Analise de Artigo - Aplicacoes do Calculo Diferencial e Integral

1 A VA 3 será a análise de um artigo disponibilizado na Sala de Aula 2 A análise será INDIVIDUAL e deverá ser digitada e anexada no formato PDF 3 Devem ser respondidas as questões abaixo a O que você consegue extrair como objetivo do artigo Mínimo de 10 linhas 5 pontos b Apresente uma síntese do artigo extraindo as principais informações tópicos mapa mentalconceitual 5 pontos c Apresente suas considerações acerca do artigo Pontos relevantes e de possível aplicabilidade Mínimo 3 parágrafos com 5 linhas cada 15 pontos d Na sua opinião qual a importância do Cálculo Diferencial e Integral nas Graduações Mínimo de 15 linhas 5 pontos e Considerando o item 5 do artigo Resultado e Discussão escolha um Problema e apresente a sua consideração acerca do mesmo Relevante Complexo Com dificuldade em nível intermediário ou alto etc Mínimo de 10 linhas 5 pontos Bom dia Respondi sua atividade na forma de um artigo Contudo ele é facilmente separado em perguntar Como foi me apresentado 5 perguntas e não sabia se deveriam ser respondidas individualmente ou em um artigo corrido optei por fazer assim Para facilitar a identificação de onde está cada resposta de cada pergunta alternei as cores no texto Primeiro trecho em vermelho é a primeira pergunta próximo trecho em azul é a segunda pergunta e assim sucessivamente O artigo eu fiz destaques nas partes mais importantes e estou mandandoo em anexo também Estou mandando em pdf também para caso esse arquivo doc não abra Espero que atenda às suas expectativas o trabalho que fiz O artigo Algumas aplicações do cálculo diferencial e integral tem por objetivo apresentar cinco problemas práticos que podem ser relevantes e utilizados por professores nas disciplinas de cálculo diferencial e integral de cursos de engenharia e ciências Os autores partem de um contexto de altas reprovações nas disciplinas de cálculo um alto desinteresse por parte dos alunos e além disso uma alta mecanização e padronização da disciplina Somado a isso vários estudos apresentados pelos autores indicam que os alunos enquanto cursam as disciplinas percebem uma desconexão entre o conteúdo que é apresentado para eles e como esse conteúdo pode e irá ser utilizado em suas profissões e em disciplinas futuras Nesse sentido embora o cálculo diferencial e integral utilizado por qualquer profissional seja o mesmo a forma de utilização e o contexto da utilização varia de profissão para profissão Surge então nesse contexto a necessidade de existência de problemas práticos a ser utilizados ao longo dos cursos e tal qual os explorados no artigo Esse artigo foi construído trazendo inicialmente uma contextualização das principais dificuldades encontradas nas disciplinas de cálculo e apresentando a importância da utilização de problemas práticos e aplicados enquanto o conteúdo é apresentado Na sequência ele traz um contexto histórico do desenvolvimento do cálculo seguido pela discussão aprofundada e referenciada das causas das dificuldades do processo de ensinoaprendizagem ao longo da graduação Finalmente os autores apresentam os cinco problemas que se propõem a permitir que seja possível uma articulação com a profissão dos alunos e a disciplina de cálculo sendo eles o problema de otimização no escoamento de água a otimização de material para a construção civil a minimização de custos de produção a medição de débito cardíaco e a medição otimizando lucro Os autores têm por objetivo ao apresentar os problemas contextualizá los e resolvêlos ou indicarem como podem ser resolvidos servindo de material de apoio para docentes Por fim os autores apresentam suas considerações finais destacando as perspectivas futuras de elaboração de novos materiais com problemas para novas áreas De modo geral o trabalho trás bons indicativos de pesquisa para professores preocupados com a formação de seus alunos tentando afastar cada vez mais o modelo tradicional e mecanizado de ensino Contudo com exceção do problema de débito cardíaco os exercícios apresentados pelos autores são exercícios de minimizaçãomaximização muita das vezes já apresentados em livros textos atuais com outra redação e sem grande potencial de servir de integração entre cálculo e profissão Falta inicialmente por parte dos autores uma exploração da diferença entre exercício problema e projetos e o impacto de cada um no ensino de cálculo e no processo de aprendizagem do aluno A problemática apresentada pelos autores de contextualizar o curso de cálculo com suas formações profissionais é importantíssima mas mais importante que contextualizar deve ser integrar o cálculo com a formação profissional Essa integração não é feita apenas apresentando um exercício de otimização de material para uma sala retangular para um curso de engenharia mas com um problema prático numa sala real e o aluno sendo capaz de decidir quais aproximações ele utilizará como elas podem afetar seus resultados e principalmente como o que ele está aprendendo pode auxiliálo a resolver esse problema Surgindo daí a necessidade de utilização de projetos mais amplos e aplicados nas disciplinas de cálculo Além disso os autores poderiam explorar a formação dos professores para tais problemas Evidentemente quanto mais prático for se tornando o problema ou o projeto mais se distanciará da formação do professor de cálculo e se aproximará da formação de um professor do curso específico Dessa forma uma possível integração entre professor de cálculo e professor do curso específico deve ser necessária e pode ser muito enriquecedora Essa integração também será necessária para que a construção dos problemasprojetos possa ser feita de forma satisfatória Esses vários exemplos problemas e projetos mostram os inúmeros casos em que o cálculo diferencial e integral está presente nas diferentes profissões Embora ele seja utilizado muito mais como ferramenta para profissionais não matemáticos ele é de extrema importância para modelagem de problemas Desde problemas físicos como a meteorologia ou circuitos eletrônicos até problemas biológicos como o funcionamento do batimento cardíaco ou a evolução de uma pandemia Portanto é extremamente importante o ensino dessa técnica ou ferramenta denominada cálculo para os profissionais que estão sendo formados no ensino superior para que quando se depararem com problemas reais capazes de serem modelados eou quantificados possam ser melhores explorados utilizando o que foi aprendido nas disciplinas de cálculo Mesmo que técnicas mais avançadas de cálculo sejam necessárias para resolver os problemas que surgirem no mundo profissional entender os fundamentos é essencial para saber onde buscar o conhecimento necessário