Introdução às Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de Probabilidade

DESCRIÇÃO Introdução a variáveis aleatórias discretas distribuições Bernoulli e binomial distribuições geométrica e hipergeométrica distribuição de Poisson PROPÓSITO Compreender os conceitos associados às variáveis aleatórias discretas e as principais distribuições discretas de probabilidade PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais MÓDULO 2 Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial MÓDULO 3 Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica MÓDULO 4 Processing math 100 Descrever a distribuigao de Poisson VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS MODULO 1 Descrever os conceitos de variaveis aleatérias discretas unidimensionais INTRODUGAO Iniciaremos o estudo de um dos tdépicos mais importantes da teoria das probabilidades Aqui serao vistos todos os conceitos fundamentais que nos levarao ao bom entendimento de variaveis aleatérias discretas unidimensionais e das principais distribuigdes de probabilidades discretas VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS Para assistir a um video sobre o assunto acesse a oO verso online deste conteudo 0 VARIAVEIS ALEATORIAS Seja E um experimento aleatério e S o espaco amostral associado a esse experimento Uma fungao X que associa o numero real Xs a cada elemento s S 6 chamada variavel aleatoria XSR Processing math 100 visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Considere o experimento aleatdrio de langar 3 moedas Seja X a variavel aleatoria que conta o numero de caras nesse experimento S C C C C C kK K K K X S R onde os valores que X assume so 0 1 2 e 3 Por exemplo XC C C 3 XC C K 2 XK K K 0 Seja X uma variavel aleatéria que representa o numero de acidentes de transito por dia em determinado local X0 1 2 3 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA Seja X uma variavel aleatéria Se os possiveis valores assumidos por X forem finitos ou infinitos enumeraveis dizemos que X é uma variavel aleatoria discreta E uma funcdo que associa a cada valor assumido pela variavel aleatéria uma probabilidade dada por PX X OU SIMPLESMENTE PX Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Devendo satisfazer as seguintes condigées 1 Px 0 u x Px 1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Processing math 100 3 Considere o exemplo do langamento de 3 moedas Determine a distribuigao da probabilidade desse experimento e obtenha seu respectivo grafico a ee PXx 384 18444 0 1 2 3 xX Fonte Wikipedia FUNGAO DISTRIBUIGAO ACUMULADA REPARTIGAO Seja X uma variavel aleatdéria discreta Definese por fungao distribuigao acumulada a seguinte expressao FX PX s X Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES A LIM FyX Fy 0 X B LIM FX F 1 X C PA X B FB FA D SEX X FXx Fx2x2 E Fy x E CONTINUA A DIREITA Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Processing math 100 O 4 Exemplo do langamento das 3 moedas Determine a fungao distribuigao acumulada 0 SEX 0 PX 0 0 1 1 3 SEOSX1 F0 PX 0 5 4 1 FX 3 SE1SX2 F1 PX 1 5 7 7 g SE2SX3 F2 PX 2 5 1 SEX 23 F3 PX 3 1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ESPERANCA MATEMATICA VALOR ESPERADO OU MEDIA Seja X uma variavel aleatéria O valor esperado ou média de uma variavel aleatéria é representado pela seguinte expressao My EX YX PX X x Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 5 Exemplo das 3 moedas Seja X Numero de caras no langamento de 3 moedas Entao a esperanca matematica de X é dada por 1 3 3 1 3 EX 0 PX 0 1 PX 1 2 PX 2 3 PX 3 EX 0 41542 543555 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES Considere X e Y variaveis aleatérias e a e b constantes Entao a EaXaEX b EaXbaEXb Processing math 100 EXbEY d EXYEXEY se X e Y forem independentes e e EXYEXEYcovX Y se X e Y nao forem independentes Em que covX YXEXYEY chamada covariancia de X e Y VARIANCIA Seja X uma variavel aleatéria discreta Entao a variancia de X é dada por 2 VX XMyPPIX X x VX Ex x Ex Ex2 EM QUE Ex X2Px x Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES Sejam X e Y variaveis aleatérias e a e b constantes entao aVa 0 b Vax b a2 VX c VX Y Vix WY se X e Y forem independentes caso contrario d vaxe by a2 vx b2 vy 2ab covx Y Em que covXYEXYEXEY a covariancia MAO NA MASSA 1 CONSIDERE UMA MOEDA HONESTA JOGASE ESSA MOEDA 4 VEZES SEJA X A VARIAVEL ALEATORIA QUE REPRESENTA O NUMERO DE CARAS QUAIS OS POSSIVEIS VALORES DESSA VARIAVEL ALEATORIA A 0 1 2 3 B 1 2 3 C 0 1 2 3 4 D 1 2 3 4 E 0 1 2 3 4 5 Processing math 100 2 CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR QUAL SERIA O VALOR ESPERADO DO NÚMERO DE CARAS A 1 B 2 C 52 D 3 E 103 3 UM JOGADOR PARTICIPA DE UM JOGO DE APOSTA QUE CONSISTE EM LANÇAR UM DADO SE O DADO RESULTAR EM FACE 6 ELE GANHA R1000 CASO CONTRÁRIO ELE PERDE R500 DEPOIS DE 2 RODADAS OU SEJA DE LANÇARMOS O DADO DUAS VEZES QUAL A PROBABILIDADE DESSE JOGADOR TER GANHO POSITIVO A 136 B 16 C 518 D 1136 E 13 4 CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR QUAL SERIA O GANHO ESPERADO DO JOGADOR A 5 B 0 C 5 D 10 E 20 5 SUPONHA QUE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA TENHA A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE X 0 1 2 3 PX X 010 030 040 020 DETERMINE A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA X 2 Processing math 100 ATENGAO PARA VISUALIZAGAO COMPLETA DA EQUAGAO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 01 B 03 C 04 D 07 E 08 6 CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR QUAL SERIA A VARIANCIA DA