Funções: Generalidades, Domínio, Contradomínio e Imagem

FUNGOES GENERALIDADES DOMINIO CONTRADOMINIO E IMAGEM fx 7 d 1 3 Sejam A e B conjuntos nao vazios Uma fungéo de A em B é uma 2 3 regra que associa a cada elemento x A um tnico elemento y B 3 4 Se f 60 nome da fungao entao escrevese y fx para indicar o 4 1 elemento y de B associado ao elemento x A Dizemos que y é a Note que para especificar a fungdo cada elemento x Domf deve imagem de x por f fazer parte da tabela Exemplo 2 Determinar justificando se f é fungaéo em cada item e A notacées fA Be A 4 B indicam uma funcdo de A em abaixo Em cada caso afirmativo determine o dominio o contradominio B chamada f e imagem e Oconjunto A échamado de dominio de f e indicado por Domf ou por Df f f e Oconjunto B é chamado de contradoménio de f A B A B e A imagem de f denotada por Imf por fA ou por fA é0 seguinte subconjunto do contradominio Imf fxx A y by fx para algum z A a e Duas funcdes f e g sdo iguais se e somente se possufrem o XX mesmo domnio o mesmo contradominio e fx gx para i is todo Domf Domg e Se y B entao fy w A fx y 6 a préimagem f f de y por f A mB Amp e A notacao x 4 y indica que y é o elemento de B associado a z A por f isto é y 6 a imgem de por f Se nao houver perigo de confusao a indicagao da fungaéo pode ser omitida e Lt podemos escrever simplesmente x y pi a e Dada a fungao fA B a restrigao de f a um subconjunto C de A é denotada por fc ou por floc é a fungao que tem ait wv como dominio o conjunto C como contradominio 0 conjunto Be flcx fa para todo x C t rt Aa B Aa B Exemplo 1 Seja f a funcao dada pela figura abaixo 7 FS x 7A i ZS A pB v vi i j A B Amp Ls pt a J Neste caso Domf A 71234 contradominio de f é 0 conjunto B 3124cd e Imf 314d Note que vit vitt e BAlImf e 3 B éaimagem dos pontos 1 e 2 de A isto é f1 f2 Nao sao fungoes iit iv e v 3 1 B éa imagem do ponto 4 A isto é f4 14E Bé iii 2 A mas 2 nao esté associado a nenhum elemento de B a imagem do ponto 3 A isto é f3 4d Béa imagem iv o elemeto 4 A esta associado a dois elementos 3 do ponto 7 A isto é f7 d e 1 em B e Os elementos 2 e c de B nao séo imagens de nenhum ponto de v 0 elemento 3 A nao esta associado a nenhum ele A mento de B Também é justificativa para nao ser fungao de e f3 12 fot 4 fr 0 f44 3 Aem B o elemneto 4 A esta associado a dois elementos flc 0 f1 7 2e1 em B Uma fungao também pode ser especificada via uma tabela Para a Para os outr es tens dominio respectivo conjunto A e o contradominio é 0 respetivo conjunto B Imagens fungao desse exemplo teriamos 1 2 4 Imf 3 1 4 d nintinputQuantos termos ii Imf 3 0 1 4 d a bi 1 k1 vi Imf 30 1 4 while kK n printa end a b b atb vii Imf 3015 B kk1 vit Imf 30125 B Execute o programa acima e descubra qual é 0 382 termo da sequéncia de Fibonacci Especificar uma fungao por uma tabela ou usando baldes sé é possivel para dominios finitos e com poucos elementos Pra dominios infinitos ou finitos com muitos elementos a forma mais usual é através Exemplo 8 Considere a fungao fN Z dada pela figura abaixo de uma formula Exemplo 3 BN97S5 31024 6801214 N fRoR 72 He a ce we Ts Temos Domf R o contradominio de f é R e como veremos ImfR Zz tee 765 4 321012 345 67 Exemplo 4 fNOR A fungao acima é dada por fx 2r41 se x 6 par Domf N contradominio de f é R e Imf 1 1 3 5 2 isto é o conjunto de todos os mpares menores ou iguais a 1 fa etl sex é impar 2 Exemplo 5 Seja fR N dada por Note