Não bastasse tais justificativas o ensino de cálculo vai além pois aprender cálculo consiste em desenvolver técnicas de raciocínio logico que podem ser aplicadas em diferentes contextos da vida cotidiana Dessa forma um ensino eficiente desse conteúdo auxilia no desenvolvimento lógico matemático dos alunos enquanto indivíduo Analisando o problema de débito cardíaco que mede o volume de sangue bombeado pelo coração por intervalo de tempo percebese que ele é o mais completo e integrador com a profissão em relação aos demais Como todos os outros exercícios ele tem um objetivo direto e usual de um profissional no caso desse problema os profissionais da saúde e de áreas biológicas Contudo ele é capaz de trazer várias dúvidas aos alunos quando ele for resolvêlo Por exemplo como se mede o débito cardíaco Quem modelou essa equação utilizou tais parâmetros por quê Qual a influência desses parâmetros no débito cardíaco por que um é diretamente proporcional e outro inversamente Como a temperatura varia Como é possível modelar essa variação Essa é a melhor modelagem Obviamente depois de respondida essas questões o problema tornase apenas um exercício de resolver integral e limite Mas ele não é um problema fechado Se o aluno mudar a função de variação de temperatura seu resultado já será variado E então o professor pode questionar essa mudança No âmbito do cálculo pode surgir diferentes integrais e limites para serem resolvidos De modo geral ele permite que o aluno tenha um papel muito mais ativo e investigativo na sua formação A matemática do problema é elaborada com uma dificuldade de média para elevada demandando várias passagens atenção dos alunos mas explora diferentes tópicos aprendidos na disciplina de cálculo Obviamente esse não poderia ser um projetoproblema no início da disciplina ou servir como exemplo para calcular integral mas é um excelente problemaprojeto para o final do capítulo de integrais e com a integração de um professor que ensine o débito cardíaco permitiria uma integração que se destacaria na formação profissional dos alunos tal como objetivado inicialmente pelos autores nesse artigo Bom dia Respondi sua atividade na forma de um artigo Contudo ele é facilmente separado em perguntar Como foi me apresentado 5 perguntas e não sabia se deveriam ser respondidas individualmente ou em um artigo corrido optei por fazer assim Para facilitar a identificação de onde está cada resposta de cada pergunta alternei as cores no texto Primeiro trecho em vermelho é a primeira pergunta próximo trecho em azul é a segunda pergunta e assim sucessivamente O artigo eu fiz destaques nas partes mais importantes e estou mandandoo em anexo também Estou mandando em pdf também para caso esse arquivo doc não abra Espero que atenda às suas expectativas o trabalho que fiz O artigo Algumas aplicações do cálculo diferencial e integral tem por objetivo apresentar cinco problemas práticos que podem ser relevantes e utilizados por professores nas disciplinas de cálculo diferencial e integral de cursos de engenharia e ciências Os autores partem de um contexto de altas reprovações nas disciplinas de cálculo um alto desinteresse por parte dos alunos e além disso uma alta mecanização e padronização da disciplina Somado a isso vários estudos apresentados pelos autores indicam que os alunos enquanto cursam as disciplinas percebem uma desconexão entre o conteúdo que é apresentado para eles e como esse conteúdo pode e irá ser utilizado em suas profissões e em disciplinas futuras Nesse sentido embora o cálculo diferencial e integral utilizado por qualquer profissional seja o mesmo a forma de utilização e o contexto da utilização varia de profissão para profissão Surge então nesse contexto a necessidade de existência de problemas práticos a ser utilizados ao longo dos cursos e tal qual os explorados no artigo Esse artigo foi construído trazendo inicialmente uma contextualização das principais dificuldades encontradas nas disciplinas de cálculo e apresentando a importância da utilização de problemas práticos e aplicados enquanto o conteúdo é apresentado Na sequência ele traz um contexto histórico do desenvolvimento do cálculo seguido pela discussão aprofundada e referenciada das causas das dificuldades do processo de ensinoaprendizagem ao longo da graduação Finalmente os autores apresentam os cinco problemas que se propõem a permitir que seja possível uma articulação com a profissão dos alunos e a disciplina de cálculo sendo eles o problema de otimização no escoamento de água a otimização de material para a construção civil a minimização de custos de produção a medição de débito cardíaco e a medição otimizando lucro Os autores têm por objetivo ao apresentar os problemas contextualizálos e resolvêlos ou indicarem como podem ser resolvidos servindo de material de apoio para docentes Por fim os autores apresentam suas considerações finais destacando as perspectivas futuras de elaboração de novos materiais com problemas para novas áreas De modo geral o trabalho trás bons indicativos de pesquisa para professores preocupados com a formação de seus alunos tentando afastar cada vez mais o modelo tradicional e mecanizado de ensino Contudo com exceção do problema de débito cardíaco os exercícios apresentados pelos autores são exercícios de minimizaçãomaximização muita das vezes já apresentados em livros textos atuais com outra redação e sem grande potencial de servir de integração entre cálculo e profissão Falta inicialmente por parte dos autores uma exploração da diferença entre exercício problema e projetos e o impacto de cada um no ensino de cálculo e no processo de aprendizagem do aluno A problemática apresentada pelos autores de contextualizar o curso de cálculo com suas formações profissionais é importantíssima mas mais importante que contextualizar deve ser integrar o cálculo com a formação profissional Essa integração não é feita apenas apresentando um exercício de otimização de material para uma sala retangular para um curso de engenharia mas com um problema prático numa sala real e o aluno sendo capaz de decidir quais aproximações ele utilizará como elas podem afetar seus resultados e principalmente como o que ele está aprendendo pode auxiliálo a resolver esse problema Surgindo daí a necessidade de utilização de projetos mais amplos e aplicados nas disciplinas de cálculo Além disso os autores poderiam explorar a formação dos professores para tais problemas Evidentemente quanto mais prático for se tornando o problema ou o projeto mais se distanciará da formação do professor de cálculo e se aproximará da formação de um professor do curso específico Dessa forma uma possível integração entre professor de cálculo