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Cálculo 4

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Lista de Exercícios Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Seja 𝛾 𝑥2 𝑦 12 1 orientada no sentido antihorário calcule 𝐼 𝑦 33 3𝑥2𝑦 ln𝑥2 𝑒𝑥𝑑𝑥 2𝑥3 sen 1 𝑦2𝑑𝑦 𝛾 2 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva 𝑦3𝑑𝑥 𝑥3𝑑𝑦 𝐶 sendo 𝐶 a circunferência 𝑥2 𝑦2 4 3 Determine o trabalho realizado por 𝐹 4𝑥 2𝑦𝑖 2𝑥 4𝑦𝑗 para mover uma partícula uma vez no sentido antihorário ao redor da curva 𝑥 22 𝑦 22 4 representada a seguir 4 Calcule 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥 arctg 𝑦 𝑥2𝑑𝑦 𝐶 Onde 𝐶 é a curva ilustrada na figura a seguir Lista de Exercícios Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 5 Calcule 𝐼 𝑒𝑥3 𝑦2𝑑𝑥 𝑥 𝑦5𝑑𝑦 𝐶 Onde 𝐶 é a reunião de 𝛾1 𝑦 0 00 à 10 𝛾2 𝑥 1 10 à 11 e 𝛾3 𝑦 𝑥 11 à 00 6 Calcule 𝐶 𝑥1𝑒𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑦 ln 𝑥 2𝑥𝑑𝑦 onde 𝐶 é a fronteira da região limitada por 𝑥 𝑦4 1 e 𝑥 2 orientada no sentido antihorário 7 Utilizando Green pedese a circulação do campo 𝐹 𝑥2 𝑦2 𝑒𝑥sen 𝑥 𝑦3 2𝑦𝑒𝑦 sen 𝑦 através da fronteira 𝑥 0 𝑦 0 𝑦 𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑦2 4 orientada no sentido horário 8 Seja 𝐶 uma curva simétrica em relação ao eixo 𝑦 mostrada na figura abaixo Sabendose que a área da região delimitada por 𝐶 e pelo eixo 𝑥 vale 16 calcule o trabalho realizado pela força 𝐹𝑥 𝑦 𝑥2 4 𝑥𝑦3 𝑖 2𝑥 arctg 𝑦𝑗 ao longo da curva 𝐶 9 Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑥2 𝑦2 Calcule 𝐶 𝐹 𝑑𝑟 onde 𝐶 é a fronteira do quadrado 𝐷 11 11 orientada no sentido anti horário Lista de Exercícios Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 10 Considere um campo vetorial 𝐹 definido em ℝ2 20 20 satisfazendo a relação rot 𝐹 0 em todos os pontos do domínio Supondo que 𝐶1 𝐹 𝑑𝑟 6 e 𝐶2 𝐹 𝑑𝑟 9 onde 𝐶1 é o círculo de raio 1 e centro 20 e 𝐶2 é o círculo de raio 1 e centro 20 orientados no sentido antihorário Calcule 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 onde 𝐶 é o círculo de raio 4 e centro 00 orientado no sentido antihorário 11 Considere o campo definido em ℝ2 00 𝐹 𝑦 𝑥2 4𝑦2 𝑥 𝑥2 4𝑦2 Calcule a integral de linha de 𝐹 ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem Sugestão isole a singularidade utilizando a equação da elipse 𝐶1 𝑥2 4𝑦2 𝑎2 Respostas 1 27 2 𝜋 2 24𝜋 3 16𝜋 4 104 3 5 1 6 6 16 5 7 23 14 3 8 32 9 2𝜋 10 15 11 𝜋