que f faz algo muito interessante f associa a cada elemento de 1 sex0O N um tinico elemento de Z e viceversa a funcao f emparelha N e Z ft sex 0 Pense um pouco sobre isto é possivel emparelhar A 012 com 1 sex0 B abc A resposta é sim e um possivel emparelhamento seria OH a lwHbe2rc Ha outras possibilidades como por exemplo Temos Domf R 0 contradominio de f é N e Imf 101 O4 bl ce2Ha E possivel fazer um emparelhamento entre de A e C ab Ou Exemplo 6 Seja gZ N dada por entre A e D abcd Vocé certamente perceberd que nao Por 1 sex 0 qué Vocé deve ter percebido que o problema esté no fato de que em cada caso os conjuntos envolvidos possuem quantidades diferentes de gx f sex0 elementos l sex0O E possivel perceber que dois conjuntos finitos podem ser emparelha Temos Domg Z 0 contradominio de g é N e Img 10 1 dos se e somente se tem o mesmo numero de elementos Note que f 4 g pois Domf 4 Domg J que os codominios de Entao possuir o mesmo ntimero de elementos é equivalente a con f eg sao iguais e gx fz para todo Domg C Domf entao seguir um emparelhamento entre os conjuntos envolvidos quando os Z x wou conjuntos sao finitos g fz isto 6 g 6 a restrigaéo de f ao conjunto dos inteiros Z E para os conjuntos infnitos Nao seria razodvel dizer que eles tém a mesma quantidade de elementos se for possivel estabelecr um em Exemplo 7 A sequéncia de Fibonacci parelhamento ebtre eles A famosa sequéncia de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 E exatamente deste modo que decidimos se dois conjuntos finitos ou a define uma funcgdo f com dominio nos inteiros po nao tém a mesma quantidade de elementos se existir algum empa sitivos 11H 1261356 246 355 564 13 relhamente entre eles entéo dizemos que tém a mesma quantidade de isto é f1 1 f2 1 f3 2 f4 3 elementos Caso contrario isto é se nao for possivel conseguir algum f5 5 f6 8 emparelhamento entre sos conjuntos entao terao quantidades diferen tes de elementos Cada termo da sequéncia de Fibonacci a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores isto é f satisfaz a relacéo fn fn2fn1 Voltando a fungao f a funcao faz um emparelhamento entre N e Z se n 3 Tal expressAo junto com f1 f2 1 éa definicdo re é entdo natural dizer que ambos tém o mesmo ntimero de elementos é cursiva da sequéncia de Fibonacci o mesmo infintio O que pode soar um pouco estreanho no injcio pois como sabemos N C Z propriamente Como curiosidade qual é 0 382 termo da sequéncia de Fibonacci Como nao temos uma férmula nao recursiva precisamos calcular todos Podese mostrar que é possivel emparelhar N e Q e portanto é os termos da sequéncia até o termo desejado Isso d muito traba possfvel emparelhar Z e Q se é possivel emparelhar A com B e empare lho Mas os computadores fazem esses cdlculos de forma muito rdpida lhar B com C entao é possivel emparelhar A com C mas nao é possivel Abaixo esté um programa na linguagem Python que vocé j4 esté apren emparelhar N ec R dendo para o calculos dos ntimeros da sequéncia de Fibonacci 3 Isso quer dizer que N Z e Q tˆem a mesma quantidade de elementos mas R tem mais elementos que qualquer um deles R nao pode ter menos elementos que nenhum deles pois todos eles estao contidos em R O plano cartesiano Num plano tomamos um ponto O e passamos por este ponto duas retas eixos coordenados e com a escolha de uma unidade de medida marcamos os numeros reais sobre as duas retas o numero zero fica