e professor do curso específico deve ser necessária e pode ser muito enriquecedora Essa integração também será necessária para que a construção dos problemasprojetos possa ser feita de forma satisfatória Esses vários exemplos problemas e projetos mostram os inúmeros casos em que o cálculo diferencial e integral está presente nas diferentes profissões Embora ele seja utilizado muito mais como ferramenta para profissionais não matemáticos ele é de extrema importância para modelagem de problemas Desde problemas físicos como a meteorologia ou circuitos eletrônicos até problemas biológicos como o funcionamento do batimento cardíaco ou a evolução de uma pandemia Portanto é extremamente importante o ensino dessa técnica ou ferramenta denominada cálculo para os profissionais que estão sendo formados no ensino superior para que quando se depararem com problemas reais capazes de serem modelados eou quantificados possam ser melhores explorados utilizando o que foi aprendido nas disciplinas de cálculo Mesmo que técnicas mais avançadas de cálculo sejam necessárias para resolver os problemas que surgirem no mundo profissional entender os fundamentos é essencial para saber onde buscar o conhecimento necessário Não bastasse tais justificativas o ensino de cálculo vai além pois aprender cálculo consiste em desenvolver técnicas de raciocínio logico que podem ser aplicadas em diferentes contextos da vida cotidiana Dessa forma um ensino eficiente desse conteúdo auxilia no desenvolvimento lógicomatemático dos alunos enquanto indivíduo Analisando o problema de débito cardíaco que mede o volume de sangue bombeado pelo coração por intervalo de tempo percebese que ele é o mais completo e integrador com a profissão em relação aos demais Como todos os outros exercícios ele tem um objetivo direto e usual de um profissional no caso desse problema os profissionais da saúde e de áreas biológicas Contudo ele é capaz de trazer várias dúvidas aos alunos quando ele for resolvêlo Por exemplo como se mede o débito cardíaco Quem modelou essa equação utilizou tais parâmetros por quê Qual a influência desses parâmetros no débito cardíaco por que um é diretamente proporcional e outro inversamente Como a temperatura varia Como é possível modelar essa variação Essa é a melhor modelagem Obviamente depois de respondida essas questões o problema tornase apenas um exercício de resolver integral e limite Mas ele não é um problema fechado Se o aluno mudar a função de variação de temperatura seu resultado já será variado E então o professor pode questionar essa mudança No âmbito do cálculo pode surgir diferentes integrais e limites para serem resolvidos De modo geral ele permite que o aluno tenha um papel muito mais ativo e investigativo na sua formação A matemática do problema é elaborada com uma dificuldade de média para elevada demandando várias passagens atenção dos alunos mas explora diferentes tópicos aprendidos na disciplina de cálculo Obviamente esse não poderia ser um projetoproblema no início da disciplina ou servir como exemplo para calcular integral mas é um excelente problemaprojeto para o final do capítulo de integrais e com a integração de um professor que ensine o débito cardíaco permitiria uma integração que se destacaria na formação profissional dos alunos tal como objetivado inicialmente pelos autores nesse artigo Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 1 Algumas aplicações do cálculo diferencial e integral Some applications of differential and integral calculus Algunas aplicaciones del cálculo diferencial e integral Recebido 15062021 Revisado 24062021 Aceito 27062021 Publicado 05072021 João Paulo Antunes Carvalho httporcidorg0000000164436207 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Norte de Minas Gerais Brasil carvalhojoaojpgmailcomgmailcom Josué Antunes de Macêdo ORCID httpsorcidorg0000000177377509 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Norte de Minas Gerais Brasil Universidade Estadual de Montes Claros Brasil josueamagmailcom Lailson dos Reis Pereira Lopes httpsorcidorg0000000222755047 Universidade Estadual de Montes Claros Brasil lailsonlopesunimontesbr Resumo O Cálculo Diferencial e Integral é a parte da Matemática que cuida entre outros temas do estudo das taxas de variação de grandezas A Matemática está presente no dia a dia mais do que se pode imaginar e por meio de um breve estudo notase que ela contribui nas nossas atividades do cotidiano seja em operações básicas ao calcular o troco do dinheiro quando vendemos algo ou em situações nas quais são exigidos cálculos mais complexos A disciplina de Cálculo Diferencial e Integral deve dialogar com as profissões sendo que uma das causas do desinteresse dos alunos está associada à ausência de uma visão aplicada do conteúdo na atividade da carreira profissional À vista disso este trabalho propõe apresentar e discutir cinco exemplos de aplicações do Cálculo Diferencial e Integral nas Ciências e Engenharias A metodologia utilizada é do tipo exploratória baseada em levantamento bibliográfico Esperase assim contribuir com o ensino dos temas relacionados ao Cálculo Diferencial e Integral apontando aplicações de seu uso nas diversas áreas do conhecimento Palavraschave Limites Derivadas Integrais Aplicações Abstract Differential and Integral Calculus is the part of Mathematics that takes care of among other topics the study of the rates of variation of quantities Mathematics is present in everyday life more than one can imagine and through a brief study it can be seen that it contributes to our daily activities whether in basic operations when calculating the change for money when we sell something or in situations where more complex calculations are required The Discipline of Differential and Integral Calculus must dialogue with the professions and one of the causes of the students lack of interest is associated with the absence of an applied view of the content in the professional career activity In view of this this work proposes to present and discuss five examples of applications of Differential and Integral Calculus in Science and Engineering The methodology used is exploratory based on a bibliographic survey It is expected therefore to contribute to the teaching of themes related to Differential and Integral Calculus pointing out applications of its use in different areas of knowledge Keywords Limits Derivatives Integrals Applications Resumen El Cálculo Diferencial e Integral es la parte de las Matemáticas que se ocupa entre otros temas del estudio de las tasas de variación de cantidades La matemática está presente en la vida cotidiana más de lo que uno pueda imaginar y a través de un breve estudio se puede apreciar