Equacao-Conducao-Calor-Analise-Geral-Transferencia-de-Calor

Transferência de Calor Prof Osvaldo Kojiro Iha okilhaudfedubr Equação de Condução de Calor Analise Geral da condução Transferência de calor Éumagrandezavetorialeestáintimamenteligadaatemperatura Utilizamosascoordenadasparaorientar Podeserretangularxyzcilíndricar zouesféricar Analise Geral da condução Transferência de calor Permanente Não tem variação em nenhum ponto no meio ao longo do tempo Transiente Variação de calor ao londo do tempo isto é é dependente do tempo A variação de calor normalmente varia com o tempo e com a posição O que será estudado é o sistema aglomerado Só varia com o tempo de forma uniforme Exemplo é o fio de cobre a junção de um termopar A maioria dos sistemas são transientes mas para facilitar o cálculo e as análises utilizamos um sistema permanente pois não necessitamos saber todas as variações Precisamos nos atentar aos pontos de máximos e mínimos do sistema Analise Geral da condução Transferência de calor Multidimentional Unidimensional bidimensional e tridimensional Tridimensional Tx y z t coordenadas retangulares ou cartesianas Tr z t coordenadas cilíndricas Tr t coordenadas esféricas ou polares Exemplo Sistema bidimensional Distribuição permanente em barras onde desprezamos a variação da temperature no eixo Unidimensional Transferência de calor e a variação de temperature em uma única direção Por exemplo em um vidro de uma janela ou tubulação de água quente que transfere calor ocorre na direção radial da água para o meio Analise Geral da condução Transferência de calor Cálculo Utilizamos a lei da condução de calor de Fourier O calor é conduzido no sentido da diminuição da temperature por isso o calor é negativa A maioria dos materiais possui as mesmas propriedades em todas as direções isto é são isotrópicas as propriedades do material não depende da direção No entanto a condutividade térmica varia com o direcionamento do material como ocorre com a fibra da madeira Então para fins de cálculo assumiremos que a condutividade independe da direção k Condutividade térmica do material dTdx Gradiente de temperatura é a inclinação da reta A Área n Normal da superfície Analise Geral da condução Transferência de calor Geração de calor ou energia térmica É um fenômeno volumétrico que pode ter como fonte geradora o sol reações químicas usinas nucleares passagem de corrente A taxa de calor gerado pode variar com o tempo e com a posição dentro do meio 5678 678 678 taxadegeraçãodecalorporunidade devolume Condução Unidimensional em Regime Estacionário Analise Geral da condução Condução Unidimensional Condução presente em parede plana muro vidro de uma janela chapa metálica tubulações superfície de um recipiente esférico dentre outros pode se aproximar de um sistema unidimensional por a condução ocorrer em uma direção Assim o balanço de energia de um elemento fino em um determinado tempo fica Analise Geral da condução Condução Unidimensional Como a área é constante para superfície plana a equação anterior fica Obs a constante k não sai da derivada por ser um valor que depende da temperatura Condutividade constante o k da equação na maioria das vezes nas aplicações práticas podemos considerar invariável Alfa Difusidade térmica que diz quão rápido o calor se propaga através dele Em condições específicas a equação 3 é a redução da equação 2 Analise Geral da condução Condução Unidimensional Condução em cilindros É necessário sempre utilizarmos a densidade o calor específico e a área para determinarmos um sistema de transferência de calor em uma superfície devido a condução térmica da mesma A transferência de calor depende de r Assim varia com a posição e o balanço energético fica da seguinte forma 2 r Relação com o raio da superfície a espessura L Comprimento Densidade do material Variação da quantidade de energia do elemento e a taxa de geração de calor no interior Substituindo as duas equações chegamos a equação abaixo Analise Geral da condução Condução Unidimensional Condução em cilindros Equação de condução de Calor Transiente Unidimensional Condutividade variável Condutividade térmica constante A equação fica reduzida Difusividade térmica 1 Regime permanente 2 Regime transiente sem geração de calor 3 Regime permanente sem geração de calor Assim podemos observar que substituímos a derivadas parciais por