Estruturas Isostáticas - João Carlos dos Santos

KLS ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Estruturas Isostáticas João Carlos dos Santos Estruturas Isostáticas 2018 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Santos João Carlos do ISBN 9788552206736 1 Engenharia 2 Estruturas I Santos João Carlos do II Título CDD 620 Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 168 p S237e Estruturas isostáticas João Carlos do Santos Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação e de Educação Básica Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Danielly Nunes Andrade Noé Grasiele Aparecida Lourenço Isabel Cristina Chagas Barbin Lidiane Cristina Vivaldini Olo Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica Bárbara Nardi Melo Adriane Monteiro Fontana Editorial Camila Cardoso Rotella Diretora Lidiane Cristina Vivaldini Olo Gerente Elmir Carvalho da Silva Coordenador Letícia Bento Pieroni Coordenadora Renata Jéssica Galdino Coordenadora Thamiris Mantovani CRB89491 Unidade 1 Vigas isostáticas Seção 11 Vigas isostáticas planas Seção 12 Vigas isostáticas inclinadas Seção 13 Vigas Gerber 7 8 30 43 Sumário Unidade 2 Treliças isostáticas Seção 21 Treliças isostáticas Seção 22 Treliças compostas Seção 23 Treliças espaciais 55 56 68 80 Unidade 3 Pórticos isostáticos Seção 31 Pórticos isostáticos esforços reativos externos Seção 32 Pórticos isostáticos diagramas de forças cortantes e normais Seção 33 Pórticos isostáticos diagramas de momentos fletores 93 94 105 119 Unidade 4 Grelhas isostáticas Seção 41 Introdução ao estudo das grelhas Seção 42 Grelha engastada e livre Seção 43 Grelha triapoiada 131 132 142 155 Caro aluno Estruturas Isostáticas é um assunto de grande importância na área de cálculo de estruturas da Engenharia Civil e faz parte da base curricular para um bom desempenho quando chegar a hora de estudar Estruturas de Madeira e Metálicas Estruturas de Concreto Armado Pontes entre outras O conhecimento aqui apresentado lhe servirá de suporte durante toda a sua carreira na engenharia pois esta disciplina tem por objetivo transmitir o conhecimento sobre os esforços internos e externos aos quais as estruturas isostáticas como vigas treliças pórticos e grelhas estão sujeitas Os estudos aos quais você será exposto lhe garantirão conhecimento sobre os conceitos fundamentais necessários para aplicar e executar cálculos de determinação dos esforços internos e as deformações das múltiplas estruturas vigas pórticos planos e grelhas e também lhe darão condições para determinar e analisar os esforços externos atuantes e reativos de vigas isostáticas para conhecer e definir os tipos de treliças para analisar os esforços externos atuantes e reativos junto aos diagramas de forças cortantes normais e momentos fletores em pórticos isostáticos e para analisar estruturas do tipo grelhas Essas serão suas competências técnicas Para que o acima citado se concretize o material foi dividido em 4 Unidades de Ensino na primeira serão apresentadas vigas isostáticas planas vigas isostáticas inclinadas e vigas Gerber Já na Unidade 2 abordaremos as treliças isostáticas treliças compostas e treliças especiais A Unidade 3 é dedicada aos pórticos isostáticos em que serão apresentados esforços externos reativos diagramas de força cortante momento fletor e normais E por fim na Unidade 4 veremos as grelhas isostáticas engastadas e triapoiadas Aluno este é conjunto de informações comporão o seu aprendizado Ao término desta fase você começará a sentirse um engenheiro Bons estudos Palavras do autor Vigas isostáticas Convite ao estudo Caro aluno Nesta unidade começam seus estudos sobre vigas isostáticas Esse assunto é muito comum na Engenharia Civil na área de Cálculos Estruturais pois muitas das estruturas compostas por vigas geralmente não são aparentes mas se você for ao subsolo de um prédio com certeza as verá assim como embaixo de pontes entre outras Nesta unidade você será apresentado aos cálculos iniciais para o dimensionamento de muitas dessas vigas O conteúdo que você estudará lhe garantirá condições de aplicar os conceitos fundamentais para determinar e analisar os esforços externos atuantes e reativos de vigas isostáticas junto aos diagramas de forças cortantes e momentos fletores E como ferramenta de desenvolvimento de seu potencial técnico você será inserido como estagiário em um problema de uma situação real Você é um estagiário recémcontratado de uma empresa de cálculo estrutural seu supervisor terá de dimensionar algumas vigas isostáticas e para isso dará a você a tarefa de calcular os esforços reativos externos com seus diagramas de forças cortantes e momentos fletores Nas seções desta unidade você aprenderá vigas isostáticas planas vigas isostáticas inclinadas e vigas Gerber assuntos que lhe darão condições de atender o solicitado pelo seu supervisor A dedicação aos estudos é o segredo do sucesso Unidade 1 U1 Vigas isostáticas 8 Vigas isostáticas planas Caro aluno Nesta seção estudaremos vigas isostáticas planas as quais você encontra com grande facilidade no seu cotidiano e podem ser de madeira aço ou concreto Em sua residência talvez não aparente há um conjunto de vigas que suporta as lajes Aqui você terá a oportunidade de calcular os esforços reativos externos em vigas biapoiadas com e sem balanço e em vigas engatadas e também aprenderá em função desses esforços reativos externos a construir os diagramas de força cortante e momento fletor Não se esqueça de que você é estagiário recémcontratado de uma empresa de cálculo estrutural e seu supervisor terá de dimensionar algumas vigas isostáticas para isso ele dará a você uma tarefa que depende do conhecimento dos assuntos citados Sua missão é apresentar os diagramas de força cortante e momento fletor juntamente com a força cortante máxima e o momento fletor máximo de uma viga de uma passarela de concreto armado que facilitará o acesso de pedestres da região residencial para o pátio cultural em que há escola quadras poliesportivas cinema praça para atividades físicas entre outros Seu supervisor apresentou alguns detalhes que facilitarão a compreensão do que deve ser feito as Figuras 11 12 e 13 mostram a localização da obra os cortes longitudinal e transversal e o esquema estrutural de cálculo respectivamente Fonte Elaborada pelo autor Figura 11 Localização da obra Pátio Cultural Região Residencial Passarela Seção 11 Diálogo aberto U1 Vigas isostáticas 9 Fonte Elaborada pelo autor Fonte Elaborada pelo autor Fonte Elaborada pelo autor Figura 12 Cortes da passarela Figura 13 Esquema estrutural de cálculo Quadro 11 Vínculos e suas restrições Passarela NA Viga 20 m 20 m 50 m 40 kNm a Longitudinal b Transversal Para que tenha condições de obter êxito em sua missão vamos aos estudos Caro aluno Estamos iniciando nossos estudos sobre vigas isostáticas planas mas antes vamos relembrar de forma rápida os vínculos e suas restrições conforme apresentado no Quadro11 Vínculos Representação Restrições ou reações Móvel Fixo Engaste Não pode faltar U1 Vigas isostáticas 10 Feita essa rápida revisão vamos para os estudos previstos Os cálculos dos esforços externos reativos são realizados com base nas equações de equilíbrio F F M H V i 0 0 0 Vigas isostáticas biapoiadas inicialmente sem balanço Carga concentrada pode ser proveniente de um pilar que se apoia sobre uma viga conforme Figura 14 Fonte Elaborada pelo autor Fonte Elaborada pelo autor Figura 14 Exemplo de carga concentrada Figura 15 Carga concentrada Viga Pilar Pilar Pilar Pilar Pilar Carga concentrada devido a ação do pilar sobre a viga Viga Pilar Dada a Figura 15a em que uma viga está suportando uma carga concentrada de 16 kN calcularemos os esforços reativos externos nos apoios A e B ou também podemos dizer as reações em A e B E fazendo uso das Equações de Equilíbrio obteremos o exposto na Figura 15b U1 Vigas isostáticas 11 Fonte Elaborada pelo autor Figura 16 Exemplo de carga distribuída Em todo e qualquer cálculo de esforços externos reativos de vigas isostáticas teremos como base as equações de equilíbrio lembrando que se a força promover giro da estrutura em sentido antihorário o momento será positivo e no sentido horário o momento será negativo momento é calculado por M F d Você acabou de aprender a calcular os esforços externos reativos ou reações nos apoios com carga concentrada agora veremos o mesmo tipo de estrutura mas com carga distribuída Neste novo tópico você perceberá que a mudança é ínfima Carga distribuída geralmente é oriunda dos próprios pesos de elementos componentes da estrutura conforme Figura 16 Viga Pilar Pilar Pilar Pilar Pilar Carga concentrada devido a ação do pilar sobre a viga Pilar Pilar Viga Carga distribuída devido ao peso próprio da viga Viga Pilar A Figura 17a mostranos uma viga biapoiada suportando uma carga distribuída 5 kNm Para essa estrutura deveremos calcular as reações nos apoios A e B Para resolver esse tipo de problema iniciamos transformando a carga distribuída em concentrada que denominamos carga fictícia A carga fictícia é obtida multiplicandose a carga distribuída q pela sua extensão l C fic q l Ela é representada no esquema estrutural como carga concentrada porém tracejada e sempre será alocada Assimile U1 Vigas isostáticas 12 no centro de sua extensão como mostra a Figura 17b que também apresenta as reações nos apoios calculadas considerando a carga fictícia e fazendo uso das Equações de Equilíbrio C fic q l C C kN fic fic 5 5 25 Esse é o valor da carga fictícia Fonte Elaborada pelo autor Figura 17 Carga distribuída Como a maior parte das estruturas são combinações de cargas distribuídas e concentradas vamos mostrar um exemplo dessa condição A Figura 18a apresenta um esquema estrutural de uma viga biapoiada com cargas concentradas e distribuídas para que se calcule os esforços externos reativos ou seja as reações nos apoios Vamos iniciar os cálculos substituindo as cargas distribuídas por cargas fictícias em cada um de seus vãos A carga distribuída de 30 kNm será substituída pela fictícia resultante de C fic q l sendo q kN m 30 e l 6m C q l C C kN fic fic fic 30 6 180 O mesmo processo se dá para a carga distribuída de 20 kNm com vão de 4 m C q l C C kN fic fic fic 20 4 80 As cargas fictícias calculadas alocamos no centro de suas extensões depois disso passamos a ter conjunto de cargas concentradas Então com o auxílio das Equações de Equilíbrio obtemos os esforços externos reativos ou seja as reações nos apoios Figura 18b Exemplificando U1 Vigas isostáticas 13 Fonte Elaborada pelo autor Fonte Elaborada pelo autor Figura 19 Armadura de viga em concreto armado Figura 18 Cargas concentradas e distribuídas Cargas fictícias ou equivalentes em algumas bibliografias também são cargas concentradas resultantes de cargas distribuídas Diagramas de forças cortantes e momentos fletores Os diagramas de forças cortantes e momentos fletores são muito importantes para que possamos entender o comportamento das estruturas Exemplificando no caso de concreto armado utilizamse os momentos fletores para dimensionar as armaduras longitudinais das vigas e com o digrama de forças cortantes é possível dimensionar as armaduras transversais estribos como na Figura 19 Armadura longitudinal Armadura transversal estribo Vamos aprender a construir os diagramas de força cortante e momento fletor para viga biapoiada com carga concentrada Figura 110a Assimile U1 Vigas isostáticas 14 16 kN A B 30 m 20 m 50 m 0 640 kN 960 kN 640 640 960 960 1920 V kN M kNm a b c Fonte Elaborada pelo autor Figura 110 Esquema estrutural com as reações nos apoios e os diagramas de força cortante e momento fletor A seguir a explicação da construção do diagrama de força cortante V representado na Figura 110b No apoio A foi obtida uma reação de 640 kN para cima então no diagrama traçamos uma reta vertical na mesma direção representando essa reação Do apoio A até a carga concentrada de 16 kN não há nenhum tipo de esforço por isso traçamos uma reta horizontal até a carga concentrada Chegando à carga concentrada temos 640 kN positivo mas a carga de 16 kN é negativa porque está descendo então somando as duas temos 940 kN 6 40 16 9 60 kN por isso traçamos uma reta vertical de 640 kN a 960 kN Do ponto em que há 960 kN até o apoio B novamente não existe nenhum tipo de esforço então traçamos mais uma vez uma reta horizontal até o referido apoio No apoio B chegouse com a cortante 960 kN mas nele há uma reação vertical para cima ou seja positiva de 960 kN portanto somandose a cortante com a reação o resultado será zero assim fechouse o diagrama com traço vertical No desenho formado acima do eixo identificamos com o sinal positivo e abaixo com sinal negativo Diagrama traçado não se esqueça de identificálo com a letra V que simboliza força cortante e de colocar a unidade nesse caso kN U1 Vigas isostáticas 15 Fonte Elaborada pelo autor Tabela 11 Cálculo de momento fletor por área Obtido o diagrama de força cortante Figura 110 b construímos o diagrama de momento fletor M Figura 110c Os valores do momento fletor são determinados calculandose a integral da função cortante No caso de cargas concentradas a função é constante então f V V Função da cortante Calculase também a função do momento fletor M f V dx M Vdx M V dx M V x A demonstração da integral garante que o diagrama apresentará um comportamento linear Não se preocupe pois calcularemos o momento por área Calculando os momentos por área temos a Tabela 11 Figura Representação Área Momento fletor kNm Momento Acumulado x m Apoio A 0 0 I 6 40 3 19 20 1920 3 II Apoio B 9 60 2 19 20 0 5 O momento acumulado é obtido pela equação M A M i ac i ant ac onde Mi ac Momento Acumulado Ai Área do momento a ser calculado o acúmulo Mant ac Momento Acumulado anterior Considerando momento acumulado em função de posição x teremos então pares ordenados que ligamos por retas conforme diagrama da Figura 110c isso porque estamos trabalhando somente com carga concentrada Não podemos deixar de indicar o símbolo de momento fletor M e a unidade de trabalho nesse caso kNm U1 Vigas isostáticas 16 No caso de momento fletor abaixo do eixo indicamos com sinal positivo e acima do eixo com sinal negativo O importante não é saber apenas fazer os diagramas mas sim entender o que nos mostram e a importância dessas informações Momento máximo 19 20 kN m e isso sempre acontecerá onde a força cortante for mínima essa informação é muito importante para o dimensionamento das armaduras longitudinais Máxima cortante 9 60 kN que definirá as armaduras transversais estribos Terminamos o conceito básico de diagramas de força cortante e momento fletor para vigas biapoiadas com cargas concentradas Agora passaremos a ver a mesma situação de viga porém com carga distribuída que será desenvolvida com base na Figura 111a Fonte Elaborada pelo autor Figura 111 esquema estrutural com os valores das reações nos apoios A e B diagramas de força e momento fletor 50 m A B 5 kNm 50 m 125 kN 125 kN 125 125 25 m 25 m 1563 V kN M kNm a b c Vamos apresentar o diagrama de força cortante e a explicação de seu desenvolvimento Figura 111b Como se trata de carga distribuída a função cortante será V x V q x A onde V A 12 50 kN q kN m 5 negativa devido ao sentido de sua ação de cima para baixo Calculando metro a metro teremos a Tabela 12 sendo V x x 12 50 5 U1 Vigas isostáticas 17 Fonte Elaborada pelo autor Tabela 12 Forças cortantes atuantes ao longo da viga x Vx 0 1250 1 750 2 250 3 250 4 750 5 1250 Como iriamos definir uma estrutura sem entender seu comportamento em função dos esforços externos atuantes ou seja suas solicitações Acompanhando as cortantes calculadas ao longo da viga conseguimos montar o diagrama mas não podemos chegar ao final da viga e deixar o diagrama em aberto pois nesse ponto a cortante é de 1250 kN mas há uma reação positiva no mesmo ponto de 1250 kN então somandoas o diagrama fechará em zero portanto para que isso aconteça devemos traçar uma linha vertical E já enxergamos a cortante máxima que é de 1250 kN Mas notamos que no gráfico aparecem as medidas que localizam a mínima cortante então mostraremos como isso é obtido V x 0 nesse caso cortante mínima V A 12 50 kN e V kN m q 5 0 12 50 5 12 50 5 2 50 x x x m Então do apoio A ao local em que ocorre a cortante mínima a distância é 250 m E com o diagrama de força cortante podemos desenvolver o diagrama de momento fletor Como citado anteriormente o cálculo do momento fletor se dá pela integral da função cortante assumindo que esta é V x q x Portanto a função do momento fletor será M V x dx M q xdx M q xdx M q x 2 2 Reflita U1 Vigas isostáticas 18 Dessa função M q x 2 2 para o caso que estamos estudando podemos afirmar que o momento máximo será M q l 2 8 porque ocorrerá no centro da viga em l 2 Vamos demostrar M q x 2 2 e x l 2 então M q l M q l M q l max max max 2 2 2 4 8 2 2 2 e isso ocorrerá onde a cortante é mínima Mas calcularemos o momento por áreas o que não fere o conceito das integrais fazendo uso da Tabela 13 de momentos acumulados Fonte elaborada pelo autor Tabela 13 Cálculo de momento fletor por área Figura Representação Área Momento fletor kNm Momento Acumulado x m Apoio A 0 0 I 12 50 2 50 2 15 63 1563 25 II Apoio B 12 50 2 50 2 15 63 0 5 Com esses valores construímos o diagrama de momento fletor Figura 111c da mesma forma que mostrado anteriormente porém aqui consideramos que pelo fato de a carga ser distribuída o diagrama apresentase em forma de parábola No gráfico Figura 111c podemos observar que o momento máximo é 1563 kN m ocorrendo quando a cortante é mínima nesse caso nula e no centro da viga Por ser uma carga distribuída sem variação ao longo de toda a viga podemos confirmar o valor do momento máximo pela equação M q l M M kN m max max max 2 2 8 5 5 8 15 63 Assim está confirmado o que se apresenta no diagrama Figura 111c Como estudamos os dois casos separados diagramas de força cortante e momento fletor para cargas concentrada e distribuída vamos juntálos numa única situação Vamos apoiarnos no caso representado pela Figura 112 e desenvolveremos os seus diagramas de força cortante e momento fletor U1 Vigas isostáticas 19 Fonte elaborada pelo autor Figura 112 Esquema estrutural de cálculo com os esforços externos reativos diagramas de força cortante e momento fletor 30 kNm 20 kNm 20 kN 30 kN 2 m 1 m 6 m 4 m 10 m A B 167 kN 143 kN 0 167 107 87 33 53 83 143 29 m 11 m 2 m 4 m 1 m 3 m V kN 274 40015 382 339 M kNm a b c Acompanhando o apresentado na Figura 112b diagrama de força cortante explicaremos o seu desenvolvimento No apoio A temos uma reação de 167 kN então partindo da origem traçamos uma reta vertical que representa a reação Da reação de 167 kN à força concentrada de 20 kN temos uma carga distribuída de 30 kNm distribuída por 2 m então fazendo uso da função cortante V x V q x A determinamos o valor seguinte de cortante V x V q x V V kN A 2 167 30 2 2 107 obtido o valor da próxima cortante traçamos uma reta inclinada ligando 167 kN a 107 kN inclinada por se tratar de carga distribuída Mas a 2 m do apoio A há uma carga concentrada de 20 kN com vetor em sentido negativo de 107 kN somamos à carga de 20 kN obtendose o valor de 87 kN essa queda é representada por um traço vertical A partir da carga concentrada de 20 kN há novamente carga distribuída de 30 kNm ao longo de 4 m para representar essa ação mais