Proposta Curricular Matematica MG Ensino Fundamental e Medio

PROPOSTA CURRICULAR SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS MATEMÁTICA ENSINOS FUNDAMENTAL E MÉDIO Welcome to our 36th Annual General Meeting 2023 Autores Mário Jorge Dias Carneiro Michel Spira Jorge Sabatucci Chairmans Message The past year has been an exciting period for our company Despite the challenges in the market we have managed to achieve strong growth and deliver value to our stakeholders Our focus on innovation and customer satisfaction continues to drive our success I would like to thank our dedicated employees and loyal customers for their continued support Together we look forward to another year of growth and opportunity Sincerely The Chairman Governador Aécio Neves da Cunha ViceGovernador Antônio Augusto Junho Anastasia Secretária de Estado de Educação Vanessa Guimarães Pinto Chefe de Gabinete Felipe Estábile Morais Secretário Adjunto de Estado de Educação João Antônio Filocre Saraiva Subsecretária de Informações e Tecnologias Educacionais Sônia Andère Cruz Subsecretária de Desenvolvimento da Educação Básica Raquel Elizabete de Souza Santos Superintendente de Ensino Médio e Profi ssional Joaquim Antônio Gonçalves Financial Highlights Revenue increased by 15 compared to the previous year Net profit margin improved to 12 Operational efficiency enhanced through strategic cost management Investment in research and development rose by 10 Our financial position remains strong with increased cash reserves and reduced debt levels 1ª parte Ensino Fundamental da 6ª a 9ª série 1 Introdução 11 2 Considerações DidáticoMetodológicas 12 3 Orientações Pedagógicas 14 4 Resolução de Problemas 15 5 Avaliação 17 6 Como Lidar com Erros 19 CBC de Matemática do Ensino Fundamental da 6ª à 9º série 1 Eixo Temático I Números e Operações 2 Eixo Temático II Álgebra 3 Eixo Temático III Espaço e Forma 4 Eixo Temático IV Tratamento de Dados 2ª parte Ensino Médio 1 Introdução 2 Eixos Temáticos 3 Resolução de Problemas 4 Avaliação 5 Contextualização 6 A Questão dos PréRequisitos 7 Apresentação do CBC de Matemática 2007 Tópicos do CBC para o 1º Ano 1 Eixo Temático I Números Contagem e Análise de Dados 2 Eixo Temático II Funções Elementares e Modelagem 3 Eixo Temático III Geometria e Medidas Tópicos do CBC para o 2º Ano Conteúdos de Aprofundamento 1 Eixo Temático IV Números Contagem e Análise de Dados 2 Eixo Temático V Funções Elementares e Modelagem 3 Eixo Temático VI Geometria e Medidas Sumário 21 23 25 30 31 35 38 39 40 41 42 44 46 48 50 51 52 Sugestões de tópicos complementares para o 3º Ano 1 Eixo Temático VII Números Contagem e Análise de Dados 2 Eixo Temático VIII Funções Elementares e Modelagem 3 Eixo Temático XI Geometria e Medidas Tópicos do CBC 1º 2º e 3º Ano 1 Tópicos 1º Ano 2 Tópicos 2º Ano 3 Tópicos 3º Ano Bibliografi a Bibliografi a 56 57 58 67 72 75 79 Estabelecer os conhecimentos as habilidades e competências a serem adquiridos pelos alunos na educação básica bem como as metas a serem alcançadas pelo professor a cada ano é uma condição indispensável para o sucesso de todo sistema escolar que pretenda oferecer serviços educacionais de qualidade à população A defi nição dos conteúdos básicos comuns CBC para os anos fi nais do ensino fundamental e para o ensino médio constitui um passo importante no sentido de tornar a rede estadual de ensino de Minas num sistema de alto desempenho Os CBCs não esgotam todos os conteúdos a serem abordados na escola mas expressam os aspectos fundamentais de cada disciplina que não podem deixar de ser ensinados e que o aluno não pode deixar de aprender Ao mesmo tempo estão indicadas as habilidades e competência que ele não pode deixar de adquirir e desenvolver No ensino médio foram estruturados em dois níveis para permitir uma primeira abordagem mais geral e semiquantitativa no primeiro ano e um tratamento mais quantitativo e aprofundado no segundo ano A importância dos CBCs justifi ca tomálos como base para a elaboração da avaliação anual do Programa de Avaliação da Educação Básica PROEB e para o Programa de Avaliação da Aprendizagem Escolar PAAE e para o estabelecimento de um plano de metas para cada escola O progresso dos alunos reconhecidos por meio dessas avaliações constitui a referência básica para o estabelecimento de sistema de responsabilização e premiação da escola e de seus servidores Ao mesmo tempo a constatação de um domínio cada vez mais satisfatório desses conteúdos pelos alunos gera conseqüências positivas na carreira docente de todo professor Para assegurar a implantação bem sucedida do CBC nas escolas foi desenvolvido um sistema de apoio ao professor que inclui cursos de capacitação que deverão ser intensifi cados a partir de 2008 e o Centro de Referência Virtual do Professor CRV o qual pode ser acessado a partir do sítio da Secretaria de Educação httpwwweducacaomggovbr No CRV encon trase sempre a versão mais atualizada dos CBCs orientações didáticas sugestões de planejamento de aulas roteiros de atividades e fórum de discussões textos didáticos experiências simuladas vídeos educacionais etc além de um Banco de Itens Por meio do CRV os professores de todas as escolas mineiras têm a possibilidade de ter acesso a recursos didáticos de qualidade para a or ganização do seu trabalho docente o que possibilitará reduzir as grandes diferenças que existem entre as várias regiões do Estado Vanessa Guimarães Pinto Apresentação 10 11 1 Introdução Este novo volume da Matemática para a Série Cadernos Pedagógicos foi elaborado a partir da revisão de parte da proposta curricular do Conteúdo Básico Comum CBC para o ensino da Matemática no Ensino Fundamental em todo o Estado de Minas Gerais Tratase essencialmente da parte em que são listados os eixos temáticos ou seja as uni dades estruturadoras e os tópicos que irão constituir o Conteúdo Básico Comum CBC para todas as propostas curriculares das Escolas Estaduais de Minas Gerais A revisão está baseada nas sugestões obtidas ao longo do ano de 2005 por meio de conta tos diretos com professores da rede estadual e durante os cursos de capacitação palestras debates e fóruns realizados com estudantes de licenciatura em Matemática e com docentes do ensino superior Nesta revisão buscouse Melhorar a coerência da proposta e formular com maior precisão as competências e habilidades tentando esclarecer o que é essencial para um aluno do Ensino Médio Aprimorar o entendimento da relação entre os diversos tópicos E permitir uma maior fl exibilização nos temas complementares através da fusão ou supressão de alguns tópicos A listagem dos tópicos representa apenas um guia um roteiro baseado no qual cada es cola poderá traçar o caminho que seja mais adequado aos seus objetivos buscando fazer uma distribuição ao longo do ano escolar de modo coerente com o seu projeto pedagógico É importante frisar que parte integrante fundamental da presente proposta curricular são as orientações pedagógicas também revisadas e melhoradas com a incorporação de sugestões dos professores Além do Conteúdo Básico Comum CBC foram sugeridos Temas Complementares com o objetivo de introduzir novos tópicos dentro do projeto pedagógico da escola e de acordo com as potencialidades e interesses das turmas Esse projeto pode prever também atividades cur riculares que busquem a supressão de possíveis defi ciências de conteúdos específi cos por exem plo aulas de revisão Ensino Fundamental 12 2 Considerações DidáticoMetodológicas Para alcançar os objetivos descritos anteriormente é fundamental que se adotem estraté gias adequadas de ensino e para isso é essencial que se conheça não apenas o que se ensina mas para quem se ensina Durante o período entre a 6ª e 9ª séries os alunos passarão por fases mar cantes em seu desenvolvimento É um período bastante complexo no qual se manifestam várias características para as quais o professor deve estar atento e considerar nas suas ações pedagógicas e orientar as suas opções metodológicas Transcrevemos a parte das considerações sobre as características dos alunos descritas nos PCNs e reproduzidas no documento PP Nos dois primeiros anos dessa etapa da escolaridade convivem alunos com caracterís ticas muitas vezes ainda bastante infantis e adolescentes ou mesmo alunos mais ve lhos que já passaram por uma ou várias experiências de reprovação ou de interrupção dos estudos sendo que dentre esses muitos já trabalham e assumem responsabilidades perante a família No caso dos adolescentes as signifi cativas mudanças que afetam seu desenvolvimento físico emocional e psicológico repercutem fortemente no seu comportamento o qual na escola muitas vezes é interpretado pelos professores como insolência gerando con fl itos no relacionamento entre ambos Acrescentese a isso a instabilidade o medo e a insegurança que caracterizam as reações dos adolescentes frente a situações diversas Nessa fase também intensifi case a capacidade para questionar acirrase a crítica pouco fundamentada que faz com que coloquem em dúvida a importância de certos valores atitudes e comportamentos e inclusive a necessidade de certas aprendizagens Acentuando esse descompasso a passagem do antigo período de 1ª a 4ª séries para 5ª a 8ª séries traz ainda para os alunos um aumento crescente de pressões exigências e disponibilidade de dedicação com os quais não estão habituados Por outro lado apesar das atitudes de insegurança nessa fase do desenvolvimento do aluno ampliamse as ca pacidades para estabelecer inferências e conexões lógicas para tomar algumas decisões para abstrair signifi cados e idéias de maior complexidade para argumentar expressando idéias e pontos de vista com mais clareza Outro aspecto que se evidencia é a maior pos sibilidade de compreender e utilizar recursos tecnológicos No caso da Matemática contrariando as considerações do parágrafo anterior há uma forte tendên cia em fazer da 5ª série uma revisão dos conteúdos estudados nos anos anteriores Essa revisão na 13 maioria das vezes infi ndável causa desinteresse aos alunos e paradoxalmente ao que se pretendia com ela contribui para o fracasso escolar comprovado pelos elevados índices de reprovação que apare cem nesse ano Já no ano seguinte 6ª série alguns conteúdos novos são explorados o que garante de certo modo um maior interesse por parte dos alunos Porém diferentemente do trabalho realizado nas séries an teriores o vínculo da Matemática com as situações do cotidiano a possibilidade de levantar hipóteses de arriscarse na busca de resultados sem a tutela do professor vão fi cando cada vez mais distantes gerando em muitos casos o divórcio entre o aluno e o conhecimento matemático Nos dois últimos anos 7ª e 8ª séries muitos alunos ainda estão às voltas com mudanças corporais momentos de inquietação emocional e psicológica que repercutem na vida afetiva na sexualidade nas relações com a família e também na escola Junto a esses problemas começa a se confi gurar uma nova e grande expectativa a continuidade dos estudos e o futuro profi ssional Convém lembrar que muitos desses alunos já terão ingressado no mercado de trabalho geralmente desenvolvendo atividades pouco qualifi cadas e ansiosos por melhores condições de vida A perspectiva de ingresso na juventude além de expectativas quanto ao futuro traz para os alunos desses dois últimos anos do ciclo novas experiências e necessidades O conhecimento do mundo e as experiências de vida ao contrário dos anos anteriores acontecem no círculo do grupo fora da tutela dos pais Isso faz com que esses jovens ampliem suas percepções e tornemse mais independentes e autônomos diante de certas vivências administrar as próprias economias transitar sozinhos por novos espaços participar das decisões familiares decidir sobre as atividades de lazer etc Sob o ponto de vista cognitivo a observação ganha em detalhes ampliamse as capacidades para pensar de forma mais abstrata para tomar algumas decisões para abstrair signifi cados e idéias de maior complexidade para argumentar expressando idéias e pontos de vista com mais clareza Outro aspecto que se acentua é ampliação da capacidade para compreender e utilizar recursos tecnológicos e audiovisuais Ao mesmo tempo que os alunos se organizam melhor para produzir em grupo tam bém ampliamse suas possibilidades de realização de trabalhos individuais Nesses últimos dois anos acentuase também o interesse dos jovens por alguns temas sociais tais como cidadania saúde orientação sexual meio ambiente trabalho e consumo Diante de um quadro complexo como esse é necessário refl etir sobre o que é possível fazer no sen tido de minimizar os problemas que caracterizam esse ciclo canalizando para a aprendizagem toda a ebulição desse espírito emotivo instável e questionador do aluno nessa fase de desenvolvimento 14 3 Orientações Pedagógicas Também de acordo com os PCNs as fi nalidades do ensino de Matemática indicam como objetivos do ensino fundamental levar o aluno a Identifi car os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e trans formar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual característico da Matemática como aspecto que estimula o interesse a curiosidade o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista de relações entre eles utilizando para isso o conhecimento matemático aritmético geométrico métrico estatístico combinatório probabilístico selecio nar organizar e produzir informações relevantes para interpretálas e avaliálas criti camente Isto signifi ca que o ensino da Matemática deve evidenciar o caráter dinâmico em constante evolução do conhecimento matemático Devido ao fato de que mesmo conhecimentos matemáticos muito antigos possuem ainda hoje aplicações existe uma tendência de considerálos como algo pronto e estático O que ocorre é exatamente o contrário a cada dia surgem novas questões matemáticas e até novas áreas de pesquisa por exemplo a criptografi a e não cessam as demandas de outras áreas por exemplo Biologia Economia por modelos matemáticos mais efetivos e sofi sticados O entendimento da Matemática como um conhecimento científi co em construção propicia ao aluno o reconhecimento das contribuições desta disciplina e a importância de sua aquisição