Construção e Aplicação de Modelos Matemáticos em Pesquisa Operacional

PESQUISA OPERACIONAL Sirnei César Kach Construção e aplicação dos modelos matemáticos Objetivos de aprendizado Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Desenvolver um modelo matemático Avaliar as possibilidades do uso de um modelo matemático Ordenar as etapas de uma modelagem Introdução Basicamente são três os tipos de modelos matemáticos que a pesquisa operacional disponibiliza para análise e suporte na tomada de decisão sobre problemas os físicos entre os quais podemos destacar o de aeronaves e das casas principais referências para quem estuda esse conceito os análogos representados por relações que empregam os mapas rodoviários obviamente traçando as rodovias em questão e definindo com isso determinadas rotas p ex um marcador do tanque de gasolina ou outro ponto de apoio pode por intermédio de uma escala circular mostrar a quantidade de gasolina existente no tanque o que terá alguma relação direta na demanda do trajeto previsto a ser seguido e os simbólicos ou matemáticos como na modelagem para alinhamento de decisões no nível gerencial em que as grandezas são representadas por variáveis de decisão e as relações entre essas variáveis por expressões matemáticas LACHTERMACHER 2016 p 4 Nesse sentido vale ressaltar a importância de considerar que a resposta da ação sobre o problema tem uma relação direta com a adequação dos dados no desenvolvimento do modelo matemático levando em conta a correta análise dos dados bem sua gestão e controle e as diferentes possibilidades de aplicação dos modelos matemáticos o que vai desde aquisições controle de estoques até programação da produção e entregas Assim de forma adequada o resultado aponta que todo alinhamento contribui para a assertividade dos planos de ação ou seja quanto mais meticulosas a análise e a organização dos dados melhor o resultado E isso complementa o conceito de otimização buscado por toda empresa já que atuar de forma otimizada é sinônimo de eficiência considerado uma regra fundamental para a saúde de um negócio Já a adequação do modelo variará conforme o tipo de demanda e o perfil de processo em estudo pois se estrutura com base nas informações do cenário em estudo Neste capítulo você conhecerá mais sobre o desenvolvimento de modelos matemáticos suas formas de estruturação e aplicação bem como os resultados esperados a partir deles contexto do qual faz parte entender muito bem o cenário e quais as possibilidades de aplicação do modelo pois deverá ter sua eficácia comprovada pela necessidade de estruturação para com isso garantir seu resultado Contudo é importante a percepção das etapas de modelagem compreendendo como se dá esse encaminhamento ao observarmos sua estruturação fundamentada em base quantitativa de análise estruturação e construção de soluções para processos em demanda Assim e com base nas características desse encaminhamento temse a clareza da metodologia e da eficiência da modelagem aplicada como análise e solução de problemas Por fim desenvolverá a capacidade de fazer a análise inicial do problema definirá o modelo matemático alinhando a estrutura que condicionará a melhor solução algo relevante para o resultado sobre o problema em questão e aplicará a sequência correta de estruturação do modelo matemático garantindo sua padronização e eficácia 1 Modelo matemático e sua estruturação Além de seguir uma base de dados que traduz informações desenvolver um modelo matemático é um processo construtivo de determinada confiabilidade pois trata de informações quantitativas É sabido que na assertividade de ações a base matemática sempre promove uma condição mais adequada e que garante a eficiência das decisões E sem dúvida um bom planejamento constitui um diferencial no processo a fim de complementar a modelagem escolhida para resolução Entre as verificações a quantitativa possibilita assertividade porém podemos transformar as informações qualitativas no caso por atributos em quantitativas parametrizando essa identificação Construção e aplicação dos modelos matemáticos 2 e com isso melhorando aquilo que teoricamente não é quantificado já na coleta Criar essa condição melhorada do que o cenário mostra é fundamental para uma efetiva estruturação e aplicação da modelagem para um melhor encaminhamento de ações Conforme Arenales 2015 fazer ciência aplicada com segurança consiste na capacidade de observar e descrever fenômenos naturais sociais e econômicos sobre determinados cenários eou necessidades de resolução delineamento sobre o qual matemática terá uma importância fundamental possibilitando uma garantia maior de assertividade nessa interpretação A partir da obser vação de fenômenos processos ou sistemas físicos químicos biológicos ou econômicos buscamse métodos ou formas de gerilos ou coordenálos de maneira adequada o que pode ocorrer pelo uso e pela definição adequada de ações por relações matemáticas que dão origem aos definidos modelos matemáticos ou seja entender o sistema em estudo e a partir disso descre ver a forma mais adequada de modelo matemático como base de auxílio na resolução daquilo que se necessita