Capacitância e Funcionamento dos Capacitores

Eletricidade e Magnetismo Capacitância Prof Tarcilene Heleno Capacitores Um capacitor é constituído de dois condutores placas isolados entre si e do ambiente Um capacitor está carregado as cargas dos condutores têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos A finalidade básica de um capacitor é armazenas cargas elétricas Por meio do armazenamento de cargas consequentemente de energia o capacitor é capaz de gerar determinados efeitos sobre um circuito Um capacitor de placas planas e paralelas feito de duas placas de áreas A separadas por uma distância d As cargas da superfície interna das placas têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos Capacitor de placas paralelas Como são feitas de um material condutor as placas são superfícies equipotenciais todos os pontos da placa de um capacitor estão no mesmo potencial elétrico Todavia existe uma diferença de potencial entre as placas Capacitor de placas paralelas Como mostram as linhas de campo o campo elétrico produzido pelas placas carregadas é uniforme na região central entre as placas Nas bordas das placas o campo não é uniforme A carga q e a diferença de potencial V de um capacitor são proporcionais 𝑞 𝐶𝑉 A quantidade de carga que um capacitor consegue armazenar em função da diferença de potencial que está sendo exercida sobre suas placas é chamada de Capacitância C 𝐶 𝑞 𝑉 A unidade no SI de capacitância é CoulombVolt também denominada Farad F Capacitor de placas paralelas 1 F 𝐶𝑉 Carga de um capacitor O circuito formado por uma bateria uma chave S e as placas a e b de um capacitor Diagrama esquemático no qual os elementos do são representados por símbolos Exemplos 𝑞 𝐶𝑉 𝑞 25 106 120 𝑞 3000 106 3 103 C 3mC 1 O capacitor possui uma capacitância de 25μF e está inicialmente descarregado A bateria produz uma diferença de potencial de 120V Quando a chave S é fechada qual é a carga total que passa por ela Cálculo do campo elétrico e potencial Suponha que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q O campo elétrico entre as placas em função da carga através da Lei de Gauss é 𝜖0ׯ 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0𝐸𝐴 𝑞 A partir do campo elétrico determinase a diferença de potencial V entre as placas 𝑉𝑓 𝑉𝑖 න 𝑖 𝑓 𝐸 𝑑𝑠 𝑉𝑞 𝑉𝑞 න 𝑞 𝑞 𝐸 𝑑𝑠 𝑉 0 𝑑 𝐸 𝑑𝑠 𝑽 𝑬𝒅 Atençãoaos vetoresdeslocamentoe campo elétrico 𝐸 𝑑𝑠 E ds cos 180 Cálculo da Capacitância Capacitor de placas paralelas Encontramos O valor da capacitância depende apenas dos parâmetros geométricos do capacitor 𝜖0EA q Logo a capacitância é dada por VEd 𝐶 𝜖0EA 𝐸𝑉 𝐶 𝑞 𝑉 Capacitor cilíndrico Cálculo da Capacitância Da lei de Gauss 𝑞 𝜖0EA 𝜖0E 2π𝑟𝐿 obtém se o campo elétrico E 𝑞 𝜖02π𝑟𝐿 𝑉 න 𝑖 𝑓 𝐸 𝑑𝑠 න 𝑏 𝑎 𝑞 𝜖02π𝑟𝐿 𝑑𝑟 𝑉 𝑞 𝜖02π𝐿 න 𝑏 𝑎 𝑑𝑟 𝑟 𝑉 𝑞 𝜖02π𝐿 ln Τ 𝑏 𝑎 𝑞 𝐶𝑉 Substituindo o valor de V na equação da capacitância 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝜖0 ර 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 A partir do campo elétrico temos o ddp Capacitor esférico Cálculo da Capacitância 𝑞 𝜖0EA 𝜖0E4π𝑟2 E 𝑞 4π𝜖0𝑟2 𝑉 න 𝑖 𝑓 𝐸 𝑑𝑠 න 𝑏 𝑎 𝑞 4π𝜖0 𝑑𝑟 𝑟2 𝑉 𝑞 4π𝜖0 න 𝑏 𝑎 𝑑𝑟 𝑟2 𝑉 𝑞 4π𝜖0 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 Substituindo o valor de V na equação da capacitância 𝑞 𝐶𝑉 Esfera isolada Podemos atribuir a uma única esfera de raio R de material condutor supondo que a placa que falta é uma casca esférica condutora de raio infinito Cálculo da Capacitância 𝐶 4𝜋𝜖0 𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 C 4𝜋𝜖0 𝑎 1𝑎𝑏 Fazendo