Triángulo de Pascal - Mir v a Uspenski

Lecciones populares de matemáticas\nTRIÁNGULO DE PASCAL\nV. A. Uspenski\nEditorial MIR\nMoscú ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ\n\nВ. А. УСПЕНСКИЙ\n\nТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ\n\nИЗДАТЕЛЬСТВО \"НАУКА\"\nМОСКВА LECCIONES POPULARES DE MATEMÁTICAS\n\nV. A. USPENSKI\n\nTRIÁNGULO DE PASCAL\n\nEDITORIAL MIR\nMOSCÚ Traducido del ruso por L. B. Ermoláev\n\nLa presente conferencia es accesible a los alumnos de la escuela de ocho grados. En ella se considera una importante tabla numérica (llamada triángulo de Pascal) que contribuye a resolver una serie de problemas. A la vez con la resolución de tales problemas se toca la cuestión del significado de las palabras \"resolver el problema\".\n\nНа испанском языке,\n\n© Traducción al español. Editorial Mir. 1978\n\nIMPRIMIDO EN LA URSS\n1978 ÍNDICE\nPrefacio 6\n§ 1. Problema de la VIII olimpiada 7\n§ 2. ¿Qué significa resolver el problema? [1]\n§ 3. Triángulo de Pascal 15\n§ 4. Operación de Pascal 22\n§ 5. Coeficientes binomiales 26\n§ 6. Número de partes de un conjunto dado 29\n§ 7. Vínculo con factoriales 36 PREFACIO\nEs imprescindible advertir al lector que no se ha enterado todavía de qué es el triángulo de Pascal, que no se trata de una figura geométrica con tres ángulos y tres lados. Se llama triángulo de Pascal a una importante tabla numérica por medio de la cual se logra resolver toda una serie de problemas de cálculo. Considerando algunos de ellos, se referirá paso al problema concerningente al significado general de las palabras \"resolver el problema\".\nLa exposición no presupone conocimientos previos cualesquiera que salgan fuera de los límites del programa previsto por la escuela de ocho grados, excepto la definición y designación de la potencia de exponente nulo. Se debe conocer exactamente que todo número distinto de cero, elevado a la potencia cero, se considera (por definición) igual a una unidad: a^0 = 1 cuando a ≠ 0. § I. PROBLEMA DE LA VIII OLIMPIADA\nEn la VIII olimpiada matemática de Moscú (1945), a sus participantes, alumnos de los 9-10 grados, fue propuesto el siguiente problema 1):\nSe tiene una red de caminos (fig. 1). Desde el punto A parten 2^000 hombres. Una mitad de ellos se encamina en la dirección l, otra, en la m. Al llegar al primer cruce cada grupo se divide: una mitad sigue la dirección l, la otra, la m. Lo mismo ocurre en cada cruce, ¿Cuántos hombres llegarán a todos los cruces de la milésima serie? 2)\n\nAnunciemos, ante todo, que todavía no conocemos si es resoluble el problema, es decir, si pueden moverse los hombres como lo requiere la condición del problema. En efecto, si a un cruce cualquiera, en que va a dividirse por mitad la afluencia de gente, llega un número impar de hombres, el movimiento se detendrá. Por consiguiente, para que el problema tenga solución, es necesario y suficiente que a cada cruce de cualquiera de las primeras mil series (filas), de 0 hasta 999, llegue un número par de hombres. De que esto es así, nos cerraremos resolviendo el problema.\n\nAl principio introduciremos las designaciones para las cantidades de hombres que dejaron atrás cada cruce de nuestra red de caminos. Nombremos los cruces de cada fila, de izquierda a derecha, partiendo de cero; por lo tanto, los cruces de la h-ésima fila se numerarán de cero hasta n. Denotaremos por H^k_n el número de hombres que pasaron por el k-ésimo cruce de la n-ésima fila. Puesto que no se sabe todavía si es resoluble el problema, no podemos estar seguros de que existan todos los números H^k_n\n\na. condición de que existan todos. Más tarde veremos que si existen y son pares todos los números H^k_n existen también todos los números H^(k+1)_n. Consideremos las filas n y (n+1) de los cruces y los tramos de los caminos que los unen; pongamos frente a cada cruce la designación del número respectivo de hombres (véase la fig. 2). El número de hombres que salieron del cruce 0\n\nH^0_n = 21000.\n\n(1.1)