para a compreensão e atuação consciente na sociedade Resolver situaçõesproblema sabendo validar estratégias e resultados desenvolvendo formas de raciocínio e processos como dedução indução intuição analogia estima tiva e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos bem como instrumentos tecnológicos disponíveis Comunicarse matematicamente ou seja descrever representar e apresentar resulta dos com precisão e argumentar sobre suas conjecturas fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas O objetivo é levar o aluno a raciocinar e expressarse matematicamente ou seja 15 reconhecer situações que podem ser descritas em linguagem matemática e ser capaz de aplicar métodos matemáticos operações equações diagramas fatos da geometria para resolvêlas Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares Isto signifi ca que o projeto pedagógico para a Matemática deve ser elaborado de forma articulada com as outras disciplinas e que sempre que possível seja ressaltada a relação entre os conceitos abstratos com as suas aplicações e interpretações em situações concretas tanto na aula de Matemática quanto na disciplina em que está sendo utili zada Sentirse seguro da própria capacidade e construir conhecimentos matemáticos desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções Interagir com seus pares de forma cooperativa trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos identifi cando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto respeitando o modo de pensar e aprendendo com eles Especialmente na fase em que se encontram os alunos o ensino de Matemática pode contribuir muito para que adquiram responsabilidades hábitos e métodos de estudo Isto porque a aquisição do conhecimento matemático demanda trabalho individual capacidade de concen tração e refl exão disciplina e perseverança Em contrapartida pode ser uma fonte de prazer in telectual em cada solução encontrada e desafi o superado Portanto as metodologias utilizadas devem priorizar um papel ativo do aluno estimulan do a leitura de textos matemáticos os estudos dirigidos o trabalho em grupo e os recursos didáti cos de caráter lúdico como jogos exposições murais de problemas e curiosidades matemáticas e quando disponíveis recursos computacionais para uso em geometria dinâmica e experimentos de cálculo Devese evitar a formalização excessiva e concentrarse no desenvolvimento de habilidades conceituais e manipulativas estimulando o uso de mecanismos informais como intuição analogia reconhecimento de pa drões análise de casos particulares e generalização aproximação estimativas Por outro lado na 7ª e 8ª séries quando já se atingiu alguma maturidade é adequado e desejável introduzir de modo gradativo o método lógico dedutivo apresentando e requerendo do aluno demonstrações simples em álgebra e geometria 16 4 Resolução de Problemas Um dos principais objetivos do ensino de Matemática em qualquer nível é o de desen volver habilidades para a solução de problemas Esses problemas podem advir de situações concre tas observáveis contextualizadas ou não No primeiro caso é necessária uma boa capacidade de usar a linguagem matemática para interpretar questões formuladas verbalmente Por outro lado problemas interessantes que despertam a curiosidade dos estudantes podem surgir dentro do próprio contexto matemático quando novas situações podem ser exploradas e o conhecimento aprofundado num exercício contínuo da imaginação Por situaçãoproblema entendemos problemas que envolvem o processo de tradução do enunciado seja contextualizado ou não em linguagem matemática e a tomada de decisão sobre quais ferramentas matemáticas serão usadas em sua resolução modelagem Estes problemas são aqueles que levam a uma compreensão do que realmente é Matemáti ca pois se passam em um ambiente onde coexistem os modos de pensamento formal e intui tivo bem como as linguagens formal e verbal Eles estimulam o trabalho em grupo a crítica dos modelos adotados e o confronto dos resultados obtidos com o enunciado original do problema A solução de uma ampla variedade de problemas desenvolve a capacidade de abstração do aluno bem como a habilidade de atribuir signifi cado aos conceitos abstratos estudados Ao con trário do que ocorre em vários livrostexto atuais devese privilegiar a diversidade em oposição à repetição e à quantidade O constante desenvolvimento das habilidades para a solução de problemas envolve as seguintes estratégias que devem tornarse hábito para o aluno seu uso deve ser apontado e es timulado pelo professor Usar fi guras diagramas e gráfi cos tanto de forma analítica quanto intuitiva Expressar oralmente ou por escrito com suas próprias palavras propriedades matemáticas atribuindo signifi cado aos conceitos abstratos e formulando por meio do uso da linguagem simbólica questões expressas verbalmente Perceber padrões em situações aparentemente diversas Estudar casos especiais mais simples usandoos para elaborar estratégias de resolução de casos mais complexos ou gerais Fazer uso do método de tentativa e erro elaborando novas estratégias de solução a partir da análise crítica dos erros Usar a simbologia matemática sentenças com variáveis e equações usar a analogia como ferramenta de trabalho recorrendo a métodos já utilizados e adaptandoos para a resolução de novos problemas 17 Trabalhar de trás para diante supondo conhecida a solução de um problema e deduzir suas propriedades para obter um caminho para encontrála Compartilhar e discutir observações e estratégias de outros estudantes adquirindo assim experiência e novas perspectivas insights para abordar um problema Ressaltamos que não deixam de ter importância exercícios de fi xação de técnicas e ha bilidades de rotina que em geral são de caráter repetitivo Tais exercícios destinamse exclusiva mente a fazer com que o aluno ao encontrar determinada situação padrão proceda sem percalços quase que automaticamente Por exemplo o aluno deve se sentir seguro ao somar duas frações executando a operação como um hábito de rotina sem prejuízo é claro de sua discussão e inter pretação para que não tenha difi culdades na hora de encontrar a solução de um problema 5 Avaliação O professor ao planejar orientar observar instigar organizar e registrar as atividades em sala de aula possui um conjunto de parâmetros que o habilita a fazer uma avaliação contínua de todo o processo de aprendizagem Nesse processo estão envolvidos ele próprio os alunos o mate rial e a metodologia utilizados Isso permite ao professor reformular a cada momento suas práticas pedagógicas e melhor adaptálas às condições de sala de aula A avaliação deve ser parte integrante desse processo Além do que foi mencionado acima o professor deve buscar selecionar e registrar situações e procedimentos que possam ser avalia dos de modo a contribuir efetivamente para o crescimento do aluno Essa observação e regis tro juntamente com os métodos tradicionais de verifi cação de aprendizagemprovas e listas de exercíciosnos quais são ressaltados os aspectos mais relevantes e importantes das unidades devem fazer parte das estratégias de ensino Sabese que a questão da avaliação é muito delicada e que pode afetar a autoestima do aluno especialmente no caso de adolescentes Dessa forma devese ter uma atitude positiva e construtiva em relação à avaliação O professor deve incentivar e abrir espaço para que os alunos exponham oral ou de forma escrita suas observações suas difi culdades e seus relatos sobre as atividades e conteúdos trabalhados A avaliação é parte do processo de ensinoaprendizagem e como tal deve levar em conta as competências pedagógicas e as competências sociais a serem adquiridas pelos alunos No primeiro caso competências pedagógicas cabe à avaliação fornecer aos profes sores as informações sobre como está ocorrendo a aprendizagem em relação à compreensão dos conhecimentos como por exemplo os raciocínios e análises desenvolvidos e o domínio de certas 18 estratégias Além dessas questões mais especifi camente relacionadas com o grau de envolvimento do aluno no processo tais como Procura resolver problemas Usa estratégias criativas Faz perguntas Justifi ca as respostas obtidas Comunica suas estratégias com clareza Questiona os pontos que não compre ende ou com os quais não concorda etc também devem ser observadas Essas informações deverão servir para o professor Orientarse na elaboração de ações pedagógicas mais diversifi cadas objetivando atender aos diferentes ritmos de aprendizagem Trabalhar diferentes níveis de aprofundamento e complexidade ao mesmo tempo Orientar os alunos quanto aos currículos diferenciados Considerando o exposto acima concluímos que a avaliação não deve se resumir somente a provas individuais e a resultados expressos por notas pois essas são insufi cientes ou mesmo inadequadas para avaliar a maioria das competências que estamos propondo avaliar Assim su gerimos que a avaliação em Matemática ultrapasse os limites quantitativos e se dê nos diversos momentos da aprendizagem a saber nas atividades individuais e de grupo dentro da sala de aula nas tarefas de casa nas tarefas orais nas participações em feiras e ofi cinas etc No entanto acha mos que as provas individuais ainda desempenham um papel importante no processo pois essas também ajudam o aluno a refl etir sobre suas capacidades e limitações e servem de orientação aos esforços necessários para superar as difi culdades Além disso a correção dessas provas por parte do professor em sala de aula com a participação dos alunos proporciona uma excelente atividade de revisão dos conhecimentos Dessa maneira os erros propiciam uma oportunidade para que os alunos possam aprender a partir deles As observações que o professor julgar necessárias registrar podem ser anotadas por exemplo em fi chas individuais com o objetivo de fornecer um mapeamento do desenvolvi mento do aluno ao longo do ciclo Por outro lado o professor não deve passar a maior parte do seu tempo de trabalho se dedicando a registrar essas observações Convém deixar claro que o ob jetivo é a aprendizagem Ele deve distinguir quais as informações são importantes para a refl exão da sua prática e quais as informações devem ser repassadas aos alunos Para estes as informações devem fornecer elementos importantes que os auxiliem a refl etir e a autoregular seu processo de aprendizagem Já no segundo caso competências sociais a avaliação tem como função auxiliar e ori entar os alunos quanto ao desenvolvimento das atitudes das competências e das habilidades que são exigidas socialmente responsabilidade solidariedade valorização do trabalho coletivo perseverança capacidade de tomar decisões etc 19 Resumindo a avaliação deve levar em conta as competências pedagógicas e sociais e em ambos os casos refl etir com clareza em que momento da aprendizagem se encontra o aluno competência adquirida competência em fase de aquisição ou competência a ser reforçada 6 Como Lidar com Erros O erro na resolução de um problema ou em uma avaliação deve ser encarado como uma oportunidade ideal de revisão de conceitos e estratégias de solução É extremamente importante que uma tentativa consciente de resolver um problema mesmo incorreta seja tão respeitada quanto uma solução correta Quando o aluno percebe que mesmo errando seu esforço é bem recebido e que ele contribuiu positivamente para o trabalho do professor e da turma sua auto confi ança aumenta e ele percebe que o erro é uma oportunidade de crescimento A postura adequada do professor frente a um erro do aluno é primeiro fazer o aluno ex por claramente seu raciocínio Isto feito o professor deve mostrar que algo está errado não criti cando o raciocínio mas mostrando que a solução não atende ao enunciado do problema Após isto o raciocínio deve ser colocado em discussão aberta com a turma e as sugestões de correção devem ser registradas e discutidas dando a elas o mesmo valor do raciocínio inicial Idealmente uma solução correta deve vir da turma o professor pode então intervir analisando as etapas da discussão e apresentando soluções alternativas caso adequado 20 Conteúdo Básico Comum CBC de Matemática do Ensino Fundamental da 6ª à 9ª série Os tópicos obrigatórios são numerados em algarismos arábicos Os tópicos complementares são numerados em algarismos romanos 21 Eixo Temático I Números e Operações Tema 1 Conjuntos Numéricos TÓPICOS HABILIDADES 1 Conjunto dos números naturais 11 Operar com os números naturais adicionar multiplicar subtrair calcular potências calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos 12 Utilizar os critérios de divisibilidade por 2 3 5 e 10 13 Utilizar o algoritmo da divisão de Euclides 14 Representar a relação entre dois números naturais em termos de quociente e resto 15 Fatorar números naturais em produto de primos 16 Calcular o mdc e o mmc de números na turais 17 Resolver problemas que envolvam técnicas simples de contagem 18 Resolver problemas envolvendo operações com números naturais 2 Conjunto dos números inteiros 21 Reconhecer a necessidade da ampliação do conjunto dos números naturais através de situa ções contextualizadas e resolução de equação 22 Operar com números inteiros adicionar multiplicar subtrair calcular potências 23 Resolver problemas que envolvam opera ções com números inteiros 24 Localizar números inteiros na reta numéri ca utilizando a ordenação no conjunto 22 3 Conjunto dos números racionais 31 Reconhecer a necessidade da ampliação do conjunto dos números inteiros através de situa ções contextualizadas eou resolução de equa ção 32 Operar com números racionais em forma decimal e fracionária adicionar multiplicar subtrair dividir e calcular potências e calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos 33 Associar uma fração à sua representação decimal e viceversa 34 Resolver problemas que envolvam números racionais 35 Localizar números racionais na reta numéri ca utilizando a ordenação no conjunto I Conjunto dos números reais Reconhecer a necessidade da ampliação do conjunto dos números racionais através de situações contextualizadas e da resolução de problemas Identifi car números racionais com as dízi mas periódicas Identifi car as dízimas não periódicas