Trabalho 9

1 Uma função vetorial rt opera sobre rt t cost 4t² no domínio de t que vai de zero a um Operar a integral sobre a função vetorial rt Assumindo que a função abaixo obedece a um espaço vetorial determinar o limite de vt quando t tender a zero vt et sentt cost 2 Os pontos N 274 e M 516 formam um vetor V Determinar a equação vetorial e a forma paramétrica de V 3 Dada a função fxy 3x² 4xy determinar o gradiente de fxy 4 Uma função vetorial zt apresenta estrutura igual a sent cost 2t² Adotando um domínio entre 0 e 1 determinar a integral desta função vetorial 5 Calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a x e a y da seguinte função fxy 7xy 9y⁴x² 6 Calcular a integral dupla sobre ex² y² dA estando delimitado por um plano x² y² 4 e x² y² 9 7 Represente o ponto 3 7 em coordenadas polares 8 Represente o ponto 1 4 em coordenadas polares 9 Uma função vetorial wt apresenta estrutura igual a sent cost 5t³ Assumindo que a função obedece a um espaço vetorial determinar o limite de vt quando t tender a zero 1 rt t cost 4t² e vt et sentt cost Para integrar rt devemos integrar cada coordenada separadamente t dt t²2 c₁ c₁ℝ cost dt sent c₂ c₂ℝ 4t² dt 4t³3 c₃ c₃ℝ rt dt t²2 sent 4t³3 c₁ c₂ c₃ O limite lim t0 vt é calculado em cada variável lim t0 et e⁰ 1 lim t0 sentt 00 indeterminação usar regra de LHopital lim t0 sentt lim t0 cost cos0 1 lim t0 cost cos0 1 lim t0 vt 1 1 1 2 A equação paramétrica de V é determinada por V N M Nt 2 7 4 5 1 6 2 7 4t 2 7 4 3 6 2t Equação vetorial V 2 7 4 3 6 2t Forma paramétrica x 2 3t y 7 6t z 4 2t 3 fxy 3x² 4xy O gradiente de f é f fxyx fxyy Vamos calcular as derivadas parciais fxyx 3x² 4xyx 6x 4y y é considerado constante fxyy 3x² 4xyy 4x x é considerado constante fxy 6x 4y 4x 4 zt sent cost 2t² zt dt sent dt cost dt 2t² dt sent dt cost c₁ cost dt sent c₂ 2t² dt 2t³3 c₃ zt dt cost sent 2t³3 C com C c₁ c₂ c₃ Considerando a integral definida ₀¹ zt dt temos ₀¹ zt dt cos1 cos0 sen1 sen0 21³3 20³3 1 cos1 sen1 23 5 fxy 7xy 9y4x2 Derivadas de primeira ordem fxyx 7xy 9y4x2x 7y 18xy4 consideramos y constante fxyy 7xy 9y4x2y 7x 36y3x2 consideramos x constante Derivadas de segunda ordem 2fxyx2 7y 18xy4x 18xy4 2fxyy x 7y 18xy4y 7 72xy3 2fxyy2 7x 36y3x2y 108y2x2 2fxyx y 7x 36y3x2x 7 72xy3 6 Vamos utilizar coordenadas polares x rcosθ y rsenθ Temos que x2 y2 rcosθ2 rsenθ2 r2cos2θ r2sen2θ r2cos2θ sen2θ cos2θ sen2θ 1 r2 Logo ex2 y2 er2 x2 y2 4 r2 4 r 2 r0 x2 y2 9 r2 9 r 3 0 θ 2π Assim D ex2 y2dA 02π 23 er2 r dr dθ Vamos substituir u r2 dudr 2r du 2r dr du2 r dr r 2 u 4 e r 3 u 9 Logo D ex2 y2 dA 02π 49 eu du2 dθ 02π 49 eu2 du dθ 02π eu249 dθ 02π e9 e42 dθ e9 e42 θ 02π e9 e42 2π πe9 e4 D ex2 y2 dA πe9 e4 7 3 7 r 32 72 9 49 58 θ arctg73 117 rad Resposta 58 117 8 24 r 22 42 4 16 17 θ arctg41 arctg4 133 rad Resposta 17 133 9 wt senti costj 5t3 k lim t wt lim t sent i lim t cost j lim t 5t3 k sen0 i cos0 j 303 k 0 i 1 j 0 k j