uma vez fazemos uso da função cortante V x V q x i V x V q x V V kN i 4 87 30 4 4 33 U1 Vigas isostáticas 20 assim o valor de 33 kN foi alocado a 4 m da carga concentrada de 20 kN e ligado por um traço inclinado que parte de 87 kN a 33 kN Ao término da carga distribuída de 30 kNm inicia se outra carga distribuída de 20 kNm que percorre 1 m até a carga concentrada de 30 kN para representar essa ação usamos a função cortante V x V q x i V x V q x V V kN i 1 33 20 1 1 53 tendo o conhecimento do valor 53 kN alocado no mesmo ponto da carga concentrada de 30 kN traçamos uma reta inclinada por representar carga distribuída ligando 33 kN a 53 kN Onde se alocou 53 kN há uma carga de 30 kN em sentido negativo por isso realizamos essas ações 53 30 87 kN onde 53 kN e 83 kN foram ligados por um traço vertical De 83 kN há novamente carga distribuída essa com o valor de 20 kNm ao longo de 3 m chegando ao apoio B e como em todas as vezes em que há carga distribuída usamos a função cortante V x V q x i V x V q x V V kN i 3 83 20 3 3 143 como já visto por se tratar de carga distribuída ligamos os valores 83 kN e 143 kN por um traço inclinado O ponto em que se alocou o valor 143 kN é o apoio B que tem reação em sentido positivo de 143 kN portanto somando esses valores temos o resultado nulo fechando assim o sistema com um traço vertical atingindo a origem Observe que entre os valores de transição 87 kN e 33 kN constam suas distâncias ao ponto nulo ponto de transição cujo total é 4 m As distâncias foram obtidas dividindose os valores pela carga distribuída atuante d m 1 87 30 2 90 d m 2 33 30 110 nesse caso d d m 1 2 4 00 d d m m Ok 1 2 4 00 2 90 110 4 00 Assim as medidas do ponto são 290 m e 110 m conforme apresentadas no diagrama de força cortante Finalizamos nosso diagrama mas não esqueça de colocar o símbolo de cortante V e a unidade de trabalho que foi kN U1 Vigas isostáticas 21 Com a análise do diagrama de força cortante podemos indicar a máxima força cortante atuante na estrutura que é 167 kN Se você estivesse dimensionando uma viga de concreto armado esse seria o valor para dimensionar a armadura transversal também conhecida como estribo Agora que temos o diagrama de força cortante podemos construir o diagrama de momento fletor conforme a Figura 112c explicado a seguir Temos cinco figuras geométricas no diagrama de força cortante da esquerda para a direita trapézio triângulo triângulo trapézio e trapézio Calculamos as áreas de cada figura assumindo o sinal da sua área cortante conforme a Tabela 14 Figura Desenho Área Momento fletor kNm Momento Acumulado x m Apoio A 0 0 I 167 107 2 2 274 274 2 II 87 2 90 2 126 15 40015 490 III 33 110 2 18 15 382 6 IV 33 53 2 1 43 339 7 V Apoio B 83 143 2 3 339 0 10 Fonte elaborada pelo autor Tabela 14 Cálculo de momento fletor por área U1 Vigas isostáticas 22 Fazendo uso da Tabela 14 e considerando o Momento Acumulado a coordenada y temos pares ordenados x e y lembrando que momentos fletores positivos são abaixo do eixo e que a carga é distribuída por toda a extensão da viga Em razão de as cargas distribuídas estarem em toda extensão o traçado do diagrama tende a uma parábola conforme se observa na Figura 112 Dessa forma construímos o diagrama de momento fletor e nele enxergamos o momento máximo que é 40015 kN m Mais uma vez falando sobre dimensionamento de viga em concreto armado essa informação é importante para dimensionar a armadura longitudinal Com essas explicações você não terá mais dificuldades para desenvolver os diagramas de força cortante e momento fletor pois o que foi visto até aqui é a base para todas as situações Vamos agora desenvolver um diagrama de força cortante e momento fletor para viga isostática biapoiada com balanço tendo como base a Figura 113 Fonte elaborada pelo autor Figura 113 Esquema estrutural de cálculo com os esforços externos reativos diagramas de força cortante e momento fletor V kN M kNm 650 650 kN 3850 kN 10 kN 5 kNm 50 m 20 m 1850 20 10 13 m 37 m 30 423 a b c Para o desenvolvimento do diagrama de força cortante não há novidade basta que sigamos o que foi estudado até agora Vamos nos aplicarnos no desenvolvimento do diagrama de momento fletor U1 Vigas isostáticas 23 Fonte elaborada pelo autor Tabela 15 Cálculo de momento fletor por área Calculando o momento fletor pelas áreas das figuras geométricas formadas no diagrama de força cortante temos os resultados de que necessitamos usando novamente a tabela das áreas Tabela 15 Figura Áreas Momentos kNm Momento Acumulado kNm x m Apoio A 0 000 I 6 50 130 2 4 23 423 130 Apoio B II 18 50 3 70 2 34 23 3000 370 III 20 10 2 2 30 0 700 Momento Acumulado é obtido por M A M i ac i ant ac onde Mi ac Momento Acumulado Ai Área do momento a ser calculado o acúmulo Mant ac Momento Acumulado anterior Calculamos os momentos como já havíamos estudado a novidade foi o aparecimento de um momento negativo sempre será acima do eixo Como o problema apresentado envolve carga distribuída o diagrama tende a ser uma parábola cuja concavidade deverá ser voltada para cima Observe bem o diagrama da Figura 113c Analisando os diagramas da Figura 113 b em estudo nos quais a máxima cortante é de 20 kN quanto ao momento fletor temos dois momentos máximos um positivo e um negativo que são 423 kNm e 30 kNm Exemplificando a aplicação dos valores de momento fletor obtidos Figura 113 c e mais vez usando a área de concreto armado o momento positivo de 423 kNm definiria a armadura longitudinal positiva também chamada armadura positiva e o momento negativo de 30 kN m definiria a armadura longitudinal negativa também chamada armadura negativa Para finalizarmos o aprendizado desta seção vamos ver o desenvolvimento dos diagramas de força cortante e momento fletor para viga isostática engastada Para isso tomaremos como base a Figura 114 U1 Vigas isostáticas 24 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 114 Esquema estrutural de cálculo com os esforços externos reativos de uma viga engastada diagramas de força cortante e momento fletor Figura 115 Momento no engaste puxando a estrutura para cima 20 m 424 kN 424 kN 45o 60 kN 50 kNm 1848 kNm 1424 kN 424 kN V kN M kNm 1424 424 1848 E a b c Os cálculos são os mesmos já estudados a diferença é como representamos no diagrama o momento em que aparecem na estrutura Veja para onde o momento está puxando a estrutura no caso da Figura 114 está no engaste puxando a estrutura para cima conforme demonstrado na Figura 115 ME E Como a estrutura é puxada para cima fazemos um traço vertical acima do eixo representando o momento e indicando seu valor por estar acima do eixo é representado como negativo em seguida calculamos a área da figura geométrica e somamos ao valor que apresentou resultado nulo ou seja zero E assim unimos com uma parábola pois envolve uma carga distribuída do valor do momento 1848 kN m com o eixo no final da viga Agora você está preparado para atender à solicitação do seu supervisor U1 Vigas isostáticas 25 Fonte elaborada pelo autor Figura 13 Esquema estrutural de cálculo Complemente seus estudos com os capítulos 1 3 e 4 do livro Fundamentos de resistência dos materiais disponível na biblioteca digital PINHEIRO A C da F B CRIVELARO M Fundamentos de resistência dos materiais Rio de Janeiro LTC 2016 Veja também o Capítulo 11 do livro Resistência dos materiais disponível na biblioteca virtual HIBBELER R C Resistência dos materiais 7 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 E o Capítulo 2 do livro Análise das estruturas também disponível na biblioteca virtual HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 Você como estagiário de empresa de cálculo deverá apresentar os diagramas de força e também a força cortante máxima e o momento fletor de uma viga isostática cujo esquema estrutural de cálculo lhe foi fornecido na Figura 13 20 m 20 m 50 m 40 kNm Seguindo o que foi estudado temos Pesquise mais Sem medo de errar Realizados os cálculos dos esforços externos reativos construímos os diagramas de força cortante e momento fletor Figura 116 2 2 2 2 40 20 2 405 125 8 8 MÁX V x q x x q x M x x q L M kN m U1 Vigas isostáticas 26 Fonte elaborada pelo autor Figura 116 Diagramas de força cortante e momento fletor 20 m 20 m 50 m 40 kNm 25 m 25 m V kN M kNm a b c 180 kN 180 kN 100 100 80 80 80 80 45 Uma vez que temos conhecimento dos diagramas de força cortante e momento fletor podemos indicar a força cortante máxima e o momento fletor máximo A força cortante máxima é de 100 kN Quanto ao momento fletor temos que indicar o máximo positivo que é 45 kNm e o máximo negativo que é 80 kNm Adaptação de plataforma Descrição da situaçãoproblema Na empresa em que você é estagiário chegou uma situação de adaptação de pequena plataforma que deverá ser sustentada por vigas engastadas para as quais em função das forças cortantes e momentos fletores serão definidos os materiais e processos construtivos Seu supervisor passa a você o esquema estrutural de cálculo para que apresente os diagramas de força cortante e momento fletor Figura 117 e também para que indique a cortante e o momento fletor máximos Avançando na prática U1 Vigas isostáticas 27 20 m 40 kN 50 kNm E 10 m Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 117 Esquema estrutural de cálculo Figura 118 Diagramas de força cortante e momento fletor Resolução da situaçãoproblema Calculadas as reações no engaste E desenvolvemos os diagramas de força cortante e momento fletor conforme Figura 118 Com os diagramas podemos responder também que a cortante máxima é de 14 kN e o momento máximo é negativo de 22 kN m 1 Engenharia Civil é uma formação que abrange várias áreas como Planejamento Fundação Solos Águas Estruturas dividas em concreto Faça valer a pena V kN M kNLm 14 kN 40 kN 50 kNm 22 kNLm a b c E 14 22 20 m 10 m 4 4 4 U1 Vigas isostáticas 28 madeiras metálicas e Alvenaria estrutural Para formação em Estruturas o aluno deve estudar entre outras disciplinas Resistência dos materiais Estruturas isostáticas e hiperestáticas Indique qual das equações citadas a seguir é a base para resoluções de esforços externos reativos de vigas isostáticas a Equação de Bernoulli b Equação de HazenWilliams c Equações de Equilíbrio d Equações de Cross e Equações de Transferência 2 O Engenheiro Civil especialista em Cálculo estrutural executa em seu cotidiano os cálculos de pilares lajes elementos de fundação vigas entre outros As vigas isostáticas podem ser biapoiadas com ou sem balanço planas inclinadas engastadas A Figura 119 representa o esquema estrutural de cálculo de uma viga engastada Indique a alternativa que apresenta o momento fletor correto que ocorre no engaste E a 15 kN b 0 kN c 15 kN m d 24 kN m e 48 kN m 3 Os diagramas de força cortante e momento fletor são ferramentas utilizadas pelos Engenheiros Civis especialistas em estruturas para conhecer os esforços aos quais a estrutura é submetida Cortante máxima e momento fletor máximo auxiliam a definir as características das estruturas A Figura 120 apresenta o diagrama de força cortante de uma viga isostática Fonte elaborada pelo autor Figura 119 Esquema estrutural de cálculo de viga engastada 320 m 150 kN E U1 Vigas isostáticas 29 Fazendo uso do diagrama de força cortante indique a alternativa correta quanto aos momentos máximos a 9 kN m e 18 kN m b 9 kN m c 18 kN m d 9 kN m e 18 kN m e 18 kN m Fonte elaborada pelo autor Figura 120 Diagrama de força cortante de uma viga isostática 20 m 20 m 30 m 30 m 95 175 05 12 60 V kN 95 U1 Vigas isostáticas 30 Vigas isostáticas inclinadas Caro aluno Estamos iniciando mais uma seção aqui estudaremos vigas isostáticas inclinadas e nesse estudo novamente trataremos de esforços externos reativos e diagramas de momento força cortante e momento fletor Na seção anterior Seção 11 estudamos vigas isostáticas planas e nos foi apresentado que a determinação dos esforços externos reativos é obtida por meio das Equações de Equilíbrio e que tendo o conhecimento desses esforços e dos esforços externos ativos as cargas conseguimos desenvolver o diagrama de força cortante Por fim estudamos o desenvolvimento do diagrama de momento fletor que dependente do diagrama de força cortante Para que você tenha condição de se desenvolver no assunto apresentado nesta seção voltaremos a sua situação de estagiário de uma empresa de Cálculo Estrutural em que seu supervisor vendo que atendeu satisfatoriamente o que lhe foi solicitado passa uma nova missão apresentar a cortante e o momento fletor de uma passarela que garantirá a travessia de pedestres sobre uma rodovia conforme Figura 121 Fonte elaborada pelo autor Figura 121 Passarela a ser implantada sobre rodovia Distrito Industrial Região Residencial Seção 12 Diálogo aberto U1 Vigas isostáticas 31 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 122 Esquema estrutural de cálculo Figura 123 Vigas inclinadas em escadas 13o 4 kN m Essa passarela liga uma região residencial a uma industrial muitas pessoas moram na primeira região e trabalham na segunda atravessando diariamente a rodovia Seu supervisor lhe fornecerá o esquema estrutural de cálculo da viga Figura 122 e você notará que se trata de uma viga inclinada Os cálculos devem ser desenvolvidos considerando que a atuação das forças também chamadas esforços externos ativos é perpendicular ao eixo da viga Para que você apresente bom desempenho nessa missão vamos para o Não pode faltar e bom estudo Aluno Vigas isostáticas inclinadas são de uso comum nas obras de construção elas fazem parte do nosso cotidiano estão presentes em passarelas escadas rampas Figura 123 Não pode faltar U1 Vigas isostáticas 32 α q l qlcosα2 qlcosα2 qlsenα qlcosα2 qlcosα2 ql2cosα8 y y x ql qlcosα qlsenα α qlsenα qlsenα x E além dessas aplicações o estudo das vigas isostáticas inclinadas lhe transmitirá uma boa visão para os estudos de Pórticos isso porque lá você trabalhará o tempo todo com rotação dos eixos x e y o que acontece quando trabalhamos com vigas inclinadas O estudo desse tipo de viga foi embasado na Seção 11 na qual adquirimos as ferramentas que resolverão todos os problemas Equações de Equilíbrio F F M H V i 0 0 0 Desenvolvimento dos diagramas de força cortante e momento fletor Quando recebemos a solicitação para determinar os esforços externos reativos considerando os esforços externos ativos perpendiculares ao eixo da viga a nossa obrigação é decompor esses esforços garantindo que eles estão perpendiculares à viga O cálculo e os diagramas de força cortante momento fletor e esforço normal em vigas isostáticas inclinadas nada mais são que a rotação dos eixos x e y Veja a seguir Carregamento vertical distribuído ao longo da projeção horizontal Figura 124 Fonte elaborada pelo autor Figura 124 Carregamento vertical distribuído ao longo da projeção horizontal U1 Vigas isostáticas 33 α α l q ql y x y x ll α l Facosαl Fbcosαl Fsenα y x Fcosα F Fsenα α Fabcosαl Facosαl Fbcosαl Fsenα Fsenα Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 125 Carregamento horizontal distribuído ao longo da projeção vertical Figura 126 Carregamento vertical concentrado Carregamento horizontal distribuído ao longo da projeção vertical Figura 125 Você pode observar que houve uma rotação nos eixos em função de um ângulo a e em razão dessa rotação somos obrigados a decompor a força em componentes paralelas aos novos eixos x e y Uma vez encontradas as componentes os cálculos dos esforços externos reativos ou seja as reações nos apoios e a construção dos diagramas de força cortante são realizados como foi mostrado Vamos apresentar o conceito para cargas concentradas Carregamento vertical concentrado Figura 126 U1 Vigas isostáticas 34 α α l F y x Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 127 Carregamento horizontal concentrado Figura 128 Diagrama de força normal de um esquema estrutural de cálculo Carregamento horizontal concentrado Figura127 Agora vamos dar uma atenção à construção do diagrama de força normal observe a Figura 128 α q l qlsenα y y x ql qlcosα qlsenα α qlsenα x A B qlsenα a b A força normal está diretamente ligada aos esforços internos da estrutura como tração que representamos como positiva e compressão que representamos como negativa esses efeitos são lineares Observando a Figura 128 notamos que no apoio A temos a reação contrária à componente em x da carga ql que por serem opostas no trecho a provocam uma tração Já no trecho b a componente de ql vai de encontro ao apoio B provocando uma compressão Os efeitos de tração e compressão nesse caso têm U1 Vigas isostáticas 35 Fonte elaborada pelo autor Figura 129 Esquema estrutural de cálculo o valor em módulo mas sendo contrários em efeitos suas áreas apresentam seus sinais de convenção A Figura 129 é o esquema estrutural de cálculo de uma viga inclinada em que são apresentados os esforços externos reativos reações nos apoios considerando os esforços externos ativos cargas perpendiculares ao eixo da viga e também seus diagramas de força cortante momento fletor e força normal Resolução Observamos que a Figura 129a apresenta carga distribuída de 8 kNm com hachuras verticais essas hachuras representam as linhas de carga que não estão perpendiculares ao eixo da viga Vamos definir a carga concentrada fictícia acompanhando a linha de ação da carga distribuída assim o vão l a ser considerado é de 50 m C q l C C kN fic fic fic 8 5 40 A carga concentrada fictícia é representada na Figura 129b Como desejamos calcular os esforços externos reativos com as cargas atuando perpendiculares à viga somos obrigados a decompôla A mesma figura apresenta as suas componentes em função dos eixos x e y Com as componentes alocadas no centro da viga calculamos os esforços reativos externos fazendo uso das Equações de Equilíbrio q 8 kNm 50 m 45o A B 40 kN a b c d e Exemplificando U1 Vigas isostáticas 36 A seguir construímos o diagrama de força cortante Figura 129c então obtemos o diagrama de momento fletor Figura 129c calculando pelas áreas das figuras geométricas do diagrama de força cortante como estudado na Seção 11 E finalizando construímos o diagrama de força cortante Tendo os diagramas podemos indicar a força cortante e o momento fletor máximo respectivamente 1414 kN e 2503 kNm As vigas inclinadas são muito utilizadas em escadas e passarelas dê um passeio pela sua cidade e verá muitas vigas desse tipo Para resolver problemas de vigas isostáticas inclinadas basta decompor as forças quando necessário e aplicar as teorias estudadas na Seção 11 Por que no diagrama de momento fletor o positivo está abaixo do eixo e o negativo acima do eixo Na Seção 11 estudamos alguns tipos de vigas isostáticas planas como Vigas biapoiadas Vigas com balanço Vigas engastadas Todas as vigas citadas podem surgir de forma inclinada e o método de obtenção dos esforços externos reativos assim como o desenvolvimento dos diagramas de momento fletor e força cortante são realizados da mesma forma desde que você decomponha as forças quando necessário Para que você aluno tenha uma visão mais apurada do assunto acesse Vídeo que apresenta o cálculos das reações em vigas inclinadas e Assimile Reflita Pesquise mais U1 Vigas isostáticas 37 também a construção dos diagramas de força cortante e momento fletor Teoria das Estruturas 12 Ex02 Viga Inclinada reações e diagramas de esforços Disponível em httpsyoutubeQiBbWQ7cw7k Acesso em 6 out 2017 Você como estagiário em