Lista 02: Derivada Direcional e Vetor Gradiente - EFB109

Lista 02 Derivada direcional e vetor gradiente EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Determine a derivada direcional da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦3 𝑥2 no ponto 12 e na direção indicada pelo ângulo 𝜃 𝜋 3 2 Determine o gradiente de 𝑓 calcule o gradiente no ponto 𝑃 e determine a taxa de variação de 𝑓 em 𝑃 na direção do vetor 𝑢 a 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑃 21 𝑢 3 5 𝑖 4 5 𝑗 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑒2𝑦𝑧 𝑃 302 𝑢 2 3 2 3 1 3 𝑇 3 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor 𝑣 a 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 11 𝑣 3𝑖 2𝑗 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦2 1 1 𝑣 12𝑖 5𝑗 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦 𝑦2𝑧 123 𝑣 2 1 2𝑇 d 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑒𝑦 𝑦𝑒𝑧 𝑧𝑒𝑥 000 𝑣 5 1 2𝑇 4 Determine a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 em 𝑃 28 na direção de 𝑄 54 5 Determine a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦2𝑧3 em 𝑃 211 na direção de 𝑄 0 35 6 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre a 𝑓𝑥 𝑦 4𝑦𝑥 41 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 10 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥𝑧 813 7 Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2𝑥 4𝑦 é 𝑖 𝑗 8 A temperatura em um ponto 𝑥 𝑦 𝑧 é dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 200𝑒𝑥23𝑦29𝑧2 onde T é medido em C e x y z em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 𝑃 2 1 2 em direção ao ponto 3 33 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em 𝑃 c Encontre a taxa máxima de crescimento em 𝑃 Lista 02 Derivada direcional e vetor gradiente EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 9 Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico 𝑉 seja dado por 𝑉𝑥 𝑦 5𝑥2 3𝑥𝑦 𝑥𝑦𝑧 a Determine a taxa de variação do potencial em 𝑃 345 na direção do vetor 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 b Em que direção 𝑉 varia mais rapidamente em 𝑃 c Qual a taxa máxima de variação em P 10 Se 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 encontre o vetor gradiente 𝑓32 e useo para encontrar a reta tangente à curva de nível 𝑓𝑥 𝑦 6 no ponto 32 Esboce a curva de nível a reta tangente e o vetor gradiente Dica 𝒇𝒙 𝒚 𝟎 então 𝒇𝒙 𝒚 é normal a curva de nível em 𝒙 𝒚 11 Encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto especificado a 2𝑥 22 𝑦 12 𝑧 32 10 335 b 𝑥𝑦2𝑧3 8 221 c 𝑥𝑦𝑧2 6 321 Lista 02 Derivada direcional e vetor gradiente EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Teoria Plano Tangente às Superfícies de Nível Suponha que 𝑆 seja a superfície com a equação 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 ou seja uma superfície de nível de uma função 𝐹 de três variáveis e seja 𝑃𝑥0 𝑦0 𝑧0 um ponto em 𝑆 Seja 𝐶 qualquer curva na superfície 𝑆 e que passe pelo ponto 𝑃 Lembremonos que a curva 𝐶 é descrita por uma função vetorial contínua 𝒓𝑡 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 Seja 𝑡0 o valor do parâmetro correspondente ao ponto 𝑃 ou seja 𝒓𝑡0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Como 𝐶 pertence a 𝑆 qualquer ponto 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 precisa satisfazer a equação de 𝑆 Assim 𝐹𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝑘 1 Se 𝑥 𝑦 e 𝑧 são funções diferenciáveis de 𝑡 e 𝐹 também