Segundo Arenales 2015 a expressão modelo é usada como objeto abstrato que procura imitar as principais características de um objeto real para representálo matematicamente ou seja além de criar essa represen tação utiliza um conceito de alta relevância e efetividade a matemática A formulação de um modelo matemático para simplificações razoáveis do sistema ou problemas reais precisa ser considerada em diferentes níveis cuja validação depende do fato de a solução do modelo matemático ser coerente com o contexto original representando fielmente o que o cenário apresenta Assim o modelo matemático é uma representação simplificada ou abstrata do problema real porém clara no que tange às informações para modelagem devendo ser suficientemente detalhado para identificar os principais elementos do problema e ao mesmo tempo simples para que possa ser resolvido por métodos de resolução e programas de computador de que dispõem as pessoas envolvidas ou a empresa A estruturação ou formulação de um modelo matemático ainda conforme Arenales 2015 compreende a condição de transportar uma situaçãoproblema em seus detalhes e comportamentos em um cenário real para uma metodologia com base matemática na qual se determina pela definição do perfil como se organizam os dados e por conseguinte as informações possibilitando verificar com base quantitativa aquilo que está ocorrendo na prática Com essa opção de método facilitase o encaminhamento de uma solução transferindo a informação do problema com aplicação e uso de simbologiaspadrão e adequadas além das orientações básicas estruturando a função matemática 3 Construção e aplicação dos modelos matemáticos embasada por variáveis de decisão que oferecerão o alinhamento final no processo de tomada de decisão Na Figura 1 apresentamos a representação da abordagem de um problema e sua proposta de solução Embora possa haver ajustes e complementações no decorrer do processo dando condição de uma definição usamos como base a modelagem matemática Figura 1 Processo simplificado da abordagem e solução de um problema com modelo matemático Fonte Adaptada de Arenales 2015 Sistema ou problema real Modelo matemático Conclusões do modelo Conclusões reais ou decisões Avaliaçãojulgamento Deduçãoanálise Formulaçãomodelagem Interpretaçãoreferência Na estruturação do conceito de modelagem a partir de uma situação real definemse as variáveis e as relações matemáticas para descrever o comportamento relevante do sistema ou problema real em estudo Arenales 2015 A dedução ou análise do cenário possibilita ou exige a aplicação de técnicas matemáticas e tecnologia da informação promovendo um impor tante diferencial na verificação de resultados com formas mais adequadas e fáceis de resolver o modelo matemático e visualizar as conclusões que sugere A interpretação ou inferência sobre o estudo argumenta que as conclusões retiradas do modelo têm significado suficiente para inferir conclusões ou decisões para o problema real dando amparo matemático e lógico para o não encaminhamento e controle das ações previstas A avaliação ou julgamento sobre o cenário e as ações propostas em relação ao que se concluiu ou ainda a decisões inferidas mostra que elas não são adequadas e que a definição do problema e sua modelagem matemática precisam de revisão aqui o ciclo Construção e aplicação dos modelos matemáticos 4 se repete Nesse momento entendemos a aplicação de um ciclo de revisão ou simplesmente melhoria contínua daquilo que inicialmente foi visto como um importante agregador para a ação prévia definida Nesse sentido podemos citar os modelos matemáticos modelos de programação direcionados à otimização matemática p ex programação linear otimização linear programação linear inteira otimização discreta programação em redes otimização em redes e programação não linear otimização não linear além dos modelos de teoria de filas para estudar a congestão em sistemas e determinar medidas de avaliação de desempenho e políticas ótimas de operação É muito importante sempre procurar realizar a análise de cenário com uma base quantitativa e uma coleta de dados rigorosa seguindo um métodopadrão fatores fundamentais para a eficiência na decisão a ser tomada Avaliar o problema estudar os dados e agir com precisão são fundamentais para uma modelagem adequada e eficiente em termos de soluções aos problemas Não há espaço para suposições quando se pretende utilizar a modelagem matemática como fator de suporte nas decisões Novamente considerando as percepções de Arenales 2015 a pesquisa operacional e a programação matemática tratam de problemas de decisão utilizando modelos matemáticos que procuram representar graficamente o problema real Variáveis definidas como incógnitas são definidas e relações matemáticas entre essas variáveis estabelecidas de modo a descrever o com portamento do sistema em verificação Já o modelo é resolvido quando se determinam valores para as incógnitas produzindo soluções as quais por sua vez dependem de dados do problema O passo seguinte consiste na validação do modelo após verificar se as soluções obtidas pela resolução foram eficazes nas diferentes situações