Notas de Aula: Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

NOTAS DE AULA Parte 2 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem EDO 2023 Autora Ing María Beatriz Bouciguez Colaboradoras Dra Juliana Martins Philot Dra Eloiza Gomes e Me Karina Bradaschia Rocha 1 TÉCNICAS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM A seguir nos dedicaremos a estudar as principais técnicas de resolução de EDO de 1ª ordem As equações diferenciais de primeira ordem podem ser expressas na forma de derivadas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 ou 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 0 ou na forma diferencial 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 Na primeira forma fica claro que 𝑦 é a variável dependente e que 𝑥 é a variável independente Por outro lado na forma diferencial qualquer uma delas pode ser considerada como variável dependente e a outra como variável independente No entanto neste curso vamos considerar 𝑦 como variável dependente e 𝑥 como variável independente Estudaremos a partir de agora técnicas que nos permitam chegar à solução geral correspondente Enquanto isso a solução particular será encontrada determinandose o valor da constante obtida na solução geral e isso dependerá da condição inicial dada Usaremos a sigla PVI para indicar a condição inicial Comentário Normalmente para resolver uma EDO teremos que calcular integrais portanto sugerimos que revisem os métodos de resolução por substituição por partes e frações simples EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Definição de EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEPARÁVEL Uma EDO de primeira ordem da forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑦 é dito ser separável ou ter variáveis separáveis 2 Exemplos Separável Não separável 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦2 𝑥 𝑒3 𝑥4 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 Nesta equação podemos aplicar propriedades de potenciação e depois fatorar Por outro lado nessa equação não há como expressar 𝑦 sen𝑥 como um produto de uma função de 𝑥 por uma função de 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑒3 𝑥 𝑔𝑥 𝑦2 𝑒4 𝑦 ℎ𝑦 Para a equação 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑦 podemos reescrevêla como 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔𝑥 𝑝𝑦 Onde por conveniência 𝑝𝑦 1 ℎ𝑦 de modo que 𝑝𝑦 𝑑𝑦 𝑔𝑥 𝑑𝑥 Integrando ambos os membros 𝑝𝑦 𝑑𝑦 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝐻𝑦 𝐺𝑥 𝐶 onde 𝐻𝑦 e 𝐺𝑥 são as antiderivadas de 𝑝𝑦 1 ℎ𝑦 e de 𝑔𝑥 respectivamente Comentário Não há necessidade de usar duas constantes ao integrar uma equação separável porque se escrevermos 𝐻𝑦 𝑐1 𝐺𝑥 𝑐2 𝐻𝑦 𝐺𝑥 𝑐2 𝑐1 𝐻𝑦 𝐺𝑥 𝐶 Portanto podemos substituir múltiplos ou combinações de constantes por uma única constante 3 Exemplos 1 Resolva a EDO 𝑦 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 Resolução Operando algebricamente para isolar em um membro os fatores dependentes de 𝑥 e no outro os fatores dependentes de 𝑦 𝑦 1 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 Integrando 𝑦 1 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 Temos 𝑦2 2 𝑦 𝑥2 2 𝐶1 Solução 𝑦2 2𝑦 𝑥2 𝐶 2 Resolva a EDO 𝑦 𝑦 Resolução Escrevendo a EDO com a notação de Leibniz 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Integrando 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ln 𝑦 𝑥 𝐶 Isolando 𝑦 𝑦 𝑒𝑥𝐶 Aplicando a propriedade de potenciação 𝑦 𝑒𝑥 𝑒𝐶 Fazendo 𝑒𝐶 𝑘 temos a solução 𝑦 𝑘 𝑒𝑥 4 O manuseio da constante é arbitrário e pode ser expresso da maneira mais conveniente No caso da equação anterior poderia ser considerada por exemplo ln 𝑦 𝑥 ln𝐶1 ln 𝑦 ln𝐶1 𝑥 Aplicando a