com os números irracionais Usar geometria para construir alguns seg mentos de comprimento irracional TÓPICOS HABILIDADES II Números naturais Utilizar a representação decimal para justifi car critérios de divisibilidade Representar geometricamente os conceitos de quociente e de resto na divisão de dois números naturais 23 Tema 2 Grandezas Proporcionais TÓPICOS HABILIDADES 4 Proporcionalidade Direta e Inversa 41 Identifi car grandezas diretamente propor cionais 42 Identifi car grandezas inversamente pro porcionais 43 Resolver problemas que envolvam gran dezas direta ou inversamente proporcionais 5 Porcentagem 51 Interpretar e utilizar o símbolo 52 Resolver problemas que envolvam o cál culo de porcentagem 6 Juros 61 Calcular descontos lucros e prejuízos 62 Resolver problemas que envolvam o cál culo de prestações em fi nanciamentos com poucas prestações 63 Comparar preços à vista e a prazo Eixo Temático II Álgebra Tema 1 Expressões Algébricas TÓPICOS HABILIDADES 7 Linguagem Algébrica 71 Utilizar a linguagem algébrica para re presentar simbolicamente as propriedades das operações nos conjuntos numéricos e na geometria 72 Traduzir informações dadas em textos ou verbalmente para a linguagem algébrica 73 Utilizar a linguagem algébrica para reso lução de problemas 24 8 Valor Numérico de uma Expressão 81 Calcular o valor numérico de uma expres são 82 Utilizar valores numéricos de expressões algébricas para constatar a falsidade de igual dade ou desigualdades 9 Operações com Expressões Algébricas Básicas 91 Somar multiplicar e subtrair polinômios 92 Dividir um monômio por um monômio 93 Dividir um polinômio por um monômio 94 Reconhecer os produtos notáveis 95 Fatorar uma expressão algébrica Tema 2 Equações Algébricas TÓPICOS HABILIDADES 10 Equações do Primeiro Grau 101 Identifi car a raiz de uma equação do primeiro grau 102 Resolver uma equação do primeiro grau 103 Resolver problemas que envolvam uma equação do primeiro grau 11 Sistemas de Equações do Primeiro Grau 111 Identifi car as solução ões de um sis tema de duas equações lineares 112 Resolver problemas que envolvam um sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas 12 Equações do Segundo Grau 121 Identifi car as raizízes de uma equa ção do segundo grau 122 Identifi car as raízes de uma equação dada por um produto de fatores do primeiro grau 123 Resolver uma equação do segundo grau 124 Resolver situaçõesproblema que envol vam uma equação do segundo grau 25 TÓPICOS HABILIDADES III Operações com expressões algébricas Dividir dois polinômios Calcular o mdc e o mmc de polinômios simples de grau baixo Somar multiplicar subtrair e dividir poli nômios IV Equações Identifi car as raízes de uma equação dada por um produto de fatores do primeiro e do segundo graus Eixo Temático III Espaço e Forma Tema 1 Relações Geométricas entre Figuras Planas TÓPICOS HABILIDADES 13 Figuras planas 131 Reconhecer as principais propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros e dos principais quadriláteros quadrado retângulo paralelogramo trapézio losango 132 Identifi car segmento ponto médio de um segmento triângulo e seus elementos polígonos e seus elementos circunferência disco raio diâmetro corda retas tangentes e secantes 133 Identifi car ângulo como mudança de di reção 134 Identifi car retas concorrentes perpendi culares e paralelas 135 Reconhecer e descrever objetos do mun do físico utilizando termos geométricos 136 Reconhecer a altura de um triângulo re lativa a um de seus lados 26 TÓPICOS HABILIDADES 14 Ângulos formados entre paralelas e transversais 141 Utilizar os termos ângulo paralelas e transversais e perpendiculares para descrever situações do mundo físico ou objetos 142 Reconhecer as relações entre os ângulos formados por retas paralelas com uma trans versal 143 Utilizar as relações entre ângulos forma dos por retas paralelas com transversais para obter a soma dos ângulos internos de um tri ângulo 15 Congruência de triângulos 151 Reconhecer triângulos congruentes a partir dos critérios de congruência 152 Resolver problemas que envolvam crité rios de congruência de triângulos 153 Utilizar congruência de triângulos para descrever propriedades de quadriláteros qua drados retângulos losangos e paralelogra mos 16 Construções geométricas 161 Construir perpendiculares paralelas e mediatriz de um segmento usando régua e compasso 162 Construir um triângulo a partir de seus lados com régua e compasso 17 Teorema de Tales e semelhança de triângulos 171 Resolver problemas que envolvam o teo rema de Tales 172 Reconhecer triângulos semelhantes a partir dos critérios de semelhança 173 Resolver problemas que envolvam seme lhança de triângulos 18 Teorema de Pitágoras 181 Utilizar semelhança de triângulos para obter o teorema de Pitágoras 182 Resolver problemas que envolvam o teo rema de Pitágoras 27 V Pontos notáveis de um triângulo Reconhecer as propriedades do ponto de en contro das medianas de um triângulo bari centro Reconhecer as propriedades do ponto de en contro das três alturas de um triângulo or tocentro Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo in centro Resolver problemas que envolvam segmen tos que unem cada vértice de um triângulo a pontos do lado oposto cevianas VI Semelhança e trigonometria no tri ângulo retângulo Utilizar semelhança de triângulos para des crever as relações métricas no triângulo re tângulo Resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas seno cosseno e tangente VII Simetrias Identifi car simetrias de fi guras em relação a uma reta ou em relação a um ponto VIII Construções geométricas Reconhecer o ponto médio de um segmen to a mediatriz de um segmento a bissetriz de um ângulo com fi guras obtidas a partir de simetrias Construir com régua e compasso a media triz de um segmento a bissetriz de um ân gulo retas paralelas retas perpendiculares transporte de ângulos e de segmentos Construir triângulos isósceles e eqüiláteros quadrados e hexágonos regulares IX Ângulos em uma circunferência Identifi car ângulos centrais e inscritos em uma circunferência Relacionar medidas de ângulos centrais ins critos e arcos em uma circunferência TÓPICOS HABILIDADES 28 Tema 2 Expressões Algébricas TÓPICOS HABILIDADES 19 Medidas de comprimento e pe rímetros 191 Reconhecer a necessidade de medidas pa drão 192 Relacionar o metro com seus múltiplos e submúltipos 193 Escolher adequadamente múltiplos ou sub múltiplos do metro para efetuar medidas 194 Utilizar instrumentos para medir compri mentos 195 Fazer estimativas de medidas lineares tais como comprimentos e alturas 196 Resolver problemas que envolvam o perí metro de fi guras planas 20 Áreas e suas medidas 201 Relacionar o metro quadrado com seus múltiplos e submúltipos 202 Escolher adequadamente múltiplos ou sub múltiplos do metro quadrado para efetuar medi das 203 Fazer estimativas de áreas 204 Resolver problemas que envolvam a área de fi guras planas triângulo quadrado retângulo paralelogramo trapézio discos ou fi guras com postas por algumas dessas 21 Volume capacidade e suas me didas 211 Relacionar o metro cúbico com seus múlti plos e submúltipos 212 Relacionar o decímetro cúbico com o litro e o mililitro 213 Escolher adequadamente múltiplos ou sub múltiplos do metro cúbico para efetuar medidas 214 Fazer estimativas de volumes e capacida des 215 Resolver problemas que envolvam cálculo de volume ou capacidade de blocos retangulares expressos em unidade de medida de volume ou em unidades de medida de capacidade litros ou mililitros 29 22 Medidas de ângulo 221 Utilizar o grau como unidade de medida de ângulo 222 Utilizar instrumentos para medir ângulos 223 Resolver problemas que envolvam o cálculo de medida de ângulos internos ou externos de um polígono X Áreas laterais e totais de fi guras tridimensionais Calcular a área lateral ou total de fi guras tri dimensionais bloco retangular cilindro pirâ mide XI Planifi cações de fi guras tridimen sionais Reconhecer a planifi cação de fi guras tridi mensionais cubo bloco retangular cilindro cone e pirâmide Construir fi guras tridimensionais a partir de planifi cações Calcular a área lateral ou total de uma fi gura tridimensional a partir de sua planifi cação TÓPICOS HABILIDADES 30 TÓPICOS HABILIDADES 23 Organização e apresentação de um conjunto de dados em tabelas ou gráfi cos 231 Organizar e tabular um conjunto de da dos 232 Interpretar e utilizar dados apresentados em tabelas 233 Utilizar um gráfi co de setores para repre sentar um conjunto de dados 234 Interpretar e utilizar dados apresentados num gráfi co de segmentos 235 Utilizar um gráfi co de colunas para repre sentar um conjunto de dados 236 Interpretar e utilizar dados apresentados num gráfi co de colunas 237 Utilizar um gráfi co de setores para repre sentar um conjunto de dados 238 Interpretar e utilizar dados apresentados num gráfi co de setores 24 Média aritmética 241 Resolver problemas que envolvam a média aritmética Tema 2 Probabilidade TÓPICOS HABILIDADES 25 Contagem 251 Resolver problemas simples de contagem utilizando listagens ou o diagrama da árvore 26 Conceitos básicos de probabilida de 261 Relacionar o conceito de probabilidade com o de razão 262 Resolver problemas que envolvam o cálcu lo de probabilidade de eventos simples Eixo Temático IV Tratamento de Dados Tema 1 Representação Gráfi ca e Média Aritmética 31 1 Introdução Este documento está fundamentado nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio DCNEM e nas orientações complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias e tem como objetivo tornar operacionais alguns princípios esboçados naquele documento especifi cando e detalhando mais as unidades temáticas e sugerindo estratégias de ensino Tratase de um documento aberto a aper feiçoamentos e reformulações seja com a introdução de novas competências e conceitos seja pela discussão contínua sobre a melhor estratégia a ser adotada em cada situação concreta em sala de aula Não se pretende fazer aqui uma discussão teórica sobre as orientações sugeridas nos PCN mas sim especifi car as competências e temas dentro da cada Unidade Temática sugerindo ativi dades e alternativas de abordagens com o objetivo de contribuir para a formulação de um projeto pedagógico nas escolas A idéia é seguir o modelo dos PCN que estabelece parâmetros gerais sem entrar em maiores detalhes sobre conteúdo ou estratégias de ensino deixando para que os Estados e fi nalmente cada a escola desenvolva a sua proposta pedagógica para a disciplina Os PCN estabelecem que No ensino médio etapa fi nal da escolaridade básica a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formação de todos os jovens que contribui para a construção de uma visão de mundo para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profi ssional Nessa etapa da escolaridade portanto a Matemática vai além de seu caráter instrumental colocandose como ciência com características próprias de investigação e de lin guagem e com papel integrador importante junto às demais Ciências da Natureza Algumas características da Matemática que servem de referência para uma proposta cur ricular A Matemática fornece instrumentos efi cazes para compreender e atuar no mundo que nos cerca A Matemática é uma ferramenta essencial na solução de problemas do mundo em que vivemos Nela são desenvolvidas estruturas abstratas baseadas em modelos concretos raciocínios pura mente formais permitem concluir sobre a possibilidade ou não da existência de certos padrões e suas propriedades no modelo original Ensino Médio 32 Além de método a Matemática é um meio de comunicação uma linguagem formal e como tal requer uma prática constante um exercício de sua gramática Por ser uma linguagem pre cisa a Matemática permite a argumentação de forma clara concisa rigorosa e universal O aspecto cultural da Matemática o conhecimento matemático faz parte do patrimônio cultural que a humanidade vem acumulando que possui características e procedimentos próprios e que tem um papel fundamental na construção de uma visão de mundo consciente e crítica A Matemática possui um forte caráter integrador e interdisciplinar o conhecimento matemático não é propriedade privada dos matemáticos ele tem evoluído também no contexto de outras ciências Exemplos importantes desta interdisciplinaridade contribuições encontradas na Física na Economia na Biologia Lingüística e Engenharia Isso signifi ca que a maneira de pensar matematicamente deve ser aprendida não apenas por aqueles que irão dedicarse à Matemá tica De acordo com os PCN a área de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias elegeu três grandes competências como metas a serem perseguidas Representação e comunicação leitura transmissão de idéias interpretação e produção de textos nas diversas formas características da área Algumas habilidades referentes a esta competência são Ler e interpretar dados apresentados em tabelas gráfi cos diagramas fórmulas equações ou representações geométricas Traduzir informações de uma dessas formas de apresentação para outra utilizar essas formas de apresentação de informações selecionando em cada caso as mais adequa das Ler e interpretar diferentes tipos de textos com informações apresentadas na forma de linguagem matemática como por exemplo artigos de conteúdo econômico que aparecem em jornais e revistas social ou cultural em propagandas de promoções e vendas apresentados em folhetos ou na mídia Expressarse com clareza sobre temas matemáticos oralmente ou por escrito Investigação e compreensão capacidade de enfrentar desafi os e resolução de situações problema utilizandose de conceitos e procedimentos peculiares experimentação abstração modelagem 33 Algumas habilidades referentes a esta competência são Identifi car os dados relevantes numa situaçãoproblema para buscar possíveis resoluções Elaborar estratégias para enfrentar re solver uma dada situaçãoproblema Identifi car regularidade em dadas situações Fazer estimativas Interpretar fazer uso e elaborar modelos e representações matemáticas para analisar situações Reconhecer relações entre a matemática e outras áreas do conhecimento Contextualização no âmbito histórico ou sóciocultural na forma de análise crítica das