alternativas eventualmente relacionadas a problemas de demandas custos etc A solução do modelo apoia o processo de tomada de decisões mas em geral também devemos considerar diversos outros fatores pouco tangíveis e não quantificáveis para a decisão final como soluções que não levem em conta que o comportamento humano pode falhar pois os modelos não são tomadores de decisão e sim apenas norteadores Assim cabe ao analista humano tomar a decisão o que demonstra a importância de entender o cenário e a proposta do modelo 5 Construção e aplicação dos modelos matemáticos A abordagem para resolução de um problema envolve várias fases baseadas no diagrama da Figura 1 que podemos determinar como Figura 2 1 definição do problema 2 construção do modelo 3 solução do modelo 4 validação do modelo 5 implementação da solução Desse modo a fase 1 define o escopo do problema em estudo enquanto a fase 2 traduz a fase 3 em relações matemáticas ou lógicas de simulação ou ainda uma combinação delas A fase 3 utiliza métodos de solução e algoritmos conhecidos para resolver o modelo da fase 2 A fase 4 verifica se o modelo proposto representa de forma adequada o que o problema significa A eficácia da solução depende da precisão com que esse modelo representa o problema sua tradução com base em dados corretos Um modelo mais preciso mesmo que resolvido de forma aproximada pode ser bem mais útil do que um modelo menos preciso resolvido de maneira exata Além disso vale ressaltar a qualidade da solução do modelo levando em conta a qualidade dos dados de entrada do modelo garbage in garbage out ou seja entra lixo sai lixo Por fim a fase 5 trata especificamente da implementação da solução na prática traduzindo os resultados do modelo em decisões ARENALES 2015 Figura 2 Diagrama de uma modelagem matemática Fonte Adaptada de Arenales 2015 1 2 5 6 8 7 4 Itens fnais 1 2 e 3 Itens intermediários 4 5 6 7 e 8 3 Construção e aplicação dos modelos matemáticos 6 O sistema de planejamento das necessidades de materiais MRP do inglês material requirement planning é empregado pelo setor de planejamento e con trole de produção PCP para determinar quanto e quando produzir ou comprar componentes e matériasprimas para manufatura de itens finais Na Figura 2 Arenales 2015 está representada a árvore dos itens componentes 4 5 6 7 e 8 usados para produzir os itens finais 1 2 e 3 Essa estrutura do produto apresenta quatro níveis em que o nível 1 corresponde aos itens finais 1 2 e 3 Já o nível 2 está associado aos componentes 4 e 5 o nível 3 ao componente 6 e por fim o nível 4 aos componentes 7 e 8 A lógica do MRP segue definida como fase I na qual se suponha que a demanda externa dos itens finais seja conhecida ao longo de um horizonte de planejamento de T períodos além do fato de que um lote de um item componente esteja disponível no mesmo período em que foi produzido ou encomendado Calculamse então os tamanhos dos lotes dos itens finais em cada período do horizonte de planejamento que promovem demandas internas dos itens componentes 4 e 5 do nível 2 Na sequência calculamse os tamanhos dos lotes dos componentes 6 no nível 3 e os tamanhos dos lotes dos itens componentes 7 e 8 no nível 4 em cada período O cálculo dos tamanhos dos lotes de todos os itens ignora restrições de capacidade como horas de trabalho e horas de máquinas disponíveis Ainda segundo Arenales 2015 como principal referência nessa demanda na fase II calculase a capacidade utilizada para a produção dos lotes de cada item e nos respectivos períodos Se essa capacidade for maior que a capacidade disponível em um ou mais períodos retornase à fase I e se alteram os planos de produção Esse procedimento iterativo e interativo entre as duas fases pros segue até que se encontre uma solução que respeite a capacidade disponível 2 Análise de cenários com uso de modelos matemáticos para resolução de problemas A análise de cenários constitui o primeiro passo para verificar o que realmente está ocorrendo e como se dará a ação sobre a demanda em questão Coletar os dados e tratálos já são partes muito efetivas sobre o que pode estar por vir em termos de ação eficaz seja na otimização do processo seja na resolução de um problema com impacto em perdas ou qualidade da operação O modelo matemático complementa o processo dando suporte com base na análise feita quando os dados analisados repassam uma ideia do contexto e com isso o modelo é adequado conforme as opções que a pesquisa operacional oferece 7 Construção e aplicação dos modelos matemáticos Assim ao tomarmos a decisão observando características do modelo corre lacionando com os dados do problema fazemos uma leitura que oportuniza a melhor ação em favor da otimização da situação em estudo Nos fundamentos da otimização e em relação à abrangência de suas apli cações segundo Arenales 2015 um dos principais métodos de solução muito aplicado atualmente é o método simplex Os modelos de otimização linear têm sido amplamente utilizados na prática Muitas situações reais podem ser representadas por modelos lineares que comumente representam subproblemas de casos mais complexos Mesmo considerando a proposição desses modelos há mais