que contribuye a nuestras actividades diarias ya sea en operaciones básicas a la hora de calcular el cambio por dinero cuando vendemos algo o en situaciones en las que se requieren cálculos más complejos La Disciplina del Cálculo Diferencial e Integral debe dialogar con las profesiones y una de las causas del desinterés de los estudiantes está asociada a la ausencia de una visión aplicada de los contenidos en la actividad de la carrera profesional Ante esto este trabajo se propone presentar y discutir cinco ejemplos de aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral en Ciencia e Ingeniería La metodología utilizada es exploratoria basada en un relevamiento bibliográfico Se espera por tanto contribuir a la enseñanza de temas relacionados con el Cálculo Diferencial e Integral señalando aplicaciones de su uso en diferentes áreas del conocimiento Palabras clave Límites Derivados Integrales Aplicaciones Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 2 1 Introdução E inegável que a Matemática está presente em nossas vidas tendo em vista as diversas contribuições para a humanidade ao longo da história e do seu desenvolvimento que foi realizado com a colaboração de vários matemáticos Dentre os vários temas discutidos pela Matemática temse o Cálculo Diferencial e Integral Essa ferramenta é usada em diversos ramos das Ciências tais como a Física Computação Engenharias Economia Medicina e outras áreas nas quais problemas correlatos possam ser modelados matematicamente Assim o conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral é ministrado em diversas graduações sendo possível citar o curso de Licenciatura em Matemática no qual compreendese seus conceitos e teoremas Desse modo na maioria das vezes durante as aulas dessa disciplina as operações são realizadas porém não há uma discussão sobre os resultados quais são as aplicações na vida real bem como se há alguma relação com a prática profissional Nessa perspectiva neste estudo surgiu a seguinte indagação quais são as aplicações do Cálculo Diferencial e Integral nas Ciências e Engenharias Logo a relevância está no fato de investigar as possíveis aplicações do Cálculo Diferencial e Integral Segundo Almeida Fatori Souza 2010 recorrentemente os professores não abordam o conteúdo com suas aplicações experimentações ou descobertas Com isso para o discente acaba sendo um aprendizado mecânico sem uma visualização nítida de sua utilidade e aplicação prática Diante dessa situação realizouse uma pesquisa que buscou verificar as principais aplicações do Cálculo Diferencial e Integral nas Ciências e Engenharias Nesse sentido este trabalho apresenta e discute cinco aplicações desse conteúdo com sua utilidade na área de trabalho de profissionais sendo eles engenheiros biólogos químicos entre outros 2 Metodologia A pesquisa é do tipo exploratória que de acordo com Gil 2008 p 27 tem como principal finalidade desenvolver esclarecer e modificar conceitos e ideias tendo em vista a formulação de problemas mais precisos ou hipóteses pesquisáveis para estudos posteriores Nesse viés sua relevância está em possibilitar o levantamento bibliográfico de estudos anteriores inclusive o estudo de caso 3 Contexto Histórico do Cálculo Diferencial e Integral No que se refere ao seu desenvolvimento o Cálculo Diferencial e Integral foi se constituindo com a contribuição de vários matemáticos no entanto os protagonistas na sua criação foram Newton e Leibniz Dessa forma cada matemático contribuiu no seu tempo na elaboração dos conceitos do conteúdo À vista disso seguindo a linha cronológica até o século XVII Fermat Kepler e Arquimedes foram alguns dos Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 3 principais matemáticos que deram início ao seu estudo Em seguida Newton e Leibniz trabalharam de forma independente produzindo os fundamentos mais importantes do conteúdo Além disso cabe salientar que outros grandes nomes deram suas contribuições tais como os irmãos Bernoulli LHospital Lagrange DAlembert Cauchy Weierstrass e Riemann Fulini 2017 Isaac Newton 16421727 desenvolveu métodos analíticos unindo técnicas já conhecidas que permitiram solucionar problemas de diversos tipos como encontrar áreas tangentes e comprimentos de curvas assim como máximos e mínimos Eves 2011 Já Gottfied Wihelm Leibniz 16461716 teve a tarefa de elaborar a notação do Cálculo elementos indispensáveis na teoria como também alguns conceitos como por exemplo regra da derivada do produto derivada do quociente e o símbolo da integral Fulini 2017 Além disso Newton e Leibniz trabalharam de maneira independentes e com enfoques diferentes dando um grande passo no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral Sendo assim para Newton o Cálculo o ajudaria a resolver fenômenos físicos já Leibniz queria desenvolver uma simbologia matemática universal Por isso é creditado aos dois o título de Inventores do Cálculo Silva 2016 p19 Em muitas controversas na história sobre quem seria o precursor do Cálculo Diferencial e Integral Stewart 2013 p 143 afirma que Leibniz procurou desenvolver uma lógica simbólica e um sistema de notação que simplificassem o raciocínio lógico Em particular a versão do cálculo publicada por ele em 1684 estabeleceu a notação e as regras para encontrar as derivadas usadas até hoje Infelizmente uma disputa muito acirrada de prioridades surgiu em 1690 entre os seguidores de Newton e os de Leibniz sobre quem teria inventado primeiro o cálculo Leibniz foi até mesmo acusado de plágio pelos membros da Royal Society na Inglaterra A verdade é que cada um inventou independentemente o cálculo Newton chegou primeiro à sua versão do cálculo mas por temer controvérsias não a publicou imediatamente Assim a publicação do cálculo de Leibniz em 1684 foi a primeira a aparecer Um fato interessante da construção do Cálculo Diferencial e Integral é que o seu desenvolvimento segue a ordem inversa daquela que se encontra em livros e cursos apresentados atualmente ou seja os estudos sobre Cálculo Diferencial e Cálculo Integral seguiram de maneira independes Primeiro foi desenvolvido o Cálculo Integral com início em processo de somatórios unidos à resolução de problemas envolvendo áreas volumes e comprimento Posteriormente surgiu o Cálculo Diferencial originado de problemas que envolvessem retas tangentes e assuntos sobre máximo e mínimos Eves 2011 De acordo com Eves 2011 p 531 o matemático Cauchy deu uma explicação mais precisa do Cálculo Diferencial e Integral a partir de limite cuja definição e seu sentido são utilizados até hoje Cauchy definiu a derivada da função que pode ser visto na equação 1 𝑦 𝑓𝑥 1 em relação a x como o limite quando Δx 0 da razão da equação 2 Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 4 𝑦 𝑥 𝑓𝑥 𝛥𝑥 𝑓𝑥 𝛥𝑥 2 Conforme DOttaviano 2012 p 52 o matemático Weierstrass 18151897 deu continuidade aos trabalhos de Cauchy a partir de limite utilizando o ℇ e δ épsilons e deltas limite de uma função real de variável real que pode ser visto na equação 3 𝑦 𝑓𝑥 3 quando x tende a um número real a o que denotamos pela equação 4 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑏 4 Ou em símbolos na equação 5 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝜀 0𝛿 0𝑥0 𝑥 𝑎 𝛿 𝑓𝑥 𝑏 𝜀 5 Tornando o Cálculo Diferencial e Integral matematicamente rigoroso Além disso o matemático Isaac Barrow 16301677 notou que o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral estão relacionados entre si e são processos inversos Em seguida Barrow desenvolveu o Teorema Fundamental do Cálculo que se tornou posteriormente a base de várias operações do Cálculo Silva 2016 A partir destes teoremas tornase notório que o Cálculo Diferencial e Integral é uma ferramenta importante no mundo acadêmico uma vez que os conhecimentos adquiridos e gerados com suas aplicações impactam diretamente na vida do homem contemporâneo Para isso devese conhecer um pouco da sua história como afirma Fulini 2017 p 52 conhecer a história do Cálculo e como ela se desenvolveu é participar da sua reconstrução e reconhecer seu valor para a Educação Matemática da atualidade De forma análoga a Base Nacional Comum Curricular BNCC descreve a importância da abordagem histórica na sala de aula Além dos diferentes recursos didáticos e materiais como malhas quadriculadas ábacos jogos calculadoras planilhas eletrônicas e softwares de geometria dinâmica é importante incluir a história da Matemática como recurso que pode despertar interesse e representar um contexto significativo para aprender e ensinar Matemática Brasil 2018 p 298 Em síntese fazse necessário ter uma breve discussão do contexto histórico do Cálculo Diferencial e Integral apresentando de forma sucinta para que o leitor possa compreender suas origens 4 O Cálculo Diferencial e Integral nas Graduações De forma geral a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral consta nos cursos de Engenharia Tecnologias algumas Licenciaturas e nas áreas das Ciências da Natureza dentre outras Observase que tal conteúdo é importante para a formação dos acadêmicos desses cursos A concretização dos conceitos dessa disciplina possibilitará futuramente a realização de tarefas de grande complexidade e proporcionará uma melhor assimilação de outros conteúdos Silva 2010 Ao longo dos últimos anos diversos pesquisadores da área descrevem uma preocupação com o elevado índice de reprovações na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral sendo que existem diversos fatores entre os quais temse a falta de Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 5 dedicação aos estudos defasagem nos conceitos básicos da Matemática falta de aplicabilidade do conteúdo em outras disciplinas assim como na futura profissão entre outros Macêdo Gregor 2020 apontam alguns fatores que podem contribuir para o insucesso dos alunos relacionados principalmente ao domínio da Matemática básica tempo de dedicação aos estudos e do entendimento das aulas ministradas De uma forma geral os alunos apresentam dificuldades nos conteúdos de Matemática Básica mostrando a realidade do ensino público atual A maioria dos alunos dedicam de uma a duas horas diárias apenas para os estudos da disciplina de CDI I o que dificulta o aprendizado Mais da metade dos alunos que responderam o teste disseram não entender todas as explicações dos professores Macêdo Gregor 2020 p 21 Além disso como destaca Rafael Escher 2015 é necessário rever a abordagem do Cálculo Diferencial e Integral pois a metodologia utilizada dever ser específica em cada turma adequandose à realidade que ali se encontra Dessa maneira há uma falta de conexão entre o que é ensinado em sala e a realidade das profissões como salientam Ribeiro Junior Carvalho Cariello 2010 p 5 é comum encontrar acadêmicos na disciplina que questionem sobre a necessidade de aprender os conceitos explorados em sala de aula e a aplicação dos mesmos nos estudos futuros Geralmente as aulas de Matemática possuem um foco centrado no professor que impreterivelmente expõem os conteúdos de forma retórica ditando as regras cabendo aos alunos apenas aceitálas Ferreira 2017 p 20 Nessa abordagem o professor não proporciona condições para uma reflexão sobre o assunto sobre aplicabilidade do aprendizado quais profissionais utilizam essa ferramenta matemática no seu dia a dia de trabalho e qual é sua utilidade na vida real por exemplo Sendo assim podese observar que um dos fatores que favorece a reprovação de alguns alunos está ligada a não existência de relações dos conteúdos à sua futura profissão Nesse viés em geral prioriza operações técnicas e repetição de algoritmos entre outros fatores Almeida Fatori Souza 2010 p 3 Pode se observar nas falas dos autores Ribeiro Junior Carvalho Cariello 2010 e Ferreira 2017 que tratar o Cálculo Diferencial e Integral sem relacionálo às demais disciplinas e suas aplicações origina um processo de aprendizado cansativo e sem propósito para as futuras profissões dos educandos Logo falta uma finalidade em aprender seus conceitos tornandose um dos possíveis fatores contribuintes do insucesso de muitos discentes na disciplina No entanto ao entender que o Cálculo é uma grande rede que interage com várias outras redes Rezende 2003 p 44 ficará claro que o Cálculo Diferencial e Integral não é um conteúdo que se restringe apenas na Matemática mas também dialoga com outras áreas do conhecimento Verificase então que não faz sentido reproduzilo simplesmente com definições de conceitos e listas de exercícios Independente do assunto relacionado ao Cálculo Diferencial e Integral sua utilidade pode ser discutida em sala de aula como salienta Santos 2009 p 92 Não importa o curso em que a disciplina é oferecida Se ela fizer parte de grade matriz curricular de Economia Administração Bioquímica ou Engenharia existirá um meio de tornála próxima a realidade do estudante e sua futura profissão É evidente que o Cálculo Diferencial e Integral num curso de engenharia será diferente do ministrado em bioquímica Não pelos tópicos do conteúdo a serem estudados mas diferentes necessidades de cada formação A grande diferença entre eles será a forma de abordagem Nesse sentido percebese a necessidade de se ter uma abordagem das aplicações do Cálculo Diferencial e Integral em sala de aula como discute Reis 2001 p 42 baseandose entre outros nos trabalhos do professor Baldino 1995 no qual tradicionalmente os professores apresentam os conceitos