uma empresa de cálculo estrutural foi incumbido de apresentar a força cortante máxima e o momento fletor máximo de uma viga que sustentará uma passarela e para isso foi fornecido o esquema estrutural de cálculo Figura 122 Fonte elaborada pelo autor Figura 122 Esquema estrutural de cálculo 13o 4 kN m Resolução Sem medo de errar Fonte elaborada pelo autor Figura 130 Esquema estrutural de cálculo com os esforções externos reativos diagramas de força cortante e momento fletor 13o a b c 4 kN m F 5456 kN U1 Vigas isostáticas 38 Determinamos a carga concentrada fictícia e por ela não ser perpendicular ao eixo da viga também foram determinadas suas componentes em função dos eixos x e y Figura 130a Fazendo uso das Equações de Equilíbrio estudadas na Seção 11 determinamos os esforços externos reativos o que nos permitiu desenvolver o diagrama de força cortante Figura 130b Para construir o diagrama de momento fletor necessitamos determinar as distâncias dos apoios à posição em que a cortante é mínima nula o que nos obrigou a determinar a carga distribuída perpendicular ao eixo da viga Essa carga distribuída foi definida pela razão entre a componente vertical Fy da carga concentrada fictícia e a extensão total da viga assim iniciamos a construção do diagrama de momento fletor por cálculo das áreas das figuras geométricas do diagrama de força cortante conforme estudado na Seção 11 Com o término da construção dos diagramas podemos atender à solicitação do supervisor informando que a força cortante máxima é 2140 kN e os momentos fletores máximos são o negativo de 760 kNm e o positivo de 5264 kNm Com essa resposta entregamos os diagramas Figura 130b e c U1 Vigas isostáticas 39 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 131 Plataforma sustentada por mãofrancesa Figura 132 Esquema estrutural de cálculo viga engastada Plataforma Mãofrancesa Pilar 20 kN 4 3 10 m E Mãofrancesa Descrição da situaçãoproblema Um conjunto de mãosfrancesas Figura 131 sustentará uma plataforma essas peças na verdade são vigas isostáticas inclinadas cujo esquema estrutural de cálculo é fornecido na Figura 132 para que você determine os esforços externos reativos para a carga atuando em situação perpendicular ao eixo da viga Resolução da situaçãoproblema Determinamos as componentes da força concentrada a a tg o 1 3 4 36 87 Fx sen Fx kN 20 12 a Fy Fy kN 20 16 cosa Também é determinado o comprimento da viga l l m 5 1 4 125 Avançando na prática U1 Vigas isostáticas 40 E conforme estudado na Seção 11 determinamos os esforços externos reativos fazendo uso da Equações de Equilíbrio cujos resultados são mostrados na Figura 133 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 133 Esforços externos reativos Figura 134 Estrutura isostática inclinada 20 kN 4 3 10 m E 20 kNm Os esforços externos reativos atuantes no engaste são 16 kN perpendicular à viga 12 kN no sentido do eixo da viga e momento fletor de 20 kNm em sentido antihorário 1 Estruturas isostáticas inclinadas são muito usuais em escadas rampas passarelas urbanas Para o dimensionamento dessas estruturas usamos os mesmos conceitos aplicados no dimensionamento de estruturas planas com o diferencial de considerar os eixos x e y rotacionados Dada a estrutura Figura 134 calcule a componente da força perpendicular à barra da estrutura 30o 50 kN Faça valer a pena U1 Vigas isostáticas 41 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 135 Estrutura isostática inclinada Figura 135 Estrutura isostática inclinada a 2500 kN b 5000 kN c 4033 kN d 4330 kN e 4303 kN 2 Estruturas isostáticas inclinadas são muito usuais em escadas rampas passarelas urbanas Para o dimensionamento dessas estruturas usamos os mesmos conceitos aplicados no dimensionamento de estruturas planas com diferencial de considerar os eixos x e y rotacionados Dada a estrutura Figura 135 calcule o esforço externo reativo perpendicular à barra da estrutura no apoio fixo a 2887 kN b 2500 kN c 1433 kN d 5000 kN e 3376 kN 3 Os cálculos de esforços externos reativos diagramas de força cortante e momento fletor são informações de grande valia para que possamos decidir as características da estrutura a ser utilizada e o material de sua confecção Calcule a cortante e o momento máximo da viga isostática com ações perpendiculares a sua barra Figura 135 30o 50 kN 30o 50 kN U1 Vigas isostáticas 42 a 5734 kN e 2867 kNm b 2768 kN e 5473 kNm c 7268 kN e 4375 kNm d 2887 kN e 5774 kNm e 7682 kN e 7534 kNm U1 Vigas isostáticas 43 Vigas Gerber Caro aluno Nesta última seção da Unidade 1 estudaremos vigas isostáticas do tipo Gerber em que os conceitos estudados na Seção 11 e reforçados na seção seguinte 12 serão novamente aplicados A novidade aqui é que trabalharemos com um conjunto de vigas isostáticas que atuam como uma única estrutura denominada viga Gerber Esse tipo estrutura é muito usual em pontes passarelas estruturas prémoldadas entre outras Não nos esqueçamos de que nessa Unidade você foi contratado como estagiário de uma empresa de cálculos estruturais e seu supervisor vem aos poucos solicitando que apresente os diagramas de força cortante e momento fletor e também que indique a força cortante e os momentos fletores máximos ocorrentes nas estruturas que lhe são passadas Nesta seção você tem uma nova missão apresentar os diagramas de força e momento fletor indicando as máximas forças cortantes e os máximos momentos fletores da estrutura que terá uma viga tipo Gerber pois tratase de uma passarela que sofrerá uma alteração devido ao alargamento de duas vias Figura 136 Fonte elaborada pelo autor Figura 136 Rodovia não alargada a e alargada b Rodovia Rodovia Colina a ser removida para alargamento da rodovia Rodovia Rodovia Rodovia alargada a b Rodovia Rodovia Colina a ser removida para alargamento da rodovia Rodovia Rodovia Rodovia alargada a b Para que o ilustrado na Figura 136b ocorra a passarela passa a ser sustentada por um sistema de viga Gerber cuja situação estrutural é dada pela Figura 137 viga da sua missão Seção 13 Diálogo aberto U1 Vigas isostáticas 44 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte Almeida 2009 p82 Figura 137 Esquema estrutural da viga da passarela Figura 139 Esquema estrutural de cálculo Figura 138 viga Gerber 4 kNm 2 m 6 m 1 m 5 m 1 m 6 m 2 m 23 m Ao término desta seção você terá condições para calcular os esforços externos reativos construir diagramas de força cortante e momento fletor e também analisar os esforços atuantes em vigas Gerber Para o sucesso de sua missão vamos nos apoiar no item Não pode faltar Aluno Como já citado as vigas do tipo Gerber são usuais em pontes passarelas estruturas prémoldadas entre outras Agora deixaremos claro o que é Viga Gerber tratase de um conjunto de vigas isostáticas com balanço e vigas isostáticas simples estas se apoiam nos balanços Figura 138 A Figura 139 representa o esquema estrutural de cálculo da Figura 138 Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 q A B C D E F Não pode faltar U1 Vigas isostáticas 45 Fonte elaborada pelo autor Figura 140 Cálculo de reações nos apoios de uma viga Gerber Tramo é uma viga sobre dois apoios Observe que os tramos 1 e 3 são vigas com balanços e apoiadas sobre um apoio fixo e um móvel já o tramo 2 é uma viga simples apoiada sobre os balanços dos Tramos 1 e 3 sendo esse conjunto de vigas isostáticas caracteriza uma viga Gerber Uma vez que entendemos a viga Gerber vamos estudar o processo de cálculo das reações nos apoios esforços externos reativos com base na Figura 140 Para iniciar os cálculos das reações nos apoios devemos separar os tramos conforme a Figura 140 calculamos então as reações nos apoios da viga isostática simples Figura 140b tramo 2 em seguida transferimos essas reações com os vetores invertidos para os extremos dos balanços que suportam a viga simples Figura 140c tramos 1 e 3 realizado isso podemos calcular as reações nos apoios das vigas isostáticas com balanço Todos esses cálculos de reações nos apoios para as vigas simples e com balanço têm como base as Equações de Equilíbrio As reações das vigas simples em vigas Gerber devem ser transferidas para os extremos dos balanços que as suportam Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 q q Tramo 2 a q q A B C D E F C D A B C Tramo 1 D E F Tramo 3 VC VC VD VD VA VB VE VF b c Assimile U1 Vigas isostáticas 46 Já calculamos as reações nos apoios então podemos construir os diagramas de força cortante e momento fletor conforme explicado a seguir com o apoio da Figura 141 Fonte elaborada pelo autor Figura 141 Construção dos diagramas de força e momento fletor q Tramo 2 C D VC VD a VC VD q A B C Tramo 1 VC VA VB q D E F Tramo 3 VD VE VF b VC VD VC VD c d e f M V V M V M Construímos tanto o diagrama de força cortante quanto o de momento fletor para cada tramo em separado como apresentado nas Figuras 141a 141b 141c e 141d feito isso juntamos os diagramas como nas Figuras 146e e 146f Por que devemos transferir as reações dos apoios das vigas isostáticas para os extremos dos balanços que as suportam quando se trata de viga Gerber Reflita U1 Vigas isostáticas 47 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 142 Esquema estrutural de cálculo Figura 143 Reações nos apoios Vamos agora exemplificar o que foi apresentado de forma genérica Dado o esquema estrutural de cálculo Figura 142 apresente os diagramas de força cortante e momento fletor Com os valores das reações nos apoios construímos os diagramas de força cortante e momento fletor Figura 144 Resolução Fazendo uso da Equações de Equilíbrio calculamos as reações nos apoios Figura 143 2 kNm 10 kN 4 m 2 m 2 m 2 m A B C D 2 kNm 10 kN 4 m 2 m 2 m 2 m A B C D 10 kN 2 m 2 m C D 5 kN 5 kN A B 4 m 2 m C 2 kNm 165 kN 05 kN 5 kN Exemplificando U1 Vigas isostáticas 48 Fonte elaborada pelo autor Figura 144 Diagramas de força cortante e momento fletor 05 75 9 5 5 5 5 025 m 375 m 2 m 2 m 2 m V kN 006 14 10 M kNm A B C D A B C D Para aprofundar seu conhecimento no assunto acesse Biblioteca Virtual KASSIMALI A Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora CENGAGE Learning 2016 Sites Cálculo de reações nos apoios de viga Gerber Disponível em https youtube5BzcNdG2gU Acesso em 30 out 2017 Diagrama de força cortante em viga Gerber Disponível em https youtubeCrdeaxM71ck Acesso em 30 out 2017 Diagrama de momento fletor de viga Gerber Disponível em https youtubeMqX0SvXxX6g Acesso em 30 out 2017 Seu supervisor solicitou que você apresentasse os diagramas de força e momento fletor indicando as máximas forças cortantes e os máximos momentos fletores da estrutura que terá uma viga tipo Gerber cujo esquema estrutural de cálculo foi dado pela Figura 137 Sem medo de errar Pesquise mais U1 Vigas isostáticas 49 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 137 Esquema estrutural da viga da passarela Figura 145 Reações nos apoios Resolução Seguindo o que foi apresentado separamos as vigas e iniciamos pela viga isostática simples transferimos as reações dos apoios para os extremos dos balanços em que a viga simples se apoia e em seguida calculamos as reações nos apoios das vigas isostáticas com balanço Figura 145 sempre fazendo uso das Equações de Equilíbrio 4 kNm 2 m 6 m 1 m 5 m 1 m 6 m 2 m 23 m 4 kNm 5 m 10 kN 10 kN 4 kNm 10 kN 2 m 6 m 1 m 1933 kN 2667 kN 4 kNm 10 kN 1 m 6 m 2 m 1933 kN 2667 kN Obtidas as reações nos apoios construímos os diagramas de força cortante e momento fletor fazendo inicialmente os diagramas para cada viga isostática para depois unirmos todos Figura 146 U1 Vigas isostáticas 50 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 146 Diagrama de força cortante e momento fletor Figura 147 Esquema estrutural de cálculo 8 1267 1133 14 10 10 14 1267 1133 8 283 m 317 m 200 m 200 m 317 m 283 m 200 m 200 m 100 m 100 m 8 803 12 10 803 8 4 kNm 2 m 6 m 1 m 5 m 1 m 6 m 2 m 23 m Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 V kN M kNm 12 E concluímos que as cortantes máximas são Nos tramos 1 e 3 14 kN e 14 kN respectivamente No tramo 2 10 kN E os máximos momentos fletores são Nos tramos 1 e 3 803 kNm e 12 kNm No tramo 2 10 kNm Momento máximo Descrição da situaçãoproblema Dado o esquema estrutural de cálculo Figura 147 determine os momentos máximos 3 m 1 m 2 m 3 m 2 m 6 m 5 m 11 m 10 kN 3 kNm 12 kN Avançando na prática U1 Vigas isostáticas 51 283 m 017 m 10 m 85 05 105 1203 1199 135 195 189 99 21 81 2 m 2 m 3 m V kN 33 102 M kNm 3 m 1m 2 m 3 m 2 m 6 m 5 m 11 m 10 kN 3 kNm 12 kN Tramo 1 Tramo 2 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 148 Diagramas de força cortante e momento fletor Figura 149 Viga Gerber Resolução da situaçãoproblema A Figura 148 apresenta os diagramas de força cortante e momento fletor da estrutura para a qual foram solicitados os momentos fletores máximos Respondendo o que foi pedido temos no tramo 1 1203 kNm de momento máximo e no tramo 2 como momentos máximos 33 kNm e 102 kNm 1 Vigas Gerber são usuais em pontes passarelas estruturas prémoldadas entre outras A viga Gerber é um conjunto de vigas isostáticas com balanço e vigas isostáticas simples sendo as vigas simples apoiadas nos balanços Dada a estrutura da Figura 149 indique quais tramos são representados como vigas isostáticas simples Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 Faça valer a pena U1 Vigas isostáticas 52 a Tramos 1 e 2 b Tramos 3 e 4 c Tramos 1 e 3 d Tramos 2 e 4 e Tramos 1 e 4 2 Os cálculos dos esforços externos reativos reações nos apoios de uma viga Gerber estão embasados nas Equações de Equilíbrio e na decomposição do conjunto em vigas isostáticas Essa decomposição não só auxilia os cálculos das reações mas também a construção dos diagramas de força cortante e momento fletor Os cálculos das reações nos apoios têm início em que tipo de viga isostática a Nas vigas que têm apenas um balanço b Nas vigas que apresentam balanços nas duas extremidades c Nas vigas simples que se apoiam sobre os balanços d Nas vigas mais carregadas e Nas vigas que apresentam somente carregamento distribuído 3 Os diagramas de força cortante e momento fletor fornecem informações importantes que nos ajudam a determinar as características da estrutura que deverá suportar os esforços externos atuantes E quem toma essas decisões são os Engenheiros Calculistas de Estruturas que podem ser de concreto armado de aço madeira ou mistas Dado o diagrama de momento fletor Figura 150 indique os momentos máximos a que a estrutura estará exposta a Tramo 1 12 kNm e Tramo 2 17 kNm e 10 kNm b Tramo 1 12 kNm e Tramo 2 17 kNm c Tramo 1 12 kNm e Tramo 2 8 kNm e 10 kNm d Tramo 1 12 kNm e Tramo 2 17 kNm e 8 kNm e Tramo 1 12 kNm e Tramo 2 10 kNm Fonte elaborada pelo autor Figura 150 Diagrama de momento fletor 12 10 8 M kNm 17 Tramo 1 Tramo 2 ALMEIDA M C F de Estruturas isostáticas São Paulo Oficina de Textos 2009 KASSIMALI Aslam Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora CENGAGE Learning 2015 SUSSEKIND J C Curso de análise estrutural Estruturas isostáticas São Paulo Editora Globo 1981 v 1 Referências Treliças isostáticas Convite ao estudo Caro aluno Nesta unidade você estudará o conceito de estruturas do tipo treliça estruturas que fazem parte do nosso dia a dia pois estão presentes em telhados dos mais simples aos mais sofisticados pontes em estruturas metálicas e de madeira torres de comunicação e de alta tensão Com os conceitos aqui apresentados você terá condições de aplicar e executar cálculos de determinação dos esforços internos em treliças e também de definir os tipos de treliças dos projetos em que estará envolvido Para que você adquira os conceitos esperados nesta unidade novamente será inserido como estagiário em uma empresa de cálculo estrutural pois como foi muito bem no seu primeiro ciclo de estágio seu contrato foi renovado Agora você estará envolvido em projetos de estruturas treliçadas e seu supervisor solicitará que desenvolva alguns trabalhos Você deve estar se perguntando O que são treliças Como definilas Qual sua composição Como calculálas Você terá estas respostas ao longo do estudo desta unidade Bemvindo à unidade de Treliças Isostáticas Unidade 2 U2 Treliças isostática 56 Treliças isostáticas Caro aluno Nesta seção estudaremos a definição de treliças isostáticas quais os seus tipos como são formadas suas estaticidade e estabilidade Esses assuntos são muito importantes para que uma estrutura treliçada tenha um bom funcionamento ou seja para que suporte as cargas às quais forem solicitadas Você foi muito bem no seu primeiro ciclo de estágio e teve seu contrato renovado Agora estará envolvido em projetos de estruturas treliçadas e seu supervisor solicitará que desenvolva alguns trabalhos Nesse momento a empresa foi contratada para dimensionar a estrutura de um telhado Figura 21 em treliça e você será o responsável por verificar a estaticidade e a estabilidade dos elementos estruturais Fonte elaborada pelo autor Figura 21 Telhado contratado Para que continue a obter êxito em suas atividades como estagiário é necessário que se dedique aos estudos e isso significa que vamos ao Não pode faltar Seção 21 Diálogo aberto U2 Treliças isostáticas 57 A B C D Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 22 Treliça Figura 23 Apresentação dos nós de uma treliça Barra Conexão Vamos iniciar nossos estudos sobre treliças Definindo treliças isostáticas Treliças são estruturas constituídas por barras que por sua vez são unidas por conexões que podem ser de madeira ferro alumínio aço ou ainda soldadas Figura 22 São muito utilizadas em telhados estruturas de pontes entre outras e isso se dá por serem estruturas leves e altamente resistentes Definimos como nós os encontros das barras que formam a treliça conforme a Figura 23 em que A B C e D são os nós Observe que no nó A encontramse as barras AB AC e AD Conheça a seguir alguns estilos de treliças usadas em pontes Figura 24 e em telhados Figura 25 Não pode faltar U2 Treliças isostática 58 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 24 Treliças usuais em pontes Figura 25 Treliças usuais em telhados Figura 26 Tipos de treliças isostáticas Treliça de Howe Treliças usuais em pontes Figura 22 Treliça de Pratt Treliça de Parker Treliça K Treliça de Blatimore Treliça de Warren modificada Treliça de Warren Treliça de Howe Treliça de Pratt Treliça de Fink Treliça de King Tipos de treliças isostáticas As treliças são estruturas formadas por barras e conexões também chamadas nós em que os carregamentos externos ativos atuam as barras por sua vez são responsáveis por suportar os efeitos internos da estrutura tração e compressão Essas estruturas podem ser divididas em simples compostas e espaciais Figura 26 Treliça simples Treliça Composta Treliça Composta U2 Treliças isostáticas 59 a F F A B C D A B b A B C D F c Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 27 Treliças estável e instável As treliças compostas são formadas pela conexão de duas ou mais treliças simples mesmo assim ainda são bidimensionais como apresentado na Figura 26b já as treliças espaciais compostas também por treliças simples são tridimensionais como podese observar na Figura 26c Estabilidade da treliça Dependendo de como você montar uma treliça ela poderá ser instável ou seja variar de forma em função do esforço solicitante F conforme apresentado na Figura 27 É possível notar que a treliça da Figura 27a não muda de forma quando solicitada