idéias e dos recursos da área para questionar modifi car ou resolver problemas propostos Algumas habilidades referentes a esta competência são Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo histórico em estreita relação com as condições sociais políticas e econômicas de uma determinada época Compreender a responsabilidade social associada à aquisição e ao uso do conheci mento matemático sentindose mobilizado para diferentes ações que envolvam seu interesse como cidadão ou de sua comunidade Utilizar as ferramentas matemáticas para analisar situações de seu entorno real e propor soluções etc A seleção de tópicos e temas apresentados a seguir foi feita a partir de uma revisão do primeiro documento sobre a Proposta Curricular para a Matemática no Ensino Médio do Estado de Minas Gerais publicado em 2005 pela SEE Esta revisão está baseada nas sugestões obtidas durante os anos de 2005 e 2006 por meio de contatos diretos com professores da rede estadual nos cursos de capacitação palestras e debates no Fórum Virtual e com estudantes de licenciatura em Matemática e docentes de várias insti tuições de ensino superior Nesta revisão buscouse Melhorar a coerência da proposta e formular com maior precisão as habilidades tentando esclarecer melhor o que é essencial para um aluno do ensino médio Aprimorar o entendimento da relação entre os diversos tópicos Permitir uma maior fl exibilização na parte complementar através da fusão ou su pressão de alguns tópicos Como foi dito a listagem dos tópicos é apenas um guia um roteiro baseado no qual cada escola poderá traçar o caminho que seja mais adequado aos seus objetivos buscando fazer uma distribuição ao longo do tempo de modo coerente e consistente com o seu projeto pedagógico 34 Uma característica da presente proposta é a dependência do CBC para o Ensino Mé dio do CBC do Ensino Fundamental Nesta listagem não estão incluídos os tópicos geralmente vistos no Ensino Fundamental mas que tratam de assuntos cujo conhecimento prévio é útil ou necessário para uma boa compreensão dos temas tratados no ensino médio Portanto para a efe tiva implantação do CBC é importante que os professores de matemática conheçam a proposta para os dois níveis como um todo e que a escola cuide para que o conhecimento adquirido nos anos anteriores seja reforçado e que possíveis defi ciências de formação sejam sanadas Vale ressaltar que as propostas curriculares de Matemática para os ensinos fundamental e médio sugerem que se trabalhe com atividades que proporcionem o desenvolvimento da cria tividade do aluno bem como se abra um espaço na sala de aula para o aluno expor suas dúvidas observações e relatos sobre as atividades de forma oral ou escrita Em ambos os níveis devese incentivar o aluno a justifi car os procedimentos adotados diante de problemas e suas conclusões mesmo que ele ainda não possua os instrumentos formais para fazêlo Se no ensino fundamental as justifi cativas se dão quase sempre num nível intuitivo no ensino médio além da metodologia aplicada ao ensino fundamental devese dar ênfase a justifi cativas mais formais introduzindo dessa forma a linguagem um pouco mais rigorosa É importante frisar também que parte integrante e fundamental da Proposta Curricular são as Orientações Pedagógicas e as Sugestões de Atividades que estão sendo gradativamente revisadas e melhoradas incorporando sugestões dos professores Além da parte comum CBC está prevista uma parte complementar que no caso especí fi co da matemática deve prever atividades curriculares que tenham como objetivos a supressão de defi ciências de conteúdos específi cos aulas de revisão por exemplo a introdução de novos tópicos de interesse de grupos de alunos preparação para o ingresso no ensino superior por exemplo o aprofundamento de temas ou tópicos tratados no CBC e atividades interdisciplinares Finalmente ressaltase o caráter dinâmico desta proposta que pretende agregar cada vez mais as contribuições de docentes e especialistas buscando o seu aperfeiçoamento e melhorando a sua adequação às características e necessidades do nosso Estado Eixos Temáticos De acordo com os PCN um tema estruturador é Um conjunto de temas que possi bilitam o desenvolvimento das competências almejadas com relevância científi ca e cultural e com uma articulação lógica das idéias e conteúdos matemáticos Com o objetivo de uniformizar a nomenclatura com as demais disciplinas nesse trabalho a terminologia eixo temático é usada com o mesmo sentido de tema estruturador preservando o signifi cado original desta última 35 Os eixos temáticos aqui propostos são os seguintes Eixo Temático I Números Contagem e Análise de Dados Contar é um dos atos primitivos da Matemática e se materializa no cotidiano e nas ciên cias através das perguntas Quantos são e De quantas maneiras Os métodos e conceitos relativos ao ato de contar são essenciais em problemas tão diversos quanto enumeração de pos síveis resultados de uma experiência genética armazenamento de dados em formato eletrônico estimativas do tempo de execução de programas em computadores e distribuição de senhas para usuários de sistemas seguros de comunicação Todos estes problemas e inúmeros outros dependem da formalização matemática das técnicas de contagem conhecida como Análise Combinatória e de suas fundamentais aplicações em Probabilidade e Teoria de Grafos A contagem cotidiana se restringe normalmente à contagem direta ou seja à exibição ex plícita dos objetos envolvidos e seu conseqüente registro um a um Isto é obviamente insufi ciente em situações em que o número de objetos é muito grande ou não se dispõe de uma maneira conveniente de listálos Para lidar com estas situações temos os métodos e conceitos de Análise Combinatória que consistem essencialmente neste nível no estudo de subconjuntos e seqüên cias em outras palavras no estudo de situações em que a contagem se reduz a saber de quantas maneiras um determinado grupo de objetos pode ser escolhido sem e com restrições em relação à ordem em que são selecionados Estes conceitos propriamente formulados e verbalizados per mitem a transição imediata do pensamento cotidiano para o pensamento científi co Os resultados do estudo de Análise Combinatória transcendem em muito o âmbito ex clusivo da disciplina Como os entes matemáticos utilizados são apenas números naturais e as operações elementares entre eles os métodos de pensamento utilizados que são de caráter geral e formativo apresentamse de maneira clara e despojada de complicações teóricas conceituais ou notacionais Isto propicia ao aluno o exercício de competências fundamentais como planejamen to de estratégias de resolução de problemas divisão de problemas em casos análise envolvendo números pequenos levando à generalização e à crítica dos resultados obtidos Os refl exos positivos deste exercício são imediatos no desempenho escolar global e na prática cotidiana Provavelmente é no tratamento de dados que a matemática manifesta mais claramente a sua utilidade no cotidiano Hoje em dia a Estatística Descritiva e a Probabilidade fazem parte do discurso jornalístico e científi co cotidiano quando se trata por exemplo de pesquisas de in tenção de voto perfi l sócioeconômico da população brasileira as chances da cura de determi nada doença ou riscos de contraíla Esperase portanto que numa formação básica do cidadão não apenas se adquira a capacidade de ler e analisar dados expostos em diversas formas mas que 36 se possa refl etir criticamente sobre os seus signifi cados e emitir juízos próprios Por essa razão a análise de dados é escolhida como um dos temas estruturadores da Matemática pois proporciona uma adequada contextualização sóciocultural aproximando o conhecimento adquirido na Es cola da realidade do aluno Este tema é importante também por ser utilizado em quase todas as demais áreas do conhecimento como por exemplo demografi a saúde lingüística possibilitando o desenvolvimento de várias atividades integradas dentro da escola Eixo Temático II Funções Elementares e Modelagem A atitude de tentar solucionar problemas propostos no mundo real está na própria base da criação matemática e tem sido uma fonte inesgotável de inspiração e de renovação dos seus métodos A utilização de modelos matemáticos por meio da formulação em linguagem simbóli ca e relações lógicas para analisar certas situações tem sido um método bastante efi caz adotado com sucesso há vários séculos Uma das maneiras de traduzir matematicamente alguns fenômenos é através do estabelecimento de relações de dependência entre as quantidades ou grandezas observadas Por exemplo a distância percorrida por um automóvel depende da velocidade e do tempo de per curso o montante devido num empréstimo depende da taxa de juros do número de prestações e do valor inicial tomado a velocidade de espalhamento de uma epidemia depende entre outras coisas do número de pessoas infectadas a absorção de um remédio depende da sua concentração do peso do indivíduo e do tempo O conceito de função é um dos temas centrais e unifi cadores da matemática podendo ser usado em diversas situações mesmo não numéricas por exemplo na geometria quando falamos em transformações geométricas As funções elementares estudadas no Ensino Médio afi m polinomial exponencial e trigonométricas permitem a análise de fenômenos que envolvam proporcionalidade cresci mento decaimento e periodicidade que são bastante comuns no cotidiano Eixo Temático III Geometria e Medidas Qualquer pessoa se depara muito cedo em sua vida com várias formas geométricas como por exemplo uma bola uma caixa um bloco um cone triângulos quadriláteros círculos etc E muito cedo já consegue distinguilas Várias etapas devem ser cumpridas desde o simples 37 reconhecimento dessas fi guras espaciais eou planas até a construção de sólidos ou superfícies que servem de modelos de estruturas arquitetônicas construção de reservatórios para fi ns vari ados modelagem geométrica de utensílios aparelhos órgãos para transplante cápsulas espaciais etc Esse processo envolve a aquisição de diversos níveis de compreensão que vão desde o senso comum até a realização de análises mais detalhadas como estimativas de medidas e a construção e ajuste de modelos A geometria estimula a capacidade de observação do aluno sua criatividade por meio do uso de formas geométricas para visualizar representar ou descrever objetos Ela ainda propicia a oportunidade de utilizar o raciocínio lógicodedutivo para a validação de seus resultados permite calcular eou fazer estimativas No ensino médio a geometria é estudada levandose em conta três aspectos o tratamento formal lógicodedutivo dos fatos referentes a fi guras planas e espaciais o desenvolvimento de téc nicas de medição indireta usando semelhança de triângulos ou trigonometria e a algebrização da geometria através da introdução de um modelo para a geometria euclidiana plana geometria analítica Esses três aspectos são fundamentais na formação do aluno O raciocínio lógicodedutivo no qual provamse fatos novos a partir de fatos conhecidos é a base do conhecimento científi co sendo aplicado com freqüência em discussões e debates Com o uso das técnicas de medição indireta é possível calcular por exemplo a altura de montanhas distâncias intergalácticas e desenvolver instrumentos de medição de desenho e de modelagem Por sua vez a geometria analítica permite tratar lugares geométricos planos por meio de equações transformando problemas geométricos em problemas algébricos Além disso possibilita a representação gráfi ca de funções ou de dados Esta proposta difere um pouco da proposta do PCN em que são propostos três temas estruturadores 1 Álgebra números e funções 2 Geometria e medidas 3 Análise de dados O desdobramento aqui proposto justifi case pelo fato de que as funções elementares as sociadas à modelagem possuem um papel importante na conexão com as outras disciplinas da área de Ciências da Natureza e mesmo com outras áreas adquirindo um caráter estruturador e integrador 38 A seleção dos conteúdos visa contribuir para a formação integral do aluno procurando desen volver a sua capacidade de raciocínio lógico a sua criatividade e imaginação a sua intuição a sua capacidade de análise e de crítica fundamentada Também deve se ter em mente outros componentes importantes dessa formação como aquisição de valores hábitos e procedimentos que propiciem uma atuação construtiva e cooperativa no meio em que se vive Além disso na escolha de tópicos temse em vista a busca de explicações para fenômenos evidenciando assim a sua relevância É importante frisar que os conteúdos conceituais ou idéias básicas apresentados formam o esqueleto a estrutura da proposta enquanto os conteúdos relacionados à atitudes e procedimentos formam a carne que lhe dá sustentação Essas peças complementares devem ser encaradas como integradas uma não existindo sem a outra Dessa maneira optouse por estabelecer a proposta usandose as competências e habilidades associadas a conceitos e idéias e a esses correspondem algumas sugestões de atividades e estratégias de ensino Obviamente a lista de propostas pedagógicas para abordar os temas é quase inesgotável e existem várias fontes importantes de consulta que podem ser encontradas por exemplo na inter net O objetivo aqui é apresentar algumas sugestões que ilustrem o espírito da proposta Anexo à proposta são apresentadas algumas situações de sala de aula vinhetas que podem servir de motivação para novas estratégias de ensino a serem adotadas 3 Resolução de Problemas Um dos principais objetivos do ensino de Matemática em qualquer nível é o de desen volver habilidades para a solução de problemas Esses problemas podem advir de situações concre tas observáveis contextualizadas ou não No primeiro caso é necessária uma boa capacidade de usar a linguagem matemática para interpretar questões formuladas verbalmente Por outro lado problemas interessantes que despertam a curiosidade dos estudantes podem surgir dentro do próprio contexto matemático em que novas situações podem ser exploradas e o conhecimento aprofundado num exercício contínuo da imaginação Em cada unidade temática várias situações práticas ou problemas podem ser