Aula 04: Momento Escalar, Vetorial e Misto em Isostática

MOMENTOS Produto Escalar Vetorial e Misto Momento em Relação a um Ponto e a um Eixo Aula 04 Disciplina ISOSTÁTICA Professor Paulo Henrique Silva dos Santos Cronograma I Bimestre 1102 Aula suspensa 1802 Carnaval 2502 Introdução 0403 Forças Bidimensionais e Equilíbrio de Partículas 1103 Forças Tridimensionais 1803 Momento Bidimensional e Equilíbrio de Corpos Rígidos 2503 Atividade Avaliativa de Pesquisa e Revisão 0104 Momento Bidimensional e Tridimensional 1504 Revisão e Questões MB 1277 Nm 3 𝑰𝒏𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂çã𝒐 Naruhodo 342 O que é e de onde vem a inspiração Não se gera inspiração O possível é criar um ambiente propício ao seu aparecimento Praticar a GALINHA é uma forma eficaz de aumentar episódios de INSPIRAÇÕES a MD 417 Nm 4 𝑵𝒐𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 Estudar coisas NOVAS Além de estudar coisas novas é importante REVISITAR ESTUDOS ANTIGOS COM NOVOS OLHARES Revisitar conteúdos básicos da escola sobretudo do Ensino Médio com a experiência e bagagem de hoje também trará reflexões e aprendizados inéditos TAB 1224 N Dême uma alavanca e um ponto de apoio e levantarei o mundo Arquimedes a M0 2i 7j 5k Ԧ𝐹 𝐹 Ԧ𝜆 Forças em 3 Dimensões MA 75Di 60Dj 1039K Nm Ponto Material x Corpo Rígido 𝑑1 𝑑2 𝑑3 CG 𝑀𝐴 0 𝑀𝐶𝐺 𝑅1 𝑑1 𝑅2 𝑑2 𝐹 𝑑3 M0 3080i 2070K Nm Princípio da Transmissibilidade As CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO de um corpo rígido permanecem inalteradas se uma força for substituída por outra força de igual intensidade direção e sentido atuando na mesma linha de ação Forças que atuam em corpos rígidos podem ser entendidas como Vetores Deslizantes Apesar do Princípio da Transmissibilidade o Ponto de Aplicação da Força influencia nas Forças Internas do corpo rígido MC 153i 63Dj 245K lbft Se liga aí que é hora da revisão V 67D Produto Escalar de Dois Vetores Propriedade Comutativa Propriedade Distributiva a FA 560 lb P Q PQ cos θ a FB 80 lb Produto Escalar de Dois Vetores Mas o que eu tenho a ver com isso Ângulo formado por dois vetores Produto Escalar O Produto Escalar permite calcular o ângulo formato entre dois vetores Ou seja permite encontrar o ângulo formado entre Duas forças Dois eixos Uma força e um eixo Projeção de um vetor sobre um dado eixo Produto Escalar O Produto Escalar permite calcular a projeção de um vetor em relação a outro Ou seja permite calcular a projeção de Uma força em relação a um eixo Uma força em relação a direção de outra força Um eixo em relação a outro eixo Observação Se um dos vetores for unitário o próprio produto