Coeficiente Angular e Equação da Reta

Retas Coeficiente angular Dados dois pontos P e Q com P x0 y0 e Q x1 y1 sendo x0 x1 o coeficiente angular da reta r que passa por tais pontos e a tangente do ˆangulo θ veja a figura 1 que esta reta faz com o eixo x Notacao e usual denotar o coeficiente angular de uma reta por m m tg θ y1 y0 x1 x0 y x Note que m y x tambem e dado por y0 y1 x0 x1 P Q y1 y0 x0 x1 θ θ x y Figura 1 Coeficiente angular m tg θ O ˆangulo entre uma reta e o eixo x e medido no sentido antihorario a partir do eixo x Se x 0 isto e a reta que passa por P e Q e vertical isto e paralela ao eixo y e portanto nao tem coeficiente angular pois nao exite tg 90 Se y 0 e x 0 entao m 0 e a reta sera horizontal isto e paralela ao eixo x Neste caso θ 0 0 θ 90 m 0 e 90 θ 180 m 0 θs θr s r x mr 0 ms 0 Figura 2 r e decrescente e s e crescente Equacao da reta Um ponto arbitrario W x y esta na reta que passa por P e Q se e somente se o ˆangulo que a reta PQ forma com o eixo x for igual ao ˆangulo que a reta PW forma com o eixo x veja figura 3 Portanto o coeficiente angular da reta PW e igual ao coeficiente angular da reta PQ y x y y0 x x0 m De y y0 x x0 m obtemos a equacao da reta y y0 mx x0 r W x y θ Q P x0 x1 x y0 y1 y θ Figura 3 Equacao da reta Note que usando o ponto Q obterıamos y y1 mx x1 que e a mesma equacao para a reta PQ Se x 0 entao nao existe m pois tratase de uma reta vertical Neste caso a equacao e simplesmente x x0 Desenvolvendo a equacao y y0 mx x0 obtemos a equacao y y0 mxmx0 isto e y mxmx0 y0 Fazendo mx0 y0 b podemos reescrever a equacao da reta PQ da forma y mx b Equacao geral da reta A equacao ax by c 0 com a b e c reais com a e b nao ambos nulo tambem representa uma reta e e cha mada de equacao geral da reta Note que se multiplicarmos a equacao ax by c 0 por qualquer constante diferente de zero obtemos outra equacao geral para a mesma reta Se b 0 podemos isolar y obtendo y a b x c a o que nos mostra que o coeficiente angular da reta e m a b Exemplo 1 Vamos encontrar a equacao da reta r que passa por A 1 7 e B 3 2 Temos m y x 7 2 1 3 5 2 Equacao de r y 2 5 2 x 3 isto e y 5 2 x 19 2 Ou 5x 2y 19 0 equacao geral de r Obs Note que usamos x0 3 e y0 2 isto e usamos as coorden das do ponto A para obter a equacao de r E se tivessemos usado as coordenadas do ponto B Obterıamos o mesmo resultado Verifique Exemplo 2 Obter a equacao da reta s que passa por A 3 2 e B 5 3 Temos m y x 2 3 3 5 1 2 1 2 Equacao de s y 2 1 2 x 3 isto e y x 2 1 2 A equacao geral de s e x 2y 1 0 Exemplo 3 Considere os pontos P 1 7 e Q 5 7 O coeficiente angular da reta PQ e m 7 7 1 5 0 12 0 Por tanto a reta PQ e horizontal Equacao da reta PQ y 7 0x 1 isto e y 7 1 2 y 2 y 2x 3y 6 0 3y 2a 6 Sy oa 2 2 Portanto o coeficiente da reta r 6 my 3 7L B 2 Como sr temos ms 3 5 2 3b eG Equagao de s P 32 ss8y1l 3 t 8 afta QP sgn eo Lyne Op 63 Isto é sy G21 OusyFa1 1 3 x 3 5 x r Exemplo 7 Determine a reta r paralela a reta s dada por 2x3y1 0 e que passa pelo ponto de intersecgéo das retas tj ty1lOe Ficura 4 As retas dos exemplos 1 e 2 tg 2m 3y20 Para descobrir o coeficiente angular da reta s vamos isolar na y Exemplo 4 Agora vamos usar os pontos A 21 e B 23 equacio de s Neste caso Ax 3 3 0 Portanto a reta que passa por P e Q 2 1 22 3y1 3y 2 1 2a1 27 nao tem coeficiente angular Tratase de uma reta vertical A equagao av 3y O 3y wy l 3y 7 wy 3 3 desta reta é simplesmente x 3 2 2 Portanto ms 5 Assim mr 5 y Para encontrar o ponto de intersecgao de t com tz devemos resolver Plz Q o seguinte sistema linear xy10 xyl 2x 3y 20 2x 3y2 39 B A