com certo rigor nos tópicos de limites derivadas e integrais e não se verifica uma preocupação com suas aplicações que caso fossem melhor tratadas exploradas poderiam gerar novas compreensões sobre as ideias e os conceitos fundamentais do Cálculo Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 6 Para aqueles que estão familiarizados na área há uma outra visão sobre esse assunto ao entrevistarem graduandos em Matemática da Universidade Estadual de Londrina UEL Guizelini et al 2005 p 6 buscaram inventariar os aspectos que nortearam os graduandos a escolha do curso Entre as respostas obtidas pelos autores há uma parcela dos entrevistados que enfatizam a utilidade da Matemática no cotidiano dos profissionais Além disso verificase que na fala dos alunos querendo ou não necessitase da matemática obtendo sua abrangência nas demais áreas do conhecimento científico como também sua usabilidade na vida real Nesse contexto fica evidente quando a aplicabilidade é vista por alguns lhes trazem uma apreciação pelo conteúdo pois assumem que a ferramenta é de suma importância nas suas carreiras profissionais 5 Resultado e Discussão Optouse por apresentar e discutir nesse artigo cinco aplicações do Cálculo Diferencial Integral uma vez que elas abrangem algumas áreas do conhecimento isso é desde situações de otimização ao uso das integrais para calcular áreas e volumes Essas aplicações constam de um Roteiro Didático que foi elaborado a partir da pesquisa realizada Tais profissionais que fazem uso dessa ferramenta Matemática podem variar tais como Médicos e Engenheiros Além disso em alguns casos os cálculos são realizados por computadores com o objetivo de ser mais práticos no dia a dia dos usuários Contudo nesta pesquisa deuse ênfase na apresentação dos cálculos Problema 1 Otimização no deslocamento de água A situação aqui apresentada foi adaptada de Menk 2005 p 6 e referese à maneira na qual deve se construir uma calha cujo formato tenha a maior capacidade de água Podese observar que sua utilidade vai além da construção de calhas Como exemplo podese citar a transposição do rio São Francisco visualizada por meio da Figura 1 que apresenta visualmente uma configuração próxima daquela considerada como ideal pelo autor op cit Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 7 Figura 1 Transposição do Rio São Francisco Fonte Maisonnave Knapp 2018 Observando a Figura 1 percebese que a situação apresentada tem a semelhança de uma calha Pretendese assim construir uma calha de seção trapezoidal como mostra a Figura 2 Dessa forma qual deve ser o ângulo da face inclinada em relação à horizontal para que a calha tenha vazão máxima Figura 2 Calha Fonte Menk 2005 p 6 Construindo a figura da calha no software Cabri Géomètre Figura 2 foi possível fazer variar o ângulo de inclinação e observar simultaneamente a variação da área da calha cujo valor é usado no cálculo da vazão da água que deve escoar por ela Dessa maneira verificouse que com o auxílio da tabela o ângulo que proporciona uma vazão máxima está em torno de 60º como pode se ver na Figura 3 Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 8 Figura 3 Cálculo do ângulo usando Tabela Fonte Menk 2005 p 6 Observando a Figura 3 e fazendo os cálculos podese chegar ao valor exato do ângulo Considerandose as equações 6 e 7 𝐴 𝐵 𝑏ℎ 2 6 𝐵 10 2𝑥 7 Na Figura 4 observase a área do trapézio e o ângulo da face lateral Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 9 Figura 4 Ângulo da Face Lateral Fonte Menk 2005 p 6 Temse primeiramente que obter os valores de x e de h que estão em função do ângulo da face lateral da calha que forma com a horizontal mostrado na Figura 4 de acordo com a equação 8 𝑠𝑒𝑛𝛼 ℎ10 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑥10 ℎ 10𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑥 10𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐵 10 2𝑥 𝐵 10 210𝑐𝑜𝑠𝛼 8 Substituindo na fórmula da área do trapézio de acordo com a equação 9 𝐴 10 20𝑐𝑜𝑠𝛼 1010𝑠𝑒𝑛𝛼 2 100𝑠𝑒𝑛𝛼 100𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 9 Derivando em relação a α temse de acordo com a equações 10 11 12 13 𝐴𝛼 100𝑐𝑜𝑠𝛼 100𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 100𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 10 𝐴𝛼 100𝑐𝑜𝑠𝛼 100𝑐𝑜𝑠2 𝛼 100𝑠𝑒𝑛2 𝛼 11 𝐴𝛼 100𝑐𝑜𝑠𝛼 100𝑐𝑜𝑠2 100𝑐𝑜𝑠2𝛼 1 12 𝐴𝛼 1002 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 1 13 Obtendose o ponto crítico de acordo com a equações 14 1002 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 1 0 2𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 1 0 14 Fazendo 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑥 conforme a equação 15 2𝑥2 𝑥 1 0 15 Resolvendo essa equação em função de x obtémse 12 4 2 1 9 16 𝑥 1 3 4 𝑥1 1 2 𝑥2 1 17 Substituindo os valores de 𝑥 encontrados em 17 de acordo com equações 18 e 19 𝑐𝑜𝑠𝛼 1 2 𝛼 60 18 Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 10 𝑐𝑜𝑠𝛼 1 𝛼 180 não convém 19 Portanto a vazão máxima acontecerá quando o ângulo que a face lateral da calha forma com a horizontal for de 60 Problema 2 Otimização de material para a construção civil Esse exemplo foi adaptado de Flexa 2017 p 45 Considere uma situação na qual pretendese construir as paredes de um hangar retangular com a frente aberta apenas três paredes Após todos os cálculos levandose em consideração a quantidade de material disponível concluiuse que seria possível ser construído um total de 40 metros de parede Nesse caso devese dimensionar o comprimento de cada parede para que a área construída seja a maior possível Solução O comprimento total das paredes é 40m Chamando o comprimento das paredes laterais de 𝑥 e o comprimento da parede de fundo de 402x Desse modo as dimensões medidas em metros serão 𝑥 40 2𝑥 𝑥 Como a estrutura é retangular podese estabelecer o fato de que a área total é dada pela equação 20 𝐴 𝑥40 2𝑥 20 Portanto 𝐴 𝑓𝑥 40𝑥 2𝑥² 21 Derivando em relação a 𝑥 temse a equação 22 𝑓𝑥 40 4𝑥 22 Obtendo o ponto crítico nas equações 23 24 e 25 𝑓𝑥 40 4𝑥 0 23 Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 11 4𝑥 40 24 𝑥 10 25 Ou seja para 𝑥 10 consequentemente o fundo será igual a 20 m temse 𝐴 200 𝑚² como a maior área possível dadas essas condições Problema 3 Minimização de custos de produção Exemplo extraído de Soares 2015 p 50 Uma indústria de óleo de cozinha deseja embalar seu produto em latas cilíndricas de 1 litro Quais devem ser as dimensões da lata que minimizam o custo do metal para produzila Para a modelagem da função considerouse r e h o raio e a altura do cilindro respectivamente A lata com menor custo será aquela que possui a menor área da superfície Na Figura 5 temse uma representação do formato da lata Figura 5 Planificação Fonte