escalar já é a projeção do vetor na direção do vetor unitário REVISÃO Torque e Momento Torque e Momento Torque e Momento 𝑇 𝑀 𝐹 𝑑 18 Condições de Equilíbrio de um Corpo Rígido no Plano 𝑅𝑥 0 𝑅𝑦 0 𝑀𝑧 0 Um Corpo Rígido está em equilíbrio do plano se sua Força Resultante por nula impedindo a translação e se seu Momento Resultante for nulo impedindo a rotação Condições de Equilíbrio de um Corpo Rígido no Espaço 𝑅𝑥 0 𝑅𝑦 0 𝑅𝑧 0 𝑹 𝜮𝑭 𝟎 𝑴𝑹𝒐 𝜮𝑴𝒐 𝟎 𝑀𝑜𝑥 0 𝑀𝑜𝑦 0 𝑀𝑜𝑧 0 Equações gerais de equilíbrio de corpo rígido REVISÃO Produto Vetorial de Dois Vetores Produto Vetorial de Dois Vetores Geometricamente o produto escalar de dois vetores representa a área de um paralelogramo formado por estes dois vetores como sendo seus lados adjacentes A linha de ação do vetor 𝑉 é perpendicular ao plano que contém os vetores 𝑃 e 𝑄 A direção e o sentido do vetor 𝑉 são obtidos pela regra da mão direita Quando o dedos apontam no sentido da projeção de P para Q o vetor V terá sentido apontado pelo polegar P Q e V nesta ordem formam uma tríade orientada diretamente Análogo às direções x y e z ou Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑒 𝑘 Produto Vetorial de Dois Vetores P Q e V nesta ordem foram uma tríade orientada diretamente Análogo às direções x y e z ou Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑒 𝑘 NÃO POSSUI Propriedade Comutativa V P Q P Pxi Pyj Pzk Q Qxi Qyj Qzk V P Q PyiQz PziQyi PziQx PxiQzj PxiyQx PyxQzk Vx PyQz PzQy Vx PzQx PxQz Vy PxQy PyQx V i j k Px Py Pz Qx Qy Qz Produto Vetorial de Dois Vetores Mas o que eu tenho a ver com isso Momento de uma força em relação a um ponto Produto Vetorial O Produto Vetorial permite calcular o Momento entre uma Força e um Ponto O Vetor Momento 𝑴 será igual ao Produto Vetorial entre o Vetor Posição 𝒓 e a Força 𝑭 O Vetor Posição 𝒓 é o vetor que liga o ponto de referência ao ponto de aplicação da força 𝑟 𝑑 Distância de um ponto em relação a um eixo reta é sempre um segmento perpendicular à reta Momento de uma força em relação a um ponto Produto Vetorial O sentido positivo do Momento também pode ser dado pela regra da mão direita Dessa maneira imaginando a base do polegar como sendo o ponto de referência e os dedos como sendo a força aplicada o polegar aponta para o sentido positivo do momento No caso bidimensional o momento é positivo quando a força gera um torque no sentido antihorário e negativo quando gera um torque no sentido horário Momento de uma força em relação a um ponto Produto Vetorial Momento de uma força em relação à origem O Momento de uma força em relação a um ponto Produto Vetorial Momento de uma força em relação a um ponto