associado ao ponto O nos dois eixos com os numeros positivos a direita do ponto O no eixo horizonatal e acima do ponto O no eixo vertical Veja figura abaixo Fica assim construido um plano cartesiano Se as retas sao perpendiculares entao teremos um plano cartesiano ortogonal Um dos eixos e chamado de eixo das abscissas usualmente o eixo horizontal e o outro de eixo das ordenadas usualmente o eixo vertical De modo generico o eixo das abscissas e tambem chamado de eixo x e o eixo das ordenadas de eixo y x 3 2 1 1 2 3 eixo das abscissas eixo das ordenadas y 1 O 1 Figura 1 Plano cartesiano ortogonal Cada ponto P do plano pode entao ser identificado com um unico par de numeros reais a b que sao chamados de coordenadas do ponto P a e a abscissa de P e b e a ordenada de P a abscissa de P e obtida projetando o ponto P no eixo das abscissas e a interseccao com o eixo das abscissas da reta que passa por P e e paralela ao eixo das ordenadas a ordenada de P e obtida projetando o ponto P no eixo das ordenadas e a interseccao com o eixo das ordenadas da reta que passa por P e e paralela ao eixo das abscissas A abscissa de um ponto P e denotada por xP e a ordenada por yP x y a b P a b Figura 2 Ponto no plano acrtesiano e suas coordenadas Note que o processo acima pode ser invertido dado o numero a sobre o eixo das abscissas e o numero b sobre o eixo das ordenadas contruiremos um unico ponto P de coordenadas a b Grafico de funcao Pense por exemplo em como vocˆe faz o grafico de uma funcao do segundo grau fx ax2 bx c Vocˆe sabe que o grafico e uma parabola cˆoncava para cima ou para baixo dependendo do sinal do coeficiente de x2 isto e do sinal de a mas so isto nao e suficiente e necessario marcar alguns pontos no plano para poder tracar a parabola para tanto precisamos tabelar a funcao para alguns valores de x Exemplo 9 Vamos tomar como exemplo a funcao y fx x2x2 Seu grafico e uma parabola cˆoncava para cima a 1 e positivo e a tabela abaixo fornece alguns pontos para o grafico x y fx 2 4 1 0 0 2 1 2 2 0 Na primeira linha da tabela temos x 2 e na coluna de fx te mos o valor 4 Como obtivemos o valor 4 Substituimos x por 2 na expressao de f isto e calculamos a funcao f em 2 f2 22 2 2 4 2 2 4 Os valores de x foram chutados mas os valores de y fx foram calculados Assim obtivemos os pontos 2 f2 depois o ponto 1 f1 e assim por diante Cada ponto no grafico da funcao f e da forma valor fvalor A figura abaixo apresenta o grafico parte dele de f Figura 3 Grafico de y x2 x 2 Grafico de uma funcao O grafico da funcao fA B e o con junto Gf x fx x A y x f a fa a fa Figura 4 Grafico de uma funcao 4 Um ponto P a b esta no grafico de f se e somente se a Domf e b fa A projecao do pnto P no eixo x e a sua abscissa neste caso a e a projecao de P no eixo y e sua ordenada neste caso b A projecao de P a b no eixo y e b mas b fa isto e b e a imagem de a por f Como a imagem da funcao f Imf e conjunto de todas as imagens dos pontos do domınio de f todos os valores de f vemos que a projecao do grafico de f no eixo y e Imf E facil ver que o domınio de f e a projecao do grafico de f no eixo x Raızes e sinais de uma funcao Raiz ou zero de uma funcao Dizemos que o numero real α e uma raiz ou um zero da funcao f se fα 0 As raızes de f sao os pontos de interseccao com o eixo x b c x a f fa fb fc 0 Figura 5 a b e c sao raızes ou zeros de f Sinais de uma funcao Se fα 0 entao