VARIAVEL ALEATORIA X A 081 B 17 C 37 D 42 E 464 GABARITO 1 Considere uma moeda honesta Jogase essa moeda 4 vezes Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de caras Quais os possiveis valores dessa variavel aleatoria A alternativa C esta correta Veja que no langamento de uma moeda 4 vezes podem ocorrer de 0 a 4 faces cara 2 Considerando o enunciado anterior qual seria o valor esperado do numero de caras A alternativa B esta correta Para determinar o valor esperado de X precisamos inicialmente apontar a distribuigao de probabilidade de X ou seja definir a probabilidade de cada um dos seus possiveis valores Para facilitar o calculo dessas probabilidades considere 0 seguinte espaco amostral associado ao experimento de lancgar 4 moedas C C CC C CC K C C K C CK C CK C C C C C K K C K C K S CKK C K C C K K C K C K K C CK K K C K K C K K C K kK C K K K K K K K Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai spe pe pe pe Processing math 100 PX x 116 416 616 416 116 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Simplificando o resultado das probabilidades temos pe fee fe foe foe fe Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim 0 valor esperado de X é dado por EX 0 PX 0 1 PX 1 2 PX 2 3 PX 3 4 PX 4 1 1 3 1 1 1 3 3 1 8 7t7t7tFZT54 Ex 0 46 13 23 33 4 76 4 4 4 4 4 2 ATENGAO PARA VISUALIZAGAO COMPLETA DA EQUAGAO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL 3 Um jogador participa de um jogo de aposta que consiste em langar um dado Se o dado resultar em face 6 ele ganha R1000 caso contrario ele perde R500 Depois de 2 rodadas ou seja de langarmos o dado duas vezes qual a probabilidade desse jogador ter ganho positivo A alternativa D esta correta 4 Considerando o enunciado anterior qual seria o ganho esperado do jogador A alternativa A esta correta Para calcular o ganho esperado basta aplicar a formula da esperanga matematica EX 10 PX 10 5 PX 5 20 PX 20 E 40 25 5 10 20 1 250 50 20 180 5 aw ti a mo FT EFT UF LU X 36 36 36 36 36 336 36 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Suponha que uma variavel aleatoria tenha a seguinte distribuigao de probabilidade Processing math 100 x 0 1 2 3 ef we Determine a fungao de distribuigado acumulada para X 2 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A alternativa E esta correta Observe que a fungao de distribuigao acumulada é dada por 0 SEX0 PX 0 0 01SEOXxX1 F0 Pxo0 01 04SE1X2 Fyi1 PX 1 0103 04 FyX a xX 08SE2XxX3 F2Px201030408 1 SEX23 F3 Px3 010304021 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto F208 6 Considerando o enunciado anterior qual seria a variancia da variavel aleatoria X A alternativa A esta correta Note que a variancia de X é dada por 2 2 VX EX EX Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim EX 0x011032x04302 0030806 17 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal e Ex 02 x 01 412 03 22 x 04 32x 02 040316 18 37 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo VX 37 1 7 0 81 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GARARITO Processing math 100 TEORIA NA PRÁTICA Um banco oferece seguro residencial que cobre acidentes como incêndio e catástrofe no valor de R10000000 Esse banco cobra do segurado uma taxa anual de R100000 Sabendo que a probabilidade de ocorrer incêndio ou qualquer tipo de catástrofe em um ano é de 0001 qual será o lucro esperado por cliente do banco RESOLUÇÃO ESPERANÇA VALOR ESPERADO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA FAMÍLIA PRETENDE TER 3 FILHOS SUPONDO QUE A CHANCE DE TER UM MENINO É A MESMA DE TER UMA MENINA E SENDO X A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE MENINAS DETERMINE A CHANCE DE X SER NO MÍNIMO IGUAL A 2 A 18 B 38 C 12 D 58 E 78 2 UM ESTUDANTE PODE ESCOLHER NO MÍNIMO UMA E NO MÁXIMO 4 DISCIPLINAS PARA FAZER NO SEMESTRE A PROBABILIDADE DE QUE O ESTUDANTE ESCOLHA 1 2 3 OU 4 DISCIPLINAS NO SEMESTRE É DE RESPECTIVAMENTE 120 14 25 E 310 SABENDO QUE PARA CADA DISCIPLINA ESCOLHIDA ELE PAGA R30000 QUAL É A DESPESA ESPERADA DESSE ESTUDANTE A 525 B 640 Processing math 100 C 735 D 885 E 910 GABARITO 1 Uma familia pretende ter 3 filhos Supondo que a chance de ter um menino é a mesma de ter uma menina e sendo X a variavel aleatoria que representa o numero de meninas determine a chance de X ser no minimo igual a 2 A alternativa C esta correta Para resolver a questao precisamos determinar inicialmente a distribuigao de probabilidade de X Assim a eee Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai 3 1 1 PX 2 2 PX 2PX3 5 5 5 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Um estudante pode escolher no minimo uma e no maximo 4 disciplinas para fazer no semestre A probabilidade de que o estudante escolha 1 2 3 ou 4 disciplinas no semestre é de respectivamente 120 14 25 e 310 Sabendo que para cada disciplina escolhida ele paga R30000 qual é a despesa esperada desse estudante A alternativa D esta correta Considere a variavel aleatoria D Despesa com disciplina Entaéo para uma disciplina o estudante tera uma despesa de R30000 para duas disciplinas tera uma despesa de R60000 e assim por diante de forma que a distribuigdo de probabilidade de X é dada por poe fom fom foe Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 1 1 2 3 ED 300 20 t 600 a 900 5 1200 70 15 150 360 360 885 Logo a despesa esperada sera de R88500 Processing math 100 ara visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Descrever as distribuigdes de Bernoulli e binomial A ideia do estudo das distribuigdes de probabilidade 6 determinar uma