Autovalor e Autovetor - Guia Completo com Aplicações em Cadeias de Markov

Autovalor e Autovetor Valor Próprio e Vetor Próprio Os autovalores e os autovetores são a base para o conceito da Cadeia de Markov uma sequência de vetores de probabilidade x0 x1 x2 xn que juntamente com uma matriz A denominada de estocástica satisfaz as igualdades x1 Ax0 x2 Ax1 x3 Ax2 xn Axn1 O conceito da Cadeia de Markov é largamente utilizado em situações práticas da administração da biologia da física da engenharia dentre outras áreas Definição Seja V um espaço vetorial sobre IR e T V V um operador linear O vetor não nulo v em V é chamado de vetor próprio do operador linear T se e somente se existe um escalar tal que Tv v Neste caso é denominado valor próprio do vetor próprio v Nota O escalar matematicamente pode ser um número real ou um número complexo Entretanto nesse curso consideraremos sempre um número real Casos particulares importantes Nos casos particulares em que V IR2 ou V IR3 os vetores próprios de um operador linear T podem ser entendidos como os vetores v cuja imagem Tv é paralela ao vetor v e podem ser escritas como Tv sendo T a matriz do operador linear T em relação à base canônica Na figura abaixo temos o vetor próprio x e os valores próprios para um operador linear A Matriz do operador linear A Alguns exemplos algébricos intuitivos Exemplo 1 Observe os vetores x1 x2 Ax1 e Ax2 na figura Qual matriz faz o papel de A em ambos os casos Observe que para ambos os casos 𝐴 0 1 2 1 2 0 pois 1 𝐴x1 𝐴 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 𝐴x2 𝐴 1 0 1 2 1 2 0 1 1 12 1 2 1 1 2 1 1 Logo x 1 1 1 é um autovetor de A associado ao autovalor 𝜆 1 2 e 2x 1 1 1 é um autovetor de A associado ao autovalor 𝜆2 2 Exemplo 2 Sendo 𝐴 0 0 0 1 1 0 e v 1 então A v 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Desse modo v 10 é um autovetor de A associado ao autovalor 𝜆1 0 2 Além disso pode se verificar que v 01 é um autovetor associado ao autovalor 𝜆21 Neste exemplo observase que embora o vetor nulo por definição não possa ser um autovetor o número zero pode ser um autovalor Exemplo 3 Seja 𝐴 1 2 4 1 determinar os seus autovalores os autovetores associados Resolução Os autovalores 𝜆 e os vetores não nulos v devem satisfazer a condição Av 𝝀v Logo 1 2 4 1 𝑥 𝜆 𝑥 𝑦 𝑦 Temos então ቊ 𝑥 𝑦 𝜆𝑥 ቊ 1 𝜆 𝑥 𝑦 0 2𝑥 4𝑦 𝜆𝑦 2𝑥 4 𝜆𝑦 0 O sistema homogêneo obtido tem solução não trivial se e somente se o determinante da matriz dos coeficientes de x e de y for igual a zero ou seja 1 𝜆 1 2 4 𝜆 0 1 𝜆 4 𝜆 2 0 𝜆2 5𝜆 6 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 3 Portanto 𝜆1 2 e 𝜆2 3 são os autovalores de A Para determinar os autovetores de A associados ao autovalor 𝜆1 2 resolvemos o sistema linear Av 𝟐v 1 1 2 4 𝑥 2 ቊ𝑥 𝑦 2𝑥 2𝑥 4𝑦 2𝑦 ቊ 2𝑥 2 4𝑦 0 2 1 𝑥 𝑦 0 ቊ 𝑥 𝑦 0 2𝑥 2𝑦 0 Todas as soluções do sistema são dadas por x y Logo os autovetores associados ao autovalor 𝜆1 2 são dados por 1 𝑣 𝑥 sendo x um número real não nulo Em particular 𝑣1 1 1 1 é um autovetor associado a 𝜆 2 De maneira análoga podemos encontrar os autovetores associados a 𝜆2 3 que são iguais a 𝑣2 2𝑥 Determinando os autovalores e autovetores a partir dos operadores lineares Sejam V um espaço