dizemos que f tem sinal positivo em α e se fα 0 entao dizemos que f tem sinal negativo em α Dizemos que f tem sinal positivo no intervalo I se fα for positivo para todo α em I Dizemos que f tem sinal negativo no intervalo I se fα for negativo para todo α em I b c x a α fα fα 0 f α β fβ fβ 0 β Figura 6 Sinais de uma funcao Comportamento de uma funcao Crescimento e decrescimento de uma funcao Dizemos que a funcao f e crescente se para todos a e b do domınio de f a b fa fb decrescente se para todos a e b do domınio de f a b fa fb crescente no intervalo I se para todos a e b em I a b fa fb decrescente no intervalo I se para todos a e b em I a b fa fb Exemplo 10 A funcao f definida em R dada pelo grafico abaixo tem o seguinte comportamento f e crescente em a b c f e decrescente em a b c a x b c f Figura 7 Crescimentodecrescimento de uma funcao Obs O crescimentodecrescimento de f pode ser indicado equema ticamente da seguinte forma a b c f Figura 8 Representacao do comportamento de uma funcao Maximos e mınimos de uma funcao Seja fA R Dizemos que o ponto a A e ponto de maximo absoluto ou maximo global de f se fa fx para todo x A O valor de f num ponto de maximo absoluto e chamado de valor maximo de f e pode ser denotado por max f o ponto a A e ponto de mınimo absoluto ou mınimo global de f se fa fx para todo x A O valor de f num ponto de mınimo absoluto e chamado de valor mınimo de f e pode ser denotado por min f o ponto a A e um ponto de maximo local ou maximo relativo de f se fa fx para valores de x nas proxi midades de a o ponto a A e um ponto de mınimo local ou mınimo relativo de f se fa fx para valores de x nas proxi midades de a Obs Pontos de maximomınimo local de f sao chamados de pontos de extremo local de f e os valores maximomınimo locais de f sao chamados de valores extremos locais de f Exemplo 11 Considere novamente a funcao do exemplo acima os pontos a e c sao pontos de maximo local e f fa fx para todo x no intervalo marcado em torno do ponto a Vale o mesmo para o ponto c o ponto b e um ponto de mınimo local de f fc fx para todo x no intervalo marcado em torno do ponto a o ponto a e ponto de maximo absoluto ou global de f pois fa fx para todo x O valor fa e o maximo de f max f fa 5 e a fungdéo nao tem pomto de minimo absoluto e portanto nao Sera que a linha acima é grafico de alguma fungéo x gy A res tem valor minimo pois estamos supondo que o grafico de f postaésim Por qué Cada linha orizontal corta a figura em no maximo estendese indefinidamente 4 esquerda de f e a direita de ce um ponto Portanto a cada valor do dominio algum subconjunto do com os mesmos comportamentos eixo y corresponde apenas um valor no eixo x que agora contém o contradominio Obs Note que um ponto pode ser ao mesmo tempo ponto de maximo mfinimo local e global y al ab Oe i b ga x FicurA 9 Maximos e minimos de uma fungao Figura 12 A linha é grafico de fungao x gy CONDIGAO PARA QUE UMA FIGURA NO PLANO SEJA GRAFICO DE FUNCAO 2 CONVENGAO SOBRE O DOMINIO E CONTRADOMINIO Exemplo 12 A curva apresentada na figura abaixo representa o grafico de alguma fungao y fx Vamos tratar no calculo 1 principalmente de fungdes cujos dominio e contradominio sao subconjuntos de R sendo comum apresentar apenas a regra ou formula por exemplo fx x1 y aia Assim convencionase tomar como dominio o conjunto de todos os R para y os quais a regra ou férmula nao apresenta restrigdes JA