portanto ela é considerada uma treliça estável A da Figura 27b quando solicitada passa da situação ABCD para ABCD então é considerada uma treliça instável Treliça Espacial Treliça Espacial U2 Treliças isostática 60 Uma treliça estável é sempre formada por junções de triângulos Veja se inserirmos uma barra conforme a Figura 27c ela se torna estável Mas uma treliça pode ser montada seguindo a equação que garante sua estabilidade b n b n de barras n n de nós o o 2 3 porém se b n 2 3 a treliça é instável b n 2 3 a treliça é estável Estaticidade da treliça Estaticidade global da treliça Eg Ainda é necessário saber se a treliça é estaticamente determinada ou seja se as forças atuantes nas barras podem ser determinadas fazendo uso de Fx 0 e Fy 0 Usando a equação da estaticidade global Eg teremos condição de definir se a treliça é hipostática isostática ou hiperestática E r b n E Treliça hipostática g g 2 0 E r b n E Treliça isostática g g 2 0 E r b n E Treliça hiperestática g g 2 0 Onde r n total de reações nos apoios b n total de barras n n total de o o o nós Para a Figura 28 verifique a estaticidade global das estruturas Figura 28 Treliças Exemplificando a b c U2 Treliças isostáticas 61 r 3 reações nos apoios b 15 barras n 9 nós a b r 2 reações nos apoios b 5 barras n 4 nós r 5 reações nos apoios b 4 barras n 4 nós c Resolução Para a Figura 29a E r b n E E Treliça isostática g g g 2 3 15 2 9 0 Para a Figura 29b E r b n E E Treliça hipostática g g g 2 2 5 2 4 1 0 Para a Figura 29c E r b n E E Treliça hiperestática g g g 2 5 4 2 4 1 0 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 29 Treliças com relação de reações nós e barras r 3 reações nos apoios b 15 barras n 9 nós a b r 2 reações nos apoios b 5 barras n 4 nós r 5 reações nos apoios b 4 barras n 4 nós c Estaticidade interna da treliça Ei Para verificar a estaticidade interna consideramos que a treliça é simplesmente apoiada um apoio fixo e móvel e fazemos uso da seguinte equação treliça isostática treliça hipostática treliça hiporestática a b c U2 Treliças isostática 62 Treliça de Pratt r 3 reações nos apoios b 21 barras n 12 nós E b n b n de barras n n de nós i o o 2 3 Se Ei 0 faltam barras então a treliça é hipostática ou seja instável como visto na Figura 27b em que temos 4 barras e 4 nós dessa forma Ei 1 0 Se Ei 0 uma das condições para considerar a treliça estável mas não há garantia disso pois é possível que as barras não estejam alocadas para assegurar a estabilidade Se Ei 0 nesse caso temos barras em excesso portanto a treliça é considerada internamente hiperestática sem condições para determinar as cargas nas barras pelas Equações de Equilíbrio passando então a ser considerada indeterminada com necessidade de verificar a alocação das barras Estaticidade externa da treliça Ee Leva em consideração o número de reações proveniente dos apoios e é calculada por E r E Treliça externamente hipostática E Treliça exter e e e 3 0 0 namente isostática E Treliça externamente hiperestática e 0 Podemos construir treliças da forma que bem desejarmos Para a treliça da Figura 210 verifique as estaticidades interna e externa Fonte elaborada pelo autor Figura 210 Treliças de Pratt treliça externamente hipostática treliça externamente isostática treliça externamente hiperestática Reflita Exemplificando U2 Treliças isostáticas 63 Resolução Estaticidade interna E b n b n de barras n n de nós E i o o i 2 3 21 2 12 3 E Uma das condições para que a treliça seja considerada estável i 0 Estaticidade externa E r E E Treliça externamente isostática e e e 3 3 3 0 Para facilitar sua compreensão acesse os links GOMES M I S Estudo e análise de treliças PortuguêsBrasil Instituto Superior de Engenharia de Lisboa 2016 p 918 Disponível em https wwwresearchgatenetpublication301298120 Acesso em 4 nov 2017 Leia os subcapítulos 41 a 44 sobre treliças planas e espaciais do livro KASSIMALI A Análise estrutural 5 ed São Paulo Cengage Learning 2015 Disponível na Biblioteca Virtual Veja os vídeos Conceito de estaticidade httpswwwyoutubecom watchvuvHeru38IpI Acesso em 4 dez 2017 Resoluções de exercícios sobre estaticidade em treliças httpswww youtubecomwatchvN2t6G2Kx2C8 Acesso em 4 dez 2017 e httpswwwyoutubecomwatchvPKFZUzeNoC0 Acesso em 4 dez 2017 Você está no segundo ciclo de seu estágio em uma empresa de cálculo estrutural Seu supervisor solicita que verifique a estabilidade Sem medo de errar Pesquise mais U2 Treliças isostática 64 e as estaticidades da estrutura de um telhado que a empresa foi contratada para dimensionar Figura 21 Fonte elaborada pelo autor Figura 21 Telhado contratado Resolução Considere que a treliça que forma o telhado é constituída por 25 barras 14 nós e terá 3 esforços externos reativos reações nos apoios Estabilidade b n 2 3 25 2 14 3 25 25 2 3 b n A treliça que forma o telhado é estável Estaticidade global E r b n g 2 E E Treliça isostática g g 3 25 2 14 0 Estaticidade interna E b n b n de barras n n de nós E i o o i 2 3 25 2 14 3 E Uma das condições para que a treliça seja considerada estável i 0 Estaticidade externa E r E E Treliça externamente isostática e e e 3 3 3 0 treliça isostática U2 Treliças isostáticas 65 Fonte elaborada pelo autor Figura 211 Treliça estrutura do telhado 0 Condições mínimas para dimensionamento Descrição da situaçãoproblema Um amigo sabendo que você está estagiando em uma empresa de cálculo de estruturas mais precisamente que tem se envolvido em projetos de telhados pediu que você verificasse o desenho da estrutura do telhado Figura 211 que ele pretende construir Resolução da situaçãoproblema A treliça apresenta 13 barras 8 nós e 3 reações em função dos apoios Estabilidade b n 2 3 13 2 8 3 13 13 2 3 b n A treliça que forma o telhado é estável Estaticidade global E r b n g 2 E E Treliça isostática g g 3 13 2 8 0 Estaticidade interna E b n b n de barras n n de nós E E i o o i 2 3 13 2 8 3 i Uma das condições para que a treliça seja considerada estável 0 treliça isostática Avançando na prática U2 Treliças isostática 66 Estaticidade externa E r E E Treliça externamente isostática e e e 3 3 3 0 Resposta Pelos resultados apresentados de estabilidade e estaticidades a estrutura desenhada para o telhado deverá dar certo 1 Treliças são estruturas constituídas por barras que por sua vez são unidas por conexões que podem ser de madeira ferro alumínio aço ou ainda soldadas São muito utilizadas em telhados estruturas de pontes entre outras isso porque são estruturas leves e altamente resistentes Indique a alternativa correta quanto aos tipos de treliças a Básicas complexas e espaciais b Unidimensional bidimensional e tridimensional c Simples compostas e espaciais d Simples bidimensional e tridimensional e Simples complexas e espaciais 2 As treliças são estruturas formadas por barras e conexões também chamadas nós Nessas conexões os carregamentos externos ativos atuam e as barras são responsáveis por suportar os efeitos internos da estrutura tração e compressão Indique a alternativa correta quanto à formação de treliças compostas bidimensionais a Apresentam formas complexas b Apresentam formações hiperestáticas c Formadas por conjuntos complexos d Formadas pela conexão de duas ou mais treliças simples e Formadas por excessos de triângulos Faça valer a pena U2 Treliças isostáticas 67 3 As estruturas de telhados em sua grande maioria são formadas por treliças Você pode observar em sua casa em ginásios esportivos coberturas de shows em praças parques entre outros portanto são estruturas que vencem grandes vãos e também têm outras aplicabilidades como em pontes torres de alta tensão e comunicação Dada a treliça Figura 212 a seguir indique a sua estaticidade global a Hipostática b Isostática c Determinada d Hiperestática e Isostática e indeterminada Fonte elaborada pelo autor Figura 212 Treliça U2 Treliças isostática 68 Treliças compostas Caro aluno Na Seção 21 vimos uma introdução sobre treliças isostáticas simples em que tivemos a oportunidade de estudar seus tipos sua estabilidade e estaticidade Nesta seção estudaremos as treliças isostáticas compostas e também o Método de Ritter para esse tipo de treliça Esse estudo ajudará no seu desempenho como estagiário pois o seu supervisor solicitou que determinasse o esforço que ocorre na barra b n r 2 da estrutura treliçada Figura 213 para a qual tiveram o serviço de dimensionamento contratado Fonte elaborada pelo autor Figura 213 Estrutura treliçada de telhado com esforços externos atuantes Atenderemos à demanda solicitada e para isso não podemos deixar de ir ao Não pode faltar Seção 22 Diálogo aberto U2 Treliças isostáticas 69 A B C D E F G A B C G C D E F G F Treliça simples Treliça simples Barra de ligação a b A B C D E F G c A B C G d Fonte elaborada pelo autor Figura 214 Treliça tipo I Na seção anterior Seção 21 definimos que treliças compostas são aquelas formadas por duas ou mais treliças simples Com base nesse conceito ainda podemos dividilas em treliças isostáticas compostas dos tipos I II e III Treliças tipo I Esse tipo é formado por duas treliças simples e uma barra de ligação Figura 214 seus esforços internos podem ser calculados inicialmente pelo Método de Ritter também conhecido como Método das Secções que é feito seccionandose a união das treliças simples e a barra de união Figura 214c e 214d Com isso determinamos o esforço que ocorre na barra de união FG já os esforços internos das demais barras determinamos pelo Método dos Nós Estudaremos logo mais o Método de Ritter para treliças isostáticas compostas ainda nesta seção Não pode faltar U2 Treliças isostática 70 A B C D E F Treliça simples Treliça simples Treliças compostas são aquelas formadas por duas ou mais treliças simples Treliça tipo II Essa também é uma treliça composta formada por duas treliças simples mas com três barras de ligação Figura 215 AD BE e CF Também podemos determinar os esforços internos dessa treliça iniciando os cálculos pelo Método de Ritter seccionando uma das barras de ligação Fonte elaborada pelo autor Figura 215 Treliça tipo II Treliça tipo III Como as anteriores essa treliça também é formada por treliças simples mas para determinação dos esforços internos devemos dividila em treliças secundárias Figura 216b e treliça principal Figura 216c que é formada por barras auxiliares imaginárias barras tracejadas Os efeitos provenientes das treliças secundárias são transferidos às conexões que as unem e podemos calculálos fazendo usos dos Métodos dos Nós ou de Ritter Assimile U2 Treliças isostáticas 71 A B C D E F G H I J K Treliça simples secundária Treliça simples principal a b c Fonte elaborada pelo autor Figura 216 Treliça tipo III Método de Ritter para treliças compostas Também conhecido como Método das Secções o Método de Ritter nos permite calcular os esforços internos forças axiais das barras de interesse de forma direta Esse método é utilizado quando desejamos conhecer os esforços internos de algumas barras de estrutura treliçada e não de todas as barras O seu procedimento consiste em determinar os esforços externos reativos reações nos apoios em seguida seccionar a treliça em duas partes passando pela barra de interesse e no máximo mais duas então devemos seccionar até três barras de forma que não sejam concorrentes nem paralelas na próxima fase assumese que as barras seccionadas são vetores de força cujos valores são determinados pelas Equações de Equilíbrio Dada a Figura 217 determine o esforço axial e o efeito ocorrente na barra CG Exemplificando U2 Treliças isostáticas 73 Fonte elaborada pelo autor Resposta A barra CG é solicitada por uma força axial de 3590 kN que exerce um efeito de tração Método de Ritter roteiro de cálculo 1º Determinar os esforços externos reativos 2º Seccionar a treliça passando pela barra de interesse não seccionando mais de três barras que não deverão ser paralelas nem concorrentes 3º Transformar as barras em vetores 4º Determinar os valores dos vetores por Equações de Equilíbrio 5º Verificar os sentidos dos vetores com relação aos nós para definir tração ou compressão Vetor saindo do nó provoca compressão na barra Vetor entrando no nó provoca tração na barra Assimile U2 Treliças isostática 74 As treliças por sua formação podem vencer grandes vãos Caso elas não existissem como seria as estruturas das coberturas Para que aprofunde seu conhecimento a respeito desse assunto estude o capítulo 47 sobre análise de treliças compostas e o capítulo 48 sobre treliças complexas do livro Análise estrutural disponível na Biblioteca Virtual KASSIMALI A Análise estrutural 5 ed São Paulo Cengage Learning 2015 Veja a apresentação do conceito e o desenvolvimento de exercícios sobre o Método de Ritter para treliças isostáticas compostas no vídeo https youtubeY2XDdu0P1bw Acesso em 9 nov 2017 Veja a apresentação do conceito e o desenvolvimento de exercícios sobre o Método de Ritter para treliças isostáticas no vídeo httpsyoutube v3Tebi22HU Acesso em 9 nov 2017 Veja alguns exercícios resolvidos no link do Prof Osvaldo Shigueru Nakao do Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais da USP Disponível em httpwwwlemepuspbrmembrosnakaopef215tema1trelicas tema1trelicashtml Acesso em 9 nov 2017 Você como estagiário agora deve determinar o valor do esforço ao qual a barra EF está sujeita nessa estrutura de telhado cuja estabilidade e estaticidade você verificou Reflita Pesquise mais Sem medo de errar U2 Treliças isostáticas 75 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 213 Estrutura treliçada de telhado com esforços externos atuantes Figura 219 Resolução pelo Método de Ritter Resolução Determinamos os esforços externos reativos e seccionamos a treliça passando pela barra de interesse EF Figura 219a Transformamos as barras em vetores e determinamos seus valores por Equações de Equilíbrio conforme Figura 219b E na Figura 219c indicamos a resposta solicitada barra EF tracionada por uma carga axial de 1789 kN U2 Treliças isostática 76 Esforços internos Descrição da situaçãoproblema Dada a estrutura treliçada Figura 220 determine a força axial atuante na barra GH Fonte elaborada pelo autor Figura 220 Estrutura treliçada Figura 221 Resolução pelo Método de Ritter 15 m 15 m 15 m 90 m 45 m 15 m 10 m 05 m 30 m A B C D E F G H 6 kN 4 kN 15 m 15 m 15 m 90 m 45 m 15 m 10 m 05 m 30 m A B C D E F G H 6 kN 4 kN 633 kN 367 kN 367 kN A B 6 kN H C 45 m 60 m 15 m 05 m 25 m 30 m G GH CH BC BCx BCy CHx CHy 15 m 15 m 15 m 90 m 45 m 15 m 10 m 05 m 30 m A B C D E F G H 6 kN 4 kN 881 kN a b c Resolução da situaçãoproblema Determinamos os esforços externos reativos e seccionamos a treliça passando pela barra de interesse GH Figura 221a Transformamos as barras em vetores e determinamos seus valores por Equações de Equilíbrio conforme Figura 221b E na Figura 221c indicamos a resposta solicitada barra GH é tracionada por uma carga axial de 881 kN Avançando na prática U2 Treliças isostáticas 77 A B C D E F Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 222 Treliça composta 1 No estudo de treliças isostáticas podemos definilas como treliças simples treliças compostas e treliças complexas As compostas são aquelas formadas por duas ou mais treliças simples e dentro da sua classificação há as treliças compostas dos tipos I II e III Dada a Figura 222 de uma treliça composta indique a alternativa correta quanto à sua classificação Faça valer a pena U2 Treliças isostática 78 A B C D E F 4 kN 20 m 20 m 20 m a Treliça tipo composta b Treliça composta tipo II c Treliça composta simples d Treliça composta tipo III e Treliça composta tipo I 2 Goerg Dietrich August Ritter 18261908 nascido em Luneburgo na Alemanha foi professor de Mecânica e Astrofísica e também foi quem desenvolveu o Método das Secções que leva o seu nome Método de Ritter para cálculo dos esforços internos ocorrentes em barras de treliças Quando usar o Método de Ritter a Quando se deseja calcular os esforços externos reativos nas barras de treliças b Quando se deseja calcular os esforços internos e externos de treliças complexas c Quando se deseja conhecer as condições de estabilidade de uma treliça d Quando se deseja conhecer a força axial ocorrente em determinada barra da treliça sem precisar determinar o conjunto completo e Quando se deseja determinar a estaticidade da treliça 3 Uma estrutura treliçada Figura 223 é composta por nove barras seis nós um vínculo fixo e um móvel portanto é sujeita a três reações Com essas informações foi possível verificar a estabilidade e a estaticidade dessa estrutura cujo resultado foi estrutura isostática estável Determine a força axial atuante na barra EF Fonte elaborada pelo autor Figura 223 Estrutura treliçada U2 Treliças isostáticas 79 a 4 kN b 282 kN c 0 d 4 kN e 2 82 kN U2 Treliças isostática 80 Treliças espaciais Caro aluno Na Seção 22 estudamos sobre treliças compostas e sua resolução pelo Método de Ritter aprendemos que o método é muito útil quando temos o interesse em determinar o esforço interno de uma barra da treliça e que para isso devese seccionar a treliça de modo a atingir no máximo três barras que não sejam paralelas nem concorrentes uma vez seccionadas as barras identificamos seus segmentos como vetores de forças as quais desejamos conhecer e determinamos os valores desses vetores fazendo uso das Equações de Equilíbrio Agora nesta seção estudaremos treliças complexas sua definição e como determinar seus esforços internos pelo Método Henneberg Também estudaremos as treliças espaciais sua definição e como determinar os esforços internos ocorrentes em suas barras E novamente como estagiário da Empresa de Cálculo você será incumbido de verificar a estaticidade de uma torre Figura 224 que será dimensionada para suportar uma caixa dágua encomendada por um ruralista para alimentar sua cultura hidropônica Fonte elaborada pelo autor Figura 224 Torre treliçada para suportar uma caixa dágua Você tem obtido êxito em suas incumbências e assim continuará bastando aplicarse em seus estudos e acompanhar atentamente os Seção 23 Diálogo aberto U2 Treliças isostáticas 81 Fonte adaptada de Sussekind 1981 p 241 Figura 225 Treliça complexa conceitos apresentados sobre verificação de estaticidade de treliças espaciais Então mãos à obra Treliças complexas Esse tipo de treliça Figura 225 é aquele que não podemos classificar como treliças simples ou compostas embora elas atendam à condição b n r 2 b número de barras da treliça n número de nós da treliça e r números de reações em função dos apoios da treliça significando que são estaticamente determinadas não é possível aplicar os Métodos dos Nós nem o de Ritter pois o primeiro exige que tenhamos apenas duas barras como incógnitas assim que determinarmos as reações nos apoios e para o segundo é necessário que ao seccionarmos a treliças não passemos por mais de três barras que não sejam concorrentes nem paralelas Para a determinação de forças axiais atuantes em barras de treliças complexas é preciso usar o Método de Henneberg também conhecido como Método Geral de Resolução de Treliças Complexas Embora uma treliça complexa possa ser estaticamente determinada isso não possibilita o uso do Método dos Nós nem do Método de Ritter para resolução de seus esforços internos Não pode faltar Assimile U2 Treliças isostática 82 A B D E F G H I C P1 P2 X1 X1 X1 X2 X2 A B D E F G H I A B D E F G H I C C Treliça complexa Treliça simples P1 