derivadas ordinárias Analise Geral da condução Condução Unidimensional Condução em uma esfera Como é sabido a área da esfera é dado por 4 onde o r é o raio em determinada posição de uma fina camada esférica de espessura r A condução de calor transiente em uma esfera Condutividade Térmica Variável Condutividade Constante Difusividade térmica 1 Regime Permanente 2 Regime transiente sem geração de calor 3 Regime permanente sem geração de calor Analise Geral da condução Condução Unidimensional Unidimensional Combinada Equação de condução de calor transiente unidimensional para parede plana geometria cilíndrica e geometria esférica mostra que as três equações podem ser escritas de forma compacta A utilização da equação simplificada é apenas quando não há geração de calou ou para sistemas permanentes Onde podemos observar que 0 2 Onde n 0 paredes planas5 n 1 para cilindros5 n 2 para esferas Em paredes planas substituímos o n por x EX 1 Considere uma panela de aço colocada em um fogão elétrico para cozinhar macarrão O fundo da panela tem 04 cm de espessura e 18 cm de diâmetro Uma boca do fogão elétrico consome 800 W de potencia durante o cozimento e 80 do calor gerado é transferido uniformemente para a panela Assumindo que a condutividade térmica seja constante determine a equação diferencial que descreve a variação da temperatura no fundo da panela durante uma operação em regime permanente Analise Geral da condução Condução Unidimensional Unidimensional Combinada Para a resolução do problema consideramos o fundo da panela como um sistema plano e infinito em relação a espessura da mesma Como a transferência de calor ocorre do fundo ao topo podemos considerar a transferência como unidimensional e que a direção normal ao fundo da panela como eixo x Então T Tx Logo utilizamos a equação de 0 Não há geração de calor no meio Analise Geral da condução Condução Unidimensional Unidimensional Combinada EX 2 A Resistencia de um aquecedor de 2 kW usado para ferver água é um fio com condutividade térmica k 15 WmK diâmetro D 04 cm e comprimento L 50 cm Supondo que a variação da condutividade térmica do fio em função da temperatura é desprezível obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura no fio durante uma operação em regime permanente Analise Geral da condução Condução Unidimensional Unidimensional Combinada 0222 3 444 6 27 8 0318 10 3 8 Como a condutividade térmica é constante a equação que rege a variação de temperatura no fio é Que é a coordenada cilíndrica para o caso de condutividade térmica constante Inicialmente o fio pode ser tratado como um cilindro longo pois seu comprimento é mais de 100 vezes o diâmetro Além do mais o calor é gerado uniformemente no fio e as condições externas são uniformes Assim a transferência de calor é unidimensional Então T Tr porque a temperatura no fio varia de forma radial r Analise Geral da condução Condução Unidimensional Equação Geral de Condução de Calor Analise Geral da condução Condução Unidimensional Equação Geral de Condução de Calor Coordenadas retangulares Analise Geral da condução Condução Unidimensional Equação Geral de Condução de Calor Analise Geral da condução Condução Unidimensional Equação Geral de Condução de Calor Analise Geral da condução Condução Unidimensional Equação Geral de Condução de Calor Coordenadas cilíndricas A equação pode ser obtida diretamente usando a relação das coordenadas de um ponto nos sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas para fazer a conversão entre os sistemas de coordenadas Analise Geral da condução Condução Unidimensional Equação Geral de Condução de Calor Coordenadas esféricas A equação pode ser obtida usando a relação de coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas retangulares e esféricas para fazer a conversão entre os sistemas de coordenadas Analise Geral da condução Condução de calor Condição de contorno Expressão matemática das condições térmicas nas fronteiras Anteriormente montamos as equações referentes a diferença de temperatura na transferência do meio As condições adicionais são implementada após a montagem da equação diferenciais pois não é possível adicionálas na diferenciais Elas são adicionada na forma de condições iniciais ou de contorno As relações de contorno podem ser a temperatura no meio interno e externo a velocidade e direção do vento