Manual de Soluções e Recursos de Ensino em Mecânica dos Materiais

Os professores interessados no Manual de Soluções em inglês e nas apresentações em Power Point devem fazer o cadastro no site wwwgrupoacombr buscar por este livro e clicar no link Material do Professor Beer e Johnston são líderes incontestáveis no ensino de mecânica dos sólidos Utilizado por milhares de estudantes em todo o mundo desde sua primeira edição Mecânica dos Materiais 7ed oferece uma apresentação precisa da matéria ilustrada com inúmeros exemplos O texto enfatiza o correto entendimento dos princípios da mecânica e a sua aplicação na resolução dos problemas de engenharia Com o objetivo de capacitar o aluno a analisar problemas de mecânica o livro foi estruturado com a seguinte estratégia pedagógica Apresentação dos princípios fundamentais em contextos simples Introdução de aplicações desde o início Ampla utilização de diagramas Discussão de conceitos de projetos quando apropriada Este livrotexto é leitura indispensável para os alunos de praticamente todas as engenharias com destaque para as engenharias mecânica eletrônica civil aeronáutica e de produção BEER JOHNSTON DEWOLF MAZUREK Estática e Mecânica dos Materiais BEER JOHNSTON CORNWELL Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica 9ed BEER JOHNSTON MAZUREK EISENBERG Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 9ed BLANK TARQUIN Engenharia Econômica 6ed BUDYNAS NISBETT Elementos de Máquinas de Shigley Projeto de Engenharia Mecânica 8ed ÇENGEL BOLES Termodinâmica 7ed ÇENGEL CIMBALA Mecânica dos Fluidos Fundamentos e Aplicações 3ed ÇENGEL GHAJAR Transferência de Calor e Massa 4ed CHAPRA SC Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB para Engenheiros e Cientistas 3ed CHAPRA CANALE Métodos Numéricos para Engenharia 5ed GILAT A MATLAB com Aplicações em Engenharia 4ed LEET UANG GILBERT Fundamentos de Análise Estrutural 3ed NAVIDI W Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas NORTON R Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos PALM III WJ Introdução ao MATLAB para Engenheiros 3ed ROSA ES Escoamento Multifásico Isotérmico SMITH HASHEMI Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais 5ed WHITE FM Mecânica dos Fluidos 6ed M486 Mecânica dos materiais recurso eletrônico Ferdinand P Beer et al tradução José Benaque Rubert 7 ed Porto Alegre AMGH 2015 Editado como livro impresso em 2015 ISBN 9788580554991 1 Engenharia mecânica 2 Mecânica Materiais I Beer Ferdinand P CDU 62186 Catalogação na publicação Poliana Sanchez de Araujo CRB 102094 96 Mecânica dos Materiais Fig 242 Representações da deformação em uma barra carregada axialmente a faces com deformação do elemento em forma de cubo alinhadas com os eixos coordenados b faces com deformação do elemento em forma de cubo rotacionadas 45 sobre o eixo z y x P 1 1 11 x e 12 x ne a P P P b p g 2 2 2 p g 1 28 OUTRAS DISCUSSõES SOBRE DEFORMAÇÃO SOB CARREGAMENTO AxIAL RELAÇÃO ENTRE E N E G Vimos na Seção 24 que uma barra delgada submetida a uma força de tração axial P na direção do eixo x se alongará na direção x e se contrairá nas direções transversais y e z Se ex é a deformação específica axial a de formação específica lateral é expressa como ey 5 ez 5 nex em que n é o coeficiente de Poisson Assim um elemento na forma de um cubo com lado de comprimento unitário e orientado conforme mostra a Fig 242a se defor mará transformandose em um paralelepípedo retangular de lados 1 1 ex 1 nex e 1 nex Note que somente uma face do elemento é mostrada na figura Em contrapartida se o ele mento é orientado a 458 em relação ao eixo da força Fig 242b observase que a face mostrada na figura se deforma transformandose em um losango Concluímos que a força axial P provoca nesse elemento uma deformação de cisalhamento g igual ao valor pelo qual aumenta ou diminui cada um dos ângulos mostrados na Fig 242b O fato de que as deformações de cisalhamento bem como as deformações específicas normais resultam de um carregamento axial não deve ser uma sur presa para nós pois já observamos no fim da Seção 14 que uma carga axial P provoca tensões normais e de cisalhamento de igual intensidade nas quatro fa Note que a carga P também produz deformações específicas normais no elemento mostrado na Fig 242b ver o Problema 272 Capítulo 2 Tensão e deformação Carregamento axial 97 ces de um elemento orientado a 458 do eixo do elemento Isso foi ilustrado na Fig 138 que por conveniência foi repetida aqui Foi mostrado também na Seção 13 que a tensão de cisalhamento é máxima em um plano que forma um ângulo de 458 com o eixo da força Concluise da lei de Hooke para ten sões e deformações de cisalhamento que a deformação de cisalhamento g associada ao elemento da Fig 242b também é máxima g 5 gm Embora um estudo mais detalhado das transformações de deformações específica seja apresentado só no Capítulo 7 nesta seção deduziremos uma relação entre a deformação de cisalhamento máxima g 5 gm associada ao elemento da Fig 242b e a deformação específica normal Px na direção da força Vamos conside rar para essa finalidade