P2 P1 P2 Método de Henneberg Método Geral de Resolução de Treliças Complexas Esse método utiliza a aplicação de substituição da treliça complexa por treliça simples Figura 226 e a superposição de esforços A treliça simples é formada pela mudança de posição de uma ou duas barras da treliça complexa sem alterar a estaticidade inicial Podemos notar que as barras BF e AH são substituídas pelas barras CF e DH conforme apresentado na Figura 226 Fonte adaptada de Sussekind 1981 p 241 Fonte adaptada de Sussekind 1981 p 241 Figura 226 Treliça complexa transformada em treliça simples Figura 227 Ideia inicial do processo de cálculo do Método de Henneberg Considerando a Figura 226 entenderemos o processo de cálculo Embora as barras tenham sido transferidas de posição os nós C D F e H não sofrem mudanças quanto às solicitações normais a eles impostas Para que isso seja verdade consideramos que as barras têm ações nulas a força normal força axial atuante no nó C em função da barra CF é nula NCF 0 e também a força normal atuante no nó D em função da barra DH é nula NDH 0 Para que os nós A B F e H também sofram alteração de solicitação com a ausência das barras BF e AH são inseridas as forças X1 e X2 Figura 227 U2 Treliças isostáticas 83 A B C x D E F z y Fonte adaptada de Sussekind 1981 p 242 Fonte elaborada pelo autor Figura 228 Metodologia do cálculo por superposição Figura 229 Treliça espacial Como a solução da determinação das forças axiais nas barras da treliça se dá por superposição temos Figura 228 Assim temos que a compatibilidade estática é dada por N N X N X N N X N X CF CF CF DH DH DH 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 A resolução desse sistema nos remete aos valores de X1 e X2 que são os esforços atuantes nas barras AH e BF O determinante das incógnitas do sistema apresentado define a estaticidade da estrutura se o determinante for diferente de zero a treliça é realmente isostática caso o determinante seja igual a zero isso significa que a estrutura é instável N N N N CF CF DH DH 1 2 1 2 Treliças espaciais Formadas pela união dos nós que formam reticulados tridimensionais Figura 229 A determinação dos esforços atuantes nas barras não pode ser feita pela ideia de transformação em treliças planas então somos obrigados a trabalhar considerando a condição tridimensional ou seja considerando os eixos x y e z U2 Treliças isostática 84 Para que possamos formar uma treliça espacial devemos obedecer à seguinte equação b n b barras n nós 3 6 Note que a Figura 229 obedece à equação apresentada pois a treliça é formada por 12 barras e 6 nós assim b n b b ok 3 6 3 6 6 12 Como determinamos os esforços externos reativos de uma treliça espacial Por serem treliças espaciais seus esforços externos reativos reações nos apoios devem ser considerados em condições tridimensionais assim como as Equações de Equilíbrio então nessas condições elas se apresentam da seguinte forma Equações de Equilíbrio F F F M M M x y z x y z 0 0 0 0 0 0 Para resolução dos esforços internos da treliça podemos fazer uso de dois métodos o Método dos Nós ou o de Ritter No primeiro para treliças espaciais iniciamos seus cálculos onde há no máximo três barras No segundo que aplicamos quando desejamos conhecer os esforços de determinadas barras e do conjunto todo devemos seccionar a treliça de forma a não seccionar mais que seis barras assim feito desenvolvemos os cálculos fazendo uso das Equações de Equilíbrio Verificação da estaticidade Essa verificação se dá em função dos números de barras b e nós Reflita U2 Treliças isostáticas 85 n existentes na treliça e também do número de esforços externos reativos reações nos apoios r por meio da equação Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente instável hipostática Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente determinada isostática Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente indeterminada hiperestática A B C x D E F z y RDy RDz RCy REy REx RFy Verifique a estaticidade da treliça espacial representada pela Figura 230 formada por 12 barras 6 nós e as reações dadas na figura Resolução b r b r n n b r n isostática 12 6 18 3 3 3 6 18 3 Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente determinada isostática Fonte elaborada pelo autor Figura 230 Treliça espacial Para aprofundar seu conhecimento acesse Leia sobre treliças complexas e espaciais nos itens 48 e 49 do livro Análise Exemplificando Pesquise mais U2 Treliças isostática 86 estrutural KASSIMALI A Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora CENGAGE Learning 2015 Além disso assista aos seguintes vídeos Treliças espaciais 1º exercício resolvido Disponível em httpsyoutu bev6mC2eUEmN4 Acesso em 17 nov 2017 Treliças espaciais 2º exercício resolvido Disponível em httpsyoutu beRGjMzt4PBDo Acesso em 17 nov 2017 Treliças espaciais 3º exercício resolvido Disponível em httpsyoutu beUbJ9i3qpGZY Acesso em 17 nov 2017 Você como estagiário ficou incumbido de verificar a estaticidade da torre de estrutura que servirá como suporte de uma caixa dágua suporte este que foi encomendado por um ruralista para atender a sua cultura hidropônica As informações que lhe foram passadas estão na Figura 224 Fonte elaborada pelo autor Figura 224 Torre treliçada para suportar uma caixa dágua Resolução A verificação da estaticidade de uma treliça espacial se dá em função do número de barras b e nós n existentes na treliça e também do número de esforços externos reativos reações nos apoios r por Sem medo de errar y G D A z R R R R R R B E C H F I Az Ay By Bx Cy Cx X 20 m 20 m 40 m Tridimensional 20 m 20 m 20 m Planta 21 barras 9 nós 6 reações nos apoios Elevação Três faces iguais 20 m 20 m 20 m U2 Treliças isostáticas 87 meio das equações Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente instável hipostática Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente determinada isostática Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente indeterminada hiperestática Com as informações necessárias apresentadas na Figura 224 então b r b r 21 6 27 3 3 9 3 27 n n b r n 3 Como b r n 3 a treliça espacial torre que suportará uma caixa dágua é estaticamente determinada ou seja isostática Complexo mas simples Descrição da situaçãoproblema Observe a estrutura treliçada da Figura 230 que será utilizada como estrutura para uma tenda de campanha de uma ação social Tratase de uma treliça complexa portanto seus esforços internos deverão ser determinados por meio do Método de Henneberg para isso devemos deslocar ao menos uma barra para que se torne uma treliça simples Determine a força axial na barra BC fazendo uso do Método de Henneberg Avançando na prática U2 Treliças isostática 88 A 25 kN 10 kN B C D E F 2 m 2 m 3 m 3 m Fonte adaptada de Mecânica das estruturas I 2016 p 70 Figura 231 Estrutura treliçada Resolução da situaçãoproblema Iniciamos os cálculos determinando os esforços externos reativos ou seja as reações nos apoios A e B por meio das Equações de Equilíbrio Em seguida transformamos a treliça complexa em treliça simples extraindo a barra BC e criando a barra auxiliar CD No lugar da barra BC fica a força X1 carga axial atuante na barra BC conforme a Figura 232 a No passo seguinte determinamos as forças axiais nas barras da treliça simples Figura 232b que podem ser determinadas pelo Método de Ritter ou pelo Método dos Nós assim obtemos as forças axiais apresentadas na referida figura Em seguida recalculamos as forças axiais auxiliares nas barras das treliças simples porém considerando nulas as reações nos apoios no lugar da força X1 inserimos forças unitárias Figura 232c e desconsideramos os esforços externos atuantes na estrutura dessa forma obtemos os valores apresentados na figura citada Por meio das forças axiais obtidas para a barra auxiliar CD e sabendo que a força axial final nessa barra é Nfinal CD 0 e que N N N X final CD CD CD 0 1 1 podemos determinar a força axial X1 atuante na barra BC da seguinte forma N N X N CD CD final CD 0 1 1 12 57 130 0 1 X U2 Treliças isostáticas 89 Fonte elaborada pelo autor X kN 1 9 67 N kN final BC 9 67 A 25 kN 10 kN B C D E F 10 kN 1583 kN 917 kN 2 m 2 m 3 m 3 m X1 X1 A 25 kN 10 kN B C D E F 10 kN 1583 kN 917 kN 2 m 2 m 3 m 3 m N0 a b 1 kN 1 kN 1257 kN 831 kN 838 kN 917 kN A B C D E F 0 0 0 2 m 2 m 3 m 3 m N1 c 130 kN 012 kN 040 kN 031 kN Figura 232 Treliça simples U2 Treliças isostática 90 1 As treliças complexas são aquelas que não podemos classificar como treliças simples ou compostas embora elas atendam à condição b n r 2 b número de barras da treliça n número de nós da treliça e r números de reações em função dos apoios da treliça que significa serem estaticamente determinadas Podemos determinar os esforços internos de uma treliça complexa por qual método a Método dos Nós b Método de Ritter c Método das Equações de Equilíbrio d Método de Henneberg e Método da Secante 2 Para a determinação de forças axiais atuantes em barras de treliças complexas devemos usar o Método de Henneberg também conhecido como Método Geral de Resolução de Treliças Complexas pois os Métodos dos Nós e de Ritter não fornecem as condições necessárias Qual a base de resolução do Método de Henneberg a Substituição da treliça complexa por treliça simples e superposição de esforços b Substituição de cargas c Cargas equivalentes d Cargas adicionais e Trabalhos virtuais 3 As treliças espaciais são compostas pela união de nós que formam reticulados tridimensionais e a determinação dos esforços atuantes nas barras não podem utilizar a ideia de transformação em treliças planas Com relação à estaticidade de treliças espaciais indique as afirmações corretas I Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente instável hipostática II Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente determinada isostática III Se b r n 3 a treliça espacial é estaticamente indeterminada hiperestática Faça valer a pena U2 Treliças isostáticas 91 a Apenas a I está correta b Apenas I e II estão corretas c Estão corretas I II e III d Apenas II e III estão corretas e Apenas I e III estão corretas KASSIMALI A Análise estrutural 5 ed São Paulo Cengage Learning 2015 MECÂNICA das estruturas I Notas de aula Universidade Federal do Rio Grande Escola de Engenharia Rio Grande 2016 SUSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed vol 1 São Paulo Editora Globo 1981 Referências Unidade 3 Caro aluno Estudaremos um assunto que nos remete a dimensionamento de portais os quais são muito utilizados em entradas de cidades hotéis de grande porte parques temáticos e turísticos etc Esta unidade apresentará a definição de pórticos isostáticos bem como os tipos existentes e suas classificações Também aprenderemos a determinar os esforços externos reativos em diferentes condições e assim que tivermos adquirido esse conhecimento partiremos para o estudo do desenvolvimento de diagramas de força cortante momento fletor e de força normal Dessa forma você será capaz de desenvolver os conceitos fundamentais necessários para aplicar e executar cálculos de determinação dos esforços internos e as deformações das múltiplas estruturas vigas pórticos planos e grelhas conhecendo e definindo os tipos de treliças Mais uma vez você será inserido no contexto do problema da unidade Desta vez você é um engenheiro recémformado que trabalha em uma empresa de cálculo estrutural e estará incumbido de auxiliar no dimensionamento de uma estrutura pórtico isostático que será o portal de um grande hotel A cada seção desta unidade você cumprirá uma etapa As etapas que deverão ser desenvolvidas terão como suporte as teorias apresentadas para o cálculo de esforços externos reativos em pórticos isostáticos construção de diagramas de força cortante força normal e momento fletor para pórticos isostáticos Convite ao estudo Pórticos isostáticos U3 Pórticos isostáticos 94 Fonte elaborada pelo autor Figura 31 Esquema estrutural do portal Caro aluno Nesta seção estudaremos a definição a classificação e os tipos de pórticos isostáticos assim como a determinação dos esforços externos reativos para diferentes esforços externos atuantes na estrutura Neste contexto você é um engenheiro recémformado trabalhando em uma empresa de cálculo estrutural e está incumbido de auxiliar no dimensionamento de um portal pórtico isostático de um hotel de grande porte Você deverá calcular os esforços externos reativos desse portal cujo esquema estrutural é apresentado na Figura 31 Para conseguir cumprir sua etapa do dimensionamento terá como suporte o estudo do item Não pode faltar deste livro didático Definição de pórticos Pórticos são estruturas rígidas compostas por vigas e pilares podendo ser classificadas em pórticos simples quando são Estude com a máxima atenção acesse o item Pesquise mais e mãos à obra Seção 31 Diálogo aberto Pórticos isostáticos esforços reativos externos Não pode faltar U3 Pórticos isostáticos 95 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 32 Pórticos simples e compostos Figura 33 Outros pórticos estruturas isoladas e pórticos compostos quando são estruturas associadas da mesma forma que associamos as vigas simples que compõem a viga Gerber Figura 32 Os pórticos são utilizados em portais de cidades condomínios indústrias e fazendas Podemos ter outros tipos de pórticos Veja na Figura 33 U3 Pórticos isostáticos 96 Veja mais exemplos de estruturas aporticadas além de mais aplicações nas páginas 52 a 58 do arquivo SOUZA M F S M RODRIGUES R B Sistemas estruturais de edificações e exemplos Notas de aula Universidade Estadual de Campinas 2008 Disponível em httpwwwfecunicampbrnilson apostilassistemasestruturaisgradpdf Acesso em 5 mar 2018 Pesquise mais Determinação dos esforços externos reativos em pórticos isostáticos Os esforços externos reativos reações nos apoios de um pórtico isostático são calculados obedecendo as mesmas regras estudadas em vigas isostáticas ou seja fazemos uso das equações de equilíbrio F F M H V i 0 0 0 Determinação dos esforços reativos para cargas concentradas em pórticos isostáticos Dado o pórtico Figura 34 calculamos os esforços externos reativos por meio das equações de equilíbrio Fonte elaborada pelo autor Figura 34 Pórtico sob ação de cargas concentradas U3 Pórticos isostáticos 97 Determinação dos esforços externos reativos para cargas distribuídas em pórticos isostáticos Mais uma vez temos que nos basear no que já estudamos sobre vigas isostáticas planas sem se esquecer de que para calcular os esforços externos reativos para a situação com cargas distribuídas somos obrigados a transformar esse tipo de carga em carga fictícia fazendo uso de C fic q l onde q é a carga distribuída e l a extensão por ela ocupada A Figura 36a apresenta a estrutura solicitada por cargas distribuídas e a Figura 36b mostra as cargas distribuídas transformadas em cargas fictícias bem como os valores dos esforços externos reativos reações nos apoios V kN H kN e M kN m A A A 12 10 19 obtidos fazendo uso das equações de equilíbrio Aplicando as equações de equilíbrio foi possível obter os valores dos esforços externos reativos H kN V kN e V kN A A B 4 0 25 3 75 conforme pode ser observado na Figura 35 Figura 35 Apresentação dos esforços externos reativos da Figura 34 Fonte elaborada pelo autor Para determinar os esforços externos reativos reações nos apoios de pórticos isostáticos fazemos uso dos conceitos aplicados para a mesma situação de vigas isostáticas por meio das equações de equilíbrio Assimile U3 Pórticos isostáticos 98 Figura 36 Pórtico simples isostático com os esforços externos reativos Fonte elaborada pelo autor Reflita Se não conhecermos as equações de equilíbrio quais outros métodos teríamos para resolver problemas de pórticos isostáticos Determinação dos esforços externos reativos para momentos puros em pórticos isostáticos Momento puro é o esforço externo atuante na estrutura que promove giro em determinado ponto dessa estrutura por convenção adotamos como positivo o giro antihorário e negativo o giro horário Quando uma estrutura é solicitada por momento puro e desejamos determinar os esforços externos reativos também fazemos uso das equações de equilíbrio porém os momentos puros entram nos cálculos somente na Mi 0 Observe na Figura 37a o pórtico biapoiado solicitado por momentos puros Na Figura 37b temos a mesma estrutura com as reações nos apoios cujos vetores são iguais a 2 kN porém com sentidos opostos Quando encontramos esse tipo de reação temos uma situação de vetores binários U3 Pórticos isostáticos 99 Figura 37 Pórtico solicitado por momentos puros e as reações nos apoios Figura 38 Pórtico isostático Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Dado o pórtico isostático Figura 38 determine os esforços externos reativos reações nos apoios A e B Resolução Fazendo uso das equações de equilíbrio F F M H V i 0 0 0 pudemos obter as reações nos apoios H A 12 kN V A 0 67 kN e V B 17 33 kN conforme Figura 39 Exemplificando U3 Pórticos isostáticos 100 Figura 39 Esquema de resolução da Figura 38 Fonte elaborada pelo autor Aprofunde seus conhecimentos sobre esse assunto no capítulo 56 que trata da análise de pórticos planos Esse material está disponível na Biblioteca Virtual KASSIMALI Aslam Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora Cengage Learning 2015 Veja a determinação das reações nos apoios de um pórtico apresentado pelo prof Fabiano Meira de Moura Luz no vídeo a seguir Pórtico reações de apoio Disponível em httpsyoutubeRep7 n1pzg Acesso em 5 mar 2018 Pesquise mais Sem medo de errar Você engenheiro recémformado está incumbido de auxiliar no dimensionamento de um portal pórtico isostático de um hotel de grande porte e deverá calcular os esforços externos reativos desse portal cujo esquema estrutural é apresentado na Figura 31 U3 Pórticos isostáticos 101 Figura 31 Esquema estrutural do portal Figura 310 Esquema estrutural de determinação dos esforços externos reativos do portal Fonte elaborada pelo autor Resolução Inicialmente transformamos as cargas distribuídas em cargas fictícias e as alocamos no centro de suas extensões Figura 310 em seguida fazemos uso das equações de equilíbrio e determinamos os esforços externos reativos apresentados também na Figura 310 V A 12 kN V B 16 kN e H B 2 kN Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 102 Os apoios reagem Descrição da situaçãoproblema Um portal com estrutura conforme a Figura 311 deverá ser dimensionado e para isso você deverá determinar as reações nos apoios Resolução da situaçãoproblema Iniciamos os cálculos transformando as cargas distribuídas em cargas fictícias e em seguidas determinamos as reações nos apoios A e B fazendo uso das equações de equilíbrio Dessa forma são obtidos V A 12 kN H A 8 62 kN e H B 1163 kN conforme podemos observar na Figura 312 Avançando na prática Figura 311 Esquema estrutural de cálculo do portal Figura 312 Esquema estrutural de determinação das reações nos apoios do portal Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 103 Faça valer a pena 1 Pórticos são estruturas rígidas compostas por viga e pilares podendo ser classificadas em pórticos simples quando são estruturas isoladas e compostos quando são estruturas associadas da mesma forma que associamos as vigas simples que compõem a viga Gerber Os pórticos são utilizados em portais de cidades condomínios indústrias e fazendas