Notas de Aula: Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem - Parte 3

NOTAS DE AULA Parte 3 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem EDO 2023 Autora Ing María Beatriz Bouciguez Colaboradoras Dra Juliana Martins Philot Dra Eloiza Gomes e Me Karina Bradaschia Rocha 1 EDO REDUTÍVEL A EXATA FATOR INTEGRANTE Às vezes uma EDO com estrutura exata ou que pode ser transformada para essa estrutura não é exata ou seja não atende à condição de simetria Isto é são equações diferenciais da forma 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 mas não possuem a condição necessária e suficiente para ser uma diferencial exata ou seja 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 Equações com essa estrutura às vezes podem se tornar exatas multiplicando toda a equação por um fator chamado fator integrante Este fator integrante pode ser uma função de 𝑥 𝜙𝑥 de 𝑦 𝜙𝑦 ou de ambas 𝜙𝑥𝑦 De modo geral 𝜙𝑥𝑦 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝜙𝑥 𝑦𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 E nessas condições temse 𝑦 𝑀𝜙 𝑥 𝑁𝜙 Esta última expressão pode ser escrita de forma mais simples 𝑀𝜙𝑦 𝑁𝜙𝑥 onde os subscritos denotam as derivadas parciais Como encontrar a expressão de 𝜙 Para isso derivamos a expressão como um produto de funções 𝑀 𝜙𝑦 𝜙 𝑀𝑦 𝑁 𝜙𝑥 𝜙 𝑁𝑥 ou 𝜙 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝜙𝑥 𝑀 𝜙𝑦 𝑀 𝑁 𝑀𝑦 e 𝑁𝑥 são funções conhecidas de 𝑥 e de 𝑦 A dificuldade está em determinar a expressão 𝜙𝑥 𝑦 na equação acima Dessa forma iniciase utilizando uma hipótese para simplificar o raciocínio Partiremos do princípio de que 𝜙 𝜙𝑥 então a equação acima pode ser escrita 2 𝜙 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝜙𝑥 𝑀 𝜙𝑦 0 𝜙 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝜙𝑥 Uma vez que o fator integrante depende apenas de uma variável neste caso 𝑥 a notação derivada total pode ser usada 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝜙𝑥 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝜙𝑥 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 Aqui nos deparamos com um problema o quociente 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 depende de 𝑥 e de 𝑦 No entanto se depois de fazer todas as simplificações possíveis a expressão permanece apenas em termos de 𝑥 a equação acima é transformada em uma EDO de variáveis separáveis 1 𝜙 𝑑𝜙 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 ln 𝜙 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 𝜙𝑥 𝑒𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 Uma vez determinado o fator integrante toda a EDO é multiplicada por esse fator e obtémse uma nova EDO que é exata Finalmente essa é resolvida como exata Da mesma forma quando 𝜙 𝜙𝑦 temse 𝜙 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝜙𝑥 0 𝑀 𝜙𝑦 𝜙𝑥 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀 𝑑𝜙 𝑑𝑦 𝑑𝜙 𝑑𝑦 𝜙𝑥 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀 Neste caso se a expressão 𝑁𝑥𝑀𝑦 𝑀 é apenas função de 𝑦 a expressão do fator integrante pode ser obtida 1 𝜙 𝑑𝜙 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀 𝑑𝑦 3 ln 𝜙 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀 𝑑𝑦 𝜙𝑦 𝑒𝑁𝑥𝑀𝑦 𝑀 𝑑𝑦 Em resumo há duas maneiras de encontrar a função 𝜙 com 𝜙 dependendo somente de 𝑥 ou somente de 𝑦 No caso de funções 𝜙𝑥 𝑦 ou seja que dependem de duas variáveis não há métodos formais para determinar o fator integrante Exemplo Resolver a EDO 𝑦 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 0 Resolução A equação dada tem a estrutura de uma EDO exata Para isso será aplicado o critério de uma diferencial exata critério de simetria 𝑀 𝑦 1 𝑁 𝑥 1 Como não atende ao critério buscase a existência do fator integrante 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 1 1 𝑥 2 𝑥 É uma função exclusiva de 𝑥 e portanto há o fator integrante 𝜙𝑥 𝑒 2 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑒2 ln 𝑥 𝑒ln 𝑥2 Resolvendo a integral do expoente aplicando a propriedade de logaritmo e a propriedade da composição de uma função com a sua inversa obtémse a expressão do fator integrante 𝜙𝑥 𝑥 2 Uma vez obtido o fator integrante esse é usado para multiplicar a EDO dada 𝑥 2𝑦 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑦 0 𝑦 𝑥2 ln 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑦 0 Esta nova equação é exata e devese verificar a condição de simetria 4 𝑀 𝑦 1 𝑥2 𝑁 𝑥 Finalmente resolvese a EDO como exata Dessa forma buscaremos uma função 𝑓 função potencial cuja 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑥2 ln 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑦 Para determinar a expressão da função 𝑓 é conveniente começar com a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑦 𝑁𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑦 1 𝑥 Para obter uma expressão da 𝑓 integrase em relação 𝑦 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 1 𝑥 𝑑𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 ℎ𝑥 Encontrando a derivada da função 𝑓 em relação a 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 ℎ𝑥 Comparando 𝑦 𝑥2 ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑥2 ln 𝑥 𝑥2 