incidência de energia solar na superfície Unidimensional Duas condições de contorno dentro e fora do ambiente Bidimensional Quatro condições de contorno Tridimensional Seis condições de contorno O numero de condições de contorno está diretamente relacionado com a ordem da equação diferencial No caso de transferência de calor é de segunda ordem logo a quantidade de condição de contorno em cada eixo são dois Analise Geral da condução Condução de calor Condição de contorno de temperatura especificada A temperatura da superfície exposta para calor unidimensional de uma parede plana Como pode ser observado as temperaturas T1 e T2 são especificadas São as temperaturas em x 0 e x L Direçãodofluxode calor Analise Geral da condução Condição de contorno de fluxo de calor especificado O fluxo de calor no meio depende do direcionamento por ser um vetor Então se um meio ganha calor o fluxo tem que ser positivo e se perde negativo e pode ser expresso pela lei de Fourier Condição de contorno contorno isolado Sistema isolado podemos modelar como superfície com fluxo de calor nulo Condição de contorno Simetria térmica Condição de contorno em sistema simétrico é semelhante a corpos isolantes pois tem fluxo de calor nulo Isso ocorre em objetos cilíndricos ou esféricos que tenha simetria térmica em relação ao eixo central Analise Geral da condução Condução de calor Condição de contorno de convecção Nesse Sistema o h1 e o h2 são coeficientes de transferência de calor por convecção E a são temperaturas no meio vizinho nos dois lados da placa Analise Geral da condução Condução de calor Condição de contorno de radiação Para a transferência de calor unidimensional na direção x em uma placa de espessura L a condição de contorno para os dois lados da superfície pode ser expressa por Onde são as emissividade da superfície e 567 10 0 1245 é a constante de StefanBoltzmann Analise Geral da condução Condução de calor Condição de contorno de interface 1 Dois corpos em contato devem ter a mesma temperatura na área de contato e 2 a interface não pode armazenar energia e assim o fluxo de calor nos dois lados da interface deve ser o mesmo Onde são as condutividades térmicas das camadas A e B Analise Geral da condução Condução de calor unidimensional em regime permanente Aplicação dos problemas de condução de calor em sistemas de coordenadas tem relação com EDO como problema de condução permanente e unidimensional Nos problemas assumiremos que a condutividade térmica será constante Ex 1 Considere uma grande parede plana de espessura L 02 m condutividade térmica k 12 WmK e área 15 m2 Os dois lados da parede são mantidas a temperatura constante de T1 120 e T2 50 respectivamente como mostra a figura Determine a a variação de temperatura na parede e o valor da temperatura em x 01 m e b a taxa de condução de calor pela parede sob condições permanentes As temperaturas da superfície de uma parede são dada A condução de calor é permanente e unidimensional pois a superfície é extensa em relação a espessura e as condições térmicas são constantes A condutividade térmica é constante Não há geração de calor interno Analise Geral da condução Condução de calor unidimensional em regime permanente a A equação diferencial do problema é dado por 0 Com as condições de contorno T0 T1 120 e TL T2 50 A EDO é linear e de segunda ordem Nessa analise podemos observar que a única variável do sistema é em relação a espessura isto é a variável x pois não é dependente do tempo Logo não envolve a função desconhecida T como fator Assim podemos realizar o cálculo por integração direta Integrando uma vez temos a primeira constante em função de x Integrando duas vezes temos 0 0 1 1 2 1 3 4 5 Substituindo C1 e C2 temos 3 4 5 Assim x 01 m 01 89 39 9 01 120 ºC 85 ºC b Taxa de condução de calor em qualquer ponto da parede A A 1 12 B C D 15 C 120 50 02 C 6300B Em regime permanente a taxa de condução através da parede plana é constante Analise Geral da condução Condução de calor unidimensional em regime permanente Ex 2 Considere que a placa da base de um ferro de passar de 1200 W tenha espessura L 05 cm área da base A 300 cm2 e condutividade térmica k 15 WmK A superfície interna da placa é submetida a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência interna enquanto a superfície externa perde calor para o meio temperatura 20 por convecção como