Indique a alternativa correta quanto ao processo de cálculo utilizado para a determinação das reações nos apoios de pórticos isostáticos a Método dos nós b Por meio das equações de equilíbrio c Método da secções d Método de Ritter e Método de Cremona 2 Momento puro é um esforço externo atuante na estrutura que promove giro em um determinado ponto dessa estrutura Por convenção adotamos como positivo o giro antihorário e negativo o giro horário Quando uma estrutura é solicitada por momento puro e desejase determinar os esforços externos reativos também fazemos uso das equações de equilíbrio Como denominamos os vetores quando uma estrutura é solicitada somente por momento puro e os esforços externos reativos serão vetores de mesma intensidade e sentidos opostos a Vetores opostos b Vetores de anulação c Vetores momento d Vetores binários e Vetores combinados 3 Um pórtico engastado e livre é uma estrutura rígida composta por viga e pilar classificandose em pórtico simples quando utilizada como estrutura isolada A figura a seguir diz respeito a um pórtico que é engastado no ponto A e livre no ponto D Essa estrutura está sendo solicitada por uma carga distribuída de 5 kNm na extensão do segmento BD e nesse mesmo vão no centro há também uma outra solicitação um momento puro de 3 kN m U3 Pórticos isostáticos 104 Figura Pórtico engastado e livre Fonte elaborada pelo autor Indique a alternativa correta com relação aos esforços externos reativos a V kN H e M kN m A A A 10 0 3 b V kN H kN e M kN m A A A 10 10 7 c V kN m H e M kN m A A A 10 0 7 d V kN H e M kN A A A 10 0 7 e V kN H e M kN m A A A 10 0 7 U3 Pórticos isostáticos 105 Figura 313 Esquema estrutural de cálculo do pórtico com as reações nos apoios do portal Caro aluno Na seção anterior estudamos a determinação dos esforços externos reativos de um pórtico isostático e tivemos a oportunidade de verificar que há diferença com relação ao estudado sobre vigas isostáticas Nesta seção estudaremos a construção de diagramas de força cortante e normal e também o cálculo de tensão de cisalhamento ocorrente em vigas A importância dos conhecimentos aqui adquiridos está diretamente ligada a áreas de dimensionamento de estruturas sejam elas de concreto armado madeira ou metálica Você como engenheiro recémformado foi incumbido de calcular os esforços externos reativos de um pórtico que será a entrada de um hotel de grande porte nesta etapa sua incumbência será construir os diagramas de força cortante e de força normal e determinar a tensão de cisalhamento máxima à qual a viga do pórtico estará sujeita em função de sua força cortante máxima essa viga apresenta uma seção transversal de 50 x 20 cm A Figura 313 traz o esquema estrutural de cálculo do pórtico com as reações nos apoios do portal conforme resultado obtido na Seção 31 e que é a base para o desenvolvimento desta nova incumbência Seção 32 Diálogo aberto Pórticos isostáticos diagramas de forças cortantes e normais Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 106 Para que você obtenha êxito dediquese à compreensão da construção dos diagramas de forças cortante e normal bem como ao cálculo de tensões de cisalhamento em vigas retangulares Nesta seção os estudos estão voltados à construção dos diagramas de forças cortantes e normais de pórticos As construções de diagramas de forças cortantes em pórticos obedecem às mesmas regras estudadas em vigas isostáticas Diagramas de forças cortantes para cargas concentradas em pórticos isostáticos Nos pórticos construímos os diagramas de força cortante da mesma forma que nas vigas isostáticas obedecendo a rotação dos eixos Vamos construir o diagrama de cortante da Figura 35 da Seção 31 apresentado na Figura 314 mais adiante Figura 35 Apresentação dos esforços externos reativos da Figura 34 Fonte elaborada pelo autor Não pode faltar U3 Pórticos isostáticos 107 Diagramas de forças normais para cargas concentradas em pórticos isostáticos As forças normais são forças que atuam no sentido do eixo da peça da estrutura Figura 315 provocando efeito de tração ou compressão podendo ocorrer em vigas e pilares Geralmente nos pórticos encontramos ações de forças normais em função das forças cortantes Interpretando o diagrama de força cortante da Figura 316a podemos enxergar ações de forças cortantes nos elementos da estrutura Figura 316b e na Figura 316c temos o diagrama de força normal da estrutura representado as ações Figura 314 Diagrama de força cortante Figura 315 Forças normais Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 108 Figura 316 Diagrama de força cortante ao diagrama de forças normais Fonte elaborada pelo autor As forças normais em pórticos são oriundas da análise de forças cortantes Diagramas de forças cortantes e normais para cargas distribuídas em pórticos isostáticos Mais uma vez reforçamos os diagramas de força cortante em pórticos são construídos obedecendo o que foi estudado em vigas isostáticas mesmo quando envolve cargas distribuídas Observe a Figura 317 que nos traz um pórtico isostático solicitado por cargas distribuídas Figura 317a com suas reações nos apoios Em função disso foi construído o diagrama de força cortante por meio do qual construiuse o diagrama de força normal A análise foi realizada da mesma forma que apresentada no tópico anterior e assim concluímos que as barras AD BC e CD estão sendo comprimidas pelas forças normais de 75 kN 105 kN e 15 kN respectivamente Assimile U3 Pórticos isostáticos 109 Figura 317 Pórtico e seus diagramas de força cortante e normal Fonte elaborada pelo autor Diagramas de forças cortantes e normais para momentos puros em pórticos isostáticos A influência dos momentos puros numa estrutura é a geração de esforços binários nos apoios por meio dos quais são construídos os diagramas de força cortante e força normal O momento puro será realmente exposto no diagrama de momento fletor Observando a Figura 318 temos um pórtico solicitado somente por momentos cujas reações nos apoios é um binário de 3 kN Figura 318a que nos possibilitou construir um diagrama de cortante Figura 318b analisando o diagrama de força cortante construímos o diagrama de força normal e ainda podemos observar que a barra ou o pilar AD está sendo comprimida por uma força normal de 3 kN e que a barra ou pilar BC está sendo tracionada por uma força normal também de 3 kN Qual é a importância de se conhecer as forças normais ocorrentes numa estrutura Reflita U3 Pórticos isostáticos 110 Figura 318 Pórtico e seus diagramas de força cortante e normal Fonte elaborada pelo autor Diagramas de forças cortantes e normais para pórticos sujeitos a cargas distribuídas concentradas e momentos puros Em uma única estrutura este tópico vem demonstrar a aplicação dos conceitos apresentados nos tópicos anteriores Observe o pórtico exibido na Figura 319 Construímos o diagrama de força cortante Figura 319b fizemos a análise desse diagrama e construímos o diagrama de força normal Dessa forma concluímos que as barras estão sob compressão sendo que as barras AD e CB estão sujeitas às cargas normais de 9 kN e CD à carga de 6 kN U3 Pórticos isostáticos 111 Figura 319 Pórtico e seus diagramas de força cortante e normal Fonte elaborada pelo autor Tensão de cisalhamento em vigas A tensão de cisalhamento é provocada pela ação de força cortante que gera o deslizamento entre faces sendo que a tensão de cisalhamento t é paralela à força cortante V Tensão de cisalhamento em vigas retangulares A tensão de cisalhamento é calculada atendendo a expressão t V Q I b Onde V força cortante Q momento estático igual a bh2 8 I momento de inércia dado por bh3 12 b base da seção transversa U3 Pórticos isostáticos 112 Assim se desejarmos a máxima tensão de cisalhamento tmáx que ocorre na linha neutra LN sendo a variação de y nula temos tmáx V Q I b t t t t máx máx máx máx V bh bh b Vbh b h Vbh b h 2 3 2 2 3 2 2 3 8 12 8 12 8 12 3 2 V bh Onde bh é área A da seção transversal Assim tmáx V A 15 1 O diagrama de tensão de cisalhamento é descrito por uma parábola Figura 320 Fonte elaborada pelo autor A tensão de cisalhamento média é dada então por tméd V A 1 Dado o diagrama de força cortante Figura 321 de um pórtico cuja viga apresenta altura de 40 cm e base de 20 cm calcule a máxima e a média tensão de cisalhamento para a máxima cortante dessa viga Fonte elaborada pelo autor Figura 321 Diagrama de força cortante Exemplificando U3 Pórticos isostáticos 113 Resolução A máxima cortante atuante na viga em questão é de 375 kN Sabendo que as equações de tensão de cisalhamento para vigas retangulares são tmáx V A 15 1 e tméd V A 1 Então temos tmáx V A 15 1 tmáx 15 3 75 0 2 0 4 1 tmáx 70 31 kPa tméd V A 1 tméd 3 75 0 2 0 4 1 tméd 46 88 kPa Portanto as tensões de cisalhamento média e máxima são respectivamente 4688 kPa e 7031 kPa Para maior compreensão dos assuntos apresentados nesta seção acesse Pórtico diagramas de momento fletor força cortante e força normal Disponível em httpsyoutube5pLPPCEjTE Acesso em 5 mar 2018 Leia sobre construção de diagramas de força cortante e normal no item 56 do livro KASSIMALI A Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora Cengage Learning 2015 Sobre tensão de cisalhamento em vigas veja o material VANDERLEI Romel Dias Cisalhamento Universidade Estadual de Maringá Cap 5 Disponível em httpwwwgdaceuembrromel MDidaticoMecanicaSolidosICapitulo5Cisalhamentopdf Acesso em 5 mar 2018 Pesquise mais U3 Pórticos isostáticos 114 Cisalhamento simples Universidade Federal do Paraná p 6167 Disponível em httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploads resistenciaApostilaCapitulo5pdf Acesso em 5 mar 2018 Você como engenheiro recémformado foi incumbido anteriormente de calcular as reações nos apoios de um pórtico que será a entrada de um hotel Figura 313 Dando continuidade a essa incumbência deverá apresentar os diagramas de força cortante e normal e a tensão máxima de cisalhamento da viga do pórtico em função da máxima cortante nela ocorrente A seção da viga é retangular de 20 x 50 cm Figura 313 Esquema estrutural de cálculo do pórtico com as reações nos apoios do portal Fonte elaborada pelo autor Sem medo de errar Conforme estudado construímos os diagramas de força cortante Figura 322b e de força normal Figura 322c e identificamos que a maior força cortante atuante na viga do pórtico é de 12 kN que utilizamos para determinar a máxima tensão de cisalhamento U3 Pórticos isostáticos 115 Tensão de cisalhamento Descrição da situaçãoproblema Um pórtico está em fase de dimensionamento e sua função é determinar as tensões de cisalhamento média e máxima às quais a viga desse pórtico estará sujeita sabendo que as dimensões transversais da viga são de 20 x 30 cm As tensões deverão ser determinadas em função da máxima força cortante da viga Para que sejam realizados os cálculos foilhe apresentado o diagrama de força cortante Figura 323 Avançando na prática Máxima tensão de cisalhamento tmáx V A 15 1 tmáx 15 12 0 2 0 5 1 tmáx kPa 180 Portanto a máxima tensão de cisalhamento em função da máxima força cortante é de 180 kPa Figura 322 Diagramas de força cortante e normal Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 116 1 A tensão de cisalhamento é provocada pela ação de força cortante que gera o deslizamento entre faces sendo que a tensão de cisalhamento t é paralela à força cortante V Em uma estrutura de concreto armado ela é uma das variáveis que nos auxilia a calcular a taxa de aço da armadura transversal Uma viga retangular de seção transversal igual a 30 x 70 cm está sujeita a uma força cortante de 21 kN Qual é a tensão de cisalhamento média Faça valer a pena Resolução da situaçãoproblema Observando a Figura 323 notamos que a cortante máxima à qual a viga do pórtico está sujeita é de 9 kN e sabendo que suas dimensões transversais são de 20 x 30 cm determinamos as tensões de cisalhamento solicitadas tmáx V A 15 1 tmáx 15 9 0 2 0 3 1 tmáx kPa 225 tméd V A 1 tméd 9 0 2 0 3 1 tméd kPa 150 Figura 323 Diagrama de força cortante Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 117 a 16 kN b 22 kN c 28 kN d 12 kN e 61 kN 3 Pórtico é uma estrutura rígida composta de pilar e viga estando esses elementos sujeitos a esforços ativos externos que provocam esforços externos reativos esforços cortantes e normais Em se tratando de pórticos isostáticos os esforços externos reativos são obtidos por meio das equações de equilíbrio Dada a figura a seguir determine a força cortante máxima atuante na estrutura a 10 kPa b 21 kPa c 100 kPa d 12 kPa e 1 kPa 2 Nos pórticos construímos os diagramas de força cortante da mesma forma que nas vigas isostáticas obedecendo a rotação dos eixos Para que se possa dimensionar uma estrutura uma das variáveis a ser conhecida é a força cortante O pórtico apresentado na figura a seguir deverá ser dimensionado Indique a alternativa correta com relação à cortante máxima atuante no pórtico apresentado Figura Pórtico isostático Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 118 a 175 kN b 10 kN c 20 kN d 25 kN e 30 kN Figura Pórtico isostático Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 119 Fonte elaborada pelo autor Figura 324 Esquema estrutural de cálculo e diagrama de força cortante Caro aluno Nesta seção estudaremos a construção de diagramas de momento fletor Como já vimos em outras situações o momento auxilia no dimensionamento de estruturas Na seção anterior estudamos a construção de diagramas de força cortante e normal e agora o diagrama de força cortante nos servirá de base para a construção do diagrama de momento fletor Veremos que a construção dos diagramas de momento fletor ainda obedece às bases já estudadas em vigas isostáticas sendo assim podemos calculálos fazendo uso dos cálculos das áreas das figuras formadas no diagrama de força cortante Você engenheiro recémformado foi incumbido de auxiliar no dimensionamento de um pórtico isostático que servirá de portal em um hotel de grande porte e terá mais uma etapa a cumprir a construção do diagrama de momento fletor com base nas informações apresentadas na Figura 324 composta do esquema estrutural de cálculo com os esforços externos ativos e reativos Figura 324a e do diagrama de força cortante Figura 324b Seção 33 Diálogo aberto Pórticos isostáticos diagramas de momentos fletores U3 Pórticos isostáticos 120 Figura 325 Transferência dos momentos Para que você obtenha êxito em mais esta etapa dediquese a estudar o assunto Leia e acesse os links que tratam da construção de diagramas de momento fletor para cargas distribuídas e concentradas Caro aluno Aqui estamos estudando a construção de diagramas de momento fletor em pórticos isostáticos similar ao que lhe foi apresentado na construção de diagramas de momento fletor para vigas isostáticas já que os cálculos são os mesmos podendo ser baseados nas áreas das figuras formadas no diagrama de força cortante O que difere é que ao construir o diagrama na primeira barra vertical do pórtico devemos transferir o momento para a barra horizontal fazendo um giro horário O mesmo deverá ser feito quando chegar ao final da barra horizontal devemos transferir o momento para a segunda barra vertical também em giro horário observe as Figuras 325a e b Diagramas de momentos fletores para cargas concentradas em pórticos isostáticos A construção desse tipo de diagrama obedece aos conceitos já estudados na Seção 11 ou seja temos como base o diagrama de força cortante e calculamos os momentos a serem apresentados no diagrama em função das áreas das figuras geométricas formadas no diagrama de força cortante A Figura 326 nos apresenta um diagrama de força cortante Figura 326b em função do qual obtemos o diagrama de momento fletor Figura 326c Podemos notar no diagrama de Não pode faltar Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 121 momento fletor que no ponto D da barra AD o momento é de 6 kNm que é transferido no mesmo ponto D para a barra CD com giro horário ocorrendo o mesmo no ponto C dessa mesma barra CD transferindo o momento para barra BC mais uma vez com giro horário Fonte elaborada pelo autor Figura 326 Diagramas de força cortante e momento fletor de um pórtico solicitado com cargas concentradas Em pórticos isostáticos a transferência do momento fletor de uma barra para outra se faz em giro horário Assimile Diagramas de momentos fletores para cargas distribuídas em pórticos isostáticos Para construirmos esse tipo de diagrama de momento fletor também fazemos uso dos ensinamentos obtidos na construção de diagramas de momento fletor de vigas isostáticas com cargas distribuídas O que teremos de diferente aqui é a transferência do momento ocorrente na barra vertical para a barra horizontal e dessa barra para a próxima U3 Pórticos isostáticos 122 Fonte elaborada pelo autor Figura 327 Diagramas de força cortante e momento fletor de um pórtico solicitado com cargas distribuídas Diagramas de momentos fletores para momentos puros em pórticos isostáticos As teorias explicadas nos tópicos anteriores se aplicam aqui também a novidade é que a representação do momento puro no diagrama é feita por um traço como você pode notar na Figura 328c barra vertical Observe na Figura 327 que os cálculos dos momentos foram realizados por meio das figuras formadas no diagrama de força cortante Figura 327b e observe na Figura 327c que o momento da barra AB no ponto B 225 kNm é transferido no mesmo ponto para a barra BC fazendo um giro horário ocorrendo o mesmo nesta barra no ponto C cujo momento é de 27 kNm em transferência para a barra CD Reflita Caso você não tenha condição de fazer uso do cálculo das áreas do diagrama de força cortante para construção do diagrama de momento fletor qual seria seu outro recurso U3 Pórticos isostáticos 123 em que os momentos 6 kNm 12 kNm e 9 kNm são representados por traços horizontais e verticais Veja que o momento 6 kNm na barra AB está representado na horizontal e como não há nenhum tipo de carregamento após esse momento representamos então como uma ação constante que no ponto B é transferido com giro horário para barra BC onde encontramos os momentos puros de 6 kNm e 12 kNm representados por traços verticais sendo o primeiro saindo de 3 kNm e chegando a 9 kNm e o segundo saindo de 6 kNm e chegando a 6 kNm Diagramas de momentos fletores para pórticos sujeitos a cargas distribuídas concentradas e momentos puros Nesta situação temos a junção das três situações estudadas anteriormente obedecendo as teorias estudas sobre a construção de diagramas de momento fletor além da transferência de momento da barra vertical para horizontal e viceversa que ocorre em sentido horário Figura 328 Diagramas de força cortante e momento fletor de um pórtico solicitado com momentos puros Considere uma estrutura aporticada solicitada por cargas concentradas distribuída em momento puro Figura 329 da qual lhe é pedido o diagrama Exemplificando Fonte elaborada pelo autor U3 Pórticos isostáticos 124 Figura 329 Diagrama de momento fletor de um pórtico solicitado com cargas distribuída concentrada e momentos puro Figura 330 Diagrama de momento fletor de um pórtico solicitado com cargas distribuída concentrada e momentos puro Fonte elaborada pelo autor de momento fletor Resolução Calculamos os esforços externos reativos apresentados na Figura 330a em seguida construímos o diagrama de força cortante Figura 330b que nos deu base