Segue ℎ𝑥 ln 𝑥 𝑥2 Integrando em relação a 𝑥 𝑑ℎ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Usando o método de integração por partes no 2º membro ℎ𝑥 ln 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝐶 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 ln 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝐶 Portanto a solução da EDO é expressa implicitamente por 𝑦 𝑥 ln 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝐶 0 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Definição de EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR Uma equação diferencial da forma 𝑎1𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑎0𝑥𝑦 𝑔𝑥 é uma equação linear de primeira ordem na variável dependente 𝑦 Forma padrão é assim que vamos considerála neste curso dividindo os dois membros da equação anterior por coeficiente 𝑎1𝑥 uma forma mais útil é obtida a forma padrão de uma equação linear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 O que faremos é procurar a solução desta equação em um intervalo 𝐼 em que as funções 𝑃 e 𝑄 são contínuas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑑𝑦 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥𝑑𝑥 0 ou 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑀𝑥𝑦 𝑑𝑥 1 𝑁𝑥𝑦 𝑑𝑦 0 Essa EDO não é exata pois 𝑁 𝑥 0 𝑀 𝑦 𝑃𝑥 Desta forma podemos determinar o fator integrante 𝜙𝑥 𝑒 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 𝑒𝑃𝑥0 1 𝑑𝑥 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 Agora teremos uma nova EDO exata 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥𝑑𝑥 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 Vamos determinar a função 𝜑 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝐼 𝜑 𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝐼𝐼 Integrando 𝐼𝐼 em relação à 𝑦 teremos 6 𝜑𝑥 𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑐𝑥 Derivando em relação à variável 𝑥 temos 𝜑 𝑥 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝑐𝑥 Comparando com a equação 𝐼 temos 𝑐𝑥 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑐𝑥 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑑𝑥 Voltando em e substituindo 𝑐𝑥 temos 𝜑𝑥 𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑑𝑥 Desta forma a solução da EDO linear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 é 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑑𝑥 𝐶1 0 De maneira explícita temse 𝑦 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑑𝑥 𝐶 𝑒 𝑃𝑥 𝑑𝑥 Exemplo Resolver a EDO 𝑦 𝑥 𝑦 2 𝑥 Resolução Podemos resolver de duas maneiras 1ª maneira A equação dada tem a forma geral de uma EDO linear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 2𝑥 𝑄𝑥 Então a solução é 𝑦𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝐶 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑥 𝑒 𝑥2 2 𝐶 𝑒 𝑥2 2 2 𝑥 𝑑𝑥 7 𝑦𝑥 𝑒 𝑥2 2 𝐶 2 𝑒 𝑥2 2 𝑥 𝑑𝑥 Resolvendo a integral usando substituição encontramos a solução geral da EDO linear 𝑦𝑥 𝑒 𝑥2 2 2 𝑒 𝑥2 2 𝐶1 2ª maneira 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑦 𝑥 𝑃𝑥 𝑦 2𝑥 𝑄𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2𝑥 Reescrever a equação na forma diferencial 𝑥𝑦 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 0 Verificar se a EDO é exata ou seja se satisfaz a condição de simetria 𝑁 𝑥 0 𝑀 𝑦 𝑥 Como não é exata podemos verificar se existe um fator integrante Observe que 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑥0 1 𝑥 Dessa forma o fator integrante é 𝜙𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥2 2 Multiplicando todos os termos da equação pelo fator integrante temos 𝑥𝑦𝑒 𝑥2 2 2𝑥𝑒 𝑥2 2 𝑑𝑥 𝑒 𝑥2 2 𝑑𝑦 0 Essa nova equação se tornou uma EDO exata fato que pode ser comprovado com a condição de simetria 𝑁 𝑥 𝑥𝑒 𝑥2 2 𝑀 𝑦 Agora basta resolver esta EDO exata Para tanto determinaremos a função 𝜑 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑥𝑦𝑒 𝑥2 2 2𝑥𝑒 𝑥2 2 𝐼 𝜑 𝑦 𝑒 𝑥2 2 𝐼𝐼 Integrando 𝐼𝐼 em relação a 𝑦 temos 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒 𝑥2 2 𝑐𝑥 8 Derivando em relação à variável 𝑥 temos 𝜑 𝑥 𝑥𝑦𝑒 𝑥2 2 𝑐𝑥 Comparando com a equação 𝐼 temos 𝑐𝑥 2𝑥𝑒 𝑥2 2 𝑐𝑥 2𝑒 𝑥2 2 𝑐1 Substituindo 𝑐𝑥 na expressão 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒 𝑥2 2 𝑐𝑥 temos 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒 𝑥2 2 2𝑒 𝑥2 2 𝑐1 Desta forma a solução implícita da EDO linear será 𝑦𝑒 𝑥2 2 2𝑒 𝑥2 2 𝑐 Isolando 𝑦 em função de 𝑥 teremos a solução explícita 𝑦𝑥 𝑒 𝑥2 2 2 𝑒 𝑥2 2 𝑐 Referências ZILL Dennis G Equações diferenciais com Aplicações em Modelagem Tradução da 10ª edição norteamericana Cengage Learning Brasil 2016 E book ISBN 9788522124022 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522124022 Acesso em 11 set 2023 Abaixo são sugeridos alguns vídeos acerca de ED httpswwwyoutubecomwatchvfc54hjCK6KM httpswwwyoutubecomwatchv5dteSqfO9vU httpswwwyoutubecomwatchvHtYZW8rYzQ0 httpswwwyoutubecomwatchv5CXqIPqJCAA httpsyoutube1n8Rv2eEVR0 httpseskhanacademyorgmathdifferentialequationsfirstorderdifferential equationsdifferentialequationsintroewritedifferentialequationsmodal1 httpswwwyoutubecomwatchvXHyX5M6GO6wlistPLxI8Can9yAHeOiMYCBlky CALloROQ58OYindex62