exploradas tanto para a motivação na introdução de novos conceitos e idéias quanto nas aplicações O constante desenvolvimento das habilidades para a solução de problemas envolve as seguintes estratégias que devem tornarse hábito para o aluno Usar fi guras diagramas e gráfi cos tanto de forma analítica quanto intuitiva Expressar oralmente ou por escrito com suas próprias palavras propriedades matemáticas atribuindo signifi cado aos conceitos abstratos e formulando por meio do uso da linguagem simbólica questões expressas verbalmente 39 Perceber padrões em situações aparentemente diversas Estudar casos especiais mais simples usandoos para elaborar estratégias de resolução de casos mais complexos ou gerais Fazer uso do método de tentativa e erro elaborando novas estratégias de solução a partir da análise crítica dos erros Usar a simbologia matemática sentenças com variáveis e equações Usar a analogia como ferramenta de trabalho recorrendo a métodos já utilizados e adaptandoos para a resolução de novos problemas Trabalhar de trás para diante supondo conhecida a solução de um problema e deduzir suas propriedades para obter um caminho para encontrála Compartilhar e discutir observações e estratégias de outros estudantes adquirindo assim experiência e novos insights para abordar um problema A solução de uma ampla variedade de problemas desenvolve a capacidade de abstração do aluno bem como a habilidade de atribuir signifi cado aos conceitos abstratos estudados Ao con trário do que ocorre em vários livrostextos atuais devese privilegiar a diversidade em oposição à repetição e à quantidade 4 Avaliação O professor ao planejar orientar observar instigar organizar e registrar as atividades em sala de aula possui um conjunto de parâmetros que o habilita a fazer uma avaliação contínua de todo o processo de aprendizagem Nesse processo estão envolvidos ele próprio os alunos o mate rial e a metodologia utilizados Isso permite ao professor reformular a cada momento suas práticas pedagógicas e melhor adaptálas às condições de sala de aula A avaliação deve ser parte integrante desse processo Além do que foi mencionado acima o professor deve buscar selecionar e registrar situações e procedimentos que possam ser avaliados de modo a contribuir efetivamente para o crescimento do aluno Essa observação e registro junta mente com os métodos tradicionais de verifi cação de aprendizagemprovas e listas de exercícios nos quais são ressaltados os aspectos mais relevantes e importantes das unidades devem fazer parte das estratégias de ensino Sabese que a questão da avaliação é muito delicada e que pode afetar a autoestima do aluno especialmente no caso de adolescentes Dessa forma devese ter uma atitude positiva e construtiva em relação à avaliação O professor deve incentivar e abrir espaço para que os alunos exponham oral ou de forma escrita suas observações suas difi culdades e seus relatos sobre as atividades e conteúdos trabalha dos O erro na resolução de um problema ou em uma avaliação deve ser encarado como uma oportunidade ideal de revisão de conceitos e estratégias de solução É extremamente importante que uma tentativa consciente de resolver um problema seja tão respeitada quanto uma solução 40 correta Quando o aluno percebe que mesmo errando seu esforço e trabalho são bem recebidos e que ele contribuiu positivamente para o trabalho do professor e da turma sua autoconfi ança aumenta e ele percebe que o erro é uma oportunidade de crescimento A postura adequada do professor frente a um erro do aluno é primeiro fazer o aluno expor claramente seu raciocínio Isto feito o professor deve mostrar que algo está errado não cri ticando o raciocínio mas mostrando que a solução não atende ao enunciado do problema Após isto o raciocínio deve ser colocado em discussão aberta com a turma e as sugestões de correção devem ser registradas e discutidas dando a elas o mesmo valor do raciocínio inicial Idealmente uma solução correta deve vir da turma o professor pode então intervir analisando as etapas da discussão e apresentando soluções alternativas caso seja adequado 5 Contextualização De acordo com a DCNEM a contextualização é um dos princípios estruturadores do Ensino Médio Conforme o parecer que acompanha a Resolução que estabelece as Diretrizes a contextualização evoca áreas âmbitos e dimensões presentes na vida pessoal social e cultural do aluno e mobiliza competências cognitivas já adquiridas para tratar de novas questões Nesse sentido pode ser um recurso para ampliar as possibilidades de interação em diversos níveis entre temas de uma mesma disciplina entre as disciplinas de uma determinada área ou entre disciplinas de áreas diversas O objetivo é criar condições para uma aprendizagem motivadora que leve a superar o distanciamento entre os conteúdos estudados e a experiência do aluno estabelecendo relações entre os tópicos estudados e trazendo referências que podem ser de natureza histórica cultural ou social ou mesmo de dentro da própria Matemática O tratamento contextualizado do conhecimento é um dos recursos que a escola tem para retirar o aluno da condição de espectador passivo Em Matemática a contextualização é um instrumento bastante útil desde que interpretada num sentido mais amplo e não empre gada de modo artifi cial e forçado ou que não se restrinja apenas a um universo mais imediato cotidiano Alguns temas como por exemplo o tratamento de dados ou contagem podem ser mais facilmente referidos a situações que fazem parte do cotidiano da mídia e da linguagem colo quial Outros podem ser estudados a partir de modifi cações de situações mais simples para mais complexas e que possuem motivação matemática Isso ocorre por exemplo com alguns temas de geometria Esse tipo de contextualização estimula a criatividade o espírito inventivo e a curiosi dade do aluno 41 Finalmente há temas que podem ser referidos a modelos matemáticos que estão relacio nados a questões estudadas em outras disciplinas por exemplo Física ou Química e portanto remetem a um outro princípio estruturador proposto nas DCNEM a interdisciplinaridade A interdisciplinaridade consiste em utilizar os conhecimentos de várias disciplinas para resolver um problema ou compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista O objetivo é contribuir para a superação do tratamento estanque e compartimentado que caracteriza hoje o conhecimento escolar Como foi dito na Introdução a Matemática é bastante apropriada para realizar com sucesso tal empreendimento uma vez que permite a aplicação de um mesmo modelo para tratar de fenômenos que ocorrem em cenários totalmente distintos O estabelecimento dessas conexões requer o desenvolvimento de habilidades que envolvem tanto representação usando por exemplo a linguagem simbólica equações diagramas ou gráfi cos quanto a compreensão e investigação ao formular questões selecionar e interpretar informações e resultados Para que se consiga tal integração é necessário que a o professor de Matemática esteja preparado para reconhecer as oportunidades de tra balho em conjunto com outras disciplinas b que haja uma sintonia entre as propostas curriculares das disciplinas e que sejam pos síveis momentos de refl exão e planejamento comum das atividades por parte das equipes de professores c o professor disponha de uma série de exemplos de aplicações de Matemática em outras áreas para o enriquecimento de suas aulas 6 A Questão dos PréRequisitos Em cada uma das Orientações Pedagógicas relativas aos tópicos do CBC encontrase uma lista de conhecimentos prévios úteis ou necessários para uma boa compreensão dos tópicos tratados no Eixo Temático O conhecimento matemático é construído na escola básica passo a passo desde as séries iniciais num crescendo de complexidade Com freqüência é impossível aprender alguns tópicos sem uma boa base em outros por exemplo o tópico Geometria Espacial depende muito do es tudo de triângulos De fato um dos grandes desafi os da Matemática no ensino básico é cuidar para que o conhecimento adquirido em anos anteriores seja reforçado e que possíveis defi ciências de for mação sejam sanadas Com isso queremos dizer que é necessário que o professor tenha uma boa idéia do nível de preparação dos seus alunos antes de introduzir um novo tópico 42 É comum constatarse em diversos exames e avaliações até mesmo em vestibulares que algumas falhas elementares de formação permanecem até o fi nal da terceira série do Ensino Médio Por exemplo as questões do ENEM que envolvem operações com frações ou números decimais apresentam alto índice de erro É necessário portanto que sejam observadas as condições de preparo dos alunos para a introdução de novos temas tendo como base assuntos supostamente conhecidos Essa observação pode ser realizada por exemplo através de testes prévios de verifi cação de domínio de con teúdo Às vezes uma simples revisão possibilita a superação dos problemas de prérequisitos Em outras ocasiões os alunos devem ser encorajados a tomar a iniciativa por meio de utilização de listas de exercícios suplementares seguidas de sessões de discussão de problemas Uma vez constatadas defi ciências mais generalizadas a escola deve buscar meios de sanálas por exemplo reservando horários para aulas de revisão e reforço 7 Apresentação do CBC de Matemática 2007 Esta é a distribuição dos tópicos dos Conteúdos Básicos Comuns CBC de Matemática para o primeiro e segundo anos do Ensino Médio Regular Diurno adaptada às normas dispostas pela Resolução SEEMG Nº 833 de 24 de novembro de 2006 Essa distribuição foi feita de acordo com a seguinte trajetória iniciando pela formação básica passando pela etapa de aprofun damento e fi nalizando com conteúdos complementares O primeiro ano é o ano da formação básica quando são apresentados conceitos e méto dos que constam de todos os temas estruturadores do CBC de Matemática A distribuição feita permite um retorno às habilidades referentes a tópicos do CBC do ensino fundamental que são essenciais para o desenvolvimento de novas habilidades Entretanto esse procedimento não deve ser visto como uma simples revisão mas como uma forma de abordagem dos tópicos de maneira mais geral O segundo ano é o ano de aprofundamento quando são apresentadas situações com maior grau de complexidade introduzidos novos tópicos e novos conceitos Alguns tópicos são comuns aos dois anos a diferença fundamental ocorrendo nas habilidades trabalhadas em cada um O terceiro ano é o ano da complementação de formação quando a escola poderá eleger tópicos complementares dentre os quais os sugeridos no CBC Tópicos do CBC para o 1º Ano 43 44 Eixo Temático I Números Contagem e Análise de Dados Tema 1 Números TÓPICOS HABILIDADES 1 Números racionais e dízimas periódicas 11 Associar a uma fração sua repre sentação decimal e viceversa 12 Reconhecer uma dízima periódica como uma representação de um núme ro racional 2 Conjunto dos números reais 21Reconhecer uma dízima não pe riódica como uma representação de um número irracional 22 Utilizar números racionais para obter aproximações de números irracio nais 3 Potências de dez e ordem de grandeza 31 Resolver problemas que envolvam operações elementares com potências de dez Tema 2 Contagem TÓPICOS HABILIDADES 4 Princípio multiplicativo 41 Resolver problemas elementares de contagem utilizando o princípio multi plicativo 45 Tema 3 Probabilidade TÓPICOS HABILIDADES 5 Probabilidade 51 Reconhecer o caráter aleatório de variáveis em situaçõesproblema 52 Identifi car o espaço amostral em situaçõesproblema 53 Resolver problemas simples que envolvam o cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis 54 Utilizar o princípio multiplicativo no cálculo de probabilidades Tema 4 Estatística TÓPICOS HABILIDADES 6 Organização de um conjunto de dados em tabelas 61 Organizar e tabular um conjunto de dados 62 Interpretar e utilizar dados apresen tados em tabelas 63 Representar um conjunto de dados grafi camente 64 Interpretar e utilizar dados apresen tados grafi camente 65 Selecionar a maneira mais adequa da para representar um conjunto de da dos 7 Médias aritmética e geométrica 71 Resolver problemas que envolvam a média aritmética ou ponderada 72 Resolver problemas que envolvam a média geométrica 46 Eixo Temático II Funções Elementares e Modelagem Tema 5 Funções TÓPICOS HABILIDADES 8 Função do primeiro grau 81 Identifi car uma função linear a partir de sua repre sentação algébrica ou gráfi ca 82 Utilizar a função linear para representar relações en tre grandezas diretamente proporcionais 83 Reconhecer funções do primeiro grau como as que têm variação constante 84 Identifi car uma função do primeiro grau a partir de sua representação algébrica ou gráfi ca 85 Representar grafi camente funções do primeiro grau 86 Reconhecer funções do primeiro grau crescentes ou decrescentes 87 Identifi car os intervalos em que uma função do pri meiro grau é positiva ou negativa relacionando com a solução algébrica de uma inequação 88 Identifi car geometricamente uma semireta como uma representação gráfi ca de uma inequação do pri meiro grau 89 Reconhecer uma progressão aritmética como uma função do primeiro grau defi nida no conjunto dos nú meros inteiros positivos 810 Resolver problemas que envolvam inequações do primeiro grau 9 Progressão aritmética 91 Reconhecer uma progressão aritmética em um con junto de dados apresentados em uma tabela seqüência numérica ou em situaçõesproblema 92 Identifi car o termo geral de uma progressão aritmética 47 10 Função do segundo grau 101 Identifi car uma função do segundo grau a partir de sua representação algébrica ou gráfi ca 102 Representar grafi camente funções do segundo grau 103 Identifi car os intervalos em que uma função do segundo grau é positiva ou negativa 104 Resolver situaçõesproblema que envolvam as raí zes de uma função do segundo grau 105 Resolver problemas de máximos e mínimos que en volvam uma função do segundo grau 11 Progressão Geométrica 111 Identifi car o termo geral de uma progressão geo métrica 12 Função exponencial 121 Identifi car exponencial crescente e exponencial decrescente 122 Resolver problemas que envolvam uma função do tipo yx kax 123 Reconhecer uma progressão geométrica