formulagao matematica para fené6menos que ocorrem frequentemente no cotidiano ou que se deseja calcular A seguir apresentaremos duas das principais distribuigdes discretas de probabilidade que tém caracteristicas em comum e muitas aplicagées praticas Para assistir a um video sobre o assunto acesse a e versao online deste conteudo 0 Considere uma unica tentativa de um experimento que so tem dois possiveis resultados Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q na qual pq1 Seja a variavel aleatéria X que representa o sucesso nessa Unica tentativa Entao podemos dizer que X pode assumir dois valores 0 fracasso e 1 Sucesso fe ee Assim a fungao de probabilidade da variavel X pode ser dada por PX X PX Q Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Processing math 100 NOTAGAO XBERNOULLIP Como vimos 0 conceito de esperanga ou média é mais uma informacao que é interessante conhecermos sobre a distribuigao de probabilidade Assim EX 0Q1PP Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim como a média a variancia é outra informacao importante sobre o comportamento da dispersao em torno da média da distribuigao de probabilidade Dessa forma 2 2 VX EY X Ex Como Ex 02Q12PPEEXP 2 2 2 VX EX Ex P P2 P1PPQ Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ATENGAO Observe que o desenvolvimento da distribuigao de Bernoulli servira como passo inicial para a formulagao matematica de problemas que ja resolvemos na parte de probabilidade basica No entanto essa distribuigao é limitada pelo fato de termos apenas uma Unica tentativa no experimento Veremos a seguir uma generalizagao da distribuigdo de Bernoulli A distribuigao binomial abrange uma quantidade significativa de aplicagdes e por isso tem grande importancia dentro do estudo das probabilidades Vejamos como se caracteriza e quais informagées podemos obter dessa distribuiao Processing math 100 Considere agora n tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento que admite apenas dois possiveis resultados Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q na qual ptq7 Seja X o numero de sucessos nas n tentativas Desejamos determinar a fungao de probabilidade de X ou seja PXx Desse modo considere inicialmente um resultado particular RP dado por RP SSSSFFFF K NK Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Como as tentativas sao sucessivas e independentes temos PRP P SSSSFFFF PX QNK K NK Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considerando todas as possiveis maneiras de combinar os sucessos temos N K NK PXK PM1PNS K0 1 N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal NOTAGAO XBNP 1 Considere um atirador amador que tem 50 de chances de acertar um alvo Suponha que atirou 40 vezes em um alvo Qual a probabilidade do atirador ter acertado 0 alvo 15 vezes Solugao 40 415 125 PX1555 2 0036 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A chance de sucesso do atirador é de aproximadamente 4 apenas Processing math 100 N N N N EX YX PX YywoX x er pPNX y Nx x PNX x vN NI x N x NX dx1 X X1 1 NX PO1 P 2x1 X1 1 NX PU1 P FACA Y X1 Nt NONI vad wevet Net No1 oy NX 2 y0y1nv11P 1P 2dyz0Nly4PP1P nilN1 oy N1Y NPYyzo y P1 PN1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Do binémio de Newton temos x a S20 etar dai por analogia weft py 4 pyN1Y Pa 1 PYN AN 4 d2yo y P1P P1P1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto EX NP VARIANCIA Vimos que a variancia de uma variavel aleatéria é dada por 2 2 VX El X EX Como ja calculamos EX no item anterior precisamos calcular a Ex Assim 2 2 N y2 N NX N y2 N NX Ex 3x7 P00 TMX PM PIN FN ax PACA PYM N tL N NX Processing math 100 X 1 X xX PX1 7 P k N N NX N N X NX DyarXX1 y PAA PIN Dyn aX PAI PIN NP N N pX NX N NI Xx NX TysoXX1 JPX1 PY NP Yxe9 Ka waxy Pt PIN a wn N2 2 NX nw i P Sita x2 1 PX NP Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo y x2 temos n2N2Y Ex NN1P25 yo y JP 1PNY2 NP P 1PN24 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai Ex nN 1 p2 NP Agora calculando a variancia de X temos VX Ex EX NN 4 P2 NP NP2 NP NP NP N2P2 NP NP2 NP1 P NPQ Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto VX NPQ MAO NA MASSA 1 UM DADO E LANGADO UMA UNICA VEZ SEJA A VARIAVEL ALEATORIA X QUE REPRESENTA A Processing math 100 PE UM NUMERO PAR NESSE UNICO LANGAMENTO QUAL O VALOR ESPERADO DE X A 16 B 14 C 13 D 12 E 23 2 UMA MOEDA NÃO VICIADA É LANÇADA 10 VEZES DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE OBTER EXATAMENTE 2 CARAS A 001 B 004 C 007 D 010 E 015 3CONSIDERANDO O ENUNCIANDO DA QUESTÃO ANTERIOR A PROBABILIDADE DE OBTERMOS NO MÍNIMO 2 CARAS É APROXIMADAMENTE A 090 B 092 C 095 D 097 E 099 4 UM CASAL QUER TER 5 FILHOS QUAL A PROBABILIDADE DE QUE DESSES 5 FILHOS NO MÁXIMO UM SEJA MENINO ADMITA QUE A PROBABILIDADE DE NASCER MENINO SEJA IGUAL A DE NASCER MENINA A 0112 B 0157 C 0188 D 0212 E 0250 5 NUMA FÁBRICA DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS 2 DA PRODUÇÃO É FORMADA POR ITENS DEFEITUOSOS UM LOTE É ACEITO PELO COMPRADOR SE TIVER NO MÁXIMO 3 DOS DISPOSITIVOS DEFEITUOSOS ADMITA QUE UM LOTE TENHA 100 DISPOSITIVOS QUAL A PROBABILIDADE QUE O COMPRADOR REJEITE O LOTE Processing math 100 A 014 B 020 C 025 D 030 E 033 6 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTAO ANTERIOR DETERMINE O NUMERO MEDIO DE DISPOSITIVOS ELETRONICOS DEFEITUOSOS EM 10 LOTES A 10 B 15 C 20 D 25 E 30 GABARITO 1 Um dado é langado uma unica vez Seja a variavel aleatoria X que representa a retirada de um numero par nesse unico langamento Qual o valor esperado de X A alternativa