tempo em 1947 se iniciou a demarcação da relevância em termos de uso e aplicações de sucesso na área da otimização quando da publicação do método simplex Nesse contexto seguiramse diversas e intensas pesquisas de novos métodos e implementações eficientes em situações demandantes Ainda com suas aplicações em diversas áreas como agricultura planejamento da produção industrial logística telecomunicações e finanças deuse respaldo à adequação de demandas e seus resultados o que evidencia sucesso e garantia de seu conceito como algo responsável pela solução ou otimização de processos Outro marco importante relacionado à otimização pela pesquisa operacional mais precisamente em programação linear também ocorreu em 1984 com a publicação do método então chamado de método de pontos interiores que como todo e qualquer novo sistema de controle e gestão precisou de muitas evidências de sucesso com comparativo de resultados e comprometimento de pessoas envolvidas com foco em otimização Atualmente os modelos do tipo simplex e do tipo pontos interiores são os principais métodos utilizados em ferramentas computacionais para a resolução de problemas de otimização linear É preciso se atentar para cenários em que se ocorre alguma variável a ser mensurada e apontada por conta de uma característica definida divergente como parâmetro de qualidade O mapeamento e o tratamento adequado dos dados destacamse como fundamentais e relevantes para entender o problema inclusive auxiliando na definição do modelo matemático mais adequado Construção e aplicação dos modelos matemáticos 8 Segundo Goldbarg Luna e Goldbarg 2015 a representação abstrata de elementos específicos do espaço em que está inserido é uma habilidade que o ser humano vem praticando há milhares de anos buscando soluções com base de decisões confiáveis Desde os primórdios as civilizações usam essas habilidades para representar e compreender o mundo Modelos matemáticos ou formas diversas de comunicar ideias coordenar ações e antecipar problemas por meio de previsões quantitativas do que poderia surgir do meio ambiente foram essenciais para a preservação da espécie humana e dos demais seres existentes Ao desenvolver a técnica e aplicála para isolar elementos da rea lidade e representálos de forma particular e distinta do todo o homem criou a modelagem a qual mesmo precisando de ajustes como de fato ocorreu partiu de uma base fundamentada e com procedência de confiança para analisar diferentes situações e demandas de solução Nesse sentido a mode lagem passou a ser uma tarefa que comporta identificar componentes de uma dada realidade e com isso representálos de forma facilitar um dado raciocínio ou comunicação ou seja particionar detalhar e expor de maneira clara o problema acabam se tornando a primeira condição de adequar a realidade e entender daquilo que o modelo propõe fazer Assim ao criarmos uma base relacionada ao modelo matemático promovemos inúmeras possibilidades de analisar e verificar o cenário Portanto modelos são primordialmente elementos de simplificação e de comunicação GOLDBARG LUNA GOLDBARG 2015 pois suas carac terísticas também servem a outros objetivos como aprendizagem deduções induções ou mesmo o simples desfrute do artefato construído Dessa forma o conceito de modelo passa a ser considerado uma forma de representação substitutiva da realidade e tem um significado sutilmente menor que o expresso no verbo modelar o qual introduz a ideia da descoberta dos elementos fundamentais que possibilitam a simulação da realidade representada por ilustrações com diagramas números ou outras formas uma atividade conclu sivamente bem mais ampla que o resultado final do processo Um modelo é considerado um veículo para uma visão estruturada da realidade transferida de uma realidade abstrata para uma representação que pode ser numérica ou ilustrativa condição mais adequada no que tange à representatividade e ao entendimento do que se deseja mostrar para aplicação na análise geral Os modelos são ferramentas construídas pelo cérebro para entender o que 9 Construção e aplicação dos modelos matemáticos está no mundo inclusive o próprio cérebro Lidar com modelos constitui uma atividade tão natural que pode independer inclusive da consciência sobre a dificuldade ou mesmo a complexidade do que se está fazendo embora isso contribua de alguma forma para facilitar a interpretação do cenário ou do problema em questão Imagens gráficos diagramas fluxos ou equações matemáticas conse guem representar elementos do mundo real muito mais complexos todavia transmitindo informações suficientes para possibilitar alcançar conclusões decisivas sobre o comportamento de entidades reais Obviamente essa re presentatividade pode exigir algum conhecimento complementar no sentido da análise e da interpretação correta do que está representado o momento de aplicar a pesquisa operacional com base no modelo quase definido como ferramenta de interpretação de uma realidade para representações de sua condição GOLDBARG LUNA GOLDBARG 2015 De acordo com Goldbarg Luna e Goldbarg 2015 alguns modelos são estruturados em vários níveis de complexidade inclusive aqueles