como uma função da forma yx kax defi nida no conjunto dos números inteiros positivos Tema 6 Matemática Financeira TÓPICOS HABILIDADES 13 Matemática fi nanceira 131 Resolver problemas que envolvam o conceito de porcentagem 132 Resolver problemas que envolvam o conceito de juros simples ou compostos 133 Resolver situaçõesproblema que envolvam o cál culo de prestações em fi nanciamentos com um número pequeno de parcelas TÓPICOS HABILIDADES 48 Eixo Temático III Geometria e Medidas Tema 7 Semelhança e Trigonometria TÓPICOS HABILIDADES 14 Semelhança de triângulos 141 Resolver problemas que envolvam semelhança de triângulos 142 Relacionar perímetros ou áreas de triângulos semelhantes 15 Trigonometria no triângulo retângulo 151 Reconhecer o seno o cosseno e a tangente como razões de semelhança e as relações entre elas 152 Resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas seno cosse no e tangente 153 Calcular o seno cosseno e tangen te de 30º 45º e 60º Tema 8 Geometria Analítica TÓPICOS HABILIDADES 16 Plano cartesiano 161 Localizar pontos no plano carte siano 162 Representar um conjunto de da dos grafi camente 163 Resolver problemas que envolvam simetrias no plano cartesiano 164 Reconhecer a equação de uma reta no plano cartesiano 165 Interpretar geometricamente a in clinação de uma reta 49 Tópicos do CBC para o 2º Ano Conteúdos de Aprofundamento 50 Eixo Temático IV Números Contagem e Análise de Dados Tema 9 Contagem TÓPICOS HABILIDADES 17 Contagem do número de elementos de uma união de conjuntos 171 Resolver problemas que envolvam o cálculo do número de elementos da união de conjuntos 18 Conjuntos e seqüências 181 Reconhecer a diferença entre con juntos e seqüências 182 Identifi car em situaçõesproblema agrupamentos associados a conjuntos e seqüências 19 Princípio multiplicativo 191 Resolver problemas utilizando o princípio multiplicativo 20 Arranjos combinações e permutações sem repetição 201 Reconhecer situações em que os agrupamentos são distinguíveis pela or dem de seus elementos ou não 202 Resolver problemas que envolvam arranjos combinações eou permuta ções sem repetição Tema 10 Probabilidade TÓPICOS HABILIDADES 21 Probabilidade 211 Identifi car o espaço amostral em situaçõesproblema 212 Resolver problemas que envolvam o cálculo de probabilidade de eventos 51 Eixo Temático V Funções Elementares e Modelagem Tema 11 Funções TÓPICOS HABILIDADES 22 Função do primeiro grau 221 Relacionar o gráfi co de uma fun ção do primeiro grau no plano cartesia no com uma reta 23 Progressão aritmética 231 Resolver problemas que envolvam a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética 24 Inequações do segundo grau 241 Identifi car geometricamente uma inequação com parte de um gráfi co de uma função do segundo grau 242 Resolver problemas que envolvam inequações do segundo grau 25 Progressão geométrica 251 Resolver problemas que envolvam a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica 26 Função logarítmica 261 Reconhecer a função logarítmica como a inversa da função exponencial 262 Utilizar em problemas as proprie dades operatórias da função logarítmi ca 263 Resolver problemas que envolvam a função logarítmica 264 Reconhecer o gráfi co de uma fun ção logarítmica 27 Sistema de equações lineares 271 Reconhecer se uma tripla ordena da é solução de um sistema de equações lineares 272 Resolver um sistema de equações lineares com duas variáveis e interpretar o resultado geometricamente 273 Resolver problemas que envolvam um sistema de equações lineares 52 Eixo Temático VI Geometria e Medidas Tema 12 Semelhança e Trigonometria TÓPICOS HABILIDADES 28 Trigonometria no círculo e funções trigo nométricas 281 Calcular o seno o cosseno e a tan gente dos arcos notáveis 0º 90º 180º 270º e 360º 282 Resolver problemas utilizando a re lação entre radianos e graus 283 Reconhecer no círculo trigonomé trico a variação de sinais crescimento e decrescimento das funções seno e cos seno 284 Identifi car no círculo trigonométri co o período das funções seno e cosse no Tema 13 Geometria Analítica TÓPICOS HABILIDADES 29 Plano cartesiano 291 Resolver problemas que envolvam a distância entre dois pontos no plano cartesiano 292 Relacionar a tangente trigonomé trica com a inclinação de uma reta 293 Reconhecer e determinar a equa ção da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um de seus pontos ou a partir de dois de seus pontos de coordenadas dadas numericamente ou por suas representações no plano car tesiano 294 Identifi car a posição relativa de duas retas a partir de seus coefi cientes 295 Reconhecer e determinar a equa ção de uma circunferência conhecidos seu centro e seu raio ou seu centro e um de seus pontos 53 Tema 14 Geometria Métrica e de Posição TÓPICOS HABILIDADES 30 Prismas e cilindros 301 Identifi car os vértices as arestas e as faces de um prisma 302 Resolver problemas que envolvam o cálculo da diagonal de um paralele pípedo retângulo 303 Identifi car as seções feitas por pla nos paralelos à base de um prisma ou de um cilindro 31 Pirâmides e cones 311 Identifi car os elementos de uma pirâmide e de um cone 312 Identifi car as seções feitas por pla nos paralelos à base de uma pirâmide ou um cone 32 Esferas e bolas 321 Identifi car os elementos de uma esfera e de uma bola 322 Identifi car as interseções entre planos e esferas 33 Planifi cações de fi guras tridimensionais 331 Reconhecer a planifi cação de fi guras tridimensionais usuais cubo pa ralelepípedo retangular prismas retos pirâmide cilindro e cone 54 34 Posição relativa entre retas e planos no es paço 341 Reconhecer posições relativas en tre retas paralelas concorrentes per pendiculares e reversas 342 Reconhecer posições relativas en tre retas e planos concorrentes perpen diculares e paralelos 343 Reconhecer posições relativas en tre planos paralelos perpendiculares e concorrentes 35 Áreas laterais e totais de fi guras tridimen sionais 351 Resolver problemas que envolvam o cálculo da área lateral ou total de fi gu ras tridimensionais 36 Volumes de sólidos 361 Resolver problemas que envolvam o cálculo de volume de sólidos TÓPICOS HABILIDADES 55 Sugestões de Tópicos Complementares para o 3º Ano 56 Eixo Temático VII Números Contagem e Análise de Dados Tema 15 Números TÓPICOS HABILIDADES 37 Números complexos 371 Reconhecer a necessidade da am pliação do conjunto dos números reais 372 Representar geometricamente um número complexo 373 Operar com números complexos e identifi car suas partes real e imaginária somar subtrair multiplicar dividir cal cular uma potência raízes o conjugado e o módulo de um número complexo 374 Resolver equações do segundo grau 375 Forma polar ou trigonométrica de números complexos Tema 16 Contagem TÓPICOS HABILIDADES 38 Arranjos combinações com repetições e permutações cíclicas 381 Resolver problemas que envolvam arranjos combinações e permutações com repetições e permutações cíclicas 39 Coefi cientes binomiais binômio de Newton e triângulo de Pascal 391 Utilizar propriedades combinató rias dos números binomiais 392 Utilizar o binômio de Newton para calcular potências de binômios 57 Tema 17 Probabilidade TÓPICOS HABILIDADES 40 Probabilidade condicional 401 Identifi car eventos independentes e não independentes em situaçõesproble ma 402 Resolver problemas que envolvam o conceito de probabilidade condicional 403 Utilizar probabilidades para fazer previsões aplicadas em diferentes áreas do conhecimento Tema 18 Estatística TÓPICOS HABILIDADES 41 Mediana e moda 411 Interpretar os conceitos de media na e moda em situações problema 412 Resolver problemas que envolvam a mediana e a moda Eixo Temático VIII Funções Elementares e Modelagem Tema 19 Funções TÓPICOS HABILIDADES 42 Funções trigonométricas 421 Identifi car o gráfi co das funções seno cosseno e tangente 422 Reconhecer o período de funções trigonométricas 423 Resolver equações trigonométri cas simples 58 43 Estudo de funções 431 Reconhecer funções defi nidas por partes em situaçõesproblema 432 Reconhecer os efeitos de uma transição ou mudança de escala no grá fi co de uma função 433 Usar a função logarítmica para efetuar mudança de escala Tema 20 Matemática Financeira TÓPICOS HABILIDADES 44 Matemática fi nanceira 441 Comparar rendimentos em diver sos tipos de aplicações fi nanceiras 442 Comparar e emitir juízo sobre di versas opções de fi nanciamento Eixo Temático IX Geometria e Medidas Tema 21 Semelhança e Trigonometria TÓPICOS HABILIDADES 45 Funções trigonométricas 451 Resolver problemas que envolvam funções trigonométricas da soma e da diferença de arcos 452 Resolver problemas que envolvam a lei dos senos 453 Resolver problemas que envolvam a lei dos cossenos 454 Identifi car os gráfi cos das funções seno e cosseno 455 Identifi car o período a freqüência e a amplitude de uma onda senoidal 59 Tema 22 Construções Geométricas TÓPICOS HABILIDADES 46 Lugares geométricos 461 Reconhecer a mediatriz a bissetriz e a circunferência como lugares geomé tricos 462 Reconhecer a parábola como um lugar geométrico Tema 23 Geometria Analítica TÓPICOS HABILIDADES 47 Interseções entre retas e circunferências 471 Resolver e interpretar geometri camente um sistema formado por uma equação de reta e outra de circunferên cia 472 Reconhecer a equação de uma cir cunferência identifi cando seu centro e seu raio 473 Resolver e interpretar geometri camente um sistema formado por uma equação de reta e outra de parábola 48 Elipse hipérbole e parábola 481 Equação cartesiana da elipse 482 Equação cartesiana da hipérbole 483 Equação cartesiana da parábola 484 Relacionar as propriedades da pa rábola com instrumentos óticos e ante nas 485 Reconhecer a elipse como um lu gar geométrico e relacionála com as leis de Kepler 60 49 Vetores 491 Calcular a soma de dois ou mais vetores 492 Multiplicar um vetor por um nú mero real 493 Resolver problemas simples envol vendo a soma de vetores e a multiplica ção por um número real 494 Resolver problemas simples de geometria utilizando vetores Tema 24 Geometria de Posição no Espaço TÓPICOS HABILIDADES 50 Seções planas de fi guras tridimensionais usuais 501 Reconhecer seções planas obtidas paralelas ou perpendiculares aos eixos de simetria de um prisma de um cilin dro de uma pirâmide de um cone e de uma esfera Tema 25 Geometria Métrica TÓPICOS HABILIDADES 51 Princípio de Cavalieri 511 Utilizar o Princípio de Cavalieri para calcular volumes de sólidos Vinhetas de Sala de Aula e Sugestões de Atividades Vinhetas de Sala de Aula Apresentamos a seguir algumas situações de sala de aula que podem sugerir estratégias para o ensino de alguns tópicos O objetivo é com o tempo agregar sugestões provenientes dos professores e disponibilizálas no CRV 61 Análise Combinatória Uma aula de Análise Combinatória deve enfatizar a resolução de problemas a parte teórica é praticamente inexistente Problemas com contextualização geométrica podem ser acompanhados da confecção dos objetos que satisfazem as condições pedidas e que envolvam um número pequeno de casos Como exemplos citamos as maneiras de colorir um mapa sim ples com cores distintas o número de diagonais de um polígono regular maneiras de colorir um cubo com cores distintas ou usando apenas duas cores Podese estimular a listagem de situações pequenas de modo atraente enfatizando aspectos de simetria e boa diagramação Como exemplo citamos número de maneiras de colocar bolas em caixas comissões que se podem fazer com um dado número de pessoas Quantos são os números pares de 2 dígitos que podemos fazer usando os algarismos 0 1 2 3 4 e 5 Primeiro devese criticar o enunciado do problema os dígitos dos números que se quer formar são distintos ou não Parece que não pois o enunciado não estabelece condições mas já temos dois problemas distintos que devem é claro ser resolvidos Uma vez decidido qual o enun ciado se vai trabalhar devese listar alguns exemplos dos objetos que se quer contar Aproveitando a crítica feita ao enunciado vamos primeiramente abordar o problema supondo que os algarismos sejam distintos Assim exibemse então alguns exemplos como 12 20 54 etc Apontando que 24 e 42 são números distintos que satisfazem às condições pedidas chega se naturalmente à idéia de que estamos lidando com seqüências Aqui cometese propositalmente um erro de raciocínio o princípio multiplicativo apli cado às pressas como 6 escolhas para a primeira posição seguida de 3 para a segunda nos dá o total de 6 x 3 18 possibilidades Como 18 não é muito grande convidase a turma a fazer a listagem para verifi car a resposta Obtêmse 10 12 14 20 24 30 32 34 40 42 50 52 54 ou seja temos apenas 13 em vez de 18 números que satisfazem o enunciado Algo está errado o que é A partir desta situação o professor deve conduzir a turma a perceber que 1 o 0 não pode aparecer na primeira posição e 2 que se usa um dígito par na primeira posição à esquerda então ele não pode ser usado outra vez Deste modo a solução errada e sua análise indicam o procedimento correto para resolver o problema usase o princípio aditivo dividese o problema na contagem de números que começam com dígito par e números que começam com dígito ímpar e o princípio multiplica tivo para a contagem em cada caso 62 Agora vamos abordar o problema supondo que os algarismos sejam distintos o que é sugerido pelo enunciado Nesse momento já tendo o cuidado de não contar os números que têm o 0 na primeira posição uma solução seria considerar 5 opções para a primeira posição e 6 para a segunda Assim pelo princípio multiplicativo o número de dois dígitos que pode ser formado é 56 30 Quantos são os números de 1 a 9999 em que aparece exatamente um 5 Notamos primeiro que podemos uniformizar os objetos de nosso universo no caso os números de 1 a 9999 pensando em todos eles como tendo 4 dígitos assim por exemplo pensa mos em 23 como 0023 este simples passo evita uma tediosa divisão em casos A partir daí temos duas estratégias Primeiro podemos dividir os números que queremos contar em casos números com 5 na casa das unidades das dezenas etc contando cada caso sepa radamente com o uso do princípio multiplicativo e fechando com o uso do princípio aditivo Assim exibese um método de procedimento típico e a fi losofi a de uso dos princípios