a R e b infinito Capacitores em paralelo Capacitores em paralelo possuem mesma diferença de potencial entre as placas 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑉3 Na associação em paralelo a carga do capacitor equivalente corresponde à somadas carga individuais dos capacitores 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3 Capacitores em paralelo 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞2 𝐶2 𝑉 𝑞1 𝐶1 𝑉 𝑞3 𝐶3 𝑉 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝐶1 𝐶2 𝐶3V 𝑞 𝑉 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶𝑒𝑞 𝑞 𝑉 𝐶𝑒𝑞 𝑗1 𝑛 𝐶𝑗 Associação em série Capacitores em série Capacitores em série possuem mesma carga em suas placas 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3 Na associação em série a diferença de potencial do capacitor equivalente corresponde à soma das diferenças individuais dos capacitores 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑉3 Capacitores em série 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉1 𝑞 𝐶1 𝑉2 𝑞 𝐶2 𝑉3 𝑞 𝐶3 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 1 𝐶3 𝑉 𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 1 𝐶3 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 1 𝐶3 𝑉 𝑞 1 𝐶𝑒𝑞 𝐶𝑒𝑞 𝑞 𝑉 1 𝐶𝑒𝑞 𝑗1 𝑛 1 𝐶𝑗 2 Determine a capacitância equivalente do circuito Seja Exemplos 𝐶1 10𝜇𝐹 𝐶2 5𝜇𝐹 𝐶3 4𝜇𝐹 1 Determinar a capacitância de C1 e C2 em paralelo 𝐶12 𝐶1 𝐶2 10 5 15μ𝐹 2Determinar a capacitância de C12 e C3 em série 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶12 1 𝐶3 𝐶12 𝐶3 𝐶12𝐶3 1 𝐶𝑒𝑞 031 𝐶𝑒𝑞 316𝜇𝐹 𝐶𝑒𝑞 𝐶12𝐶3 𝐶12 𝐶3 1 𝐶𝑒𝑞 1 15 1 4 031 𝐶𝑒𝑞 322𝜇F 3 Determine a capacitância equivalente do circuito Seja Exemplos 𝐶1 10𝜇𝐹 𝐶2 5𝜇𝐹 𝐶3 4𝜇𝐹 𝐶12 𝐶1𝐶2 𝐶1 𝐶2 10 5 15 333μ𝐹 𝐶𝑒𝑞 𝐶12 𝐶3 333 4 733μ𝐹 1 Determinar a capacitância de C1 e C2 em série 2 Determinar a capacitância equivalente de C12 e C3 em paralelo Energia armazenada em um campo elétrico Suponha que em um dado instante uma carga q tenha sido transferida de uma placa para outra A ddp V entre as placas é qC Se uma carga adicional dq é transferida o trabalho adicional necessário é 𝑊 𝑞2 2𝐶 Esse trabalho é armazenado na forma de energia potencial U do capacitor 𝑈 𝑞2 2𝐶 𝐶𝑉2 2 𝑑𝑊V dq 𝑑𝑊 𝑞 𝐶 dq න 𝑑𝑤 1 𝐶 න 0 𝑞 qdq Energia armazenada em um campo elétrico A todo campo elétrico entre as placas de um capacitor ou em qualquer outro lugar está associada uma energia A densidade de energia u energia potencial por unidade de volume associada a um campo elétrico de módulo E é dada por 𝑢 𝜖0𝑬𝟐 2 𝑢 𝑈 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑈 𝐴𝑑 𝐶𝑉2 2𝐴𝑑 𝜖0𝐴𝑉2 𝑑 2𝐴𝑑 𝜖0𝑽𝟐 2𝒅𝟐 Outra forma de representar a energia densidade de energia Exemplo 4 Uma esfera condutora isolada de raio 685 cm possui uma carga de q125 nC a Qual a energia potencial armazenada no campo elétrico desse condutor carregado bQual a densidade de energia na superfície da esfera 𝑢 𝜖0𝐸2 2 𝑈 𝑞2 2𝐶 𝐶𝑉2 2 𝐶 4𝜋𝜖0 R 4π 885 1012 685 102 𝐶 761 1014F 𝑈 𝑞2 2𝐶 125 1092 2 761 1014 𝑈 103 107𝐽 103𝑛𝐽 𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 𝑢 𝑞2 2 16𝜋2𝑟4𝜀0 𝑢 125 1092 2 16𝜋2 685 102 4 885 1012 𝑢 254𝜇𝐽𝑚3 Qual a Capacitância Capacitor com dielétrico Quando introduzimos um material dielétrico entre as placas de um capacitor sua capacitância é multiplicada pela constante dielétrica A constante dielétrica k é uma propriedade característica do material dielétrico 𝑪 𝒌 𝝐𝟎 𝑨 𝒅 Capacitor com dielétrico Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida por uma bateria B o efeito de dielétrico é aumentar a carga das placas