Isomorfismo em Espaços Vetoriais - Definição, Núcleo e Imagem de Transformações Lineares

Na matemática reconhecer que um conjunto V é isomorfo a um espaço vetorial W conhecido favorece a compreensão de V e possibilita estender conhecimentos que se têm de W ao conjunto V Na prática um conjunto V é isomorfo a um espaço vetorial W se e somente se existe uma transformação linear especial T V W chamada de isomorfismo que faz com que cada propriedade ou operação que ocorre em W também ocorra em V Dessa forma situaçõesproblema identificadas em uma área V desconhecida podem ser estudadas e tratadas a partir de métodos e teoremas disponíveis e já demonstrados na área W uma vez que V e W são isomorfos Conceitos elementares para o estudo do Isomorfismo Uma vez que se conhece o conceito de transformação linear os conceitos de núcleo de uma transformação linear e imagem de uma transformação linear são essenciais para o estudo das transformações lineares que são chamadas de isomorfismos Núcleo de uma Transformação Linear Dada uma transformação linear T V W o núcleo ou kernel da transformação linear T é o conjunto KerT ou Nuct em que KerT v V Tv 0w Para determinar o núcleo de uma transformação linear basta resolver o sistema linear homogêneo que decorre da equação Tv 0w Propriedade O núcleo de uma transformação linear T V W é um subespaço vetorial de V Núcleo de uma Transformação Linear 1 Determinar o núcleo da transformação linear F IR2 IR2 definida por Fxy xyxy Resolução Fxy xyxy 00 Resolvendose o sistema homogêneo com as equações x y 0 e x y 0 chegamos em x y 0 Logo KerF 00 Núcleo de uma Transformação Linear exemplos 2 Determinar o núcleo da transformação linear F IR2 IR3 definida por Fxy xyxy0 Resolução Fxy xyxy0 000 Resolvendose o sistema homogêneo com as equações x y 0 e x y 0 chegamos por exemplo em x y Logo os vetores que satisfazem o sistema são do tipo yy y11 Logo KerF y11 com y IR Núcleo de uma Transformação Linear exemplos Imagem de uma Transformação Linear Dada uma transformação linear T V W a imagem da transformação linear T é o conjunto ImT em que ImT w W w Tv v V Para determinar a imagem de uma transformação linear basta reescrever a lei dessa transformação como combinação linear dos seus vetores geradores Propriedade A imagem de uma transformação linear T V W é um subespaço vetorial de W Imagem de uma Transformação Linear Imagem de uma Transformação Linear exemplos 1 Determinar a imagem da transformação linear F IR2 IR2 definida por Fxy xyxy Resolução Fxy xyxy xx yy x11 y11 Logo ImF w IR2 w x11 y11 Imagem de uma Transformação Linear exemplos 1 Determinar a imagem da transformação linear F IR3 IR3 definida por Fxyz xyxyz Resolução Fxyz xyxyz xx0 yy0 00z x110 y110 z001 Logo temse que ImF w IR3 w x110 y110 z001 Transformação Linear Bijetora Vimos que as transformações lineares são funções Logo elas podem ser classificadas em Injetoras ou não injetoras Sobrejetoras ou não sobrejetoras Quando uma transformação linear é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora dizemos que ela é bijetora Relembrando os conceitos de funções injetoras e sobrejetoras Dada uma transformação linear T V W dizemos que ela é Injetora se e somente se para quaisquer vetores v1 v2 de V temse que Tv1 Tv2 o que é equivalente a afirmar que se Tv1 Tv2 então v1 v2 Sobrejetora se e somente se para qualquer vetor w em W existe um vetor v em V de modo que w Tv o que equivale a afirmar que ImT W Identificando se uma Transformação Linear é injetora ou sobrejetora Por meio da análise do núcleo e da imagem de uma transformação linear podemos identificar se ela é injetora ou não injetora e sobrejetora ou não sobrejetora Uma transformação linear T V W é injetora se e somente se KerT 0V T não é injetora T é Injetora Identificando se uma Transformação Linear é injetora ou sobrejetora Uma transformação linear T V W é sobrejetora se e somente se ImT W T não é sobrejetora T é sobrejetora Identificando se uma Transformação Linear é injetora ou sobrejetora Levandose em consideração que se um conjunto é formado apenas pelo vetor nulo então a dimensão desse conjunto é igual a zero podemos utilizar a seguinte ideia para identificar se uma transformação linear T V W é injetora eou sobrejetora A transformação T é injetora se e somente se dimKerT zero A transformação T é sobrejetora se e somente se dimImT dimW dim0 zero Identificando se uma Transformação Linear é injetora ou sobrejetora Teorema e algumas proposições Teorema do Núcleo e da Imagem Se T V W é uma transformação linear então dimV dimKerT dimImT Proposições Se V e W são espaços vetoriais finitamente gerados e têm a mesma dimensão e T V W é uma transformação linear injetora então T é sobrejetora e consequentemente bijetora T transforma toda base do espaço vetorial V em uma base do espaço vetorial W Isomorfismo definição Um isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W é uma transformação linear T V W que é bijetora Nesse caso dizemos que V e W são espaços vetoriais isomorfos e pelo Teorema do Núcleo e da Imagem concluise que dimV dimW Nota caso V e W sejam o mesmo espaço vetorial e T V W é um isomorfismo então T é também chamado de automorfismo Nota MmnIR é isomorfo a IRmn pelo isomorfismo T MmnIR IRmn dado por por exemplo PnIR é isomorfo a IRn1 pelo isomorfismo F PnIR IRn1 dado por por exemplo Isomorfismo Inverso Como em toda função bijetora se T V W é um isomorfismo então T admite uma inversa que é denominada de isomorfismo inverso e definida como T 1 W V em que T 1 é também um isomorfismo Isomorfismo Inverso Uma forma bastante interessante de interpretar um isomorfismo inverso principalmente para a resolução de exercícios é considerar que o isomorfismo inverso T 1 desfaz o que o isomorfismo T faz Exemplo Identificar se a transformação linear F IR3 IR3 dada por Fxyz xxyxyz é um automorfismo e caso seja determinar o automorfismo inverso F 1 Resolução Para identificar se F é um automorfismo podemos estudar o núcleo e a imagem de F Como nesse caso o domínio e o contradomínio são o mesmo de acordo com uma proposição apresentada se a transformação linear for injetora ela também será sobrejetora e portanto bijetora Exemplo Identificando se Fxyz xxyxyz é injetora Basta estudar o núcleo Fxyz xxyxyz 000 Resolvendose o sistema que decorre da igualdade acima temse que x y z 0 Logo KerF 000 e portanto F é injetora Logo F é também sobrejetora ou seja é bijetora e é um automorfismo admitindo um automorfismo inverso F 1 Exemplo Determinando F 1 Levandose em consideração que F 1 desfaz o que F faz temse que se F 1xyz abc então Fabc xyz Logo Fabc aababc xyz Da igualdade acima decorre o seguinte sistema linear de incógnitas a b e c Exemplo Resolvendose o sistema temse a x b y x e c z y Logo F 1xyz abc xyxzy