D esta correta Note que a variavel aleatoria X se caracteriza como uma distribuigao de Bernoulli pois temos uma Unica tentativa de um experimento nesse caso o langamento do dado com dois resultados possiveis sucesso quando o resultado do dado for par e fracasso quando o resultado for impar Além disso sabemos que o valor esperado da distribuigao de Bernoulli é p que é a probabilidade de sucesso portanto a resposta é 12 visto que p 36 12 2 Uma moeda nAao viciada é langada 10 vezes Determine a probabilidade de se obter exatamente 2 caras A alternativa B esta correta Seja X Obter cara no langamento de uma moeda Veja que esse experimento se caracteriza como uma distribuigao binomial visto que temos 10 tentativas sucessivas e independentes de um experimento que nesse caso é 0 langamento da moeda Além disso s6 temos dois resultados possiveis para a variavel aleatoria que conta o numero de caras sucesso com probabilidade p 12 e fracasso com probabilidade q 12 Assim N x NX SE XBN P PX X P1 PN Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai 10 1218 PX2 a 2 9044 AtencAo Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Processing math 100 3Considerando o enunciando da questao anterior a probabilidade de obtermos no minimo 2 caras é aproximadamente A alternativa E esta correta Considere a variavel aleatoria X que representa o resultado cara PX 2 1 PX 2 1 PX 0 PX 1 10f10110 10f1119 141 5 Wa 2 ala 2 09893 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 4 Um casal quer ter 5 filhos Qual a probabilidade de que desses 5 filhos no maximo um seja menino Admita que a probabilidade de nascer menino seja igual a de nascer menina A alternativa C esta correta Seja a variavel aleatoria X que representa o numero de meninos Logo Sf1of15 5f1144 PX 1 PX0PX1o5 5 alla 2 0188 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Numa fabrica de dispositivos eletr6énicos 2 da produgao é formada por itens defeituosos Um lote é aceito pelo comprador se tiver no maximo 3 dos dispositivos defeituosos Admita que um lote tenha 100 dispositivos Qual a probabilidade que o comprador rejeite o lote A alternativa A esta correta Carregando conteudo 6 Considerando o enunciado da questao anterior determine o numero médio de dispositivos eletrénicos defeituosos em 10 lotes A alternativa C esta correta Sabendo que o valor esperado de uma binomial com parametros n e p é igual a np temos EX NP 100 x 002 2 Como queremos a média para 10 lotes temos 10220 dispositivos Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO Processing math 100 TEORIA NA PRÁTICA Um aluno está cursando a disciplina de Estatística na faculdade de Engenharia Nas duas primeiras avaliações ele obteve notas 10 e 9 respectivamente No entanto falta ainda a última avaliação na qual professor aplicará um teste de múltipla escolha contendo 50 questões cada uma com 5 itens Sabese que a média para passar na disciplina é 7 e que o aluno só precisa obter uma nota 2 para ser aprovado O aluno acreditando estar praticamente aprovado na disciplina decide não estudar Na aplicação do teste ele observa que não sabe nenhuma das questões e decide escolher aleatoriamente os itens de todas as perguntas Qual a probabilidade desse aluno obter exatamente um 2 nesse teste RESOLUÇÃO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA FÁBRICA DE MOTORES DE VENTILADORES MONTA 120 MOTORES POR MÊS E SEPARA 20 ITENS PARA INSPEÇÃO SABESE QUE DOS MOTORES MONTADOS MENSALMENTE 6 NÃO FUNCIONAM QUAL A PROBABILIDADE DE TODOS OS MOTORES INSPECIONADOS FUNCIONAREM BEM A 005 B 012 C 015 D 030 E 036 2 UMA COMPANHIA REALIZA INSPEÇÃO EM CARREGAMENTOS DE FORNECEDORES DE MODO A DETERMINAR PRODUTOS NÃO CONFORMES CONSIDERE QUE UM LOTE CONTENHA 1000 ITENS SENDO 1 DOS PRODUTOS NÃO CONFORMES QUAL É O TAMANHO NECESSÁRIO DA AMOSTRA DE MODO QUE A PROBABILIDADE DE ESCOLHER NO MÍNIMO UM ITEM NÃO CONFORME NA AMOSTRA SEJA NO MÍNIMO 090 Processing math 100 A 200 B 212 C 220 D 229 E 241 GABARITO 1 Uma fabrica de motores de ventiladores monta 120 motores por més e separa 20 itens para inspegao Sabese que dos motores montados mensalmente 6 nao funcionam Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem bem Seja a variavel aleatoria X O motor funcionar Assim calcular a probabilidade que todos funcionem bem equivale a determinar a probabilidade que nenhum funcione Dai 20 0 20 PX 0 00509529 03585 0 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Uma companhia realiza inspegao em carregamentos de fornecedores de modo a determinar produtos nao conformes Considere que um lote contenha 1000 itens sendo 1 dos produtos nao conformes Qual é o tamanho necessario da amostra de modo que a probabilidade de escolher no minimo um item nao conforme na amostra seja no minimo 090 Seja X a variavel aleatoria que representa a quantidade de itens nao conformes Dessa forma podemos dizer que X segue um binomial n p 001 Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no minimo um item nao conforme na amostra seja de no minimo 090 PX 2 1 2 09 1 PX 1 2 090 PX 0 01 N 0 N 0019099 01 0 099 01 099 0 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para resolver essa desigualdade aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade Assim N LN 01 LN099 LN01 NS 22911 229 Sroobesina math 100 LN 099 rocessing math 100 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Descrever as distribuigdes geométrica e hipergeométrica A seguir veremos mais duas distribuigdes de probabilidades com caracteristicas parecidas com as distribuigdes de