Lista de Revisão sobre Equações Diferenciais Ordinárias

Lista de revisão 1 Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem que segue abaixo 4 yx 7 yx 27 A partir da condição inicial y11 o valor de y para x 4 é igual a Resposta 386 2 Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem que segue abaixo 2 yx 8 yx 23 A partir da condição inicial y11 o valor de y para x 4 é igual a Resposta 287 3 As equações diferenciais ordinárias de segunda ordem homogênea apresentam diversas aplicações tais como em sistema massamola com ou sem amortecimento pêndulo simples e circuitos elétricos Para resolver uma EDO de 2ª ordem homogênea é necessário relacionála com uma equação característica que é uma função polinomial de segundo grau A resolução desta equação polinomial de segundo grau envolve três soluções possíveis que dependem do valor do delta Δ b2 4ac A partir do exposto considere as seguintes assertivas I O valor de delta nulo está relacionado com uma solução geral da EDO de 2ª ordem homogênea do tipo yt C1 er1t C er2t II A equação característica 2r23r1 0 apresenta um valor de delta negativo o que resulta em uma solução geral da EDO de 2ª ordem homogênea do tipo yt eat C1cosbt C2senbt sendo a a parte real e b a parte imaginária do número complexo z a bj III A equação característica 3r2 2r 5 0 está associada a EDO de 2ª ordem homogênea 3yt 2yt 5yt 0 Estáestão corretas as afirmativas Resposta III apenas 4 Considere um circuito RL em que a resistência seja R 14 ohms e a indutância seja L 5 Henry Uma pilha fornece uma tensão constante de Et 54 volts e a corrente inicial é I0 0 ampere A equação diferencial ordinária de primeira ordem que relaciona a resistência a indutância a tensão e a corrente em função do tempo é dada pela EDO seguinte Lit Rit Et O valor da corrente máxima considere que a variável tempo t tende ao infinito Também é possível usar um software para visualizar qual será a corrente máxima que a função it atinge em ampere no circuito é Resposta 386 5 Considere hipoteticamente um corpo de massa m 3 kg que deslocase em uma superfície horizontal Suponha que a sua velocidade vt do corpo é modelada pela equação diferencial de primeira ordem mvt kvt Sendo vt a velocidade em metros por segundos ms k é uma constante e t é o tempo em segundos s No instante inicial a velocidade do corpo é v0 1 ms isto é a condição inicial é vt0 1 Considere que a constante k é igual a 1 A velocidade em ms no instante de tempo t 10 s é igual a Resposta 14 6 Considere um circuito resistivoindutivo com resistência R 15 ohm Ω e indutância L 2 Henry H com uma fonte que fornece uma tensão constante de Vt 63 volts V Suponha que o interruptor esteja fechado no instante inicial isto é a corrente elétrica it é nula para t 0 segundo s A equação diferencial ordinária de primeira ordem que relaciona a corrente com o tempo é obtida por meio da seguinte relação Lit Rit Vt A partir do exposto a corrente elétrica em ampere A no instante t 213 s é igual a Resposta 42 7 Considere hipoteticamente um circuito elétrico resistivo indutivo RL com resistência R 1 ohms Ω e indutância L 4 Henry H sendo a fonte de tensão contínua Vt 18 volts v Suponha que no instante inicial a corrente no circuito seja nula isto é i0 0 Considere que a equação diferencial que representa este circuito RL obtida pela Lei das malhas é dada por Ou seja para este contexto a EDO é dada por 4it 1it 18 Determine a corrente elétrica em ampere A no circuito no instante t 09 segundos s isto é i09 Resposta 363 8 Suponha um determinado processo em que entra água em um tanque de 300 litros L a uma vazão volumétrica de 3 litros por minuto Lmin com um metal misturado de forma homogênea a uma concentração de 06 miligrama por litro mgL e que a água com o metal distribuído uniformemente sai do tanque a uma vazão volumétrica igual a de entrada Suponha que o tanque continha inicialmente 5 miligramas mg de metal A equação diferencial ordinária de primeira ordem que representa a entrada acúmulo e saída de água com o metal é dada por 3 Lmin 06 mgL yt mgmin 3 Lmin yt mg300 L Sendo yt a quantidade de metal distribuído uniformemente na água no tanque em um instante de tempo t em minutos min e yt a taxa de variação instantânea da quantidade do metal em um instante de tempo t A partir do exposto considere as seguintes assertivas I A EDO de primeira ordem que representa matematicamente a situação é dada por yt 18 001yt em mgL II Após 12 minutos a quantidade de metal no tanque é yt12 1437 mg III A condição inicial da EDO de primeira ordem representa a quantidade de metal no tanque no momento inicial isto é yt0 4 mg É correto o que se afirma em Resposta I apenas 9 Considere hipoteticamente um circuito elétrico resistivo capacitivo RC no carregamento do capacitor com resistência R 2 ohms Ω e capacitância C 012 farad F sendo a fonte de tensão contínua Vt 31 volts v Suponha que no instante inicial a carga no capacitor seja nula isto é q0 0 Considere que a equação diferencial que representa este circuito RC obtida pela Lei das malhas é dada por Rqt 1Cqt Vt Isto é para este contexto a EDO é dada por 2qt 1012qt 31 Determine a carga elétrica qt em Coulomb C no capacitor no instante t 20 segundos s ou seja q20 Resposta 372 10 Considere hipoteticamente um sistema massamola com a posição em relação ao tempo xt dada em metros m o tempo em segundos s e a velocidade vvtdxtdt dada em metros por segundos ms O sistema massamola é representado na figura abaixo Os elementos que compõem o sistema massamola são dados pela massa m do bloco em quilograma kg e pela constante elástica k da mola em Newtonmetro Nm A equação diferencial relacionada com o sistema massamola é dada por Suponha que no instante inicial a posição do bloco de massa é x0 20 m e a velocidade inicial v0 0 ms Determine a posição do bloco com m 9 kg no instante t 4 s em um sistema massamola com k 21 Nm Observação A resposta final deve ter duas casas decimais Resposta 197 11 Considere hipoteticamente um pêndulo simples formado por um fio de comprimento L que liga uma superfície horizontal a um bloco de massa m e que o fio forma um ângulo theta θ entre a linha tracejada vertical e a haste de comprimento L A equação diferencial que representa o movimento do pêndulo simples é dada por Determine o valor do ângulo theta θ quando t 20 segundos s com um fio de comprimento 13 metros m que inicialmente se encontrava em theta θ 03 radiano rad em relação a vertical e que apresentava uma velocidade angular inicial dθdt 0 radianos por segundo rads A aceleração da gravidade é g 98 ms2 Resposta 021