Lei de Gauss e Fluxo de Campos Elétricos

Eletricidade e Magnetismo Prof Tarcilene Heleno Lei de Gauss Introdução A Lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada à carga total envolvida pela superfície A configuração simétrica do campo elétrico sobre a superfície gaussiana indica que há uma carga positiva em seu interior Fluxo Conceito Um vento uniforme de velocidade Ԧ𝑣 incide perpendicularmente ao plano de uma espira quadrada de área A O fluxo de vento corresponde ao produto de velocidade pela área A 𝑣𝐴 Fluxo Conceito Uma campo vetorial atravessa uma área A delimitada por uma espira quadrada 𝒗𝑨𝒄𝒐𝒔𝜭 𝒗 𝑨 Fluxo de um Campo Elétrico Uma superfície gaussiana de forma arbitrária imersa em um campo elétrico A superfície está dividida em pequenos quadrados de área A O fluxo de campo elétrico através de uma superfície gaussiana é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície É proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície 𝑬 𝑨 Unidade no SI Nm2C ර 𝑬 𝒅𝑨 A integração é realizada ao longo de toda a superfície Fluxo de um Campo Elétrico Os vetores campo elétrico e os vetores área são mostrados para os três quadrados rotulados como 1 2 e 3 No ponto 1 observase que o vetor campo elétrico é apontado para dentro e o vetor de área perpendicular à superfície ර 𝑬 𝒅𝑨 𝐄𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐄𝐀 Se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície 𝟎 Fluxo de um Campo Elétrico Os vetores campo elétrico e os vetores área são mostrados para os três quadrados rotulados como 1 2 e 3 No ponto 2 observase que o vetor campo elétrico é tangente à superfície e o vetor de área perpendicular à superfície ර 𝑬 𝒅𝑨 𝐄𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐄Acos90 0 Se o sentido do campo elétrico é paralelo à superfície 𝟎 Fluxo de um Campo Elétrico Os vetores campo elétrico e os vetores área são mostrados para os três quadrados rotulados como 1 2 e 3 No ponto 3 observase que o vetor campo elétrico é apontado para fora e o vetor de área perpendicular à superfície ර 𝑬 𝒅𝑨 𝐄𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐄𝐀 Se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície 𝟎 Fluxo de um Campo Elétrico A figura mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro oco de raio R cujo é paralelo a uma campo elétrico uniforme Qual é o fluxo de campo elétrico através do cilindro Fluxo de um Campo Elétrico 𝑎 න 𝑬 𝒅𝑨 𝐄𝐀𝐜𝐨𝐬180 𝐄𝐀 𝑏 න 𝑬 𝒅𝑨 𝐄𝐀𝐜𝐨𝐬90 0 𝑐 න 𝑬 𝒅𝑨 𝐄𝐀𝐜𝐨𝐬0 𝐄𝐀 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎 𝑏 𝑐 ර 𝑬 𝒅𝑨 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸𝐴 0 𝐸𝐴 0 Lei de Gauss A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a relação entre carga e campo elétrico em situações estáticas A Lei de Gauss relaciona o fluxo total de um campo elétrico através de uma superfície fechada superfície gaussiana à carga total interna 𝑞𝑖𝑛𝑡 à superfície 𝜖0 𝑞𝑖𝑛𝑡 Na qual 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 ර 𝑬 𝒅𝑨 𝑞𝑖𝑛𝑡 é 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 Lei de Gauss 𝜖0 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝑆1 𝑞𝑖𝑛𝑡 positiva φ 0 𝑆2 𝑞𝑖𝑛𝑡 negativa φ 0 𝑆3 𝑞𝑖𝑛𝑡 0 φ 0 𝑆4 𝑞𝑖𝑛𝑡 0 φ 0 Lei de Gauss e Lei de Coulomb Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma carga pontual q 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠0 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 න 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 4𝜋𝑟2 𝑞𝑖𝑛𝑡 E o campo elétrico a partir da Lei de Gauss reduzse 𝐸 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 Um Condutor Carregado O que acontece com as cargas num condutor Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor a carga se encontra na superfície do condutor o interior do condutor continua a ser neutro Peça de cobre com uma carga q Peça de cobre com uma carga q que agora possui uma cavidade Aplicando a Lei de