probabilidades anteriores mas que mantém suas proprias particularidades e que também contemplam uma vasta gama de aplicagdes Neste modulo tal como fizemos no anterior vamos partir da caracterizagao das distribuigdes geométrica e hipergeométrica e em seguida trataremos das informagées média e variancia inerentes a essas distribuigdes DISTRIBUIGOES GEOMETRICA E HIPERGEOMETRICA Para assistir a um video sobre o assunto acesse a ve versao online deste conteudo 0 Considere tentativas sucessivas e independentes de um experimento aleatorio que so admite dois possiveis resultados Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade g em que pq7 Seja a variavel aleatoria X Numero de tentativas até a ocorréncia do 1 sucesso Assim X pode assumir os seguintes valores X1S PX1P X 2 FFS PX 2 QP X 3 FFFS PX 3 Q2P Processing math 100 X K FFFF S PX K QX1p K41 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo a fungao de probabilidade de X é PX X Q1 P 1 PY 1P Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 1 A chance de encontrar o monitor de Estatistica na sala de monitoria 6 de 20 Qual a probabilidade de que um aluno tenha que ir a sala do monitor 4 vezes para encontralo pela primeira vez Solugao PX 4 0841 02 08 02 01024 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A probabilidade de que o aluno va até a sala do monitor 4 vezes até encontralo pela primeira vez é de aproximadamente 10 v X1 pe co X41 o Ox p Ps ox FX 2X PUD 2 x21 Q PP x1 Q P 2x1pq P 5g 2x1 FIX P DQ plz 1 1 X P Dalia p2 Pp Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim Ex1p De acordo com os conceitos vistos no modulo inicial a variancia é definida por Processing math 100 VXEX2Ex2 Como ja conhecemos o valor da esperanga temos agora que determinar 2 2 y2 7Xx1 y2 7Xx1 X1 Ex YX PIX Oy 2X2 1 P PTY 2X2 QE PI A LXX 1 X Q1 x PY yl yXX 1 Qt PLY 2 4X Qt PAT y24XX1 X24 5 x1 x1 x1 Pp 1 EX5 D 1 D 1 pb 1 0 J PQS 24553 5 PQoaZx21 5 PQoasg 5 Q 1Q PQ 2 1 2PQ 1 2QP t ES 1 Q 3 P Pp P p2 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai V 2QP 1 2 Vi Q Y 25 Y Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo Q UX Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considere uma populagao com N elementos dos quais r tém determinada caracteristica A retirada de um desses r elementos é definida como sucesso Retiramos dessa populagao uma amostra sem reposigao de tamanho n Seja X a variavel aleatoria que conta o numero de sucessos na amostra Do conceito de probabilidade frequentista temos PX ne X NS Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que nx é o numero de eventos favoraveis a x e nS o numero de eventos favoraveis ao espacgo amostral S N Porém nS equivale ao numero de maneiras de selecionar uma amostra de tamanho n ou seja nS nt Além disso r Nr ohserve aue temos de escolher os x sucessos elementos com certa caracteristica e maneiras de escolher os Processing math 100 x nx outros nx individuos sem a caracteristica Dai R NR xX NX PX X 0S XS NE XSER N N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal NOTAGAO XHIPERGEOMETRICANRN 2 Em uma populagao de 100 pegas sabese que 20 sao defeituosas Retirase uma amostra de 10 pegas Qual a probabilidade de obtermos 2 pegas defeituosas Solugao Veja que o sucesso a retirada da pega defeituosa ou seja a caracteristica de interesse é que a pega seja defeituosa Dessa forma para determinar tal probabilidade podemos empregar a distribuigao hipergeométrica visto que essas pegcas defeituosas fazem parte de uma populagao e dessa populagao sera retirada uma amostra Assim 20 80 28 PX 2 032 100 10 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A probabilidade de retirar uma pega defeituosa de uma amostra de tamanho 10 retirada de uma populagao de tamanho 100 é de aproximadamente 32 R NR R NR N N xX NX N xX NX EX YySoXPX X YyNgX x8 4X N N N N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para desenvolver esse quociente entre combinag6es precisamos usar algumas identidades conhecidas tais como R R1 R Processing math 100 xX 1 E N nIN1 N NN1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ASSIM R1 NR R1 NR R X1 7 NX NR X1 NX EX Yyeq FF Dx 2X1 7 X1 vN1 N N1 NN1 N1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo y x1 temos y N1R1 NRw4 Y Net NR w4 EX w2ys0 Ly0PY YIN1R1N1 N1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Observe que yyzoPY yN1r1n11 pois é a fungao de probabilidade hipergeométrica com parametros N1 r1 e n1 Logo NR EX Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal VARIANCIA Para o calculo da variancia vamos omitir a demonstragao pela quantidade excessiva de calculos Dessa forma a variancia da distribuigao hipergeométrica é dada por NN VX NP1 P N1 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 1 NO LANGAMENTO DE UM DADO QUAL A PROBABILIDADE DE TER QUE LANGALO QUATRO VEZES PARA SE OBTER FACE DOIS PELA PRIMEIRA VEZ Processing math 100 B 015 C 02 D 025 E 03 2A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR DETERMINADO PRODUTO NA PRATELEIRA DE UM SUPERMERCADO É DE 13 QUAL A PROBABILIDADE DE QUE SE TENHA QUE IR AO SUPERMERCADO NO MÁXIMO 2 VEZES PARA ENCONTRAR O PRODUTO PELA PRIMEIRA VEZ A 13 B 12 C 59 D 23 E 79 3 CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR QUAL SERIA A MÉDIA E A VARIÂNCIA RESPECTIVAMENTE DE IDAS AO SUPERMERCADO A 1 e 3 B 2 e 4 C 2 e 3 D 3 e 6 E 3 e 9 4 UMA URNA CONTÉM 10 BOLAS BRANCAS E 20 BOLAS PRETAS RETIRASE UMA AMOSTRA DE 5 BOLAS SEM REPOSIÇÃO QUAL A PROBABILIDADE DE QUE ESSA AMOSTRA TENHA 2 BOLAS BRANCAS A 005 B 0125 C 