qualquer B 𝒓𝐴𝐵 𝑥𝒊 𝑦𝒋 𝑧𝒌 𝑭 𝐹𝑥𝒊 𝐹𝑦𝒋 𝐹𝑧𝒌 𝑴𝑩 𝒓𝐴𝐵 𝑭 𝑴𝑩 𝑀𝑥𝒊 𝑀𝑦𝒋 𝑀𝑧𝒌 Componentes do Vetor Momento Convenção de Sinais Positivos 𝑥 𝑦 𝑧 𝑷 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 𝑴𝒚 𝑴𝒙 𝑴𝒛 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒙 𝒛 𝒚 Mas ainda tem gente que não sabe ou então tá se fingindo Que pra quem tá indo quem vem vindo na verdade é quem tá indo Marcondes Falcão Uma força vertical de 450 N é aplicada na extremidade de um alavanca que está ligada a um eixo em O Determine a o momento da força de 450 N em relação a O b a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O c a força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O d a que distância do eixo deve atuar uma força vertical de 1080 N para gerar o mesmo momento em relação a O e se alguma das forças obtidas nas parte b c e d é a força original a Momento da força de 450 N em relação a O d distância perpendicular Momento Negativo 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑗 ℎ𝑖𝑝 𝑐𝑜𝑠60 𝑑 60 𝑑 60 𝑐𝑜𝑠60 𝑴 𝟏𝟑𝟓𝑵𝒎 b Força horizontal que gera o mesmo momento em relação a O d distância perpendicular 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑜 ℎ𝑖𝑝 𝑠𝑒𝑛60 𝑑 60 𝑑 60 𝑠𝑒𝑛60 𝑀 𝐹 𝑑 20 5 4 20 2 10 20 1 20 c Força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O Quando a distância perpendicular for a maior possível A menor força possível para gerar um momento deve ser aplicada perpendicularmente à distância α906030 dA que distância do eixo deve atuar uma força vertical de 1080 N para gerar o mesmo momento em relação a O 𝑑 0125𝑚 125𝑐𝑚 e Alguma das forças obtidas nas partes b c e d é a força original Exemplo 2 𝑀 𝐹 𝑑 800 𝑑 𝐹𝑥 800 𝑐𝑜𝑠60 400𝑁 𝐹𝑦 800 𝑠𝑒𝑛60 69282𝑁 400𝑁 69282𝑁 𝑀 400 160 69282 200 202564𝑁𝑚𝑚 20256𝑁𝑚 𝒅 𝑑𝑦 160𝑚𝑚 𝑑𝑥 200𝑚𝑚 Exemplo 2 𝐹𝑥 800 𝑐𝑜𝑠60 400𝑁 𝐹𝑦 800 𝑠𝑒𝑛60 69282𝑁 400𝑁 69282𝑁 Ԧ𝐹 400Ԧ𝑖 69282Ԧ𝑗 𝑁 Ԧ𝑟𝐵𝐴 200Ԧ𝑖 160Ԧ𝑗 𝑚𝑚 𝑀 Ԧ𝑟𝐵𝐴 Ԧ𝐹 𝑀 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑟𝑎𝑏𝑥 𝑟𝑎𝑏𝑦 𝑟𝑎𝑏𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 200 160 0 400 69282 0 𝑀 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 200 160 0 400 69282 0 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 200 160 400 69282 𝑀 𝑘 200 69282 𝑘 160 400 𝑀 202564𝑘 𝑁𝑚𝑚 20256𝑘 𝑁𝑚 20256𝑁𝑚𝑘 Exemplo 2 𝑀𝑏 400 016 693 02 64 1386 2026𝑁𝑚 𝑀𝐵 𝒊 𝒋 𝒌 02 𝑚 016 𝑚 0 400 𝑁 693 𝑁 0 02 693 𝑘 400 016 𝑘 𝟐𝟎𝟐 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 Ou 𝑀 400 016 693 02 2026 Exemplo 3 𝑑 20 𝑠𝑒𝑛20 𝑑 09 𝑑 09 𝑠𝑒𝑛20 03078𝑚 𝑀 𝐹 𝑑 𝑀 135 03078 𝑀 41553𝑁𝑚 Uma força de 135 N atua na extremidade de uma alavanca de 09 m como mostra a ilustração Determine o momento da força em relação a O Exemplo 3 70 135 𝑐𝑜𝑠70 4617𝑁 