mostrado Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção é h 80 Wm2K e desprezando a perda de calor por radiação obtenha a expressão para a variação de temperatura na placa da base do ferro e avalie as temperaturas nas superfícies internas e externas Analise Geral da condução Condução de calor unidimensional em regime permanente Condução Unidimensional em Regime Estacionário Analise Geral da condução Aletas Assuperfíciesaletadas servemparaaumentaratransferênciadecalorapartirdasuperfície NaanálisedealetasconsideramosaoperaçãoPERMANENTEeSEMGERAÇÃODECALOR Ok condutividadetérmicadomaterialpermanececonstanteeocoeficientedetransferênciadecalorh permanececonstanteeuniforme Nosistemasabemosqueocoeficientedetransferênciadecalorhporconvecçãovariaaolongodaaleta devidoacircunferênciamovimentodofluido Oh énormalmenteinferiornabaseporencontrarmaispartessólidaspertodabaseemrelaçãoaponta quedificultaomovimentodofluidoenquantoaqueestánapontatempoucocontatocomasuperfíciesólida Analise Geral da condução Distribuição de Temperatura Condução Unidimensional em Regime Estacionário 31 Analise Geral da condução Hipóteses 1 2 Por série de Taylor qxdx qx dqxdx dx 3 então qxdx k Asrx dTdx k ddx Asrx dTdx dx 4 a taxa de TC por convecção é dqconv h d Asup T T 5 6 Substituído as eq 2 4 e 5 na equação do banco de energia 1 temos 32 Aleta com área de secção reta uniforme Aletas planas com área de secção reta uniforme a Aleta retangular b Aleta piniforme Aplicandose na equação 6 temos O Excesso de Temperatura θ x como E sua derivada como 7 8 9 Substituindo 8 e 9 em 7 temos Onde Para resolver essa equação diferencial de 2ª ordem homogênea e de coeficientes constantes temos a seguinte solução geral 10 11 12 CONDIÇÕES DE CONTORNO Na base da aleta x 0 θ0 Tb T θb 13 Na ponta da aleta x L 4 condições a Convecção Fluxo de calor por condução é igual ao de convecção qxL qconv kAsr dTdx xL hAsrTL T 14 hθL k dθdx xL 15 Utilizando a eq para θL e aplicando na sua derivada em relação a direção x Para a temperatura na base temse Condição de contorno na base da aleta é dada pela seguinte expressão 16 17 18 A segunda condição de contorno especificada na extremidade da aleta xL pode corresponder a uma das quarto diferentes situações físicas 1 Aleta infinitamente longa ou comprida para esse caso a temperatura da ponta da aleta e muito próxima da temperatura ambiente logo a diferença de temperatura é próxima a zero θL TL T 0 Essa condição L 19 A variação da temperatura ao longo da aleta pode ser representada como Como m² hpkA Assim m hpkA Tx T Tb T eˣhpkA 20 Obs A temperatura diminui exponencialmente a partir de Tb até T Taxa de transferência de calor na aleta pode ser escrita como 21 A taxa de transferência de calor a partir da aleta também pode ser determinada integrando a transferência de calor a partir do elemento de volume diferencial da aleta ℎ 0 1 03 45 ℎ6 1 45 2 Perda de calor desprezível na extremidade da aleta A TC da aleta é proporcional à área da superfície e a área da extremidade da aleta é uma fração desprezível em relação à área total da aleta Nesses casos podese considera a ponta da aleta adiabática Condição de contorno da ponta da aleta dθdx xL 0 Aplicando a condição de contorno acima e de resolvendo a distribuição de temperatura como no caso anterior temos Tx T Tb T cosh mLx cosh mL qaadiab tanhmLθbhPkA 22 23 Relação para distribuição de temperatura Taxa de transferência de calor 3º Temperatura especificada na ponta da aleta É considerada uma generalização de aleta infinitamente longa onde a temperatura na ponta da aleta foi fixada com uma temperatura qualquer Condição de contorno da ponta da aleta Aplicando a condição de contorno acima e de resolvendo a distribuição de temperatura como no caso anterior temos 24 25 4º Convecção ou convecção radiação na extremidade da aleta As pontas das aletas estão sempre expostas aos arredores portanto a condição de contorno adequada para a ponta da aleta é a convecção que inclui os efeitos da radiação No momento vamos considerar apenas a condição de contorno na ponta como sendo a TC por convecção Condição de contorno da ponta da aleta Aplicando a condição de contorno acima e de resolvendo a distribuição de temperatura como no caso anterior temos e após longas manipulações temos 26 27 4º Convecção ou convecção radiação na extremidade da aleta A solução para a equação