0185 D 025 E 036 5 SABESE QUE 10 DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR DETERMINADA MÁQUINA SÃO DEFEITUOSAS RETIRASE UMA AMOSTRA DE TAMANHO 30 DE UMA POPULAÇÃO DE 150 PEÇAS PRODUZIDAS EM UM DIA QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 5 PEÇAS SEJAM DEFEITUOSAS A 005 Processing math 100 B 010 C 015 D 020 E 025 6 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTAO ANTERIOR DETERMINE A MEDIA DE PECGAS DEFEITUOSAS NA AMOSTRA A 03 B 05 C 10 D 15 E 20 GABARITO 1 No langamento de um dado qual a probabilidade de ter que langalo quatro vezes para se obter face dois pela primeira vez A alternativa A esta correta Veja que o problema trata do numero de tentativas para se obter um evento pela primeira vez Portanto possui a caracteristica da distribuigado geométrica Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de tentativas até a ocorréncia da primeira face dois Entao XGp16 e vimos que SE X E UMA GEOMETRICA PX X Qp Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Entao Px 4 5616 0096 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2A probabilidade de se encontrar determinado produto na prateleira de um supermercado é de 13 Qual a probabilidade de que se tenha que ir ao supermercado no maximo 2 vezes para encontrar o produto pela primeira vez A alternativa C esta correta DISTRIBUIGAO GEOMETRICA Processing math 100 3 Considerando os dados da questao anterior qual seria a média e a variancia respectivamente de idas ao supermercado A alternativa D esta correta Sabendo que a variavel aleatoria X da questao anterior tem distribuigao geométrica com parametro p 13 Temos EX p 13 3 9 23 WX v2 t79 6 4 Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas Retirase uma amostra de 5 bolas sem reposigao Qual a probabilidade de que essa amostra tenha 2 bolas brancas A alternativa E esta correta Observe que temos uma populagao de 30 bolas e que sera retirada uma amostra de 5 bolas na qual se quer calcular a probabilidade de termos 2 bolas brancas que é uma caracteristica que esta dentro da populagao Portanto temos que a questao se caracteriza como uma distribuigao hipergeomeétrica Assim R NR xX NX PX X N N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Nessa questao temos N30 r10 n5 e x2 Dai 10 20 2 3 PX 2 03599 30 10 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Sabese que 10 das pegas produzidas por determinada maquina sao defeituosas Retirase uma amostra de tamanho 30 de uma populagao de 150 pegas produzidas em um dia Qual a probabilidade de que 5 pegas sejam defeituosas A alternativa B esta correta Seja a variavel aleatoria X Numero de pegas defeituosas na amostra Nesse caso X segue uma distribuigao hipergeométrica em que N150 r15 n30 e x5 Assim 15 135 5 7 25 PX 5 0 1019 150 30 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 6 Considerando o enunciado da questao anterior determine a média de pegas defeituosas na amostra A alternativa A esta correta Sabendo que a variavel aleatoria X da questao anterior segue uma distribuigao hipergeométrica com parametros N150 noe A nm ee OD amos Processing math 100 R EX NP EM QUE P DAI P 15150 001 EX 30 x 0 01 0 3 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRATICA Numa populagao de 10000 habitantes temos que 05 dessa populagao sofre de certa doenga Retirase uma amostra de tamanho 80 dessa populagao Qual a probabilidade que nessa amostra tenhamos 10 pessoas com essa doenga RESOLUCAO UMA APLICACAO DA DISTRIBUICAO HIPERGEOMETRICA Para assistir a um video sobre o assunto acesse a e versdo online deste conteudo 0 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 NOS AEROPORTOS DE CERTO PAiS A PROBABILIDADE DE UM METAL PEQUENO NAO SER DETECTADO NO RAIOX E DE 02 UM PASSAGEIRO QUE ESTA VIAJANDO PELO MODAL AEREO NESSE PAIS VAI FAZER VARIAS CONEXOES SABESE QUE ELE ESQUECEU UMA MOEDA NO BOLSO QUAL A PROBABILIDADE DE QUE O PASSAGEIRO SO TENHA A MOEDA DETECTADA NO TERCEIRO RAIOX A 001 B 003 C 005 D 010 E 011 Processing math 100 2 UM ESTACIONAMENTO DE UM CENTRO COMERCIAL TEM CAPACIDADE PARA 180 CARROS SENDO 30 VAGAS PARA IDOSOS SABENDO QUE 20 VAGAS ESTAO OCIOSAS NESSE ESTACIONAMENTO QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 3 DESSAS VAGAS SEJAM DE IDOSOS A 010 B 015 C 025 D 035 E 050 GABARITO 1 Nos aeroportos de certo pais a probabilidade de um metal pequeno no ser detectado no raioX é de 02 Um passageiro que esta viajando pelo modal aéreo nesse pais vai fazer varias conex6es Sabese que ele esqueceu uma moeda no bolso Qual a probabilidade de que o passageiro so tenha a moeda detectada no terceiro raioX A alternativa B esta correta Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de vezes que o passageiro tera que passar no raioX para que a moeda seja detectada pela primeira vez Entao XGp080 Assim PX 3 02208 0032 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Um estacionamento de um centro comercial tem capacidade para 180 carros sendo 30 vagas para idosos Sabendo que 20 vagas estado ociosas nesse estacionamento qual a probabilidade de que 3 dessas vagas sejam de idosos A alternativa C esta correta Seja X a VA que representa as vagas de idosos nesse estacionamento Portanto X é uma distribuigao hipergeométrica com parametros N180 r30 e n20 Assim 30 150 3 17 PX 3 025 180 20 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Processing math 100 O 4 Descrever a distribuição de Poisson INTRODUÇÃO A distribuição que veremos agora tem relevante papel no estudo da probabilidade visto que se trata da distribuição