vetorial de dimensão n sobre IR T V V um operador linear T a matriz do operador T em relação à base canônica In a matriz identidade de ordem n e um número real Impondose a condição de que seja nulo o determinante da matriz T In obtémse a equação característica P 0 em que P é denominado polinômio característico do operador linear T 𝑷 𝝀 𝒂𝟎 𝒂𝟏𝝀𝟏 𝒂𝟐𝝀𝟐 𝒂𝒏𝝀𝒏 Determinando os autovalores e autovetores a partir dos operadores lineares A resolução da equação característica 𝑷 𝝀 𝟎 determina os autovalores podese Uma vez determinados os autovalores autovetores vresolvendo se o sistema linear que obter os decorre da equação T Inv 0 Observase que a equação acima decorre do conceito apresentado no slide 4 na qual os vetores próprios de um operador linear T podem ser entendidos como os vetores v cuja imagem Tv é paralela ao vetor v e podem ser escritas como Tv sendo T a matriz do operador T na base canônica 𝑇 𝑣 𝜆 𝑣 𝑇 𝑣 𝜆 𝑣 0 𝑇 𝜆I 𝑣 0 Exemplo 4 Sendo T 3 0 0 1 5 0 a matriz do operador linear T IR3 IR3 1 1 3 em relação à base canônica determinar aO polinômio característico de T bA equação característica de T cOs autovalores de T dOs autovetores de T associados aos seus autovalores Resolução aTemos que T I3 3 𝜆 0 1 5 𝜆 0 0 Para encontrar 1 1 3 𝜆 o polinômio característico do operador T basta calcular o determinante de T I3 de onde decorre 𝑷 𝝀 𝟑 𝝀 𝟐 𝟓 𝝀 𝝀𝟑 𝟏𝟏𝝀𝟐 𝟑𝟗𝝀 𝟒𝟓 b A equação característica de T é P 0 ou seja 𝝀𝟑 𝟏𝟏𝝀𝟐 𝟑𝟗𝝀 𝟒𝟓 0 c Para determinar os autovalores de T basta resolver a equação característica 𝝀𝟑 𝟏𝟏𝝀𝟐 𝟑𝟗𝝀 𝟒𝟓 𝟑 𝝀 𝟐 𝟓 𝝀 0 𝝀𝟏 𝟑 e 𝝀𝟐 𝟓 Logo os autovalores são 𝝀𝟏 𝟑 e 𝝀𝟐 𝟓 d Para determinar os autovetores precisamos resolver a equação T I3v 0 sendo v x y z o vetor genérico de IR3 Neste caso temos dois valores para Para 𝜆1 3 temos 3 3 0 0 𝑥 0 0 0 0 𝑥 0 1 5 3 0 𝑦 0 1 2 0 𝑦 0 1 1 3 3 𝑧 0 1 1 0 𝑧 0 Da equação acima temse ቊ𝑥 2𝑦 0 ቊ𝑥 2𝑦 0 ቊ𝑥 0 𝑥 𝑦 0 𝑦 0 𝑦 0 Logo o vetor próprio associado a 𝜆1 3 é 𝑣1 00 𝑧 𝑧 001 com z 0 Para 𝜆2 5 temos 3 5 0 0 𝑥 0 2 0 0 𝑥 0 1 5 5 0 𝑦 0 1 0 0 𝑦 0 1 1 3 5 𝑧 0 1 1 2 𝑧 0 Da equação acima temse ቐ 2𝑥 0 𝑥 0 𝑥 𝑦 2𝑧 0 𝑥 0 ቊ𝑦 2𝑧 Logo o vetor próprio associado a 𝜆2 5 é 𝑣2 0 2𝑧 𝑧 𝑧 0 21 com z 0 Proposições importantes 1 Se v é um vetor próprio de T associado ao valor próprio 𝜆 então para qualquer α real o vetor αv também é um vetor próprio de T associado ao valor próprio 𝜆 2 Se v é um vetor próprio de T e é um valor próprio associado então o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é T In não é bijetor 3 Uma matriz quadrada A é invertível se e somente se todos os seus valores próprios não são nulos Proposições importantes 4 Se 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 são os valores próprios da matriz A então detA 𝜆1𝜆2 𝜆𝑛 5 Se v é um vetor próprio de uma matriz A com o correspondente valor próprio então o mesmo vetor v é um vetor próprio da matriz inversa A1 com o 1 correspondente valor próprio 6 O traço de uma matriz quadrada A isto é a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma de todos os valores próprios da matriz A Proposições importantes 7 Os vetores próprios de uma matriz A com os correspondentes valores próprios diferentes formam um conjunto de vetores linearmente independente