que for malizam o funcionamento do próprio modelo mas sempre com o objetivo de organizar as informações A geometria euclidiana é um modelo que satisfaz a um conjunto de axiomas ou se constitui um modelo de contexto axiomático que vai desde as transformadas de Laplace e sua Mécanique Céleste até a teoria quântica e o átomo de Bohr Certamente existem modelos que não lidam com elementos concretos mas que no contexto epistemológico por exemplo estão aparelhados para representar tanto objetos concretos quanto imaginários Em resumo os modelos são em geral estruturas abstratas de construção cognitivas que visam a facilitar o raciocínio as conclusões e a tomada de decisão inserida no conceito principal da pesquisa operacional Assim trazer um dado abstrato de sentido visual para uma representatividade dando condição de análise caracteriza uma transferência de cenários para embasamento e suporte para a adequada condição de tomar uma decisão e encaminhar uma solução por meios concretos e relevantes de análise ou decisão Construção e aplicação dos modelos matemáticos 10 A atuação de quem busca entender a situação em estudo segue uma di nâmica correlacionada a conceitos de pesquisa científica Seguir um padrão como necessidade básica de coerência e orientação tornase fundamental como mostrado na Figura 3 que apresenta uma sequência lógica de interpretação e definições que dão suporte a esse controle de verificação da evolução da análise de cenário em questão Figura 3 Modelo circular da atividade científica na análise de cenários Fonte Adaptada de Goldbarg Luna e Goldbarg 2015 Goldbarg Luna e Goldbarg 2015 aponta ainda que o fluxo do particular para o geral e do geral para o particular é peculiar à atividade científica ilus trada para obter uma melhor percepção sobre a análise Na condição dedutiva do que se estuda o principal instrumento conceitual é a lógica enquanto na face indutiva a ferramenta central é a probabilidade Assim criamos dois principais meios de decisão na correlação de conceitos os qualitativos e os quantitativos No Quadro 1 podemos identificar uma correlação de diferentes percepções sobre modelos matemáticos como opção de fator suporte na tomada de decisão 11 Construção e aplicação dos modelos matemáticos Fonte Adaptado de Goldbarg Luna e Goldbarg 2015 Definição Complementação Representação de uma entidade interpretada pelo cérebro humano empregando um sistema físico ou conceitual Definição fundamental de modelo Cada interpretação de um sistema formal criado axiomaticamente Aspecto da transformação abstrata como interpretação necessária à configuração de um modelo Modelos são representações simplificadas da realidade que preservam determinadas situações e definem enfoques relevantes Modelar é uma atividade cognitiva de alto nível que busca alguma vantagem pela representação simplificada dos elementos e fenômenos que o cérebro lida Assim a atividade de modelagem procura o equilíbrio entre o benefício da simplificação e o ônus da redução do alcance da aplicação da representação realizada Os modelos estão sempre errados porém o cuidado de sua aplicação pode levar a objetivos efetivos sobre o que se espera em termos de suporte nas soluções A representação abstrata visa a alcançar uma dada vantagem sobre a simples observação direta do fenômeno natural Mesmo uma fotografia filtra certas informações e ressalta outras A capacidade de substituir a realidade nos aspectos julgados mais importantes constitui a característica do modelo que o torna desejável A capacidade de simplificação útil reside na chave da construção de modelos operacionalmente factíveis e viáveis e não sua perfeita aderência à realidade Quadro 1 Definição de modelo matemático sob diferentes percepções São vários os critérios de medida da adequação ou aderência do modelo à realidade representada a qual pode ser aperfeiçoada de forma interativa GOLDBARG LUNA GOLDBARG 2015 A verificação da representativi dade naquilo a que chamamos modelo constitui uma etapa indispensável em qualquer procedimento científico para coleta análise e tomada de decisão Como os modelos se afastam obrigatoriamente do fenômeno representado validar um modelo é testar sua eficácia criando uma capacidade de bem re Construção e aplicação dos modelos matemáticos 12 Sequência para estructuração de uma modelagem No contexto da definição de um método para solução de problemas já ficou claro que seguir determinada metodologia é fundamental para a assertividade das ações contexto em que observar cenários e encaminhálos da melhor maneira é comprovadamente base científica de estudo contemplado pelo tratamento de dados e pela aplicação de um modelo conforme as características do problema e o esperado para otimizar seus resultados Uma tomada de decisão acertada leva em conta benefícios sobre custos da ação e resultados melhores que impactam no desempenho e nas percepções externas sobre a otimização dos processos da empresa que emprega o modelo matemático na sustentabilidade da pesquisa operacional aplicada Segundo Lachtermacher 2016 no momento em que os gestores encontram situações em que uma decisão deve ser tomada entre uma série