para o contradominio tomase todo o R Exemplo 13 Seja y fx x 1 Temos Domf Rw10 a Ra 1 1 o0 O contra dominio de f éR x Exemplo 14 Seja y fx Temos 72 Domf Rw 4 1 R 11 e 0 contradominio é R FIGURA 10 E grafico de fungao y fa grafico de funcao y fz Exemplo 15 Determine o dominio de fx 2z 7 A resposta é nao Observe quw para para o ponto a no eixo x veja Temos Domf a R 2x70 figura abaixo correspondem 3 pontos distintos na curva ab ac e ad Se essa curva fosse grafico de alguma funcéo y fx entao 22 70 2a 7 2a ST SS ae 72 deveriamos ter b fa c fa ed fa Mas b ce d sao distintos Portanto Domf 2 R x 72 isto 6 Domf 0o 72 o que contraria o fato de que cada ponto do dominio deve ter uma tinica imagem E lo 16 Determiar o dominio d 222 E facil perceber ue uma curva no plano é grafico de alguma funcgao xemplo 16 Determiar o dominio de fx 37 6 y fx se e somente se toda reta vertical cortar a curva em no maximo um ponto 5a 2 Temos Domf R 0 3x 6 oa 2 y Isto é queremos os numeros reais x que fagam a fracéo 3a 6 ser x positiva ou nula Como uma divisao é positiva apenas quando numera a b dor e denominador tém sinais iguais vamos estudar os sinais das duas expressdes e comparalos Farao parte do dominio de f apenas aqueles 1 x reais que fazem numerador e denominador ter sinais iguais Neste a exemplo a divisio também pode valer zero entao aqueles x em que o numerador vale zero mas o denominador nao também farao parte do dominio da fungao ay x a d Figura 11 A linha nao é grafico de funcéo y fx 6 2 25 5x2 3x6 5x2 3x6 0 0 0 Domf 2 25 Figura 13 Analise dos sinais de 5x 2 3x 6 e deter minacao do domıno de f Exercıcios de revisao 1 Complete a frase Uma funcao de A em B e uma regra que associa de A de B 2 Quais das figuras abaixo representam funcoes y fx Quais representam funcoes x fy Por quˆe x y x y x y b a c y x d 3 Quais sao os 20o e 35o termos da sequˆencia de Fibonacci 4 Dada a funcao fx x2 x 3 determine a f2x b f2 x2 c fx hx 5 Calcule fx h fx h com h 0 nos seguintes casos a fx 2x 1 b fx x2 c fx x2 3x 5 d fx 1 x 6 A altura h de uma arvore em metros em funcao da sua idade t em anos e estimada por ht 10 100 10 t a Qual e a altura da arvore aos 10 anos de idade b Qual a altura maxima estimada para a arvore 7 Uma regiao retangular com dimensoes x e y e area de 3600m2 deve ser totalmente cercada com uma tela Determine o com primento da tela C como funcao apenas de x 8 O volume de uma caixa fechada em forma de um paralelepıpedo de base quadrada e de 250m3 O custo de fabricacao da tampa e da base e de R 200 por m2 e das laterais e de R 100 por m2 Escreva a expressao do custo C de fabricacao da caixa em funcao do comprimento x da aresta da base 9 A figura a seguir e o grafico de uma determinada funcao f y x 4 5 Indique qual grafico abaixo representa a funcao f1x fx 2 f2x fx 2 f3x fx 2 f4x fx 2 y x 2 5 y x 3 3 a b y x 5 7 y x 6 5 c d Respostas 1 a cada elemento um unico elemento 2 a nao e grafico de funcao y fx e nem grafico de funcao x gy b e grafico de funcao y fx mas nao e grafico de funcao x gy c e grafico de funcao x gy mas nao e grafico de funcao y fx d e grafico de funcao y fx e tambem de funcao x gy 3 O 20o termo da sequˆencia de Fibonacci e o numero 676 e o 35o e o numero 9227465 4 a f2x 4x2 2x 3 b f2 x2 5 3x2 x4 c fx h x2 x 2xh h2 h 3 5 a 2 b 2x h c 2x 3 h d 1 x2 xh 6 a 5 m b 10 m 7 Cx 2x 7200 x 8 Cx 4x2 100 x 9 a f3x fx2 b f4x fx2 c f1x fx2 d f2x fx 2