reduzse o problema a problemas menores ou casos princípio aditivo e tratase cada caso como sendo uma seqüência de eventos princípio multiplicativo De qualquer modo este método de contagem é trabalhoso e outro bem mais fácil é o de contar o complementar ou seja os números nos quais não aparece nenhum 5 Assim a contagem fi ca fácil todos os números de 4 dígitos os números de 4 dígitos nos quais não aparece o 5 os números que queremos A contagem dos dois termos do lado esquerdo desta igualdade é feita facilmente com o uso do princípio multiplicativo Agora comparamse os resultados obtidos Também generalizase o problema quantos são os números de 1 a 99999 n noves nos quais não aparece o dígito 5 ilustrando a generalização do raciocínio usado em um caso particular e neste exemplo específi co mostrando como o segundo método utilizado é bem mais efi ciente que o primeiro Podese ainda aproveitar para trabalhar com enunciados alternativos substituindo exata mente por no mínimo ou no máximo Este tipo de procedimento serve para ilustrar como pequenas mudanças nas condições pedidas levam a raciocínios completamente distintos Seria interessante discutir a estratégia análoga para resolver o problema 11 Nesse caso contamse todas as maneiras possíveis de se preencher a primeira e a segunda posições sem restrições obtendo 66 36 e em seguida subtraise do resultado 36 todos os números que têm o 0 na primeira posição 16 6 daí obtémse 6 x 6 1 x 6 30 63 Analise a resolução apresentada para o seguinte problema uma criança possui cinco blocos cilíndricos todos de cores diferentes cujas bases circulares têm o mes mo raio Desses blocos quatro têm alturas iguais a 20 cm e o outro tem altura de 10 cm Ao brincar a criança costuma empilhar alguns desses blocos formando um cilindro cuja altura depende dos blocos utilizados Determine de quantas maneiras distintas a criança pode formar cilindros que tenham exatamente 70 cm Resolução a ser analisada para obter um cilindro de altura 70 cm a criança deve escolher 3 blocos cilíndricos de altura 20cm e usar o de altura 10cm Como os blocos têm cores dife rentes a ordem em que são colocados gera cilindros diferentes Portanto o total de maneiras de se construir esses cilindros é 4321 24 Problema apresente uma estratégia para convencer seu aluno de que a resolução não está correta sem resolver o problema Funções elementares Construindo funções a partir de outras O primeiro objetivo é entender a mudança que ocorre no gráfi co de uma função ao fazermos uma mudança de escala ou uma translação Isso permite trabalhar o conceito de com posição de funções nesse caso específi co a Se f x 10 x e g a 2 x 7 escreva as expressões de h x g f x e k xfgx Compare os gráfi cos de g x h x e k x o que você pode concluir Observe que fx pode ser interpretada como uma mudança de escala por exemplo de metros para decímetros O que ocorreria no caso em que f x 10x Construa mais exemplos com outras funções de grau um ou de grau dois e enuncie uma generalização b Proceda da mesma forma usando agora uma translação isto é se f x x 1 e g x 2x7 escreva a expressão de h x g f x e k x f gx Compare os respectivos gráfi cos e descreva com palavras o que ocorreu Construa mais exemplos com outras funções de grau um e enuncie uma generalização Examine o que ocorre quando consideramos a função g x x2 Quais as diferenças que você pode apontar c Encontre exemplos em outras disciplinas em que são utilizadas as mudanças de escala por exemplo quando se utilizam diferentes unidades de medida Agora trabalhamse funções defi nidas como áreas 64 a Sejam f x 3 e a um número real positivo Escreva a expressão para a função g a que ex pressa a área da fi gura plana compreendida entre o gráfi co de f x o eixo OX o eixo OY e a reta vertical x a b Construa mais exemplos e generalize o que pode ser observado c Se f x c representa a velocidade de uma partícula que se move com velocidade constante qual interpretação pode ser dada para a função g a construída acima d Considere agora a função f x 2x e a um número real positivo Usando a fórmula para a área do triângulo escreva a expressão para a função g a que expressa a área da fi gura plana com preendida entre o gráfi co de f x o eixo OX o eixo OY e a reta vertical x a Observe que g a é uma função quadrática e Construa mais exemplos e generalize o que pode ser observado e usando a fórmula para a área do trapézio proceda como acima considerando a função f Compare o que você fez com o estudo do movimento uniformemente acelerado Geometria Argumentando formalmente em Geometria A construção de demonstrações de fatos geométricos é um dos instrumentos formativos mais marcantes do Ensino Médio Entretanto a habilidade de argumentar usando a linguagem matemática para demonstrar fatos só se adquire com muita prática e paciência num processo geralmente lento e longo mas que ao contrário do que muitos imaginam pode ser conquistado por qualquer aluno Ressaltese que há dois momentos bastante distintos na demonstração de um resultado O primeiro da descoberta envolve experimentação interpretação intuição e analogia O segundo momento o da demonstração formal envolve compreensão comunicação e destreza no uso da linguagem matemática É o momento da comunicação do argumento isto é do encadeamento lógicodedutivo das afi rmações A exposição de um argumento pode ser feita usando vários dispositivos diagrama de blocos exposição na forma de duas colunas uma contendo a afi rmação e outra a justifi cativa cor respondente texto corrido com cada passo da demonstração destacado Cada uma delas tem a sua vantagem e auxiliam na visão global do argumento 65 Para começar o professor pode usar demonstrações que requeiram argumentos simples decorrentes quase que imediatamente das hipóteses ou das defi nições Assim o aluno se familiari za com a idéia de hipótese e de tese Estabelecemse assim as regras do jogo num crescendo de complexidade Argumentos que envolvem várias etapas podem ser analisados de trás para diante permitindo uma visão mais global do encadeamento de idéias e construções É fácil encontrar exemplos desse tipo de procedimento na literatura A próxima vinheta é uma ilustração dessa proposta 32 Problema Dados dois pontos A e B distintos fora de uma reta m determinar um ponto p sobre m de modo que a soma do comprimento dos segmentos seja mínima Primeiro caso Os dois pontos encontramse em lados opostos em relação à reta m A solução é bastante intuitiva e pode ser realizada explorando o conceito de distância de dois pontos no plano que é obtida pelo segmento que os une Segundo caso Os dois pontos encontramse do mesmo lado em relação à reta m A solução é bastante intuitiva e pode ser realizada explorando os conceitos de distância de dois pontos no plano e de simetria de um ponto com relação a uma reta Uma vez de posse de uma possível solução tratase de justifi cála usando fatos da geome tria Os fatos usados na justifi cativa devem ser colocados em ordem lógica indicando a ordem em que devem ser apresentados Neste problema a solução segue imediatamente da desigualdade triangular esta por sua vez segue do fato de que se dois lados de um triângulo não são congruentes então o maior ângulo é oposto ao maior lado Este último fato segue da caracterização dos triângulos isósceles que fi nalmente decorre de um caso de congruência de triângulos Esta exploração deve ser feita de modo informal depois propõese que se desenhe um diagrama de blocos ordenando as impli cações acima por exemplo começando da caracterização de triângulos isósceles questionando se o argumento está completo Usando este procedimento é possível notar que um argumento complexo pode ser que brado em pedaços mais simples A prova então pode ser reescrita por exemplo na forma de duas colunas uma delas contendo as afi rmações e a outra suas justifi cativas Finalmente imaginando que a reta é um espelho podemos relacionar o problema com o Princípio de Fermat e talvez a Lei de Snell Para isso os alunos podem consultar bibliografi a ou o professor de Física 66 Tópicos do CBC 1º 2º e 3º Anos 67 Eixo Temático I Números Contagem e Análise de Dados Tema 1 Números Utilizar diferentes representações numéricas para a mesma quantidade Efetuar divisões de inteiros para obter dízimas periódicas Usar calculadoras e interpretar os resultados nela apresentados como por exemplo o signifi cado de 033333333 como resultado da divisão de 1 por 3 em vez de 0333 Ressaltar que as calculadoras utilizam em geral aproximações de números reais por decimais exatas Recuperar uma fração a partir de sua representação decimal fração geratriz Representar na reta numérica a raiz quadrada de números de números inteiros utilizan do régua e compasso ou aproximadamente aproximandoa de um número racional Utilizar números racionais como aproximações de números irracionais e representálos na reta numérica Usar dados de uma experiência e comparálos com soluções exatas obtidas pela uti lização de modelos como por exemplo o período de um pêndulo em função de seu comprimento queda livre Estimar em diferentes unidades de medida o tamanho de objetos conhecidos uma pul ga a cabeça de um alfi nete um elefante uma girafa edifícios públicos etc Fazer estimativas da capacidade de um recipiente de um caminhão de carga de um estádio de futebol Distâncias muito grandes ou muito pequenas anosluz microns etc Buscar exemplos do uso de potências de 10 em outras áreas o número de Avogadro a velocidade da luz idades geológicas dimensões de átomos e moléculas etc Sugestões de atividades Tópicos 1º Ano 68 Tema 2 Contagem Sugestões de atividades Propor problemas que envolvam a contagem de placas de carro de números de telefone maneiras de dispor pessoas em fi las formação de seqüências satisfazendo condições es peciais modos de pintar mapas ou sólidos simples Para abordar uma situaçãoproblema mais complexa utilizando a estratégia de partir de situações mais simples que envolvam um número menor de alternativas Exemplo Calcular o número de placas de automóvel que podem ser confeccionadas com três letras e quatro algarismos Neste caso a estratégia seria calcular o número de placas com apenas uma letra A partir dessas obter o número de placas com exatamente duas letras em seguida as que pos suem três letras três letras e um número e assim por diante Tema 3 Probabilidade Sugestões de atividades Apresentar exemplos de variáveis aleatórias como por exemplo no lançamento de da dos e moedas Apresentar exemplos de variáveis não aleatórias determinísticas como por exemplo uma pedra que é solta de cima de um edifício sempre cai em uma partida de futebol um dos times vence ou perde ou empata em prova de dez pontos as notas possíveis para um aluno variam de 0 a 10 Relacionar o cálculo de probabilidades com os princípios de contagem Calcular a probabilidade da união e da interseção de dois eventos de probabilidade co nhecida Usar simulações para estimar probabilidades como por exemplo lançar uma moeda várias vezes e verifi car que a probabilidade de sair cara é 50 Calcular e obter uma determinada nota em uma prova de múltipla escolha marcandose as alternativas ao acaso etc Utilizar situações envolvendo probabilidades em outras áreas como por exemplo em genética Utilizar informações sobre saúde meio ambiente ciências sociais veiculadas em revistas e jornais que envolvem fenômenos probabilísticos 69 Tema 4 Estatística Propor a elaboração de questionários sobre o perfi l social dos alunos levantando dados e utilizando gradativamente métodos estatísticos Utilizar estatísticas para extrair informações sobre diversos espaços geográfi cos Propor leitura e discussão de textos da área de saúde que utilizam estatística por exem plo dados que descrevam a relação entre o fumo e o câncer Utilizar dados do censo brasileiro para extrair informações formulando questões que possam ser desenvolvidas em outras disciplinas Utilizar estatísticas para tratamento de dados obtidos em experiências de laboratório Utilizar recursos computacionais ou de laboratório para construir tabelas e gráfi cos de vários tipos utilizados pela mídia Utilizar o plano cartesiano para representar dados estatísticos Decidir sobre a média que melhor representa um conjunto de dados em uma situação Utilizar a média ponderada por exemplo para calcular a nota fi nal média em um con curso com provas de pesos conhecidos Calcular a média geométrica de números dados por exemplo a taxa trimestral média de juros em regime de juros compostos Propor uma atividade de pesquisa entre os alunos de forma que eles cumpram as se guintes etapas objetivo da pesquisa para que coletem dados e em seguida selecionar a maneira mais adequada para representar um conjunto de dados Eixo Temático II Funções Elementares e Modelagem Tema 5 Funções Sugestões de atividades Promover trabalhos de discussão em grupos para a formulação de modelos para situa çõesproblema Manter um jornal mural de problemas trazidos pelos alunos que possam ser tratados com o uso do conceito de função 70 Sugestões de atividades continuação Utilizar recursos computacionais para construir tabelas e gráfi cos de vários tipos utilizados na imprensa Discutir problemas de proporcionalidade direta ou inversa no contexto das funções ele mentares Discutir problemas que envolvam a questão da taxa de variação através da análise de no tícias que falam de crescimento rápido ou lento desaceleração Pesquisar dados sobre modelo de crescimento populacional Malthus em Biologia ou de expansão de uma epidemia usando dados concretos Propor exercícios de traçar o gráfi co de uma PG com razões maior do que um e menor do que um Esboçar o gráfi co correspondente a várias situações Discutir problemas que envolvam a absorção de medicamentos por exemplo antibióticos e a necessidade do período da dosagem Relacionar o cálculo de prestações em fi nanciamentos com a função exponencial e a pro gressão geométrica Propor projetos em que possam ser estudadas algumas relações de dependência funcio nal por exemplo em biologia a capacidade de sustentação do peso de um animal Sazonalidade estudar alguns gráfi cos de variação de preço de alguns produtos durante o ano ou durante período maiores Tema 6 