Mecânica Analítica: Princípio de D'Alembert e Equações de Lagrange

Mecânica Analítica Mecânica Analítica Princípio de DAlembert Equações de Lagrange Prof Dr Renato Maia Matarazzo Orsino 1 Introdução 2 Princípio de DAlembert 3 Equações de Lagrange 1 Introdução 2 Princípio de DAlembert 3 Equações de Lagrange 1 Introdução 2 Princípio de DAlembert 3 Equações de Lagrange EMC506 Aula 42 Renato Maia Matarazzo Orsino 09102020 5 16 Sistema de pontos materiais S Pkk 1 N Notação O ˆı ˆ ˆk sistema de coordenadas fixo a um referencial inercial rk Pk O vetor posição da partícula material Pk vk rk vetor velocidade da partícula Pk Fk resultante de forças ativas exclui o efeito de reações vinculares sobre Pk Ck resultante de forças de vínculo sobre Pk mk massa da partícula Pk T k 1 2mkvk2 energia cinética do sistema Pi fji fij Pk ˆ ˆı ˆk O vk rk x y z Fk Pj EMC506 Aula 42 Renato Maia Matarazzo Orsino 09102020 6 16 Deslocamento virtual Definição Denominase deslocamento virtual um deslocamento infinitesimal compatível com os vínculos do sistema que desconsidere o transcurso do tempo O conceito de deslocamento virtual distinguese da ideia de deslocamento elementar real ao representar um experimento hipotético que poderia ser realizado na ausência de transcurso do tempo Os dois conceitos porém assemelhamse por seu caráter infinitesimal e por respeitarem as condições de restrição cinemática do sistema EMC506 Aula 42 Renato Maia Matarazzo Orsino 09102020 7 16 Princípio dos Trabalhos Virtuais Postulado fundamental Em um sistema mecânico é nulo o trabalho associado a esforços reações vinculares ideais para quaisquer deslocamentos virtuais reversíveis Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV Um sistema mecânico permanecerá em equilíbrio em uma configuração na qual se possa admitir que quaisquer deslocamentos virtuais sejam reversíveis se e somente se o trabalho virtual associado a esforços ativos for nulo Pi fji fij Pk ˆ ˆı ˆk O vk rk x y z Fk Pj Para um sistema mecânico constituído por um número finito de pontos materiais S Pkk 1 N o enunciado do PTV pode ser traduzido pela equação δW N k1 Fk δrk 0 1 Introdução 2 Princípio de DAlembert 3 Equações de Lagrange EMC506 Aula 42 Renato Maia Matarazzo Orsino 09102020 10 16 Equações de Lagrange Denote por q q1 qn a nupla de coordenadas generalizadas adotada para a descrição do movimento do sistema S Neste caso é possível expressar cadark em função de t e q rk rkt q drk rk t t q dt n j1 rk qj t q dqj 1 Desta última relação podese concluir que rk rk t t q n j1 rk qj t q qj e δrk n j1 rk qj t q δqj 2 Assim chegase à relação rk qj t q rk qj t q 3