Capacitor com dielétrico Se a carga das placas é mantida o efeito do dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre as placas Capacitor com dielétrico O módulo do campo elétrico de uma placa pontual no interior de um dielétrico 𝐸 1 4𝜋𝑘𝜖0 𝑞 𝑟2 O módulo do campo elétrico próximo à superfície de uma placa condutora carregada no interior de um dielétrico 𝐸 𝜎 𝑘𝜖0 Capacitor com dielétrico O módulo do campo elétrico de uma placa pontual no interior de um dielétrico 𝐸 1 4𝜋𝑘𝜖0 𝑞 𝑟2 O módulo do campo elétrico próximo à superfície de uma placa condutora carregada no interior de um dielétrico 𝐸 𝜎 𝑘𝜖0 Capacitor com dielétrico Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 82 cm e separação 13 mm a Calcule a capacitância b Qual será a carga das placas se a ddp aplicada for de 120 V Resp 144pF b 173nC Exemplo 8851012 𝜋 00822 C 1441010 144 𝑝𝐹 𝑞 1441010 120 𝑞 𝐶𝑉 𝑞 1731010 173 𝑛𝐶 1 Um capacitor de placas planas é constituído por duas placas condutoras paralelas de áreas iguais 𝐴 e distância de separação entre as placas 𝑑 Cada placa tem uma densidade superficial de cargas 𝜎 e são carregadas com cargas opostas 𝑄 𝑒 𝑄 Vamos considerar a situação de 𝑑2 𝐴 Calcule sua capacitância Aprenda Atividade Autônoma Aura Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ර 𝑐 𝐸 𝑛 𝑑𝐴 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 Lei de Gauss Densidade superficial de cargas ර 𝑐 𝐸 𝑑𝐴 𝜎𝐴 𝜖0 𝐸 𝜎 𝜖0 𝑞 𝜎𝐴 Vamos determinar o módulo do campo elétrico 1 Um capacitor de placas planas é constituído por duas placas condutoras paralelas de áreas iguais 𝐴 e distância de separação entre as placas 𝑑 Cada placa tem uma densidade superficial de cargas 𝜎 e são carregadas com cargas opostas 𝑄 𝑒 𝑄 Vamos considerar a situação de 𝑑2 𝐴 Calcule sua capacitância Aprenda Atividade Autônoma Aura Δ𝑉 න 0 𝑑 𝐸 𝑑𝑠 Δ𝑉 𝜎 𝜖0 𝑑 𝐶 𝑄 Δ𝑉 𝐶 𝜎𝐴 𝜎 Τ 𝑑 𝜖0 Vamos calcular a diferença de potencial entre as placas Enfim vamos calcular a capacitância 2 Calcule a capacitância de um condutor esférico que está isolado e possui um raio de 18 𝑚 Considere 𝜖0 885 1012 𝐶2 𝑁𝑚2 Expresse sua resposta em escala de unidade p1012 Aprenda Atividade Autônoma Aura 𝐶 4𝜋 885 1012 𝐶2 𝑁 𝑚2 18m 𝐶 200182 x 1012𝐹 𝐶 200 𝑝𝐹 𝐶 4𝜋𝜖0 𝑎𝑏 𝑏 𝑎 4𝜋𝜖0 𝑎 1 𝑎𝑏 Fazendo a R e b infinito 𝐶 4𝜋𝜖0𝑅 2 Quantos capacitores de 1 µF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de 1 C com um potencial de 110 V através dos capacitores Resp 9091 Exercícios 𝐶𝑒𝑞 𝑞 𝑉 𝐶𝑒𝑞 1 110 9091 µF Para uma conexão em paralelo sabemos Ceq n C Logo o número total de capacitores será 𝑛 9091 𝑛 𝐶𝑒𝑞 𝐶 9091 µF 1 µF 3 Dado um capacitor de 74 pF cheio de ar pedimos convertêlo num capacitor que armazene 74 µJ com uma diferença de potencial máxima de 652 V Qual dos dielétricos listados na Tabela poderia ser usado para preencher a lacuna de ar do capacitor Exercícios Com o dielétrico dentro a capacitância é dada por C k C0 onde C0representa a capacitância antes do dielétrico ser inserido A energia armazenada é dada por 𝑈 𝐶𝑉2 2 74 106 𝑘 74 1012 6522 2 𝑘 47 4 Uma capacitância C1 6 µF e ligada em série com uma capacitância C2 4 µF e uma diferença de potencial de 200 V e aplicada através do par a Calcule a capacitância equivalente b Qual é a carga em cada capacitor c Qual a diferença de potencial através de cada capacitor Exercícios 𝐶𝑒𝑞 𝐶1𝐶2 𝐶1 𝐶2 6 4 6 4 24 μ𝐹 Capacitores em série possuem mesma carga em suas placas Ddp corresponde à soma das diferenças individuais dos capacitores 𝑞 𝐶𝑒𝑞𝑉 24 106 200 𝑞 048 103 𝐶 𝑉1 𝑞 𝐶1 048 103 6 106 80 𝑉 𝑉2 𝑞 𝐶2 048 103 4 106 120 𝑉