o elemento prismático obtido pelo corte do elemento em forma de cubo da Fig 242a por um plano diagonal Fig 243a e b Referindonos à Fig 242a concluímos que esse novo ele mento se deformará transformandose no elemento mostrado na Fig 243c que tem lados horizontais e verticais respectivamente iguais a 1 1 ex e 1 nex No entanto o ângulo formado pelas faces oblíqua e horizontal do elemen to da Fig 243b é precisamente metade de um dos ângulos retos do elemento em forma de cubo considerado na Fig 242b O ângulo b obtido após a defor mação deve portanto ser igual à metade de py2 gm Escrevemos b p 4 gm 2 Aplicando a fórmula para a tangente da diferença de dois ângulos obtemos tg b tg p 4 tg gm 2 1 tg p 4 tg gm 2 1 tg gm 2 1 tg gm 2 ou como gmy2 é um ângulo muito pequeno tg b 1 gm 2 1 gm 2 230 Entretanto da Fig 243c observamos que tg b 1 n x 1 x 231 Igualando os membros do lado direito das Equações 230 e 231 e resolvendo em função de gm temos gm 11 n2 x 1 1 n 2 x Como ex V 1 o denominador na expressão obtida pode ser considerado igual a 1 temos portanto gm 11 n2 x 232 que é a relação desejada entre a deformação de cisalhamento máxima gm e a deformação específica axial Px Fig 243 a Elemento unitário em forma de cubo com deformação a ser seccionado em um plano diagonal b Seção sem deformação do elemento unitário c Seção deformada do elemento unitário 1 1 1 1 1 2 x ne 11 x e p b 4 1 a b c Fig 138 repetida b a tm tm P P P P P 2A z x y 458 sx sx P A P 2A s s s s 98 Mecânica dos Materiais Para obtermos uma relação entre as constantes E n e G lembramos que pela lei de Hooke gm 5 tmyG e que para um carregamento axial ex 5 sxyE A Equação 232 pode portanto ser escrita como tm G 11 n2sx E ou E G 11 n2sx tm 233 Verificamos agora da Fig 138 que sx 5 PyA e tm 5 Py2A em que A é a área da seção transversal da componente Concluise então que sxytm 5 2 Substituindo esse valor em 233 e dividindo ambos os membros por 2 obtemos a relação E 2G 1 n 234 que pode ser usada para determinar uma das constantes E n ou G a partir das outras duas Por exemplo resolvendo a Equação 234 para G temos G E 211 n2 235 Capítulo 2 Tensão e deformação Carregamento axial 99 PROBLEMA RESOLVIDO 22 As peças fundidas rígidas A e B estão conectadas por dois parafusos de aço CD e GH de 19 mm de diâmetro e estão em contato com as extremidades de uma barra de alumínio EF com diâmetro de 38 mm Cada parafuso tem rosca simples com um passo de 25 mm e depois de serem ajustadas as porcas em D e H são apertadas em 1 4 de volta cada uma Sabendo que E é 200 GPa para o aço e 70 GPa para o alumínio determine a tensão normal na barra ESTRATéGIA O aperto das porcas causa o deslocamento das extremidades dos parafusos em relação a peça rígida que é igual a diferença entre os deslocamentos dos parafusos e a haste Isso fornece uma relação entre os esforços internos nos parafusos e na haste que quando combinados com a análise do corpo livre da peça rígida permitirá a você obter essas forças e determinar as correspondentes tensões normais na haste MODELAGEM Desenhe o diagrama de corpo livre dos parafusos e da haste Fig 1 e da peça rígida Fig 2 ANáLISE Deformações Parafusos CD e GH O aperto das porcas provoca tração nos parafusos Fig 1 Em razão da simetria ambos estão sujeitos à mesma força interna Pp e sofrem a mesma deformação dp Temos 1 db PpLp ApEp Pp10450 m2 1 4 p10019 m221200 109 Pa2 7936 10 9 Pp C G D H 450 mm E A B F 300 mm C E F G D Pp Pb Pb Pp Pp Pp H Fig 1 Diagrama de corpo livre do parafuso do cilindro e da barra 100 Mecânica dos Materiais Barra EF A barra está em compressão Fig 1 Designando por Pb a intensida de da força na barra e por db a deformação na barra temos 2 db PbLb AbEb Pb10300 m2 1 4p10038 m22170 109 Pa2 3779 10 9 Pb Deslocamento de D em relação a B O aperto de 1 4 de volta nas porcas faz as extremidades D e H dos parafusos sofrerem um deslocamento de 1 4 25 mm em relação à peça fundida B Considerando a extremidade D temos 3 dD B 1 4100025 m2 625 10 4 m No entanto dDB 5 dD dB em que dD e dB representam os deslocamentos de D e B respectivamente Considerando que a peça A é mantida em uma posição fixa enquanto as porcas em D e H são apertadas esses deslocamentos são iguais às deformações dos parafusos e da barra respectivamente Temos então 4 dD B dp db Substituindo as Equações 1 2 e 3 em 4 obtemos 5 625 10 4 7936 10 9 Pp 3779 10 9 Pb Corpo livre peça B Fig 2 6 Pb 2Pp 0 Pb 2Pp S F 0 Pp Pp B Pb Fig 2 Diagrama de corpo livre da peça fundida rígida Forças nos parafusos e na barra Substituindo o valor de Pb de 6 em 5 temos Pb 2Pp 2140 339 N2 80 678 N Pp 40 339 N 625 10 4 7936 10 9 Pp 3779 10 912Pp2 Tensão na barra sb 71 MPa sb Pb Ab 180 678 N 1 4 p10038 m22 REFLETIR PENSAR Este é um exemplo de problema estaticamente inde terminado no qual as forças nos elementos não são determinadas apenas pelo equilíbrio Pela consideração dos deslocamentos relativos característicos dos ele mentos você pode obter equações adicionais necessárias à solução desse tipo de problema Situações como essa serão tratadas com mais detalhes nas seções seguintes