de alternativas conflitantes e concorrentes duas opções básicas se apresentam usar apenas a intuição gerencial realizar um processo de modelagem da situação e considerar diversas simulações dos mais diversos cenários de maneira a estudar mais profundamente o problema e criar uma condição assertiva para ações efetivas A quantidade de informações disponíveis cresceu exponencialmente nos últimos anos sobretudo pela evolução da internet das coisas e da própria internet o que nos levou a um momento totalmente novo em que se torna impossível montar modelos pela grande quantidade de dados disponível Assim é importante separar as informações relevantes das irrelevantes modelando a situação para que possamos analisála de forma sólida e efetiva em termos de variáveis e aporte para as decisões de forma assertiva muitos gerentes deixaram de utilizar sua intuição completamente o que é bastante prejudicial para o processo de tomada de decisão pois uma base de conhecimentos pode estar sendo desperdiçada ou seja embora tenhamos chegado a um momento que a base de dados é fundamental a questão intuitiva complementa a matemática principalmente em situações adversas Fique atento A intuição gerencial se constrói com base em experiências vividas nas quais um gestor ao analisar determinado cenário desde o momento em que busca os dados verifica o comportamento do processo e tenta imaginar soluções considerando todas as hipóteses A partir da conclusão da análise quantitativa e qualitativa ele poderá encaminhar decisões pois estará levando em conta tanto o modelo quanto as arestas muitas vezes percebidas pela experiência e pelas lições aprendidas anteriormente Na Figura 4 GOLDBARG LUNA GOLDBARG 2015 identificamos como se dá o fluxo das trocas de informações e verificações que darão características específicas da estructuração do processo de construção do modelo matemático ideal para o caso em análise Toda a organização das ideias e principais formas de resolução proseguem no fluxo e fazem com que a organização por si só possibilite um bom encaminhamento observandose metodologicamente a sequência para uma solução sólida e coerente com base nos dados do processo ou do problema posto Para Goldbarg Luna e Goldbarg 2015 essa forma de representação nos mostra a percepção que o problema precisa propor para a garantia de uma verificação efetiva e confiável definição clara do problema com coleta de dados e análise das informações construção do modelo inicial com base nas características e nas informações sobre o caso em estudo após essa conclusão validase um modelo a ser utilizado Aqui validar referese a tomar uma decisão sobre qual modelo aplicar e não necessariamente que será eficaz na primeira aplicação realizase a simulação do modelo que foi validado se o resultado não for eficaz ou pretendese desgastar mais o propósito de solução para o que o modelo é planejado reformulase o modelo após uma ou várias reformulações do modelo validado para o caso ele é aplicado determinado como referência nesse caso em estudo especificamente Claramente quando falamos de modelos matemáticos voltados à otimiza ção utilizar modelos anteriores e de sucesso é algo necessário inclusive para aplicar o conceito de otimização na própria análise de problemas e com isso ganhar produtividade no processo decisório sobre novas demandas Para complementar o conhecimento sobre conceitos introdutórios da pesquisa ope racional com as principais definições dos modelos matemáticos além de sua correta forma de escolha operação e aplicação sugerimos que consulte a obra HILLIER F S LIEBERMAN G J Introdução à pesquisa operacional 9 ed Porto Alegre AMGH 2021 Padrões para construção de modelos Apesar de não explorarmos técnicas subjetivas ou estéticas de construção de modelos matemáticos nesse contexto reconhecemos que o estado da arte ainda não possibilita um algoritmo preciso específico autocontido e efi ciente Objetivamente sua finalidade principal consiste em solucionar os passos indispensáveis para o sucesso da modelagem de um sistema genérico e atingir resultados satisfatórios De acordo com Ackoff e Sasieni 1971 apud GOLDBARG LUNA GOLDBARG 2015 p 15 poderão ser considerados cinco padrões de construção de modelos Padrão 1 quando a estrutura do sistema é suficientemente simples e evidente para ser compreendida por inspeção assim o modelo pode ser construído com facilidade o que não significa que não impede que seja muito difícil ou até mesmo impossível avaliar as variáveis não controladas e diversos outros parâmetros ainda considerando que o número de variáveis controladas pode também impossibilitar a solução prática do problema Construção e aplicação dos modelos matemáticos 16 Padrão 2 quando a estrutura do sistema é relativamente aparente mas a representação simbólica não é vista dessa maneira A busca de um sistema análogo à estrutura para esse caso já conhecido constitui uma boa opção O sistema análogo poderá auxiliar na descoberta das propriedades do sistema em estudo No modelo em que se aplicam os conceitos de máximos ou mínimos de uma função matemática são pesquisados por meio de uma analogia que varia conforme cada