Atividade

1 48 em coordenadas polares usamos as fórmulas r sqrtx2 y2 r sqrt42 82 r sqrt16 64 r sqrt80 θ arctanyx θ arctan84 θ arctan2 Portanto r θ sqrt80 arctan2 2 01 rt t cos t 4t2 Integrar cada coordenada separadamente x 01 t dt t22 01 122 022 12 y 01 cost dt sen t 01 sen1 sen0 sen1 z 01 4t2 dt 4t33 01 4133 4033 43 Logo 01 rt dt 12 sen1 43 3 12 gt cos t sen t 5t3 Análogo a número 2 x 12 cos t dt sen t 12 sen2 sen1 y 12 sen t dt cos t 12 cos2 cos1 z 12 5t3 dt 5t44 12 5244 5144 804 54 754 Logo 12 gt dt sen2 sen1 cos2 cos1 754 1 apenas substituir o zero 1 lim t0 pt lim t0 cos t sen t 3t2 lim t0 cos 0 sen 0 302 1 0 0 1 Portanto lim t0 pt 1 5 plano x2 y2 1 e x2 y2 3 D ex2 y2 dA Usar coordenadas polares x r cos θ y r seno r2 x2 y2 Portanto a integral ficara D er2 r dr dθ E D é uma região delimitada por 0 θ 2π 1 r 3 02π 13 er2 r dr dθ 02π 12 er2 13 dθ 12 02π e9 e dθ 12 e9 e θ 02π 12 e9 e 2π π e9 e 1 Represente o ponto 4 8 em coordenadas polares 2 Uma função vetorial rt opera sobre rt t cost 4t2 no domínio de t que vai de zero a um Operar a integral sobre a função vetorial rt 3 Uma função vetorial gt apresenta estrutura igual a cost sent 5t3 Adotando um domínio entre 1 e 2 determinar a integral desta função vetorial 4 Uma função vetorial pt apresenta estrutura igual a cost sent 3t2 Assumindo que a função obedece a um espaço vetorial determinar o limite de pt quando t tender a zero 5 Calcular a integral dupla sobre ex2 y2 dA estando delimitado por um plano x2 y2 1 e x2 y2 3 6 Assumindo que a função abaixo obedece a um espaço vetorial determinar o limite de vt quando t tender a zero vt e2t costt sect 7 Represente o ponto 5 9 em coordenadas polares 8 Dada a função fxy 5x3 9xy determinar o gradiente de fxy 9 Os pontos N 100 e M 332 formam um vetor V Determinar a equação vetorial e a forma paramétrica de V 10 Calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a x e a y da seguinte função fxy 9xy2 12y3 x7 6 lim vt lim e2t cos tt sect t0 t0 x lim e2t e0 1 t0 usar LHospital y lim cos tt 00 lim costt lim sint sin0 0 t0 t0 1 z lim sec t sec0 1 t0 Portanto lim vt 101 t0 7 59 em coordenadas polares r x2 y2 r 52 92 r 25 81 r 106 θ arctomyx θ arctom95 Portanto r θ 106 arctom95 8 O gradiente de uma função são as derivadas parciais fxy fx fy fx 15x2 9y fxy 5x3 9xy fy 9x fxy 15x2 9y 9x 9 N 100 m 332 Vamos determinar a equação vetorial a partir de rt 1tr0 t r1 Tomando r0 ON 100 e r1 OM 332 rt 1t100 t 332 rt 1t00 3t 3t 2t rt 1 2t 3t 2t 0 t 1 rt 1 2t 3t 2t 0 t 1 As equações paramétricas são x 1 2t y 3t z 2t 10 fxy 9x y2 12 y3 x7 Derivada de 1ª ordem fx 9 y2 84 y3 x6 fxy 9 y2 84 y3 x6 18xy 36 y2 x7 fy 18 x y 36 y2 x7 Derivada de 2ª ordem ²fx 504 y3 x5 fxy 504 y3 x5 18 x 72 x7 y ²fy 18 x 72 y x7