geral da aleta para o caso de convecção a partir da ponta da aleta é significativamente complexa Uma forma pratica para driblarmos isso podemos contabilizar a perda de calor é corrigindo o comprimento da aleta Tal correção pode ser escrita da seguinte maneira 28 Onde A é a área transversal da aleta e P o perímetro da aleta na ponta Multiplicando a relação dada pelo perímetro temos 29 O calor transmitido da aleta para o meio ocorre por convecção ℎ Sabendo que a área transversal é constante isto é é a mesma que a área da base A ponta da aleta podemos considerar adiabática Assim usamos o comprimento corrigido para a aleta em vez do comprimento real A área transversal em qualquer aleta normalmente são muito pequenas assim consideramos a temperatura uniforme em qualquer seção Assumindo que a condutividade térmica é infinita podemos considerar a temperatura da aleta uniforme e igual ao valor da base Tb Com isso a transferência de calor é máxima á0 ℎ 1 Eficiência da Aleta ηa Taxa de TC da aleta Taxa de TC máxima com θb constante em toda a aleta 30 ηa qa qmax 31 ηa qa h Asup θb 32 onde Asup é a área superficial de toda a aleta Para aleta plana secção reta uniforme ponta adiabática temse ηa Mtghml hPL θb tghmL mL 33 onde M hPk Asr θb Eficiência da Aleta ηadiabatic tip ṘQfin ṘQfin max hp k Ac Tb T tanh aL h Afin Tb T tanh mL mL Eficiência da Aleta ηa Taxa de TC da aleta Taxa de TC máxima com θb constante em toda a aleta ηa qa qmax ηa qa h Asup θb Eficiência da Aleta Correção de comprimento para compensar convecção na ponta Lc L t2 Lc L D4 34 35 e então ηa tghmLc mLc 36 ObsPerfisdealetastriangulareseparabólicassãomaiseficientesqueasretangulares Eficiência de aleta plana Eficiência da aleta ηaleta ξ Lc32 hkAp12 r2c r2 t2 Lc L t2 Ap Lc t 1 r2c r1 2 3 4 5 Eficiência de aleta anular Configuração de aletas a Aleta plana de seção reta uniforme b Aleta plana de seção reta variável c Aleta anular d Aleta piniforme Expressõesparaaeficiênciadealetasdeváriosperfis Expressõesparaaeficiênciadealetasdeváriosperfis DistribuiçãodeTemperaturaeDissipaçãoTérmicaemAletas comÁreadeseçãoRetaUniforme Exemplo Uma placa de alumínio k178 KcalhmK de resistência térmica desprezível tem aletas retangulares de 15 mm de espessura e de 12 mm de altura espaçadas entre si de 12 mm ocupando toda a largura da placa de 10 m O lado com aleta esta em contato com ar a 40C e coeficiente de película 25 kcalhK No lado sem aleta escoa óleo a 150C e coeficiente de película 225 kcalhK Quanto de calor pela placa aletada desprezando a resistência da película de óleo Desprezandoas áreaslaterais 727991W Exemplo Determinar o aumento de calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de uma placa plana usandose 6400 aletas de alumínio k178 KcalhmC tipo pino cilíndrica de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura É sabido que na base da placa a temperatura é de 300C enquanto que o ambiente esta a 20C com coeficiente de convecção de 120 W K Obs desprezar as áreas laterais Cálculo da área das aletas AA 2πrln 2 π 00025 003 6400 3015 m² Cálculo da eficiência η taghml ml m 2hkr 2 120 178 00025 2317 m¹ ml 2317 003 06951 η taghml ml 06012 06951 08649 Cálculo da área não aletada AR AS nAt AS nbe 1 π 00025² 0875 m² Cálculo do fluxo de calor qca hAR ηAATS T 12 0875 08649 3015 300 20 qca hAR ηAATS T 116926 Kcalh Antes da colocação das aletas o fluxo é qsa hASTS T 120 1 300 20 33600 Kcalh Aumento qca qsa qsa 100 116926 33600 33600 100 248 Exemplo A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio k186 WmK e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro Externo Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espadas com espessura de 6 mm de altura de 20 mm Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e esta exposta ao ambiente a 300 K com coeficiente de convecção de 50 W K quando a moto esta em movimento Quando a moto esta parada o coeficiente cai para 15 W K Qual é a elevação percentual da transferência de calor quando a moto esta em movimento desprezar as áreas laterais H 15 cm 015 m ϕe 50 mm re 0025 m n 5 aletas l 20 mm 002 m e 6 mm 0006 m kaleta 186 W mK TS 500 K T 300 K hm 50 W m² K hp 15 W m² K Parte abetada do Motor Ts 500 K T 300 K h 50 Wm²K 6 mm Ar r1 25 mm l 20 mm r2 45 mm 50 x0018850999x004398 x500300 Cálculo da percentagem de elevação do fluxo de calor para a moto em movimento wwwudfedubr