para construir o diagrama de momento Figura 330c seguindo as teorias apresentadas nesta seção pois este gráfico fez uso dos conceitos já apresentados U3 Pórticos isostáticos 125 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Para a construção de diagrama de momento fletor leia da página 176 à 190 do livro KASSIMALI Aslam Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora Cengage Learning 2015 Pórtico diagramas de momento fletor força cortante e força normal Disponível em httpsyoutube5pLPPCEjTE Acesso em 5 mar 2018 Pesquise mais Sem medo de errar Você como engenheiro recémformado foi incumbido de auxiliar no dimensionamento de um pórtico isostático que servirá de portal em um hotel de grande porte e agora terá de construir o diagrama de momento fletor com base nas informações apresentadas na Figura 324 que é composta do esquema estrutural de cálculo com os esforços externos ativos e reativos Figura 324a e do diagrama de força cortante Figura 324b Figura 324 Esquema estrutural de cálculo e diagrama de força cortante U3 Pórticos isostáticos 126 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Com base nas informações fornecidas e fazendo uso dos conceitos de construção de diagramas de momento fletor tivemos como resultado a Figura 331 o diagrama de momento fletor solicitado Diagrama de momento fletor Descrição da situaçãoproblema Dado o pórtico Figura 332 que será a estrutura do portal de entrada de um celeiro Construa o diagrama de momento fletor em função das informações Resolução da situaçãoproblema Fazendo uso conceitos apresentados nesta seção e com base no diagrama de força cortante Figura 333b construímos o diagrama de momento fletor Figura 333c Figura 331 Diagrama de momento fletor Avançando na prática Figura 332 Diagrama de força cortante U3 Pórticos isostáticos 127 Figura 333 Esquema estrutural de cálculo e esforços externos reativos diagramas de força cortante e momento fletor Fonte elaborada pelo autor Faça valer a pena 1 O estudo da construção de digramas de momento fletor em pórticos isostáticos apresenta pouca novidade com relação ao que foi estudado em vigas isostáticas os cálculos são os mesmos podendo ser baseados nas áreas as figuras formadas no diagrama de força cortante De que forma ocorre a transferência de momento de barras verticais para barras horizontais e viceversa a Por cálculos isostáticos b Por giro horário c Por transferência isostática d Por giro antihorário e Por transferência binária 2 Sabemos que o momento puro reflete no cálculo de esforços externos reativos como força binária atuando em sentido contrário ao momento assim garantindo que ele não causará instabilidade da estrutura Nos diagramas de força normal e cortante o momento puro não aparece ele é representado no diagrama de momento fletor U3 Pórticos isostáticos 128 Figura Estrutura de pórtico isostático Fonte elaborada pelo autor 3 Dada a estrutura de um pórtico isostático sujeito a esforços externos ativos de cargas concentrada e distribuída juntamente com seus esforços externos reativos conforme a figura a seguir Essa estrutura está também sujeita a efeitos de forças cortantes e momentos fletores Indique a alternativa correta com relação ao maior momento fletor a que a estrutura está sujeita Como representamos um momento puro no diagrama de momento fletor de uma barra horizontal a Com traço oblíquo b Com traço curvo c Com traço reto horizontal d Com tracejado e Com traço reto vertical a 2276 kNm b 2672 kNm c 6227 kNm d 2762 kNm e 7622 kNm U3 Pórticos isostáticos 129 JUDICE F M S PERLINGEIRO M S P L Resistência dos materiais IX Centro Tecnológico de Engenharia Departamento de Engenharia Civil Universidade Federal Fluminense 2005 Disponível em httpwwwuffbrresmatcivilDownloads ResMatIXapostilaresmatIXpdf Acesso em 5 mar 2018 KASSIMALI Aslam Análise estrutural 5 ed São Paulo Editora Cengage Learning 2015 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural volume 1 estruturas isostáticas 6 ed São Paulo Editora Globo 1981 Referências Unidade 4 Grelhas isostáticas Convite ao estudo Nesta unidade de estudo iremos adquirir conhecimentos sobre grelhas isostáticas Esse assunto trata de estruturas que têm a função de suportar lajes de piso e de cobertura pisos de mezaninos entre outros O estudo apresentado oferecerá os conceitos fundamen tais para aplicar e executar cálculos de determinação dos es forços das estruturas tipo grelhas e fornecerá condições para analisar estruturas do mesmo tipo Serão apresentados nesta unidade a definição e os tipos de grelhas os esforços solicitantes e a estaticidade em grelhas isostáticas a grelha engastada e livre com foco no cálculo de reações diagramas de forças cortantes e de momento fletor a grelha triapoiada visando ao cálculo de reações diagramas de forças cortantes e de momento fletor Para o desenvolvimento desses conhecimentos você será inserido em um problema de uma situação real como en genheiro de uma empresa de cálculo estrutural você deve rá auxiliar no dimensionamento de estruturas do tipo grelhas isostáticas Na Seção 41 verificará a estaticidade da estrutura de um mezanino Na Seção 42 deverá calcular as reações no apoio construir os diagramas de força cortante momento fletor e momento torsor de um outro mezanino com base estrutural em grelha isostática engastada e livre Na Seção 43 deverá apresentar os cálculos de reações nos apoios os dia gramas de força cortante momentos fletor e torsor de uma cobertura que terá como base uma grelha isostática triapoia da O seu sucesso terá como base o conhecimento fornecido nesta unidade 132 U4 Grelhas isostáticas Introdução ao estudo das grelhas Seção 41 Figura 41 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha Fonte elaborada pelo autor Diálogo aberto Nesta seção você verá as definições e os conceitos sobre grelhas além de uma introdução sobre os esforços solicitantes e a estaticidade O estudo sobre grelhas é muito importante pois várias situações têm como estrutura de base as grelhas como lajes de piso e cober tura mezaninos entre outros Essas estruturas podem ser construí das em concreto armado em madeira ou metal Para que possa ter um bom domínio e se familiarize com o as sunto estudado você será inserido num problema como engenheiro que faz parte de uma equipe de cálculo estrutural e deverá verificar a estaticidade de uma estrutura tipo grelha Figura 41 que servirá como base para o piso de um mezanino de um barracão industrial 1 kNm 2 kNm 2 kNm 1 kNm 2 m 2 m 1 m 1 m x z y Para que você possa obter êxito nessa incumbência deverá en tender os conceitos de estaticidade das grelhas Mãos à obra 133 U4 Grelhas isostáticas Não pode faltar Definição Grelha é uma estrutura reticulada plana formada pelo cruzamen to entre vigas Esses reticulados podem ser quadrados ou oblíquos A grelha é submetida a esforços externos ativos P perpendiculares ao seu plano Figura 42 gerando esforços externos reativos como força cortante momento fletor e momento torsor Figura 42 Grelha Figura 43 Grelhas em estruturas metálica e de madeira Fonte elaborada pelo autor P P P P P P P Viga Viga Podemos encontrar aplicações do uso de grelhas em estruturas de lajes de cobertura e piso de grandes extensões mezaninos entre outros Elas podem ser feitas em concreto armado estrutura de ma deira ou metálica Figura 43 Na Figura 43 a temos um exemplo de estrutura tipo grelha com reticulado quadrado em estrutura me tálica na Figura 43 b vemos um exemplo desse tipo de estrutura em reticulado quadrado em madeira e na Figura 43 c observamos um exemplo de estrutura tipo grelha em reticulado quadrado e oblí quo em estrutura metálica a b c Fonte Ruy Flávio de Oliveira coberturas da área de convivência da Kroton Educacional Valinhos 20 de dezembro de 2017 134 U4 Grelhas isostáticas Figura 44 Esquema estrutural de cálculo de grelha engastada e livre Figura 45 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha triapoiada Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Tipos de grelhas isostáticas e introdução aos esforços solici tantes em grelhas Há dois tipos de grelhas isostáticas Grelha engastada e livre Grelha triapoiada A grelha engastada e livre tem como esquema estrutural de cálcu lo a Figura 44 na qual M momento fletor F M momento torsor T e F força Os momentos são representados por um vetor de seta dupla P P P MT MF F Temos também a grelha triapoiada Figura 45 Como o próprio nome diz ela é apoiada em três apoios que não devem estar na mesma linha A figura a seguir apresenta o esquema estrutural de cálculo de uma grelha isostática triapoiada P P P P F F F 135 U4 Grelhas isostáticas Fonte elaborada pelo autor P P P F F a P P P F F b F As grelhas triapoiadas apresentarão como esforços externos rea tivos a força cortante e o momento fletor Os esforços externos reativos em grelhas isostáticas são obtidos com as equações de equilíbrio considerando uma situação tridi mensional Então Equações de equilíbrio F F F M M M 0 0 0 0 0 0 x y z x y z Estamos na última unidade de ensino Ao longo da leitura você identifi cou o que é comum a todos os estudos quando tratamos da determina ção dos esforços externos reativos Reflita Estaticidade em grelhas isostáticas As grelhas quanto à sua estaticidade podem ser classificadas em hipostática isostática e hiperestática como todas as estruturas que estudamos desde a Unidade 1 Hipostática quando apresentar menos que três esforços exter nos reativos Figura 46a ou reações nos apoios eou quando os apoios apresentarem condições colineares Figura 46b Figura 46 Esquema estrutural de cálculo de grelha hipostática P P P F F a P P P F F b F 136 U4 Grelhas isostáticas Figura 47 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha isostática Figura 48 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha hiperestática Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Isostática quando apresentar três esforços externos reativos ou reações nos apoios e quando os apoios não apresentarem condições colineares Figura 47 P P P F F F Hiperestática quando apresentar mais que três esforços exter nos reativos Figura 48 ou reações nos apoios P P P F F F F MT MF 137 U4 Grelhas isostáticas Exemplificando Figura 49 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha Figura 410 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha com os esforços externos reativos Dada a estrutura de cálculo de uma grelha Figura 49 determine a sua estaticidade A B C D 3 m 2 m 1 kNm 3 kN Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Resolução Podemos observar na Figura 410 que são apresentadas três reações ou seja esforços externos reativos a força V D o momento fletor M F e o momento torsor M T Portanto podemos concluir que se trata de uma grelha isostática pois a teoria nos informa que quando tivermos um nú mero de reações igual a três e não colineares estamos trabalhando com uma grelha isostática A B C D 3 m 2 m 1 kNm 3 kN VD MT MF Estaticidade em grelhas isostáticas Hipostática número de reações 3 eou colineares Isostática número de reações 3 e não colineares Hiperestática número de reações 3 Assimile 138 U4 Grelhas isostáticas Figura 41 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha Fonte elaborada pelo autor Leia sobre conceitos tipos e exemplos de aplicação de grelhas isostáti cas em NEVES JUNIOR Alex Teoria das Estruturas I Grupo de Experimentação em Estruturas GRUPEX UFSC Cuiabá UFMT CUA Disponível em httparaguaia2ufmtbrprofessordisciplinaarquivo9620111108140 pdf Acesso em 22 dez 2017 Acesse também a apostila de Análise Estrutural I da Universidade Federal de Santa Catarina VALLE Ângela do ROVERE Henriette Lebre La PILLAR Nora Maria De Patta Apostila de análise estrutural I Universidade Federal de Santa Ca tarina UFSC 2013 p 134136 Disponível em httppetecvufscbr arquivosapoiodidaticoECV52192020AnC3A1lise20Estrutu ral20Ipdf Acesso em 22 dez 2017 Pesquise mais Sem medo de errar Você como um engenheiro que faz parte de uma equipe de cál culo estrutural recebeu a incumbência de verificar a estaticidade de uma estrutura tipo grelha que servirá como base para o piso de um mezanino A Figura 41 apresentada anteriormente é o esquema estrutural de cálculo da grelha a qual deverá ser a base do piso do mezanino em questão 1 kNm 2 kNm 2 kNm 1 kNm 2 m 2 m 1 m 1 m x z y 139 U4 Grelhas isostáticas Resolução Observando a Figura 411 notamos que ela é sustentada por três apoios móveis cada um apresenta uma reação em sentido vertical não colineares Sendo assim temos três reações ou seja três esfor ços externos reativos O que observamos atende à teoria que nos diz número de reações 3 e não colineares resulta em grelha isostática Figura 411 Esquema estrutural de cálculo com os esforços externo reativos rea ções nos apoios Figura 412 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor 1 kNm 2 kNm 2 kNm 1 kNm 2 m 2 m 1 m 1 m x z y A B C D E VD VE VA Avançando na prática Estaticidade é verificação de segurança Descrição da situaçãoproblema Desejase utilizar como estrutura para suporte de uma máqui na elevadora de carga uma estrutura tipo grelha representada pela Figura 412 Para isso pedese que seja realizada a verificação da estaticidade da estrutura A B C 3 m 3 kN x z y 140 U4 Grelhas isostáticas Figura 413 Esquema estrutural de cálculo com os esforços externo reativos rea ções nos apoios Fonte elaborada pelo autor Faça valer a pena Resolução da situaçãoproblema A Figura 413 é a representação da Figura 412 com os esforços externos reativos Então na Figura 413 observamos que o apoio fixo resulta em duas reações uma vertical e outra horizontal Pelo fato de a estrutura ter apenas duas reações concluímos que se trata de uma grelha hipostática pois a teoria nos informa que quando o número de reações 3 tratase de grelha hipostática 1 Grelha é uma estrutura reticulada plana formada pelo cruzamento entre vigas submetida a esforços externos ativos P perpendiculares a seu plano gerando esforços externos reativos como força cortante momento fletor e momento torsor Quanto aos reticulados das grelhas como podem ser definidos a Retangular e oblíquo b Quadrado e inclinado c Retangular e inclinado d Quadrado e oblíquo e Plano e não plano 2 Podemos encontrar aplicações do uso de grelhas em estruturas de lajes de cobertura e piso de grandes extensões mezaninos pontes entre outros As grelhas podem ser construídas em concreto armado ou com estruturas de madeira ou metal 141 U4 Grelhas isostáticas Indique a alternativa correta quanto aos tipos de grelhas isostáticas a Grelha engastada grelha triapoiada b Grelha livre grelha triapoiada c Grelha engastada grelha biapoiada d Grelha livre grelha biapoiada e Grelha engastada e livre grelha triapoiada 3 As grelhas são estruturas reticuladas planas formadas pelo cruzamen to entre vigas são submetidas a esforços externos ativos perpendiculares a seus planos e quanto à sua estaticidade podem ser classificadas em hipos tática isostática e hiperestática Considerase uma grelha isostática em que condições com relação a seus esforços externos reativos reações nos apoios a Número de esforços externos reativos igual a 3 com apoios não colinea res b Número de esforços externos reativos maior que 3 c Número de esforços externos reativos igual a 3 com apoios colineares d Número de esforços externos reativos menor que 3 e Número de esforços externos reativos maior que 3 com apoios colinea res 142 U4 Grelhas isostáticas Grelha engastada e livre Seção 42 Diálogo aberto Na seção anterior estudamos os tipos de grelhas isostáticas uma introdução aos cálculos de esforços externos reativos e a es taticidade de grelhas isostáticas Nesta seção ainda estudaremos as grelhas isostáticas com foco no estudo da grelha engastada e livre e apresentaremos os cálculos das reações nos apoios bem como a construção dos diagramas de momento fletor e momento torsor Para que você tenha mais compreensão dos assuntos será inse rido em um problema como engenheiro civil de uma empresa de cálculo estrutural Você faz parte de uma equipe que está desen volvendo a estrutura de um mezanino que será suportado por um sistema de grelha isostática engastada e livre Sua função é apre sentar os diagramas de força cortante momento fletor e torsor da estrutura a ser desenvolvida cujo esquema estrutural de cálculo é dado na Figura 414 Figura 414 Esquema estrutural de cálculo do mezanino Fonte elaborada pelo autor 4 m A B D C 2 kNm 4 kN Para que obtenha êxito nessa incumbência você deverá estudar e pesquisar sobre cálculo de reações nos apoios construção de dia gramas de força cortante momento fletor e momento torsor para grelhas isostáticas do tipo engastada e livre 143 U4 Grelhas isostáticas Não pode faltar Grelha engastada e livre Esse tipo de grelha tem uma de suas extremidades engastada e as outras livres como apresentado na Figura 415 a qual é o esque ma estrutural de cálculo de uma grelha engastada e livre Figura 411 Esquema estrutural de cálculo com os esforços externo reativos rea ções nos apoios Fonte elaborada pelo autor 2 kNm 2 m 2 m 2 kN 3 kN y x z A B C D Cálculo de reações esforços externos reativos No tipo de grelha que estamos estudando grelha engastada e livre teremos como reações ou esforços externos reativos a rea ção vertical Vi o momento fletor Mi e o momento torsor MTi conforme podemos ver na Figura 416 Figura 416 Esquema estrutural de cálculo de grelha engastada e livre com as reações Fonte elaborada pelo autor MA MTA 2 kNm 2 m 2 m 2 kN 3 kN y x z VA A B C D 144 U4 Grelhas isostáticas Obtemos a reação vertical por meio de F 0 V assim ob temos V A 9 kN O momento fletor MA foi obtido considerando M 0 A em torno do eixo y assim M A 20 kN m conforme po demos observar na Figura 417 Figura 417 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha engastada e livre com suas reações Fonte elaborada pelo autor 4 kN 1 m 1 m 20 kNm 13 kNm 2 kNm z 2 kNm 2 m 2 m 2 kN 3 kN y x z 9 kN A B C D Já no momento torsor consideramos as forças que fazem com que cada barra gire em torno do seu próprio eixo mas ainda cal culamos o momento obedecendo M F d Temos sob efeito de momento torsor as barras AB e BC sendo que a primeira gira sob o torque de 13 kN m e a segvunda sob 2 kN m como apresentado na Figura 417 Diagramas de forças cortantes A construção do diagrama de força cortante tem como base a mesma forma de construção estudada na Seção 11 Vigas isostá ticas planas O que temos a nos atentar é que devemos obedecer às mudanças de eixos Observe a Figura 418 a qual apresenta os esforços externos ativos e reativos Figura 418a A partir deles construímos o diagrama de força cortante Figura 418b 145 U4 Grelhas isostáticas Figura 418 Esforços externos ativos e reativos a diagrama de força cortante b Fonte elaborada pelo autor 2 kNm 2 m 2 m 2 kN 3 kN y x z 9 kN A B C D 3 3 5 5 3 9 V kN b A B C D a y x z Qual a diferença entre momento fletor e momento torsor Reflita Diagramas de momento fletor A construção do diagrama de momento fletor pode ser baseado nas figuras geométricas formadas no diagrama de esforço cortante As barras perpendiculares têm seus diagramas de momento fletor independentes Mas quando as barras são paralelas os momentos são sequenciais ou seja o momento do término de uma barra será 146 U4 Grelhas isostáticas apresentado no início da próxima conforme apresentado na Figura 419 com relação ao momento de 6 kN m que