que calcula a probabilidade de eventos discretos que ocorrem em intervalos contínuos o que agrega uma quantidade considerável de aplicações DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Antes de definir a distribuição de Poisson é importante conceituar o que é um processo de Poisson pois como veremos as probabilidades calculadas por essa distribuição se referem a este tipo de processo PROCESSO DE POISSON É um processo no qual eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos tempo comprimento área volume EXEMPLO Exemplos de processos de Poisson Acidentes de trânsito por dia Focos de incêndio por área Número de chamadas telefônica por minuto Processing math 100 Numero de trocas de pneu por km2 Seja X a variavel aleatoria discreta que representa o numero de sucesso em um processo de Poisson Entao dizemos que X segue uma distribuigao de Poisson com a seguinte fungao de probabilidade E Ax PX X X0 1 2 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que A é a taxa média de ocorréncia A aX A X X1 EX DX PIX Dy ZoX Xe GO SEMA Tyla EA y EXO Xp KRW Xp EXE XID EA Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto Para o calculo da variancia usaremos a mesma estratégia utilizada no calculo da média Assim Vix Ex E09 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Como ja conhecemos o valor da esperanga de X vamos calcular inicialmente a EX Dessa forma A aX A X A X x2 yx2 PQQ Ty Z9X Dy yX2 SO Dy MK 1 X a x0 X xa1 X x1 Xx a aX aX cA A gA Processing math 100 A Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo y x2 temos AX o Ex EN Yyzoyyy TAZ EA EA HARA A EA Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim VX Ex EX2 A2AA2A Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto Note que na distribuigao de Poisson a média é igual a variancia Essa distribuigao se aplica a eventos raros A é proporcional ao intervalo continuo considerado no problema Os eventos sao independentes 1 Sabese que o numero de acidentes em determinada via segue uma distribuigao de Poisson com média de 9 acidentes por ano Qual a probabilidade de que em determinado més no ocorram acidentes nessa via Solugado Observe que a média esta dada em meses mas pede a probabilidade em anos No entanto como sabemos que uma das propriedades da distribuigado de Poisson é a proporcionalidade entao se em um ano ocorrem nove acidentes em um més ocorrerao 912 34 acidentes A 075 Assim E75 9750 PX 0 047 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A probabilidade de que nao ocorra acidente na via em determinado més é de aproximadamente 47 Processing math 100 COMENTARIO Essa aproximagao foi muito util durante o tempo em que os recursos computacionais eram escassos Ha alguns anos a maioria dos estudantes usavam calculadoras simples para resolver problemas que envolvessem calculos matematicos e nao tinham computadores pessoais Alem disso mesmo as calculadoras mais potentes tinham limitagdes quanto ao calculo do fatorial Portanto para resolver essa limitagao aproximavase a distribuigado binomial pela distribuigao de Poisson Faga a média da Poisson igual a média da Binomial ou seja Anp e suponha que A nao é muito grande Vimos da distribuigao de Poisson que o numero de sucessos pode ser dado por 012 Considere o caso de termos zero sucessos assim utilizando a distribuigao binomial teriamos N OAN N PX 0 PQNQ Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Mas como AnppAn Dai AN PX 0 QN1PN 7 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Nota AN A LIM 1 wl E N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Generalizando temos N ax ANX PX N v1 17 N XIN N N ax ANX LIM 1 XIN N N N AN X ANX LIM Ia 17 X N30 N XI UN N LIM NN1 NX1 AX 1 AN 4 AX x XI1 N N N N x N N LIM N N1 N2 NX1 AX 1 AN 1 A X NUON NT yX XELON N N N Processing math 100 1 2 3 x1 aX AN AX Be ep ip pet we pot 15 1 2 3 xX1 Ax AN AX ep ep pew xl oy 15 q Ax AN AX E4A LIM xr 1n w For N Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto podemos aproximar a distribuigao binomial pela distribuigao de Poisson Essa aproximagao é boa quando n 50 e p 010 MAO NA MASSA 1 UM POSTO POLICIAL RECEBE EM MEDIA 2 CHAMADAS POR DIA QUAL A PROBABILIDADE DE RECEBER EXATAMENTE 3 CHAMADAS EM UM DIA A 010 B 015 C 018 D 020 E 025 2 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTAO ANTERIOR QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE POSTO RECEBER 7 CHAMADAS EM UMA SEMANA A 001 B 002 C 003 D 004 E 005 3 UM JORNAL REGISTRA EM MEDIA 3 ERROS ORTOGRAFICOS A CADA 5 PAGINAS IMPRESSAS QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM JORNAL COM 30 PAGINAS CONTENHA EXATAMENTE 8 Processing math 100 A 0001 B 0002 C 0003 D 0004 E 0005 4 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE JORNAL REGISTRAR MENOS DE 2 ERROS EM UMA PÁGINA A 050 B 062 C 075 D 082 E 088 5 UMA OUVIDORIA RECEBE 5 RECLAMAÇÕES POR HORA QUAL A PROBABILIDADE DE QUE RECEBA APENAS UMA RECLAMAÇÃO EM 10 MINUTOS A 036 B 042 C 048 D 054 E 060 6 UMA FIRMA VISITA OS CLIENTES QUE COMPRARAM O SEU PRODUTO SE A PROBABILIDADE DE DEFEITO DO PRODUTO FOR DE 001 QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM 1000 VISITAS OCORRAM NO MÍNIMO 3 DEFEITOS A 0956 B 0967 C 0975 D 0986 E 0997 GABARITO 1 Um posto policial recebe em média 2 chamadas por dia Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em um dia Processing math 100 A alternativa C esta correta Seja X a variavel aleatoria discreta que representa chamadas por dia Veja que X representa o sucesso chamadas em um processo de Poisson em que eventos