propriedade de logaritmo ln 𝐶1 𝑦 𝑥 Isolando 𝑦 𝐶1 𝑦 𝑒𝑥 𝑦 1 𝐶1 𝑒𝑥 𝑦 𝑘 𝑒𝑥 3 Resolva o problema com valores iniciais 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦4 3 Resolução Escrevendo a EDO com a notação de Leibniz 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 Operando algebricamente para deixar fatores dependentes em um membro de 𝑥 e no outro os dependentes de 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 Integrando 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 2 𝑥2 2 𝐶1 𝑦2 2 𝑥2 2 𝐶1 𝑥2 𝑦2 2 𝐶1 Sendo 𝐶22 2 𝐶1 𝑥2 𝑦2 𝐶22 Graficamente esta família de soluções da EDO são circunferências centradas na origem Agora para 𝑦4 3 temse 5 16 9 𝐶22 25 𝐶22 Assim o PVI determina a circunferência do raio 5 Curva de solução para o PVI Nesse caso uma solução explícita que satisfaça a solução de condição inicial pode ser removida da solução implícita Um fato que deve se ter cuidado quando estivermos separando variáveis é de que os denominadores podem se anular em um ponto Especificamente se 𝑎 for um zero da funcao ℎ𝑦 substituir 𝑦 𝑎 em 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔𝑥ℎ𝑦 torna nulo ambos os membros em outras palavras 𝑦 𝑎 e uma solucao constante da equacao diferencial Mas depois que as variáveis são separadas o membro esquerdo de 𝑑𝑦 ℎ𝑦 𝑔𝑥𝑑𝑥 fica indefinido em 𝑎 Consequentemente 𝑦 𝑎 pode nao aparecer na familia de ℎ𝑦 solucoes obtidas apos a integracao e simplificacao Lembrese de que essa solucao e chamada de solucao singular Este fato pode ser visto no próximo exemplo Exemplo Resolver 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦2 4 Resolução Operando algebricamente para deixar em um membro os fatores dependentes de 𝑥 e no outro os dependentes de 𝑦 𝑑𝑦 𝑦2 4 𝑑𝑥 Fatoração do denominador e separação em frações simples 𝐴 𝑦 2 𝐵 𝑦 2𝑑𝑦 𝑑𝑥 6 Cálculo auxiliar 1 𝑦 2𝑦 2 𝐴 𝑦 2 𝐵 𝑦 2 Adicionando as frações do segundo membro 1 𝑦 2𝑦 2 𝐴 𝑦 2 𝐵𝑦 2 𝑦 2𝑦 2 Ambas as frações são iguais se seus numeradores são iguais uma vez que os denominadores têm a mesma expressão 1 𝐴 𝑦 2 𝐵𝑦 2 Se 𝑦 2 equação acima é transformada em 1 4𝐵 Solução 𝐵 1 4 Se 𝑦 2 a equação acima é transformada em 1 4𝐴 Solução 𝐴 1 4 Então a EDO é expressa por 1 4 𝑦 2 1 4 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Integrando 1 4 1 𝑦 2 𝑑𝑦 1 4 1 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 4 ln𝑦 2 1 4 ln𝑦 2 𝑥 𝐶1 Usando propriedades de logaritmos 1 4 ln 𝑦 2 𝑦 2 𝑥 𝐶1 Trabalhando algebricamente para isolar 𝑦 e substituindo 4 𝐶1 𝐶2 ln 𝑦 2 𝑦 2 4 𝑥 𝐶2 𝑦 2 𝑦 2 𝑒4 𝑥𝐶2 𝑦 2 𝑦 2 𝑒4 𝑥𝐶2 7 Aplicação das leis da potenciação no segundo membro 𝑦 2 𝑦 2 𝑒4 𝑥 𝑒𝐶2 Substituindo 𝑒𝐶2 𝐶 𝑦 2 𝑦 2 𝐶 𝑒4 𝑥 Isolando 𝑦 𝑦 2 𝐶 𝑒4 𝑥 𝑦 2 𝑦 𝐶 𝑒4 𝑥𝑦 2 2 𝐶 𝑒4 𝑥 𝑦 1 𝐶 𝑒4 𝑥 2 1 𝐶 𝑒4 𝑥 𝑦 2 1 𝐶 𝑒4 𝑥 1 𝐶 𝑒4 𝑥 Retornando à EDO original se o segundo membro for fatorado 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 2𝑦 2 saberemos que 𝑦 2 e 𝑦 2 sao duas solucoes constantes solucoes de equilibrio A solucao 𝑦 2 e um membro da família de soluções que corresponde ao valor 𝐶 0 Porem 𝑦 2 e uma solucao singular e nao pode ser obtida a partir da solução geral encontrada anteriormente para nenhum valor do parametro 𝐶 Essa ultima solucao foi perdida no inicio do processo de solução pois 𝑑𝑦 𝑦24 𝑑𝑥 indica claramente que precisamos omitir 𝑦 2 nessas etapas Comentário Esta técnica de resolução de EDO que acabamos de estudar só é aplicável a resoluções de variáveis separáveis No entanto é particularmente importante para resolver a maioria das EDO de 1ª ordem reduzindo por artifício a variáveis separáveis Estudaremos a seguir alguns métodos de resolução de EDO quando o método anterior não se aplica EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Definição de EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA Uma EDO do tipo 𝑀𝑥𝑦 𝑁𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 ou 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 8 É dita exata se existe 𝑓𝑥 𝑦 diferenciável tal que 𝐹 𝑥 𝑓𝑥 𝑀 e 𝐹 𝑦 𝑓𝑦 𝑁 Neste caso as soluções estão definidas implicitamente por 𝑓𝑥𝑦 𝑐 Em seguida veremos um teorema para estabelecer as condições necessárias e suficientes para saber se é uma diferencial exata ou não CRITÉRIO PARA IDENTIFICAR UMA EDO EXATA Sejam 𝑀𝑥 𝑦 e 𝑁𝑥 𝑦 contínuas e com derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em uma região 𝑅 do plano 𝑂𝑥𝑦 Uma condição necessária e suficiente para que 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥𝑦 𝑑𝑦 seja uma diferencial exata é que1 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 Exemplos 1 Resolver a EDO 2 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 1 𝑑𝑦 0 Resolução 2𝑥𝑦 𝑀𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 1 𝑁𝑥𝑦 𝑑𝑦 0 Temos 𝑀 𝑦 2 𝑥 𝑁 𝑥 Logo a equação dada é exata 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 Para a EDO dada 𝑓 𝑥 2 𝑥 𝑦 e 𝑓 𝑦 𝑥2 1 1 Neste texto não faremos a demonstração 9 A resolução é semelhante a buscar a expressão da função potencial quando temos um campo vetorial conservativo 𝑀𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 2 𝑥 𝑦 Para obter uma expressão de 𝑓 se integra em relação a 𝑥 𝑓𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑦 2 1 2 𝑥2𝑦 𝑔𝑦 Encontrando a derivada da função escalar em relação a 𝑦 𝑓 𝑦 𝑥2 𝑔𝑦 Comparando 𝑥2 𝑔𝑦 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥2 1 Da comparação depreendese que 𝑔𝑦 1 𝑔𝑦 𝑦 𝐶 Solução 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 Portanto 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 permite a solução da EDO expressa implicitamente por 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 enquanto a expressão explícita da solução é 𝑦 𝐶 1 𝑥2 Comentário A expressão da solução será 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 0 ou 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 A função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 não pode ser uma solução da EDO pois o que estamos procurando é uma função 𝑦 de uma única variável independente 𝑥 𝑦 𝑦𝑥 que satisfaça a EDO dada Portanto tenha cuidado Estamos utilizando a função 𝑓𝑥 𝑦 como uma função auxiliar como fazíamos para derivar implicitamente quando 𝑦 𝑦𝑥 ou seja consideramos a função 𝑓𝑥 𝑦 no nível zero 𝑓𝑥 𝑦 0 curva de nível 10 2 Resolver a EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦2 cos 𝑥 sen𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑦0 2 Resolução Reescrevendo a equação 𝑦 1 𝑥2 𝑑𝑦 𝑥 𝑦2 cos𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 cos𝑥 sen𝑥 𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑑𝑦 0 Como 𝑀 𝑦 2 𝑥 𝑦 𝑁 𝑥 Sabemos que a EDO é exata 𝑀𝑥 𝑦 cos𝑥 sen𝑥 𝑥 𝑦2 𝑓 𝑥 e 𝑁𝑥 𝑦 𝑦 1 𝑥2 𝑓 𝑦 Para localizar a expressão da função 𝑓 é conveniente começar com a derivada parcial de 𝑓 em relação a 𝑦 𝑁𝑥 𝑦 𝑦 1 𝑥2 𝑓 𝑦 𝑓 𝑦 𝑦 1 𝑥2 Para obter uma expressão de 𝑓 se integra em relação a 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 1 𝑥2 𝑦𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 1 𝑥2 1 2 𝑦2 ℎ𝑥 Encontrando a derivada da função escalar em relação a 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦2 ℎ𝑥 Comparando 𝑥 𝑦2 ℎ𝑥 cos𝑥 sen𝑥 𝑥 𝑦2 Segue ℎ𝑥 cos𝑥 sen𝑥 ℎ𝑥 1 2 sen2𝑥 𝐶1 𝑓𝑥 𝑦 1 𝑥2 1 2 𝑦2 1 2 sen2𝑥 𝐶1 Portanto a solução da EDO expressa implicitamente é 11 1 𝑥2 𝑦2 sen2𝑥 𝐶 Levando em conta a condição inicial 𝑦0 2 1 0222 sen20 𝐶 𝐶 4 Uma solução implícita para o problema é 1 𝑥2 𝑦2 sen2𝑥 4 Graficamente Solução Geral Solução Particular