Matemática Financeira Comparar questões que envolvam juros simples ou compostos e problemas simples de matemática fi nanceira Exemplos cobrança de juros de mora juros simples devido ao atraso em uma prestação cálculo do rendimento de poupança juros compostos Relacionar o cálculo de prestações em fi nanciamentos com a função exponencial e a progressão geométrica Fazer estimativas e cálculos dos juros cobrados em fi nanciamentos comparar formas de pagamento na compra de um bem e emitir juízo sobre a forma mais vantajosa de pagamento 71 Eixo Temático III Geometria e Medidas Tema 7 Semelhança e Trigonometria Sugestões de atividades Utilizar maquetes ou plantas de casas Utilizar softwares de geometria dinâmica ou dobraduras para ilustrar os teoremas Fazer medições indiretas utilizando semelhança de triângulos por exemplo altura de montanhas prédios distâncias intergalácticas Ilustrar a utilização de semelhança de triângulos na arte Propor que os alunos desenvolvam projetos para a contextualização histórica do uso da semelhança de triângulos produzindo materiais que possam ser divulgados em eventos para a comunidade escolar ou não Propor que os alunos desenvolvam projetos para a contextualização histórica do uso da semelhança de triângulos produzindo materiais que possam ser divulgados em eventos para a comunidade escolar Propor atividades em conjunto com os professores de Física para analisar e decompor grandezas vetoriais em relação a dois eixos Exemplo decompor uma força que atua sobre um objeto em um plano inclinado Tema 8 Geometria Analítica Utilização de papel quadriculado para traçado de gráfi cos em experimentos Utilizar o plano cartesiano para representar dados estatísticos Propor outras questões de representações e mapas tais como os sistemas de coorde nadas usados em radares ou na navegação Usar o plano cartesiano para fazer estimativas de áreas de fi guras planas Usar o plano cartesiano para fazer o traçado aproximado de mapas Prever os possíveis números de interseções entre retas e circunferências antes de resol ver o problema algebricamente Usar o plano cartesiano para obter propriedades de fi guras planas por exemplo classi fi cação de triângulos determinação de pontos notáveis de um triângulo Explorar a simetria de fi guras no plano cartesiano 72 Tópicos 2º Ano Eixo Temático IV Números Contagem e Análise de Dados Tema 9 Contagem Abordar situaçõesproblema mais complexas utilizando a estratégia de partir de situa ções mais simples que envolvam um número menor de alternativas Contagem de comissões com e sem indivíduos distinguidos formadas a partir de um grupo de pessoas Calcular o número de cartões distintos que podem ser feitos na MegaSena Quina loteria esportiva etc Apresentar situações em que o aluno tenha que calcular a quantidade de comissões que podem ser formadas a partir de um grupo de pessoas com e sem condições adi cionais Tema 10 Probabilidade Relacionar o cálculo de probabilidades com os princípios de contagem Calcular a probabilidade da união e da interseção de dois eventos de probabilidade co nhecida Calcular a chance de ganhar em um jogo da MegaSena loteria esportiva de obter uma determinada nota em uma prova de múltipla escolha marcandose as alternativas ao acaso etc Utilizar situações envolvendo probabilidades em outras áreas como por exemplo em genética Utilizar informações sobre saúde meio ambiente ciências sociais veiculadas em revistas e jornais que envolvem fenômenos probabilísticos Repassar os conceitos de eventos aleatórios e determinísticos ver sugestões para o tema 3 73 Eixo Temático V Funções Elementares e Modelagem Tema 11 Funções Manter um jornal mural de problemas trazidos pelos alunos que possam ser tratados com o uso do conceito de função Utilizar recursos computacionais para esboçar gráfi cos de funções do primeiro do se gundo grau e da função logarítmica Discutir problemas que envolvam a questão da taxa de variação através da análise de notícias que falam de crescimento rápido ou lento desaceleração Propor pesquisa sobre aplicações da função logarítmica para modelar fenômenos por exemplo na relação entre intensidade de um terremoto e a quantidade de energia libe rada por ele luminosidade de uma estrela em relação ao seu brilho Apresentar situações cujos modelos são dados por desigualdades Utilizar a soma dos termos de uma PA ou PG para fazer estimativas Um exemplo no caso de PG é o seguinte Se a cada mês uma árvore crescesse de forma que sua altura em um mês fosse o dobro da altura do mês anterior calcular a altura dessa árvore ao fi nal de 2 anos Propor situações que envolvam grandezas cujas relações possam ser modeladas por um sistema de equações lineares Exemplos Fornecer as quantidades e tipos de vitaminas em determinadas frutas Pedir o número de frutas necessárias para se obter uma certa quantidade de vitaminas de cada tipo Discutir métodos de resolução de sistemas de equações lineares Resolver e interpretar geometricamente um sistema de equações lineares Eixo Temático VI Geometria e Medidas Tema 12 Semelhança e Trigonometria Utilizar softwares de geometria por exemplo o ZuL ou com papelão sobre o qual desenhase um círculo de raio 1 palito como raio que deve estar atado ao centro por um prego de forma a permitir que o palito possa girar linha presa à extremidade do palito e um pequeno peso na outra extremidade marcar uma escala ou colocar uma régua graduada sobre dois diâmetros perpendiculares que funcionarão como o eixo das abscissas e o das ordenadas Isso permitirá introduzir o conceito das funções seno e cosseno calcular os valores de senos cossenos e tangentes de alguns ângulos notáveis e avaliar outros estudar os sinal das funções seno cosseno e tangente intervalos em que elas são crescentes ou decrescentes e seus períodos Propor atividades em conjunto com os professores de Física para estudo do movimento circular uniforme e cálculo de distâncias 74 Tema 13 Geometria Analítica Prever os possíveis números de interseções entre retas e circunferências antes de resol ver o problema algebricamente e calcular as interseções certifi candose que o número obtido era o esperado Reconhecer que um ponto dado é interior exterior ou pertence a uma circunferência a partir das coordenadas do ponto e da equação da circunferência ou do centro e raio dela Usar o plano cartesiano para obter propriedades de fi guras planas por exemplo classi fi cação de triângulos determinação de pontos notáveis de um triângulo por exemplo baricentro ortocentro circuncentro Tema 14 Geometria Métrica e de Posição Utilizar modelos feitos de canudos ou papelão na exploração de propriedades de fi guras tridimensionais e seus elementos Algumas dessas fi guras podem ser confeccionadas pelos próprios alunos que terão oportunidade de identifi car propriedades características da fi gura a ser construída Podem ser explorados por exemplo a fórmula de Euler as posições relativas entre retas entre retas e planos e entre planos no espaço Identifi car simetrias nos sólidos platônicos que podem ser confeccionados pelos alunos ou pelo professor Propor a confecção de um painel com ilustrações de sólidos geométricos que ocorrem na natureza Apresentar uma fi gura tridimensional e pedir sua planifi cação e viceversa Pedir para calcular o preço para se construir uma caixa retangular conhecendose preço do centímetro quadrado ou em outra unidade de área do material a ser utilizado para confeccionála Calcular o volume de sólido mergulhandoo completamente em um recipiente com água e comparando o resultado com a fórmula que fornece seu volume Tópicos 3º Ano Eixo Temático VII Números Contagem e Análise de Dados Tema 15 Números Propor problemas que envolvam a resolução de equações de segundo grau com discriminante negativo Representar geometricamente no plano complexo as operações de adição e multiplicação bem como a conjugação relacionandoas com simetrias rotações e semelhança Dar ênfase à geometria que acompanha os números complexos Tema 16 Contagem Propor problemas de contagem que envolvam situações sobre pessoas sentadas em mesas circulares crianças em rodas gigantes etc Calcular o número de cartões distintos que podem ser feitos na MegaSena Quina loteria esportiva etc Construir o triângulo de Pascal a partir da relação de Stieffel Localizar e discutir padrões no triângulo de Pascal Interpretar combinatorialmente propriedades dos coeficientes binomiais Tema 17 Probabilidade Relacionar o cálculo de probabilidades com os princípios de contagem Utilizar simulações para estimar probabilidades como por exemplo o problema dos bodes e do carro ver Revista do professor de Matemática SBM Número 36 Calcular a probabilidade da união e da interseção de dois eventos de probabilidade conhecida Calcular a probabilidade de se ganhar em um jogo da MegaSena de obter uma determinada nota em uma prova de múltipla escolha marcandose as alternativas ao acaso etc 75 76 Utilizar situações envolvendo probabilidades em outras áreas como por exemplo em genética Utilizar informações sobre saúde meio ambiente ciências sociais veiculadas em revistas e jornais que envolvem fenômenos probabilísticos Repassar os conceitos de eventos aleatórios e determinísticos ver sugestões para o tema 3 Tema 18 Estatística Apresentar situações em que os alunos devem decidir sobre o número média mais ade quado para representar um conjunto de dados Eixo Temático VIII Funções Elementares e Modelagem Tema 19 Funções Propor situações que envolvam funções que apresentam periodicidade Exemplos on das senoidais movimento de rotação em torno de um ponto Roda gigante satélites Propor situaçõesproblema que envolvam o cálculo da amplitude freqüência e o período de uma onda senoidal Propor atividades em conjunto com os professores de Física para analisar movimentos ondulatórios e circular uniforme Tema 20 Matemática Financeira Fazer estimativas de dívidas e de rendimentos em diversas situações de juros Buscar em revistas jornais ou lojas com anúncios de venda de bens como computadores televisores etc para que os alunos calculem a taxa mensal de juros cobrada ou para que calculem os valores das prestações Utilização de calculadoras ou de computadores para elaborar planilhas de amortização Seria também interessante que os alunos elaborassem planilhas eletrônicas 77 Eixo Temático IX Geometria e Medidas Tema 21 Semelhança e Trigonometria Propor atividades de pesquisas mostrando a motivação histórica da extensão da trigono metria no triângulo retângulo ao círculo trigonométrico Utilizar a lei dos cossenos no cálculo de distância entre astros problemas de navegação relação entre as velocidades escalar e angular estudo de ondas senoidais Utilizar a lei dos senos Tema 22 Construções Geométricas As construções geométricas proporcionam uma oportunidade para o desenvolvimen to de habilidades relacionadas com interpretação escrita organização e formalização além de propiciar o desenvolvimento da criatividade do aluno Desenvolver estratégias e métodos para efetuar construções geométricas com régua e compasso desenho geométrico Utilizar softwares de geometria para a construção análise e formulação de observa ções de fatos geométricos Destacar as propriedades das fi guras planas utilizadas nas construções geométricas Desenvolver atividades que levem os alunos à confecção de ferramentas não convencio nais para resolução de problemas práticos ou teóricos de construção geométrica Fazer uma análise crítica da adequação dessas ferramentas à solução do problema Utilizar fatos da geometria plana para demonstrar propriedades de lugares geométricos Exemplo lugares geométricos construídos com diversos instrumentos convencionais ou não Propor atividades em conjunto com os professores de Física para estudo das leis de Kepler da ótica geométrica 78 Tema 23 Geometria Analítica Apresentar demonstrações de fatos geométricos utilizando a geometria analítica Apresentar por exemplo a demonstração de que as três mediatrizes de um triângulo en contramse em um mesmo ponto utilizando um sistema de equações lineares formado pelas equações das mediatrizes as diagonais de um paralelogramo cortamse ao meio Obter propriedades de refl exão da parábola a partir da equação cartesiana da parábo la Obter resultados de geometria utilizando vetores como por exemplo o segmento que une os pontos médios dos lados de um triângulo é paralelo e vale a metade do terceiro lado Tema 24 Geometria de Posição no Espaço Construir modelos por exemplo em sabão e efetuar cortes para analisar as seções obtidas Tema 25 Geometria Métrica Utilizar pilhas de discos feitos em madeira ou papelão para formarem sólidos de mes ma altura e com as respectivas seções de mesma área 79 Bibliografi a PCN Ensino Médio Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias MEC e referências nele contidas PCN Parâmetros Curriculares Nacionais PCN para a área de Matemática no ensino fundamental wwwmecgovbrsefestruct2pcnpdfmatematicapdf REVISTA do Professor de Matemática RPM publicada pela Sociedade Brasileira de MatemáticaSBM RP BIBLIOGRAFIA PCN Ensino Médio Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias MEC e referências nele contidas PCN Parâmetros Curriculares Nacionais PCN para a área de Matemática no ensino fundamental wwwmecgovbrsefestruct2pcnpdfmatematicapdf REVISTA do Professor de Matemática RPM publicada pela Sociedade Brasileira de MatemáticaSBM RPM IME USP Caixa postal 66281 CEP 05 311970 que contém tanto artigos de discussão sobre questões de ensino quanto sugestões e relatos de experiências em salas de aula LINDQUIST Mary Montgomery e Shulte Albert P organizadores Aprendendo e Ensinando Geometria Atual Editora 1994 MACHADO NJ et al Vivendo a Matemática Editora Scipione GIONGO Affonso Rocha Construções Geométricas Editora Nobel IFRAH G Os números A história de uma grande invenção Ed Globo1989 KRULIKSReysF A resolução de Problemas na matemática escolar Atual 1998 LIMA E L et al A Matemática do Ensino Médio Sociedade Brasileira de MatemáticaSBM Coleção do Professor de Matemática Três volumes LIMA Elon Lages Meu professor de Matemática Sociedade Brasileira de MatemáticaSBMCol do Professor de 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