discretos ocorrem em intervalos continuos dia Assim podese dizer que XPA2 ou seja EAnX PX X Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai E228 PX 3 aC 018 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Considerando o enunciado da questao anterior qual seria a probabilidade desse posto receber 7 chamadas em uma semana A alternativa B esta correta Observe que na questdo anterior a média A era de 2 chamadas por dia Utilizando a propriedade de proporcionalidade de A temos que em uma semana A 14 2 x 7 Logo E 14447 PX 7 002 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 3 Um jornal registra em média 3 erros ortograficos a cada 5 paginas impressas Qual a probabilidade de que um jornal com 30 paginas contenha exatamente 8 erros A alternativa D esta correta 4 Considerando o enunciado da questao anterior qual seria a probabilidade desse jornal registrar menos de 2 erros em uma pagina A alternativa E esta correta Observe que se em 5 paginas a média A é igual a 3 portanto em uma pagina teremos 35 erros Entao E73535 E35351 PX 2 PX 0 PX1 088 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Uma ouvidoria recebe 5 reclamag6es por hora Qual a probabilidade de que receba apenas uma reclamagao em 10 minutos Processing math 100 A esta correta Seja a variavel aleatoria X Reclamagoes por hora Logo XPA5 No entanto o problema pede a probabilidade de que receba apenas uma reclamagao em 10 minutos Portanto em 10 minutos A 56 Assim E56 56 1 PX 1 3 036 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 6 Uma firma visita os clientes que compraram o seu produto Se a probabilidade de defeito do produto for de 001 qual a probabilidade de que em 1000 visitas ocorram no minimo 3 defeitos A alternativa E esta correta Observe que a questao poderia ser resolvida por meio de uma distribuigdo Binomial pois temos que a variavel aleatoria digamos X representa o numero de defeitos sucessos nas visitas isto é XBN 1000 P 001 Dessa forma a solugao poderia ser obtida por PX 3 1 PX 3 1PX 0 PX 1 PX 2 1000 1000 1000 1 0 0 0190 991 4 0 0110 99999 2 0 0110 99999 0 9973 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Note que quanto maior o valor de x a calcular mais trabalhoso seria o montante dos calculos Além disso teriamos que trabalhar com os fatoriais das combinagoées Dessa forma para facilitar os calculos poderiamos usar a distribuigao de Poisson para resolver esta questao Nesse caso consideraremos a aproximagao da distribuigao Binomial pela distribuigao de Poisson bastando fazer A np 1000 x 001 10 Assim PX 2 3 1 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 1 ry nr i ry 09972 Observe que os resultados sao bem aproximados Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO O numero de mortes por febre amarela no Brasil é de 4 por ano Qual a chance de que em seis meses morra no maximo 1 pessoa Processing math 100 CAO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SUPONHA QUE A INCIDÊNCIA DE DETERMINADA DOENÇA NA POPULAÇÃO SEJA DE 1 CASO A CADA 100000 HABITANTES EM UMA CIDADE DE 500000 HABITANTES DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR EXATAMENTE 2 CASOS DESSA DOENÇA NA REFERIDA CIDADE A 004 B 008 C 012 D 016 E 020 2 SABESE QUE EM MÉDIA 5 LÂMPADAS SE QUEIMAM A CADA 1000 LÂMPADAS TESTADAS QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM UM TESTE DE 10000 LÂMPADAS EXATAMENTE 40 LÂMPADAS SE QUEIMEM A 002 B 004 C 008 D 016 E 020 GABARITO 1 Suponha que a incidência de determinada doença na população seja de 1 caso a cada 100000 habitantes Em uma cidade de 500000 habitantes determine a probabilidade de se encontrar exatamente 2 casos dessa doença na referida cidade A alternativa B está correta Processing math 100 Seja a variavel aleatoria X Incidéncia da doenga por habitante Veja que XPA1 Portanto em uma cidade de 500000 habitantes X sera uma Poisson com A 5 Assim E5 5 2 PX 2 aC 008 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Sabese que em média 5 lampadas se queimam a cada 1000 lampadas testadas Qual a probabilidade de que em um teste de 10000 lampadas exatamente 40 lampadas se queimem A alternativa A esta correta Veja a probabilidade de uma lampada queimar com probabilidade 001 e poderiamos resolver utilizando a distribuigao binomial No entanto para evitar usaremos a distribuigdo de Poisson com A 100 50 50 40 PX 40 5 002 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Aqui abordamos os conceitos fundamentais associados as variaveis aleatorias discretas Além disso apresentamos as principais distribuigdées discretas de probabilidade entre as quais as de Bernoulli binomial geométrica hipergeométrica e de Poisson Cada distribuigao de probabilidade exerce um papel importante para o calculo de probabilidades de fendmenos comuns que acontecem no nosso dia a dia Todos os conceitos adquiridos neste tema sao essenciais nao apenas para a continuidade do estudo da teoria das probabilidades mas também para 0 bom entendimento de modelos estatisticos PEEEPENCIAS Processing math 100 Fonseca J S Martins G A Curso de Estatística 6 ed São Paulo Atlas 1996 Meyer P Probabilidade Aplicações à Estatística 2 ed São Paulo LTC 1987 Morettin P A Bussab W de O Estatística Básica 9 ed São Paulo Saraiva 2017 Morettin P A Estatística Básica Probabilidade e Inferência 6 ed São Paulo Pearson 2015 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema assista Ao canal IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada YouTube CONTEUDISTA Paulo H C Maranhão CURRÍCULO LATTES Processing math 100