Soares 2015 p 51 Pela Figura 5 é possível visualizar que a área da superfície da lata cilíndrica é dada pela equação 26 𝐴 2𝜋𝑟² 2𝜋𝑟ℎ 26 Para que seja eliminada uma variável nesta expressão observase que o volume da lata deve ser de 1 litro o equivalente a 1000 cm³ Então V πr²h 1000 no qual resulta na equação 27 ℎ 1000 𝜋𝑟2 27 Substituindo isto na expressão da área A obtémse a equação 28 Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 12 𝐴𝑟 2𝜋𝑟² 2000 𝑟 𝑟 0 28 Agora a solução do problema é obtida minimizando está função derivandoa em função de r obtendose assim a equação 29 𝐴𝑟 4𝜋𝑟 2000𝑟2 29 E igualando a zero nas equações 30 31 32 33 34 35 4𝜋𝑟 2000𝑟2 0 30 4𝜋𝑟 2000𝑟2 31 4𝜋 2000 𝑟3 32 4𝜋 2000 1 𝑟3 33 𝑟3 500 𝜋 34 𝑟 542𝑐𝑚 35 Substituindo isto na equação 27 obtemos a altura conforme pode ser visto na equação 36 ℎ 1000 𝜋𝑟2 1000 𝜋5422 1084𝑐𝑚 36 Problema 4 Medição do débito cardíaco Exemplo extraído de Alderete 2017 p1 Débito cardíaco é o volume de sangue bombeado pelo coração por unidade de tempo A medição do débito cardíaco ajuda os Médicos a avaliar o estado em que se encontra o coração de uma pessoa que sofreu um ataque cardíaco e com isso ele irá planejar o tratamento a ser seguido Nesse exemplo utilizouse o método termodiluição para medir o debito cardíaco Este procedimento faz uso das integrais impróprias A presente aplicação foi retirada de um projeto de pesquisa desenvolvido pela estudante Andrielle Camargo de Alderete que utilizou dados reais para o desenvolvimento da pesquisa Alderete 2017 Com o intuito de determinar a Medição do Débito Cardíaco MDC através das temperaturas do termistor obtevese uma equação com a utilização do método de integrais impróprias que tem como conceito ser uma integral definida 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 a qual a função 𝑓 definida pode ter um intervalo infinito ou Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 13 ter uma descontinuidade infinita em 𝑎 𝑏 Stewart 2013 Mediante esse método obtevese a equação 37 𝐹 𝑟𝑉𝑇𝐶 𝑇𝑆 𝑇𝑣𝑎𝑟 0 𝑑𝑡 37 Assim como Hoffmann Bradley 1999 em que é o Débito cardíaco 𝑇𝑠 é a Temperatura da solução 𝑇𝐶 é a Temperatura do sangue no corpo do paciente 𝑇𝑣𝑎𝑟 é o Produto de variação de temperatura é o Volume da solução aplicada e é o Fator de correção associado à perda de resfriamento da solução De maneira posterior ao levantamento de dados utilizouse a função 𝑇𝑣𝑎𝑟 02𝑡2𝑒043𝑡 disponibilizada pelos autores em uma das atividades para modelar a variação de temperatura Por meio dela utilizouse o método de integrais por partes empregando a fórmula 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 Ao determinar o débito cardíaco do paciente A inicialmente substituiuse os dados 𝑇𝐶 36𝐶 𝑇𝐶 36𝐶 𝑇𝑆 5𝐶 𝑉 12𝑚𝑙 𝑒 𝑟 09 na equação 37 obtendo a equação 38 𝐹 091236 5 02𝑡2𝑒043𝑡 0 𝑑𝑡 3348 02 𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑡2𝑒043𝑡𝑑𝑡 𝑎 0 38 Calculouse a integral imprópria por meio do método de integrais por partes que pode ser visto nas equações 39 40 41 42 43 𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑡2𝑒043𝑡𝑑𝑡 𝑎 0 39 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 40 𝑢 𝑡2 𝑑𝑣 𝑒043𝑡 41 𝑑𝑢 2𝑡 𝑣 𝑒043𝑡 043 42 𝑡2𝑒043𝑡𝑑𝑡 𝑎 0 𝑡2𝑒043𝑡 043 𝑎 0 𝑒043𝑡2𝑡 043 𝑎 0 𝑑𝑡 43 Resolvendo por partes novamente obtémse as equações 44 45 46 47 𝑡2𝑒043𝑡𝑑𝑡 𝑎 0 𝑎2 043𝑒043𝑎 2 043 𝑡𝑒043𝑡 043 𝑒043𝑡 0432 𝑎 0 44 𝑡2𝑒043𝑡𝑑𝑡 𝑎 0 𝑎2 043𝑒04 3𝑎 2 043 𝑎𝑒043𝑎 043 𝑒043𝑎 0432 1 0432 45 𝑡2𝑒043𝑡𝑑𝑡 𝑎 0 𝑎2 043𝑒043𝑎 2𝑎 0432𝑒043𝑎 2 0433𝑒043𝑎 2 0433 46 𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑎2 043𝑒045𝑎 2𝑎 0432𝑒043𝑎 2 0433𝑒043𝑎 2 0433 2 0433 47 Aplicando a regra de LHospital obtevese a equação 48 Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 14 𝑙𝑖𝑚 𝑎 0 0 0 2 0433 2 0433 48 Substituindo na equação 38 obtemos a equação 49 𝐹 3348 02 2 043³ 3348 04 12577751 3348 5031004 6654735𝑚𝑙 𝑠 6655𝑚𝑙 𝑠 399𝑙𝑚𝑖𝑛 49 Para tanto tevese aproximadamente 399𝑙𝑚𝑖𝑛 como resultado um MDC ou seja tratase da quantidade de sangue ejetado pelos ventrículos por unidade de tempo Nesse viés cabe salientar que pode ser considerado saudável quando está entre 4 e 5 litros por minuto Logo verificouse que o paciente está próximo ao que é considerado saudável Problema 5 Medição Otimizando o lucro Essa situaçãoproblema foi extraída de Hoffmann Bradley 1999 p 213 Um fabricante produz uma fita virgem a um custo de R 200 a unidade As fitas vêm sendo vendidas a R 500 a unidade por este preço são vendidas 4000 fitas por mês O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R 100 de aumento no preço menos 400 fitas serão vendidas por mês Qual deve ser o preço de venda para que o lucro seja máximo Solução Sendo x o novo preço de vendas das fitas e px o lucro correspondente O objetivo e maximizar o lucro Para iniciar será expresso o lucro em palavras na equação 50 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑡𝑎 50 Como 4000 fitas são vendidas por mês quando o preço é R500 e menos 400 fitas serão vendidas para cada R100 de aumento no preço temse a equação 51 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 4000 400 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 1 𝑟𝑒𝑎𝑙 51 O número de aumento de R100 no preço é a diferença x 5 entre o preço novo e o antigo nas equações 52 53 54 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 4000 400 𝑥 5 52 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 40010 𝑥 5 53 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 40015 𝑥 54 O lucro por fita vendida é simplesmente a diferença entre o preço de venda x e o custo R 200 Então na equação 55 obtemos Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 15 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑡𝑎 𝑥 2 55 Combinando as equações 54 e 55 obtémse a equação 56 𝑃𝑥 40015 𝑥𝑥 2 56 O objetivo é determinar o máximo absoluto da função de lucro 𝑃𝑥 Para estabelecer qual é o intervalo relevante para este problema basta observar que como foi dito o novo preço será mais alto que o antigo desse modo devese ter 𝑥 5 Por outro lado o número de fitas vendidas é 40015 𝑥 um número que se soma negativo e portanto não tem significativo físico para 𝑥 15 Assim podese restringir o problema de otimização ao intervalo fechado 5 𝑥 15 Para determinar os pontos críticos basta calcular a derivada usando as regras do produto e da multiplicação por uma constante resolvendo obtemos as equações 57 58 59 60 61 𝑃𝑥 40015 𝑥𝑥 2 57 𝑃𝑥 40015 𝑥1 𝑥 21 58 𝑃𝑥 40015 𝑥 𝑥 2 59 𝑃𝑥 40017 2𝑥 60 17 2𝑥 0 𝑥 85 61 Comparando os valores da função de lucro 𝑃5 12000 𝑃85 16900 e 𝑃15 0 O gráfico de Px incluído apenas para fins ilustrativos aparece na Figura 6 Figura 6 Gráfico da função lucro Fonte Hoffmann Bradley 1999 adaptado É possível se ver no gráfico da Figura 6 que ao observar