Gauss Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear 𝜆 uniforme de cargas positivas 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 Densidade linear de carga 𝜆 𝑞 ℎ 𝐸 𝜆 2𝜋𝜖0 𝑟 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠0 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 න 𝑑𝐴 𝜆ℎ 𝜖0 𝐸 2𝜋𝑟ℎ 𝜆ℎ 𝐸 𝜆ℎ 2𝜋𝜖0 𝑟ℎ 𝜆 2𝜋𝜖0 𝑟 Aplicando a Lei de Gauss Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear 𝜆 uniforme de cargas positivas Considere r 20 cm 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 Densidade linear de carga 440nCm 𝐸 𝜆 2𝜋𝜖0 𝑟 1 2 314 885 1012 02 440 109 𝐸 396 102𝑁𝐶 Lei de Gauss Placa condutora infinita Podemos determinar facilmente o campo elétrico de uma placa infinita carregada por meio da aplicação da Lei de Gauss As cargas em excesso estão concentradas na superfície do externa do condutor 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠0 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 න 𝑑𝐴 𝜎𝐴 𝜖0 𝐸 𝐴 𝜎𝐴 𝐸 𝜎 𝜖0 𝜎 é 𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 Aplicando a Lei de Gauss Duas placas condutoras com cargas na superfície Como se comporta o campo elétrico entre as placas e externamente Aplicando a Lei de Gauss Simetria planar Placa não condutora isolante infinita com carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica envolve partes das cargas 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸𝐴 𝐸𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 2𝐸𝐴 𝜎𝐴 𝜖0 2𝐸 𝐴 𝜎𝐴 𝐸 𝜎 2𝜖0 𝜎 é 𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 Exercícios 1 Considere duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo Os valores de das densidades superficiais são 𝜎 68μ𝐶𝑚2 e 𝜎 43μ𝐶𝑚2 𝜖0 885 1012C2Nm2 Exercícios 1 Considere duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo Os valores de das densidades superficiais são𝜎 68μ𝐶𝑚2 e 𝜎 43μ𝐶𝑚2 𝜖0 885 1012C2Nm2 𝐸 243 105 NC 𝐸 𝜎 2𝜖0 68 106 2 885 1012 384 105 NC 𝐸 384 105 NC 𝐸 𝜎 2𝜖0 43 106 2 885 1012 243 105 NC Exercícios 1 Considere duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo Os valores de das densidades superficiais são𝜎 68μ𝐶𝑚2 e 𝜎 43μ𝐶𝑚2 𝜖0 885 1012C2Nm2 𝐸 243 105 NC 𝐸 384 105 NC Determine o módulo direção e sentido campo elétrico a à esquerda das placas E 384 105 243 105 14 105 NC p esquerda bentre as placas a E384 105 243 105 63 105 aponta para direita cà direita das placas E 384 105 243 105 14 105NC pdireita 2 Considere agora uma esfera metálica de raio R com carga total q Calcule o campo elétrico para pontos exteriores e interiores a essa esfera Considerando uma esfera condutora então para pontos internos a essa esfera o campo elétrico é NULO 𝑟 R 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 4𝜋𝑅2 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 න 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 Para pontos exteriores a essa esfera O campo gerado é igual ao campo gerado por uma carga pontual localizada no centro da casca 𝐸 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 𝑟 R Exercícios Exercícios 3 Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui carga desconhecida Se o campo elétrico a 15 cm do centro da esfera tem módulo de 3 103 NC e aponta para o centro da esfera qual é a carga da esfera 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝐸 න 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝐸 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 𝑟 R 𝜖0 𝐸 4𝜋𝑅2 𝑞𝑖𝑛𝑡 3 103 9 109 𝑞 0152 𝑞 75 109 75𝑛𝐶 Exercícios 4 Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de 750Nm2C através de uma superfície esférica gaussiana de 10 cm de raio com centro na carga a Se o raio da superfície gaussiana é multiplicado por dois qual é o novo valor do fluxo b Qual é o valor da carga pontual 𝜖0 න 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 𝑞𝑖𝑛𝑡 a O fluxo representa a carga interna envolvida pela superfície gaussiana logo o fluxo permanecerá o mesmo 𝑞𝑖𝑛𝑡 664𝑛 𝐶 885 1012 750 𝑞𝑖𝑛𝑡