Prova de Equacoes Diferenciais - Regra da Cadeia Derivadas Integrais e Gradiente

ALUNO A Disciplina EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Curso EME ENC ENE EPR Professora Ms Rúbia Maria Pereira Data 2023 Nota FOLHA DE RESPOSTAS QUESTÕES OBJETIVAS AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 Assinatura do Acadêmico Prezado a Acadêmico a Desejamos que você realize uma boa prova Instruções 1 Leia com muita atenção cada uma das questões a serem respondidas A interpretação adequada da questão auxilia em sua resposta 2 A prova toda deve ser entregue ao professor junto com a folha de resposta preenchida e assinada 3 O preenchimento do gabarito deve ser feito de acordo com as instruções no início da folha de respostas Utilize para as respostas caneta esferográfica AZUL ou PRETA 4 Não serão consideradas respostas a lápis com RASURAS ou com uso de CORRETIVO 5 Não é permitido o uso de nenhum material de apoio livros códigos notebook 6 A PROVA É INDIVIDUAL E SEM CONSULTA 7 A prova será corrigida em sala de aula e ficará de posse do aluno 8 O aluno tem até 48 horas após o lançamento das notas para solicitar revisão de correção conforme Regimento Geral da Instituição QUESTÃO 01 1 ponto Regra da Cadeia Seja 𝑧 4𝑥5 𝑠𝑒𝑛2𝑦3 Calcule 𝑧 𝑥 𝑒 𝑧 𝑦 QUESTÃO 02 1 ponto Derivada Seja 𝑓𝑥 𝑦 𝑒3𝑥2𝑦 5𝑥2 7𝑥𝑦 2𝑦3 12 Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem nos pontos 14 e 32 QUESTÃO 03 10 ponto Integral Área Calcule a área entre as 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑦 5 𝑥² 𝑒 𝑦 𝑥 3 QUESTÃO 04 10 ponto Gradiente Calcule o gradiente da 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥² 𝑦 𝑥⅔ 𝑦² no ponto 13 QUESTÃO 05 10 ponto Equação Diferencial Separável Determine a solução geral da equação diferencial 𝑦𝑦 𝑥 0 QUESTÃO 06 10 ponto Equação linear de primeira ordem Encontre a solução geral da equação 𝑦 4𝑥³𝑦 20𝑥³ QUESTÃO 07 10 ponto Equação exata Encontre as curvas integrais de 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑥² 1 𝑑𝑦 0 QUESTÃO 08 10 ponto Bernolli Encontre as curvas integrais para a equação 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑥²𝑦² QUESTÃO 09 10 ponto Regra da Cadeia Dada a função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥 2𝑦³ 𝑧² onde 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑒2𝑡 𝑒 𝑧 4𝑡² 3 encontre a derivada de f com relação a t QUESTÃO 10 10 ponto Máximos e Mínimos Encontre os máximos e mínimos de 𝑓 𝑥 𝑦 1 3 𝑥³ 1 3 𝑦³ 𝑥 4𝑦 20 caso existam RASCUNHO 2 fxy e3x2y 5x2 7xy 2y3 12 Derivados em relação a x fxyx 3e3x2y 10x 7y fx 14 3e11 38 fx 32 3e5 16 ²fx² xy 9e3x2y 10 ²fx² 14 9e11 10 ²fx² 32 9e5 10 Derivados em relação a y fxyy 2e3x2y 7x 6y2 fy 14 2e11 88 fy 32 2e5 45 ²fy² xy 4e3x2y 12y ²fy² 14 4e11 48 ²fy² 32 4e5 24 3 Interseções 5 x² x 3 x² x 2 0 x 2 ou x 1 Área from 2 to 1 5 x² x 3 dx from 2 to 1 x² x 2 dx x³3 x²2 2x from 2 to 1 13 12 2 83 2 4 Área 92 6 y 4x3 y 20x3 Fator integrante e4x³ dx ex⁴ Multiplicando na equação y ex⁴ 20x³ y ex⁴ 20x³ dx 5x⁴ C y 5x⁴ ex⁴ C ex⁴ 8 x y y x² y² y² yx x y y y y² yx y² x Fazendo u y1 u y2 y u ux x u ux x Fator integrante e 1x dx eln x 1x ux ux² 1 u 1x 1 ux 1 dx x C u x² C x Como u y1 temos 1y C x x² y 1C x x² 10 fxy x³3 y³3 x 4 y 20 Lembre que x₀ y₀ é ponto crítico se fx₀y₀ 0 fx xy x² 1 fy xy y² 4 f x² 1 y² 4 00 x² 1 x 1 y² 4 y 2 Possíveis pontos críticos 12 12 12 12 ²fx² xy 2x ²fxy xy 0 ²fyx xy 0 ²fy² xy 2y logo a matriz Hessiana Hxy 2x 0 0 2y Hxy 4xy H12 412 8 0 12 é mínimo H12 412 8 0 12 é máximo H12 412 8 0 12 é máximo H12 412 8 0 12 é mínimo