o ponto crítico e os extremos do intervalo chegase à conclusão que o maior lucro possível é R1690000 que será obtido se as fitas forem vendidas por R850 a unidade Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 16 6 Considerações Finais Este trabalho teve como principal objetivo identificar algumas aplicações do Cálculo Diferencial e Integral nas ciências e engenharias Para alcançar esse objetivo foi realizado uma pesquisa bibliográfica a fim de identificar em livros artigos dissertações entre outros as aplicações do Cálculo Diferencial Com os dados obtidos foi elaborado um roteiro didático contemplando as aplicações Nessa abordagem foi possível verificar as diferentes formas que se pode utilizar o Cálculo Diferencial e Integral Nesse sentido propõese utilizar o roteiro didático de aplicações como um fator que venha agregar relevância para o estudo da disciplina pois é muito comum alunos questionarem a utilidade do assunto estudado O roteiro didático de aplicações não tem intuito de substituir os métodos e técnicas já utilizadas pois são importantes no processo de ensino e aprendizagem Sugerese como pesquisas futuras a elaboração de roteiros didáticos de aplicações específicos para cada curso superior e posteriormente a realização de testes com alunos desses respectivos cursos possibilitando uma análise de resultados focado em uma única área de conhecimento assim como também a elaboração de um roteiro didático de aplicações em apenas uma área de atuação profissional Concluise que a partir dos resultados obtidos por meio desta pesquisa abriuse possibilidades não só para os participantes da socialização que tiveram essa experiência como também para aqueles que venham ministrar aula de Cálculo Diferencial e Integral Tais ações podem ser pautadas no aprimoramento do roteiro didático atribuindo mais aplicações e adaptando à realidade específica do curso superior que se pretende aplicar tornando o roteiro didático como um recurso extra para as aulas de Cálculo Diferencial e Integral Sugerese para estudos futuros que seja desenvolvido roteiros didáticos com aplicações específicas de acordo com a realidade de cada curso superior sendo que posteriormente realize um teste com alunos desse respectivo curso possibilitando uma análise de resultados focados em uma única área de conhecimento assim como também a elaboração de um roteiro didático de aplicações em apenas uma área de atuação profissional Referências Alderete A C Silveira K B V 2017 Integração por partes resolução de integrais impróprias para a obtenção do débito cardíaco Anais do Salão Internacional de Ensino Pesquisa e Extensão 82 Almeida L M W Fatori L H Souza L G S 2010 Ensino de cálculo uma abordagem usando modelagem matemática Revista Ciência e Tecnologia 10 16 0118 Baldino R R 1995 Assimilação solidária onze anos depois Grupo de PesquisaAção em Educação Matemática da UNESP Rio Claro Brasil 2018 Base Nacional Comum Curricular Brasília MEC DOttaviano I M L Bertato F M 2012 George Berkeley e os fundamentos do cálculo diferencial e integral Cadernos de História e Filosofia da Ciência UNICAMP Campinas 4 3373 Eves H 2011 Introdução a História da Matemática 2a ed São Paulo UNICAMP Research Society and Development v 10 n 8 e22410817220 2021 CC BY 40 ISSN 25253409 DOI httpdxdoiorg1033448rsdv10i817220 17 Ferreira A S 2017 Diferentes abordagens do conceito de derivada uma proposta de investigação matemática Dissertação Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática 158 f Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Belo Horizonte Flexa J M N 2021 Cálculo diferencial e integral determinação de áreas e volumes e outras aplicações 49f Dissertação Mestrado Profissional em Matemática PROFMAT Universidade Federal do Amapá Macapá Fulini M 2017 História do cálculo diferencial e integral 56 f Monografia conclusão de curso Universidade Federal de São João DelRei Gil A C 2008 Métodos e técnicas de pesquisa social 6a ed São Paulo Atas Guizelini A et al 2005 O Gostar de Matemática em busca de uma interpretação psicanalítica Boletim de Educação Matemática 1823 2340 Hoffmann L D Bradley G L 1999 Cálculo um curso moderno e suas aplicações 6a ed Rio de Janeiro LTC Macêdo J A Gregor I C S 2020 Dificuldades nos processos de ensino e de aprendizagem de cálculo diferencial e integral Educação Matemática Debate 4 10 e202008 Doi httpsdoiorg1024116emde202008 Menk L F F Póla M R Barbosa S M 2005 Resolução de problemas de cálculo diferencial integral aplicados à engenharia usando múltiplas representações e software de geometria dinâmica Anais do XXXIII Congresso Brasileiro de ensino de Engenharia Campina Grande PB 111 Maisonnave F Knapp E 2018 Após 1 ano transposição do São Francisco já retira 1 milhão do colapso Canal encheu de água reservatórios no interior de Paraíba e Pernambuco Disponível em httpswww1folhauolcombrcotidiano201803apos1anotransposicaodosaofranciscojaretira1milhaodo colapsoshtml Acesso em 13 jun 2021 Rafael R C Escher M A 2015 Evasão baixo rendimento e reprovações em cálculo diferencial e integral uma questão a ser discutida Anais do VII Encontro Mineiro de Educação Matemática Juiz de Fora MG 112 Reis F S 2001 A tensão entre rigor e intuição no ensino de cálculo e análise a visão de professorespesquisadores e autores de livros didáticos 302 f Tese Doutorado em Educação Universidade Estadual de Campinas Rezende W M 2003 O ensino de cálculo dificuldades de natureza epistemológica 450 f Tese Doutorado em Educação Faculdade de Educação Universidade de São Paulo Ribeiro Junior P C E Carvalho T M M Cariello D 2010 Aplicações de cálculo diferencial às ciências naturais e humanas exercícios de reflexão e curiosidades Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática Cultura e Diversidade Salvador 110 Santos J V L 2009 Formação básica em engenharia a articulação das disciplinas pelo cálculo diferencial e integral 202 f Tese Doutorado em Educação Pontifícia Universidade Católica de São Paulo São Paulo Silva I L N 2016 Equalizações diferenciais aspectos históricos teoria e aplicações em física 36 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Matemática Universidade Estadual da Paraíba Silva M A et al 2010 Dificuldades de aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial e integral estudo de caso com alunos do curso de licenciatura em Química Anais do V Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte Nordeste de Educação TecnológicaCONNEPI Maceio 1120 Soares F P B 2015 Conceitos e ideias do cálculo diferencial e integral 119 f Dissertação Mestrado em Matemática em Rede Nacional Centro de Ciências Exatas Universidade estadual de Maringá Stewart J 2013 Cálculo Vol 1 7a ed São Paulo Cengage Learning