solugaéo do sistema é 45 e y 15 Portanto o ponto de 2 intersecgao de t e tg 6 P 45 15 1 5 x 144 x Assim a equacao da reta r é y z 2 a 4 isto é y 2a ou 2a 3y 10 Ficura 5 As retas dos exemplos 3 e 4 RETAS PERPENDICULARES Exemplo 5 Determine se existir o ponto de intersecgaéo das retas r y10e s 2a38y420 Duas retas r e s sao ditas perpendiculares r L s se o Angulo entre elas 6 um Angulo reto Devemos resolver o seguinte sistema linear Se r Ll s e ambas tém coeficiente angular entaéo mostrase que xy10 ey1 2x 3y 20 2x 3y2 Esta f6rmula nao vale se uma delas é horizontal e portanto a outra é vertical Pois a horizontal tem coeficiente angular 0 e a vertival nao A solugao do sistema 6 45 e y 15 Portanto o ponto de tem coeficiente angular interseccdéo de re s 6 P 45 15 y y RETAS PARALELAS r s Duas retas r e s sao paralelas rs se formam o mesmo Angulo com o eixoz Portanto ou ambas sao verticais e neste caso elas nao tém 8 coeficiente angular ou ambas tem o mesmo coeficiente angular Or x x y y Mr Ms FIGURA 7 Retas perpendiculares 6 Os Exemplo 8 Determine a equagao da reta r que é perpendicular a reta x x s 32 y10e passa pelo ponto P 1 3 rs r s 3sxey10Sy3441ms 3 FIGURA 6 Retas paralelas verticais e nao verticais 1 rls msmr l 3mr 1l mq 3 1 1 10 Exemplo 6 Encontre a equacéo da reta s que passa por P 32 e Assim a equacao da reta s 6 y3 3 1 isto é y 3 73 é paralela a reta r 2x 3y 6 0 ou 3y100 3 Exemplo 9 Encontre a equacdo da reta s perpendicular a reta r 3x RESPOSTAS 2y1 0 e que passa pelo ponto de intersecgao das retas 2x y3 0 car yFh0 DT a y2u41 3 1 b ya 3e2ytl0 2y 3nl y sats Portanto my 1 y 1 3 c y 2 MrMs lMr B 5 d y3 Ponto de intersecgao das retas e r1 2x y 30 2x y3 22 y3 Wa Ty i 3x2 2y 10 3x 2y1 3Y5 f y 20 Assim y H2 o e da primeira equacao tiramos g e2y40 3y 3117 107 101 5 te h éaprépria reta s xy1 0 pois os dois pontos 2 2 2 72 7 estao na reta s Logo o ponto de interseccdo das duas retas é P 57 117 2 32 20y170 Equacao de s y 2 2 x 2 isto é y 2n 2 3 6x 9y 23 0 EXBRCICIOS DB REVISAO ag tan entre ands escasd temperaraé Ie near entao a temperatura em graus Fahrenheit y é da 1 Determine a equacao da reta r em cada caso indicando se exis forma y ax b sendo x a temperatura em graus Cel tir seu coeficiente angular sius E do fato de 0C corresponder a y 32F e x 100C corresponder a y 212F substituindo na a r passa por P 13 e Q 25 equacao anterior temos o sistema linear b r passa por A 00 e Q 11 32a056 c r passa por A 00 e B 11 212 a1006 Isto é d r passa por P 23 e Q 53 32 e r passa por P 14 e Q 17 100a 6 212 f r passa por A 00 e é paralelaAretas 2ey10 cuja solucao é a 18 e b 32 Portanto a relacao pro Obs Duas paralelas sao paralelas se e somente se tém o curada 6 y 18 32 mesmo coeficiene angular ou sao ambas verticais Obs Se y representar a temperatura em graus Celsius g r passa por A 21 e 6 perpendicular A reta s do item ena tremperatura em graus Fahrenheit entao a relagao anterior Obs As retas r e s sao perpendiculares se e obtida seré y 5 x 32 somente se Mr ms 1 ou uma delas é horizontal e a outra é vertical h r passa pelos pontos de interseccao da reta s ey10 com o eixo xe daretas comaretat 2x4y0 2 Encontre a equacao da reta s que é paralela aretar 74y2 0 e passa pelo ponto de intersecgdo das retas x y10O0e 22 3y20 3 Encontre a equagao da reta s perpendicular 4 retar 3x 2y 1 0 e que passa pelo ponto de intersecgao das retas 2xy30 e 44ay410 4 Determine a relagao ente as escalas de temperatura Celsius e Farenheit sabendo que 0C corresponde a 32F 100C corres ponde a 212F e que a relaco entre elas é linear reta