processos estocásticos não estacionários o efeito de um choque tende a ser dissipado ao longo do tempo ou seja o processo tende a retornar ao seu valor de origem É correto o que se afirma em A Apenas I B Apenas II C Apenas III D Apenas I e II E Apenas I e III Exercícios 3 Considere as seguintes afirmações sobre processos estocásticos não estacionários I Se a média ou a variância de um processo estocástico não for constante então o processo é não estacionário II O processo estocástico Yt Yt1 εt é não estacionário e sendo εt um ruído branco o processo é chamado de passeio aleatório ou random walk III O processo estocástico Yt β1 Yt1 εt é não estacionário e sendo εt um ruído branco o processo é chamado de passeio aleatório com deslocamento É correto o que se afirma em A Apenas I B Apenas I e II C Apenas I e III D Apenas II e III E I II e III Exercícios 3 Considere as seguintes afirmações sobre processos estocásticos não estacionários I Se a média ou a variância de um processo estocástico não for constante então o processo é não estacionário II O processo estocástico Yt Yt1 εt é não estacionário e sendo εt um ruído branco o processo é chamado de passeio aleatório ou random walk III O processo estocástico Yt β1 Yt1 εt é não estacionário e sendo εt um ruído branco o processo é chamado de passeio aleatório com deslocamento É correto o que se afirma em A Apenas I B Apenas I e II C Apenas I e III D Apenas II e III E I II e III Exercícios 4 ANPEC 2013 adaptado Um pesquisador corretamente postula o seguinte modelo de regressão yt β1 β2 t ut t 1 T em que ut é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo com média zero e variância finita A yt é um processo estacionário B yt é um processo não estacionário de tendência estocástica C yt é um processo conhecido como passeio aleatório random walk D Δyt yt yt1 é um processo estacionário E yt Eyt ut é um processo estacionário Exercícios 4 ANPEC 2013 adaptado Um pesquisador corretamente postula o seguinte modelo de regressão yt β1 β2 t ut t 1 T em que ut é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo com média zero e variância finita A yt é um processo estacionário B yt é um processo não estacionário de tendência estocástica C yt é um processo conhecido como passeio aleatório random walk D Δyt yt yt1 é um processo estacionário E yt Eyt ut é um processo estacionário Exercícios 5 ANPEC 2005 adaptada Com respeito à teoria das séries temporais é INCORRETO afirmar A Considere uma série temporal Yt auto regressiva de ordem 1 com parâmetro ρ Yt ρ Yt1 ut No modelo Yt Yt1 δ Yt1 ut em que ut é um ruído branco e δ ρ 1 se δ for de fato igual a zero a série Yt será não estacionária B Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária a série original é integrada de ordem n C Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de ordem 1 o teste usual t de Student ainda é válido D Numa regressão linear múltipla em que as variáveis explicativas são uma série temporal de ordem 1 e uma série temporal de ordem 0 correse o risco de os resultados serem espúrios E Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1 correse o risco de os resultados serem espúrios Exercícios 5 ANPEC 2005 adaptada Com respeito à teoria das séries temporais é INCORRETO afirmar A Considere uma série temporal Yt auto regressiva de ordem 1 com parâmetro ρ Yt ρ Yt1 ut No modelo Yt Yt1 δ Yt1 ut em que ut é um ruído branco e δ ρ 1 se δ for de fato igual a zero a série Yt será não estacionária B Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária a série original é integrada de ordem n C Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de ordem 1 o teste usual t de Student ainda é válido D Numa regressão linear múltipla em que as variáveis explicativas são uma série temporal de ordem 1 e uma série temporal de ordem 0 correse o risco de os resultados serem espúrios E Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1 correse o risco de os resultados serem espúrios Exercícios 6 ANPEC 2016 Considere o seguinte processo Yt δ Yt1 ut t 12 em que Y0 2 e ut é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo com distribuição normal de média zero e variância σ2 Assinale se as afirmações a seguir são verdadeiras V ou falsas F EYt 2 Yt é um processo nãoestacionário Se δ 0 Yt é um processo estacionário VarYt t σ2 Definindo ΔYt Yt Yt1 podemos dizer que ΔYt é um processo estacionário Exercícios 6 ANPEC 2016 Considere o seguinte processo Yt δ Yt1 ut t 12 em que Y0 2 e ut é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída ao longo do tempo com distribuição normal de média zero e variância σ2 Assinale se as afirmações a seguir são verdadeiras V ou falsas F EYt 2 F Yt é um processo nãoestacionário V Se δ 0 Yt é um processo estacionário F VarYt t σ2 V Definindo ΔYt Yt Yt1 podemos dizer que ΔYt é um processo estacionário V Exercícios 7 ANPEC 2017 Suponha que Yt seja uma série temporal representada pelo seguinte processo Yt δ Yt1 ut em que ut é um ruído branco que satisfaz as seguintes condições Eut 0 Eu2 t σ2 u Eut us 0 para t s Suponha também que Xt seja uma série temporal representada pelo seguinte processo ΔXt α ΔXt1 et em que et é um ruído branco que satisfaz as seguintes condições Eet 0 Ee2 t σ2 e Eet es 0 para t s Assinale se as afirmações a seguir são verdadeiras V ou falsas F A série Yt é integrada de ordem 0 estacionária A série Xt não é estacionária pois possui ordem de integração 2 A série ΔYt é estacionária A série ΔXt é estacionária Se Zt Xt Yt podemos dizer que Zt não é uma série estacionária Exercícios 7 ANPEC 2017 Suponha que Yt seja uma série temporal representada pelo seguinte processo Yt δ Yt1 ut em que ut é um ruído branco que satisfaz as seguintes condições Eut 0 Eu2 t σ2 u Eut us 0 para t s Suponha também que Xt seja uma série temporal representada pelo seguinte processo ΔXt α ΔXt1 et em que et é um ruído branco que satisfaz as seguintes condições Eet 0 Ee2 t σ2 e Eet es 0 para t s Assinale se as afirmações a seguir são verdadeiras V ou falsas F A série Yt é integrada de ordem 0 estacionária F A série Xt não é estacionária pois possui ordem de integração 2 V A série ΔYt é estacionária V A série ΔXt é estacionária F Se Zt Xt Yt podemos dizer que Zt não é uma série estacionária V Exercícios 8 Considere o modelo de regressão linear Ct α 0 α 1Yt ut t 1 2 T em que Ct é o consumo pessoal em t Yt é a renda pessoal em t e ut é o termo aleatório estimado a partir do método de mínimos quadrados I Se Ct e Yt são I1 então ut será necessariamente estacionário II Se Ct é I0 e Yt é I1 então a regressão será necessariamente inválida III Se Ct e Yt são I1 então a regressão será necessariamente válida É correto o que se afirma em A Apenas I B Apenas II C Apenas III D Apenas I e II E Apenas II e III Exercícios 8 Considere o modelo de regressão linear Ct α 0 α 1Yt ut t 1 2 T em que Ct é o consumo pessoal em t Yt é a renda pessoal em t e ut é o termo aleatório estimado a partir do método de mínimos quadrados I Se Ct e Yt são I1 então ut será necessariamente estacionário II Se Ct é I0 e Yt é I1 então a regressão será necessariamente inválida III Se Ct e Yt são I1 então a regressão será necessariamente válida É correto o que se afirma em A Apenas I B Apenas II C Apenas III D Apenas I e II E Apenas II e III