situação estudada Padrão 3 quando a estrutura do sistema não é aparente contudo uma análise estatística dele pode atender ao desejado e indicar por meio desses dados sua real condição Nesse caso o sistema é considerado uma caixapreta por meio da qual conhecemos com segurança as respostas para determinados estímulos Padrão 4 quando a estrutura do sistema não é aparente nem se pode isolar os efeitos das diversas variáveis por meio de uma análise estatística Nessa hipótese uma boa política consistirá no projeto de experimentos de modo a determinar variáveis e correlações relevantes e reduzir o caso ao Padrão 3 Padrão 5 quando verificamos as situações do Padrão 4 as experimentações possíveis sobre o modelo são limitadas para o fim desejado Será o fim da linha Nesse caso existem ainda os modelos de Conflitos e Jogos de Operações e caso isso ainda não seja o suficiente evocaremos a criatividade Para Fiani 2015 é relevante conhecer o conjunto de ações de cada in tegrante do processo usando como exemplo o modelo dos jogos no qual o jogador constitui um passo fundamental na análise de um processo de interação estratégica Com efeito as possibilidades de interação estratégica dependem de todas as ações relevantes disponíveis para os jogadores Cada jogador considera não apenas todas as ações relevantes de que dispõe mas também todas as ações relevantes disponíveis para os demais jogadores Caso algum não considerasse alguma ação significativa para o desenvolvimento do jogo à sua disposição ou à disposição dos demais jogadores seria irracional pois ele não estaria levando em conta todas as informações disponíveis antes de tomar sua decisão Isso não significa que ele não possa descartar determinadas ações como inadequadas aos seus objetivos dadas as possibilidades de resposta dos demais jogadores visto sua função ser justamente essa Dentro do jogo em que as movimentações acontecem com base em informações ou necessida 17 Construção e aplicação dos modelos matemáticos des avaliar e decidir sobre o que fazer tornamse relevantes e sem dúvida impactantes no cenário depois das ações tomadas e encaminhadas Contudo não basta apenas considerar as ações possíveis sobre o cenário mas também entender o impacto delas sobre o processo melhorando assim a condição de escolha embasada em informações coerentes e fortes a decisão certamente será mais assertiva o mostra sua relação direta com o conceito de jogos já que os jogadores tomam suas decisões ao mesmo tempo ou sucessivamente Ainda segundo Fiani 2015 um bom exemplo é o caso dos bancos a decisão a ser tomada tornase mais difícil se cada banco precisa escolher o que fazer em relação ao seu empréstimo sem conhecer a decisão do outro em comparação a se um deles tem a chance de decidir conhecendo a escolha do outro Conhecendo a respeito da concorrência sua decisão será mais asser tiva pois esta passa de apenas aleatória para condição defensiva superior à concorrência Isso se chama ação proativa que deve se dar sobre as tendências de ocorrência principalmente quanto às falhas ou aos defeitos de modo geral Outro caso relevante nessa proposta para construção do modelo ideal ocorre quando uma empresa líder decide depois da concorrente com perfil inovador Se a líder decide o preço de seu produto depois de saber que a inovadora efe tivamente lançou seu novo produto disporá de mais informação no momento de decidir e eventualmente pode acabar obtendo uma situação melhor ao final do jogo do que se fosse obrigada a decidir ao mesmo tempo que a inovadora decide lançar seu produto FIANI 2015 Nesse tipo de situação a líder precisaria escolher sua ação sem saber qual será a escolha da inovadora apresentando dessa forma menos informação Em resumo podemos perceber que diferentes processos de interação sobre aquilo que estamos avaliando demandam diferentes representações sempre com base nas diversas tomadas de decisão O pretexto comparativo com jogos torna possível perceber como as peças se movimentam dentro do cenário em análise já que o foco principal consiste em desenvolver um modelo matemático de forma clara pelo menos com condição adequada de trazer aquela informação até então abstrata para uma condição de melhor percepção constitui sem dúvida um diferencial relevante para entender melhor o que acontece e com isso gerar respaldo na tomada de decisões sobre o problema em questão Construção e aplicação dos modelos matemáticos 18 Considere uma situação em que se deve desenvolver um modelo de otimização do processo de montagem considerando o atendimento a demanda anual Em um primeiro momento podese questionar como elaborar um plano de produção que respeite as limitações da empresa e do mercado promovendo ainda o melhor re sultado financeiro para a empresa e a satisfação do cliente Para a fabricação do skid são necessários dois recursos principais mão de obra e fornecedor do processo de pintura para os quais a empresa apresenta as limitações descritas no quadro a seguir Recursos Disponibilidade Mão de obra minutos 2880 minutosdia Fornecedor do processo de pintura 48 unidades pintadas por semana Para se chegar à quantidade de tempo necessária de mão de obra