diferenciável então podemos usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da Equação 1 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐹 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝐹 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 0 2 Mas já que 𝐹 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 e 𝒓𝑡 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 a Equação 2 pode ser escrita em termos de produto notável como 𝐹 𝒓𝑡 0 3 Em particular quando 𝑡 𝑡0 temos 𝒓𝑡0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e assim 𝐹𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝒓𝑡0 0 4 A Equação 4 nos diz que o vetor gradiente em 𝑃 𝐹𝑥0 𝑦0 𝑧0 é perpendicular ao vetor tangente 𝒓𝑡0 a qualquer curva 𝐶 e 𝑆 m que passe por 𝑃 Se 𝐹𝑥0 𝑦0 𝑧0 0 é natural definir o plano tangente à superfície de nível 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 em 𝑃𝑥0 𝑦0 𝑧0 como o plano que passa por 𝑃 e tem vetor normal 𝐹𝑥0 𝑦0 𝑧0 Utilizando a equação geral do plano podemos escrever a equação do plano tangente como 𝐹𝑥𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑥 𝑥0 𝐹𝑦𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑦 𝑦0 𝐹𝑧𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑧 𝑧0 0 5 A reta normal a 𝑆 em 𝑃 é a reta passando através de 𝑃 e perpendicular ao plano tangente A direção da reta normal é portanto dada pelo vetor gradiente 𝐹𝑥0 𝑦0 𝑧0 e assim suas equações simétricas são 𝑥 𝑥0 𝐹𝑥𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑦 𝑦0 𝐹𝑦𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑧 𝑧0 𝐹𝑧𝑥0 𝑦0 𝑧0 6 Lista 02 Derivada direcional e vetor gradiente EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II No caso especial em que a equação de uma superfície 𝑆 é da forma 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 ou seja 𝑆 é o gráfico da função 𝑓 de duas variáveis podemos escrever a equação como 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 0 7 E considerar 𝑆 como uma superfície de nível com 𝑘 0 de 𝐹 Então 𝐹𝑥𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝐹𝑦𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝐹𝑧𝑥0 𝑦0 𝑧0 1 De modo que a Equação 5 pode ser reescrita como 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0𝑦 𝑦0 𝑧 𝑧0 0 8 Exemplo Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto 2 1 3 ao elipsoide 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 3 Solução O elipsoide é a superfície de nível com 𝑘 3 da função 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 4 𝑦2 𝑧2 9 3 Portanto temos 𝐹𝑥𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 𝐹𝑥2 1 3 1 𝐹𝑦𝑥 𝑦 𝑧 2𝑦 𝐹𝑦2 1 3 2 𝐹𝑧𝑥 𝑦 𝑧 2𝑧 9 𝐹𝑥2 1 3 2 3 Então da Equação 5 temos que a equação do plano tangente no ponto 2 1 3 é 1𝑥 2 2𝑦 1 2 3 𝑧 3 0 3𝑥 6𝑦 2𝑧 18 0 Pela Equação 6 as equações simétricas da reta normal são 𝑥 2 1 𝑦 1 2 𝑧 3 2 3 Lista 02 Derivada direcional e vetor gradiente EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Gabarito 1 𝐷𝑢 𝑓12 3 63 2 a 𝑓𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑖 𝑥 𝑦2 𝑗 𝑖 2𝑗 1 b 𝑒2𝑦𝑧 2𝑥𝑧𝑒2𝑦𝑧 2𝑥𝑦𝑒2𝑦𝑧𝑇 1 12 0𝑇 22 3 3 a 8 13 b 21 13 c 1 d 4 30 4 2 5 5 1 6 a 65 e 1 8𝑇 b 1 e 0 1𝑇 c 73 121 e 3 0 8𝑇 7 Todos os pontos na reta 𝑦 𝑥 1 8 a 10400𝑒43 6 b 800𝑒43 2400𝑒43 7200𝑒43𝑇 c 800𝑒43 2400𝑒43 7200𝑒43𝑇 9 a 32 3 b 38 6 12𝑇 c 2406 10 2 3𝑇 2𝑥 3𝑦 12 11 a 𝑥 𝑦 𝑧 11 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 5 b 𝑥 2𝑦 6𝑧 12 𝑥 2 𝑦2 2 𝑧1 6 c 2𝑥 3𝑦 12𝑧 24 𝑥3 2 𝑦2 3 𝑧1 12