aparece no térmi no da barra AB e no início da barra CD Figura 419 Diagrama de momento fletor de uma grelha isostática engastada e livre Fonte elaborada pelo autor A B C D 6 6 3 13 20 M kNm b A B C D 3 3 5 5 3 9 V kN a y x z y x z Na construção dos diagramas de momento fletor as barras perpendicu lares têm seus diagramas independentes Mas quando as barras são pa ralelas os momentos são sequenciais ou seja o momento do término de uma barra será apresentado no início da próxima Assimile 147 U4 Grelhas isostáticas Diagramas de momento torsor Sabemos que o momento torsor é o esforço externo que pro move o giro da barra em torno do seu próprio eixo em função de uma força F e de uma distância d perpendicular ao eixo da barra conforme Figura 420 Figura 420 Momento torsor Fonte elaborada pelo autor A B C F F Momento torsor MT Fd y x z Obtemos o diagrama de momento torsor por meio de M F d T forças e distâncias perpendiculares ao eixo da barra Assim calculamos as barras separadamente e construímos o diagra ma conforme a Figura 421 Figura 421 Diagrama de momento torsor de uma grelha isostática engastada e livre Fonte elaborada pelo autor 4 kN 1 m 1 m 18 kNm 13 kNm 2 kNm 2 kNm 2 m 2 m 2 kN 3 kN y x z 9 kN A B C D A B C D 2 2 13 MT kNm b y x z 13 a 148 U4 Grelhas isostáticas Dado o esquema estrutural de cálculo de uma grelha isostática engas tada e livre Figura 422 apresente os diagramas de força cortante mo mento fletor e momento torsor Exemplificando Figura 422 Esquema estrutural de grelha isostática engastada e livre Figura 423 Esquema estrutural de grelha isostática engastada e livre com os diagramas de esforços externos reativos Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor 1 kNm 3 m A B C Resolução Obedecendo a teorias apresentadas nesta seção com relação aos cálcu los de reações nos apoios construções de diagramas de força cortante momento fletor e momento torsor obtivemos a Figura 423 que atende ao solicitado neste exemplo 1 kNm 3 m A B C 3 kN 6 kN 15 m 15 m 12 kNm 9 kN 45 kNm 3 m A B C 3 9 V kN b a 3 m A B C 45 12 M kNm c 3 m A B C 45 45 MT kNm d 1 kNm 3 m A B C 3 kN 6 kN 15 m 15 m 12 kNm 9 kN 45 kNm 3 m A B C 3 9 V kN b a 3 m A B C 45 12 M kNm c 3 m A B C 45 45 MT kNm d Para observar um exemplo de grelha engastada e livre acesse ALMEIDA Ma ria Cascão Ferreira de Estruturas isostáticas Oficina de Texto p 1516 Dis ponível em httpswwwofitextocombrwpcontentuploads201704 EstruturasIsostC3A1ticascap07pdf Acesso em 11 abr 2018 Pesquise mais 149 U4 Grelhas isostáticas Sem medo de errar Você como engenheiro civil de uma empresa de cálculo estru tural faz parte de uma equipe que está desenvolvendo a estrutura de mezanino que será suportado por um sistema de grelha isostáti ca engastada e livre Sua função é apresentar os diagramas de força cortante momento fletor e torsor da estrutura a ser desenvolvida cujo esquema estrutural de cálculo é dado na Figura 414 Figura 414 Esquema estrutural de cálculo do mezanino Fonte elaborada pelo autor 4 m A B D C 2 kNm 4 kN Resolução Aplicando os conceitos apresentados nesta seção sobre cálculo de reações nos apoios construção de diagramas de força cortante momento fletor e torsor obtemos os resultados apresentados na Figura 424 Figura 424 Esquema estrutural de cálculo do mezanino e os diagramas de força cortante momento fletor e torsor 4 m A B D C 2 kNm 4 kN 8 kN 8 kN 8 kN 2 m 2 m 128 kNm 28 kN 64 kNm 32 kNm 4 m 4 12 20 28 A B D C V kN b 32 64 32 128 M kNm c 4 m A B D C 32 32 64 64 MT kNm d a 150 U4 Grelhas isostáticas 4 m A B D C 2 kNm 4 kN 8 kN 8 kN 8 kN 2 m 2 m 128 kNm 28 kN 64 kNm 32 kNm 4 m 4 12 20 28 A B D C V kN b 32 64 32 128 M kNm c 4 m A B D C 32 32 64 64 MT kNm d 4 m A B D C 2 kNm 4 kN 8 kN 8 kN 8 kN 2 m 2 m 128 kNm 28 kN 64 kNm 32 kNm 4 m 4 12 20 28 A B D C V kN b 32 64 32 128 M kNm c 4 m A B D C 32 32 64 64 MT kNm d 151 U4 Grelhas isostáticas 4 m A B D C 2 kNm 4 kN 8 kN 8 kN 8 kN 2 m 2 m 128 kNm 28 kN 64 kNm 32 kNm 4 m 4 12 20 28 A B D C V kN b 32 64 32 128 M kNm c 4 m A B D C 32 32 64 64 MT kNm d Fonte elaborada pelo autor Avançando na prática Diagramas de força cortante momento fletor e torsor Descrição da situaçãoproblema Você como engenheiro civil membro de uma equipe de cálculo estrutural está incumbido de apresentar os diagramas de força cor tante momento fletor e torsor da estrutura de um camarote que terá como estrutura uma grelha isostática engastada e livre Figura 425 Figura 425 Esquema estrutural de cálculo do camarote Fonte elaborada pelo autor 3 m A B C 6 kN 1 m 2 m Resolução da situaçãoproblema Aplicando os conceitos estudados nesta seção com relação à determinação das reações nos apoios e à construção dos diagra mas de momento fletor e torsor obtemos os resultados apresenta dos na Figura 426 atendendo ao solicitado 152 U4 Grelhas isostáticas Figura 426 Esquema estrutural de cálculo do camarote e os diagramas de força cortante momento fletor e torsor Fonte elaborada pelo autor 3 m A B C 6 kN 1 m 2 m 15 kN 21 kN 375 kNm 51 kNm 21 21 15 15 A B C V kN b a 375 51 30 M kNm c A B C 375 A B C MT kNm d 3 m A B C 6 kN 1 m 2 m 15 kN 21 kN 375 kNm 51 kNm 21 21 15 15 A B C V kN b a 375 51 30 M kNm c A B C 375 A B C MT kNm d 3 m A B C 6 kN 1 m 2 m 15 kN 21 kN 375 kNm 51 kNm 21 21 15 15 A B C V kN b a 375 51 30 M kNm c A B C 375 A B C MT kNm d 3 m A B C 6 kN 1 m 2 m 15 kN 21 kN 375 kNm 51 kNm 21 21 15 15 A B C V kN b a 375 51 30 M kNm c A B C 375 A B C MT kNm d 153 U4 Grelhas isostáticas Faça valer a pena 1 Em uma grelha isostática engastada e livre que é uma grelha com uma extremidade engastada e as outras livres temos como reações nos apoios ou seja esforços externos reativos a força vertical o momento no engaste e o momento torsor Com relação à força vertical existente no apoio como podemos obtêla a M 0 Engaste b F 0 H c F 0 V d M 0 Torsor e M M 0 Engaste Torsor 2 Para que possamos expressar o comportamento de uma grelha isos tática do tipo engastada e livre usamos os diagramas de força momento fletor e momento torsor pois esses diagramas nos oferecem informações que possibilitam dimensionar a estrutura do tipo grelha de forma adequada e segura A construção dos diagramas de momento fletor podem ter como base as figuras geométricas do diagrama de força cortante e quando se trata de grelha isostática engastada e livre temos que nos atentar a quê a Que em barras paralelas o momento fletor apresentado no término de uma barra deverá ser transferido para o início da próxima barra paralela b Que em barras paralelas o momento apresentado no término de uma barra deverá ser subtraído da próxima barra paralela c Que o momento apresentado no término de uma barra deverá ser trans ferido para o início da próxima barra d Que em barras paralelas o momento apresentado no término de uma barra deverá ser omitido do início da próxima barra paralela e Como as barras são independentes não devemos ter nenhuma preocu pação 3 Uma grelha isostática do tipo engastada e livre cujo esquema estrutural de cálculo é dado pela figura a seguir será utilizada como base de uma pla taforma de elevador de carga de um grande centro comercial 154 U4 Grelhas isostáticas Esquema estrutural de cálculo de uma plataforma elevadora de carga Fonte elaborada pelo autor 2 m A B C 6 kN Calcule o momento torsor atuante na barra AB a 12 kN m b 21 kN m c 9 kN m d 18 kN m e 0 kN m 155 U4 Grelhas isostáticas Grelha triapoiada Seção 43 Diálogo aberto Não pode faltar Na seção anterior aprendemos a calcular reações nos apoios construir diagramas de força momento fletor e torsor para grelhas isostáticas do tipo engastada e livre Nesta seção veremos os mes mos tópicos mas voltados a grelhas isostáticas do tipo triapoiada O tipo de estrutura a ser estudado é aplicado como base de suporte de lajes mezaninos entre outros Para que você tenha mais compreensão sobre o assunto apre sentado você será inserido em uma situaçãoproblema como en genheiro civil de uma empresa de cálculo estrutural e deverá apre sentar os diagramas de força cortante momentos fletor e torsor de uma cobertura que terá como base uma grelha isostática triapoiada A Figura 427 representa o esquema estrutural de cálculo Figura 427 Esquema estrutural de cálculo da cobertura Fonte elaborada pelo autor 6 kN A B C D 4 m 4 m x y z 4 kN E Para executar essa tarefa você terá que estudar reações nos apoios de grelhas triapoiadas construção de diagramas de força cortante momento fletor e momento torsor para o mesmo tipo de estrutura Como sabemos nesta seção estudaremos os cálculos de rea ções nos apoios bem como a construção de diagramas de força cortante momento fletor e momento torsor 156 U4 Grelhas isostáticas Grelha triapoiada Como o próprio nome diz são grelhas que apresentam três apoios e para serem consideradas isostáticas esses apoios não po dem ser colineares como citado na Seção 41 Cálculo de reações O cálculo de reações ocorre por meio de equações de equilíbrio levando em consideração as condições tridimensionais Porém para os cálculos das somatórias dos momentos levaremos em con sideração a barra M 0 barraIJ e não o ponto como estudado em vigas isostáticas planas Exemplo Dada a grelha isostática triapoiada Figura 428 determine as reações nos apoios ou seja os esforços externos reativos Figura 428 Grelha isostática triapoiada Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 282 1 kN 3 kN 4 kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F Resolução Observando a Figura 428 e fazendo uso das equações de equilí brio determinamos as reações V V B C e VE F 0 x F 0 y F 0 z V V V 4 1 3 0 B C E V V V 8kN B C E Pela somatória das forças não é possível determinar as incóg nitas Assim partimos para a somatória dos momentos mas com relação às barras 157 U4 Grelhas isostáticas M 0 barraBC V V kN 4 2 1 4 3 4 4 0 6 E E M 0 barraCE V V kN 2 4 2 1 2 3 2 0 2 B B M 0 barraDF V V 2 4 4 4 0 B c V V kN 2 4 4 2 4 0 0 c c Figura 429 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha triapoiada com as rea ções de apoio Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 282 1 kN 3 kN 4 kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F VB VC VE 2 kN 0 kN 6 kN x y z As somatórias dos momentos em grelhas triapoiadas serão consideradas em relação a uma barra e não a um ponto Assimile Diagramas de forças cortantes Construímos os diagramas de força cortante com base nos cál culos de reações nos apoios ou seja nos esforços externos reati vos Usamos os mesmos conceitos apresentados nos estudos de vigas isostáticas planas Seção 11 Porém consideramos as condi ções tridimensionais apresentadas na Seção 42 Fazendo uso dos resultados das reações nos apoios apresentados na Figura 430 construa o diagrama de força cortante Exemplificando 158 U4 Grelhas isostáticas Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 282 Resolução Fazendo uso dos conceitos de construção de diagramas de forças cor tantes estudados nas Seções 11 e 42 construímos o diagrama solicita do Observe a Figura 431b Figura 431 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha triapoiada com as reações de apoio e diagrama de força cortante 1 kN 3 kN 4 kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F VB VC VE 2 kN 0 kN 6 kN x y z 1 kN 3 kN 4 kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F VB VC VE 2 kN 0 kN 6 kN x y z 4 4 2 2 2 1 1 3 3 a b V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 282 283 Figura 430 Esquema estrutural de cálculo de uma grelha triapoiada com as reações de apoio 159 U4 Grelhas isostáticas Diagramas de momentos fletores Para a construção desse tipo de diagrama temos que nos basear pelo diagrama de força cortante considerando os apoios como en gastes Além disso analisamos as barras separadamente Assim as barras não serão consideradas biapoiadas mas serão consideradas engastadas e livres Fazendo uso do diagrama de força cortante apresentado na Figura 431b construa o diagrama de momento fletor Figura 431b Diagrama de força cortante de uma grelha triapoiada isostática Exemplificando 4 4 2 2 2 1 1 3 3 V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 283 Resolução Com base na Figura 432a separamos as barras tornandoas engas tadas e livre e transformamos as forças cortantes em vetores Figura 432b Logo após calculamos os momentos fletores em cada barra e construímos os diagramas de momentos fletores parciais Figura 432c Finalizando unimos os diagramas de momentos fletores parciais geran do um único diagrama de momento fletor Figura 432d Figura 432 Diagrama de força cortante de uma grelha triapoiada isostática e diagrama de momento fletor 4 4 2 2 2 1 1 3 3 a V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F b V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 1 kN 3 kN 2 kN 4 kN 2 kN c M kNm 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 2 6 8 4 8 2 6 8 4 8 A B C D E F d M kNm 160 U4 Grelhas isostáticas 4 4 2 2 2 1 1 3 3 a V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F b V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 1 kN 3 kN 2 kN 4 kN 2 kN c M kNm 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 2 6 8 4 8 2 6 8 4 8 A B C D E F d M kNm 4 4 2 2 2 1 1 3 3 a V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F b V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 1 kN 3 kN 2 kN 4 kN 2 kN c M kNm 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 2 6 8 4 8 2 6 8 4 8 A B C D E F d M kNm 4 4 2 2 2 1 1 3 3 a V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F b V kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 1 kN 3 kN 2 kN 4 kN 2 kN c M kNm 2 m 2 m 2 m A B C D E F B C E E 2 6 8 4 8 2 6 8 4 8 A B C D E F d M kNm Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 283 Diagramas de momento torsor Para construir o diagrama de momento torsor de uma grelha isostática triapoiada temos que analisar quais barras estarão sob o efeito do momento torsor Estarão sob esse efeito as barras que estiverem conectadas às barras que sejam concorrentes e com ex tremidade livre sob ação de cargas O cálculo do momento fletor se dá por M F d Dada a grelha isostática triapoiada Figura 428 apresente o diagrama de momento torsor Exemplificando 161 U4 Grelhas isostáticas Fonte adaptada Süssekind 1981 p 283 Figura 428 Grelha isostática triapoiada 1 kN 3 kN 4 kN 2 m 2 m 2 m A B C D E F Fonte adaptada de Süssekind 1981 p 282 Resolução Analisando a Figura 428 podemos observar que a barra BC estará sujei ta a momento torsor devido à ação da barra concorrente AB que é uma barra com extremidade livre E essas barras se conectam pelo ponto B Então calculamos o momento torsor em BC M F d M M kN m 4 2 8 T BC T BC Também podemos notar que a barra CE estará sujeita a momento tor sor devido às suas barras concorrentes DE e EF Estas duas barras têm extremidades livres e se conectam à barra CE pelo ponto E Então o momento torsor em CE será M F d M M kN m 1 2 3 2 4 TCE TCE Com os resultados obtidos construímos o diagrama de momento torsor Figura 433 Figura 433 Diagrama de momento torsor de uma grelha triapoiada isostática A B C D E F 8 8 4 4 MT kNm Quando se trata de grelhas isostáticas triapoiadas por que as barras com extremidades livres promovem momento torsor em suas concorrentes Reflita 162 U4 Grelhas isostáticas Leia sobre cálculos de reações diagramas de momento fletor e torsor de grelhas isostáticas triapoiadas acessando VALLE Ângela do ROVERE Henriette Lebre La PILLAR Nora Maria De Patta Apostila de análise estrutural I Universidade Federal de Santa Ca tarina UFSC 2013 p 136140 Disponível em httppetecvufscbr arquivosapoiodidaticoECV52192020AnC3A1lise20Estrutu ral20Ipdf Acesso em 30 dez 2017 Pesquise mais Você como engenheiro civil em uma empresa de cálculo estru tural deverá apresentar os diagramas de força cortante momentos fletor e torsor de uma cobertura que terá como base uma grelha isostática triapoiada A Figura 427 representa o esquema estrutural de cálculo Figura 427 Esquema estrutural de cálculo da cobertura 6 kN A B C D 4 m 4 m x y z 4 kN E Sem medo de errar Fonte elaborada pelo autor Resolução Para atender ao solicitado iniciamos calculando as reações nos apoios com base na Figura 427 F 0 x F 0 y F 0 z V V V V V V kN 4 6 0 10 B C D B C D M 0 BC V V kN 4 4 6 4 4 0 10 D D M 0 CD V V kN 5 6 5 2 4 0 76 B B 163 U4 Grelhas isostáticas V V V 30 kN B C D V kN V kN 76 10 10 76 C C Aplicando os conceitos apresentados nesta seção construímos os diagramas apresentados na Figura 434 Figura 434 Esquema estrutural de cálculo com reações nos apoios diagramas de força cortante momento fletor e torsor Fonte elaborada pelo autor 164 U4 Grelhas isostáticas Avançando na prática Base para elevador de carga Descrição da situaçãoproblema Você deverá apresentar os diagramas de força cortante momen to fletor e momento torsor de base para um elevador de carga A base desse elevador será construída em uma estrutura do tipo gre lha isostática triapoiada O esquema estrutural de cálculo é apresen tado na Figura 435 Figura 435 Esquema estrutural de cálculo do elevador de carga 9 kN A B C D 4 m 5 m x y z 6 kN E Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema Para atender ao solicitado iniciamos calculando as reações nos apoios com base na Figura 435 F 0 x F 0 y F 0 z V V V V V V kN 6 9 0 15 A C D A C D M 0 AC V V kN 5 5 6 4 9 0 12 D D M 0 CD V V kN 3 6 5 5 9 0 126 A A V V V 15 kN A C D V kN V kN 126 12 15 12 C C Aplicando os conceitos apresentados nesta seção construímos os diagramas apresentados na Figura 436 165 U4 Grelhas isostáticas Figura 436 Esquema estrutural de cálculo com reações nos apoios e diagramas de força cortante momento fletor e torsor Fonte elaborada pelo autor Faça valer a pena 1 No caso de uma grelha isostática triapoiada para que possamos cons truir os diagramas de força cortante momento fletor e momento torsor devemos inicialmente calcular as reações nos apoios ou seja os esforços externos reativos fazendo uso das equações de equilíbrio 166 U4 Grelhas isostáticas Com relação à equação dos momentos podemos indicar como correta qual alternativa a M 0 ponto i b M M 0 ponto i ponto j c M 0 barraIJ d F 0 x e F 0 x y z 2 Um centro comercial contratou uma equipe de engenharia estrutural para construir um mezanino onde será instalada a central de comunicação A base desse mezanino será uma estrutura isostática do tipo grelha triapoia da conforme representado no esquema estrutural de cálculo Fonte elaborada pelo autor Indique a alternativa correta com relação ao momento torsor ocorrente em AB a 10 kNm b 8 kNm c 18 kNm d 32 kNm e 40 kNm 3 Um mezanino foi projetado para um centro comercial e tem como base uma grelha isostática triapoiada cujo esquema estrutural de cálculo é dado na figura a seguir A construtora que deverá executar o trabalho de constru ção do mezanino solicitou as reações nos apoios para que possa enviálas aos engenheiros de fundação para que determinem o tipo de fundação a ser utilizada Figura Esquema estrutural de cálculo do mezanino 10 kN A B C D 4 m 4 m x y z 8 kN E F 10 kN A B C D 4 m 4 m x y z 8 kN E F Fonte elaborada pelo autor Indique a alternativa que apresenta a maior reação dos apoios do mezanino a 69 kN b 10 kN c 8 kN d 96 kN e 18 kN Figura Esquema estrutural de cálculo do mezanino SÜSSEKIND José Carlos Curso de análise estrutural V 1 Estruturas isostáticas 6ª ed Porto Alegre Rio de Janeiro Editora Globo 1981 Referência KLS CIRCUITOS ANALÓGICOS Circuitos Analógicos