consideraramse 2 turnos de trabalho com 3 funcionários trabalhando com uma carga horária diária de 480 minutos cada turno As quantidades necessárias de tempo em cada um dos processos para montagem do skid estão representadas a seguir Etapa Quantidade de funcionários Tempo Soldagem 1 60 minutos por conjunto Calibração 2 3 minutos por conjunto Pintura Fornecedor externo 100 minutos por conjunto Para encontrar o lucro do produto a empresa forneceu três dados importantes O custo médio para soldar e calibrar um skid R 7000 o número de funcionários envolvidos diretamente nos processos de soldagem e calibração 3 por turno além do fato de que todo o transporte no processo de pintura é feito pela própria empresa Desse modo com base na demanda anual de 2000 skid foi possível calcular o lucro estimando os salários dos funcionários o custo da pintura e o gasto com transporte conforme os seguintes quadros 19 Construção e aplicação dos modelos matemáticos Compo nente Quan tidade Valor unitário r Custo mensal R Unidade por mês Custo por uni dade R Funcio nário 6 600000 3600000 192 18750 Transporte 10 via gens mês 80000 800000 192 4167 Adicional noturno 3 funcio nários 1247 82302 192 429 Solda 192 horas mês 6000h 1152000 192 6000 Calibração 192 unidades mês 1000 192000 192 1000 Pintura 192 unidades mês 100000 19200000 192 100000 Energia e água 352 horas mês 1805 635539 192 3310 Compo nentes metálicos 6000000 192 31250 Impostos 200000 Total 450000 Preço de vendaunidade Custo de produção Lucro R 1000000 R 450000 R 550000 Construção e aplicação dos modelos matemáticos 20 Com os dados estimados pelo grupo e os fornecidos pela RD foi possível construir um modelo matemático como mostra o quadro a seguir buscando otimizar o processo de montagem minimizando o custo Função Objetivo Minimizar os custos de Produção FO MIM 60 11 90 1215 22 APA BPB 3800 Restrições A B X11 X12 A B X21 X22 X11 X12 X21 X22 X11 X12 48 unidades 1 11 8 horas 1 12 8 horas Com o auxílio de uma planilha eletrônica moldouse o problema para que fosse resolvido por meio da ferramenta Solver utilizando o algoritmo simplex Após a resolução obtida pelo Solver e obedecendo a todas as restrições obtiveramse os seguintes resultados Etapas do processo Quantidade requerida em horas unidades Tempo de produção disponível Hora homem disponível Custo por unidade Soldar unidade manhã 1 8 8 R 6000 Soldar unidade noite 1 8 8 R 9000 Calibrar unidade manhã 05 8 16 R 1000 Calibrar unidade noite 05 8 16 R 1500 Pintar unidade produção 1 8 R 100000 21 Construção e aplicação dos modelos matemáticos Demanda Manhã Noite Demanda semanal de solda 48 0 Demanda semanal de calibragem 48 0 Demanda semanal de calibragem 48 Quantidade de A 48 3565 Quantidade de B 0 3125 Análise dos resultados para esse problema Nesse cenário a empresa funciona em dois turnos com jornada diária de 16 horas A modelagem matemática desenvolvida apontou que o atual esquema de produção aumenta o custo pois o segundo turno por conta da legislação trabalhista tem um valor maior de horahomem trabalhada tanto na etapa de solda quanto na de calibração Após todas as análises necessárias e com o auxílio da modelagem observamos que a distribuição de tempo que minimiza o custo é ótima quando se utiliza toda a demanda de tempo no período da manhã refletindo uma produção semanal de 48 unidades Por fim avaliouse o impacto de diminuir o tempo de solda para 30 minutosunidade com a inclusão de mais um funcionário no turno da manhã Essa simulação indicou que otimizar essa etapa diminui o custo final da unidade pois para cada hora trabalhada duas unidades do produto ficariam prontos com o consumo da mesma quantidade de recursos Os resultados gerais indicaram que a empresa tem espaço para otimização da linha de montagem possibilitando a diminuição dos seus custos operacionais Fonte Adaptado de Basílio et al 2016 p 5 ARENALES M Pesquisa operacional para cursos de engenharia 2 ed Rio de Janeiro Elsevier 2015 BASÍLIO B Desenvolvimento de modelos matemáticos para otimização do processo de montagem do SKID In CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA 64 2016 Natal Anais Natal UFRN 2016 Disponível em httpwwwabengeorgbr cobengearquivos3anaisanais161145pdf Acesso em 28 ago 2020 FIANI R Teoria dos jogos com aplicações em economia administração e ciências sociais 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2015 GOLDBARG M C LUNA Henrique P GOLDBARG E F Programação linear e fluxos em rede Rio de Janeiro Elsevier 2015 Construção e aplicação dos modelos matemáticos 22 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu fun cionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links HILLIER F S LIEBERMAN G J Introdução à pesquisa operacional 9 ed Porto Alegre AMGH 2012 LACHTERMACHER G Pesquisa operacional na tomada de decisão 5 ed Rio de Janeiro LTC 2016 Leituras recomendadas COX III J F SCHLEIER J G Handbook da teoria das restrições 1 ed Porto Alegre Book man 2013 MACHLINE C et al Manual da administração da produção 6 ed Rio de Janeiro FGV 1985 RODRIGUES R Pesquisa operacional 1 ed Porto Alegre Sagah 2017 Ebook 23 Construção e aplicação dos modelos matemáticos Conteúdo