4617𝑁 𝑀 𝐹 𝑑 4617 09 𝑀 41553𝑁𝑚 A decomposição não precisa ser obrigatoriamente em direções Horizontais e Verticais mas sim DIREÇÕES RETANGULARES De modo que facilite a identificação das distâncias Neste caso foi mais viável decompor em componentes paralelas e perpendiculares ao eixo ao invés de horizontais e verticais Exemplo 3 𝑀 Ԧ𝑟𝑜𝑎 Ԧ𝐹 Ԧ𝑟𝑜𝑎𝑥 09 𝑐𝑜𝑠50 05785𝑚Ԧ𝑖 Ԧ𝑟𝑜𝑎𝑦 09 𝑠𝑒𝑛50 06894𝑚Ԧ𝑗 Ԧ𝑟𝑜𝑎 𝒓𝒐𝒂 𝟎 𝟓𝟕𝟖𝟓Ԧ𝒊 𝟎 𝟔𝟖𝟗𝟒Ԧ𝒋 𝒎 𝐹𝑥 135 𝑐𝑜𝑠30 11691𝑁 𝐹𝑦 135 𝑠𝑒𝑛30 6750𝑁 𝑭 𝟏𝟏𝟔 𝟗𝟏Ԧ𝒊 𝟔𝟕 𝟓𝟎Ԧ𝒋 𝑵 𝑴 Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 𝟎 𝟓𝟕𝟖𝟓 𝟎 𝟔𝟖𝟗𝟒 𝟎 𝟏𝟏𝟔 𝟗𝟏 𝟔𝟕 𝟓𝟎 𝟎 𝟒𝟏 𝟓𝟒𝟗𝒌𝑵𝒎 Exemplo 3 𝐹𝑥 135 𝑐𝑜𝑠30 1169𝑁 𝐹𝑦 135 𝑠𝑒𝑛30 675𝑁 𝑠𝑒𝑛50 𝑐 𝑜 ℎ𝑖𝑝 𝑐 𝑜 09 𝑐 𝑜 09 𝑠𝑒𝑛50 06894𝑚 𝑐𝑜𝑠50 𝑐 𝑎 ℎ𝑖𝑝 𝑐 𝑎 09 𝑐 𝑎 09 𝑐𝑜𝑠50 05785𝑚 05785𝑚 06894𝑚 1169𝑁 675𝑁 𝑀𝑜 1169 06894 675 05785 8059 3905 𝟒𝟏 𝟓𝟒𝑵𝒎 𝑀𝑂 𝒊 𝒋 𝒌 05785 06894 0 11691 𝑁 6750 𝑁 0 4155𝒌 𝑁 𝑚 Ou ൞ 𝐹𝑥 135 cos 30 11691 𝑁 𝐹𝑦 135 𝑠𝑒𝑛 30 6750 𝑁 𝐹𝑧 0 ቐ 𝑥 09 cos 50 05785 𝑚 𝑦 09 𝑠𝑒𝑛 50 06894 𝑚 𝑧 0 Exemplo 4 𝑭𝑪𝑫 𝐹𝐶𝐷 200𝑁 𝑑𝐶𝐷 300Ԧ𝑖 240Ԧ𝑗 320𝑘 𝑚𝑚 𝜆𝐶𝐷 𝑑𝐶𝐷 𝑑𝐶𝐷 300Ԧ𝑖240Ԧ𝑗320𝑘 𝑚𝑚 30022402320²𝑚𝑚 300Ԧ𝑖240Ԧ𝑗320𝑘 𝑚𝑚 500𝑚𝑚 𝜆𝐶𝐷 060Ԧ𝑖 048Ԧ𝑗 064𝑘 𝐹𝐶𝐷 𝐹𝐶𝐷 𝜆𝐶𝐷 200𝑁 060Ԧ𝑖 048Ԧ𝑗 064𝑘 𝑭𝑪𝑫 𝟏𝟐𝟎Ԧ𝒊 𝟗𝟔Ԧ𝒋 𝟏𝟐𝟖𝒌 𝑵 𝒓𝑨𝑪 𝟑𝟎𝟎Ԧ𝒊 𝟎Ԧ𝒋 𝟖𝟎𝒌 𝒎𝒎 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀𝐹𝐶𝐷𝐴 𝑟𝐴𝐶 𝐹𝐶𝐷 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 300 0 80 120 96 128 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 300 0 80 120 96 128 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 300 0 120 96 𝑀𝐹𝐶𝐷𝐴 0 120 80 Ԧ𝑗 96 300 𝑘 0 96 80 Ԧ𝑖 128 300 Ԧ𝑗 9600Ԧ𝑗 28800𝑘 7680Ԧ𝑖 38400Ԧ𝑗 𝑀𝐹𝐶𝐷𝐴 7680Ԧ𝑖 28800Ԧ𝑗 28800𝑘 𝑁𝑚𝑚 𝟕 𝟔𝟖Ԧ𝒊 𝟐𝟖 𝟖𝟎Ԧ𝒋 𝟐𝟖 𝟖𝟎𝒌 𝑵𝒎 Vetor Momento Módulo do Momento 𝑴𝑭𝑪𝑫𝑨 𝟕 𝟔𝟖𝟐 𝟐𝟖 𝟖𝟎𝟐 𝟐𝟖 𝟖𝟎² 𝟒𝟏 𝟒𝟓𝑵𝒎 𝒓𝑨𝑪 Exemplo 4 𝐴 0 0 320 𝐵 0 0 80 𝐶 300 0 400 𝐷0 240 80 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑟𝑎𝑐 𝐶 𝐴 300 0 Ԧ𝑖 0 0 Ԧ𝑗 400 320 𝑘 𝟑𝟎𝟎Ԧ𝒊 𝟎Ԧ𝒋 𝟖𝟎𝒌 𝒎𝒎 𝑟𝑎𝑐 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝐹𝑐𝑑 𝐹𝑐𝑑 𝜆𝑐𝑑 𝑟𝑐𝑑 𝐷 𝐶 300Ԧ𝑖 240Ԧ𝑗 320𝑘 𝑚𝑚 𝑟𝑐𝑑 3002 2402 320² 500𝑚𝑚 𝜆𝑐𝑑 𝑟𝑐𝑑 𝑟𝑐𝑑 300Ԧ𝑖 240Ԧ𝑗 320𝑘 𝑚𝑚 500𝑚𝑚 06Ԧ𝑖 048Ԧ𝑗 064𝑘 𝐹𝑐𝑑 200𝑁 06Ԧ𝑖 048Ԧ𝑗 064𝑘 𝟏𝟐𝟎Ԧ𝒊 𝟗𝟔Ԧ𝒋 𝟏𝟐𝟖𝒌 𝑵 𝑀𝐴 𝑖 𝑗 𝑘 300 0 80 120 96 128 𝑖 𝑗 𝑘 300 0 80 120 96 128 𝑖 𝑗 300 0 120 96 0 80120𝑗 30096𝑘 0 8096𝑖 128300𝑗 𝑴𝑨 𝟕𝟔𝟖𝟎Ԧ𝒊 𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎Ԧ𝒋 𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝒌 𝑵𝒎𝒎 A0 0 032 B0 0 008 C03 0 040 D0 024 008 Atividades para praticar Exercício 01 Atividades para praticar Exercício 02 Atividades para praticar Exercício 03 Atividades para praticar Exercício 04 Atividades para praticar Exercício 05 Atividades para praticar Exercício 06 Atividades para praticar Exercício 07 Atividades para praticar Exercício 08 Atividades para praticar Exercício 10 Gabarito