Variáveis Complexas: Conteúdo e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS ORGANIZADORES VINÍCIUS PARANAÍBA CAMPOS CATIA CANDIDA DE ALMEIDA Variáveis complexas GRUPO SER EDUCACIONAL Variáveis complexas é um livro direcionado para estudantes dos cursos de matemática Além de abordar assuntos gerais o livro traz conteúdo sobre as funções de variáveis complexas e suas derivações e integrações fórmula integral de Cauchy resíduos e polos de variáveis complexas Após a leitura da obra o leitor vai aprender sobre as operações fundamen tais conhecer as principais funções elementares com destaque para a exponencial visualizar algumas funções de transformações no plano com plexo analisar suposições e critérios de limite e continuidade de funções complexas compreender as principais regras de derivação das funções complexas considerar a série de Laurent expressa em séries de potências admitindo termos de grau negativo saber sobre a fórmula da integral de Cachy aplicada em caminhos de contorno fechado relembrar as séries de potência de Taylor MacLauren e Laurent aplicar o teorema dos resíduos em resolução de problemas com integrais e muito mais Aproveite a leitura do livro Bons estudos VARIÁVEIS COMPLEXAS ORGANIZADORES VINÍCIUS PARANAÍBA CAMPOS CATIA CANDIDA DE ALMEIDA gente criando futuro C M Y CM MY CY CMY K Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito do Grupo Ser Educacional Diretor de EAD Enzo Moreira Gerente de design instrucional Paulo Kazuo Kato Coordenadora de projetos EAD Manuela Martins Alves Gomes Coordenadora educacional Pamela Marques Equipe de apoio educacional Caroline Guglielmi Danise Grimm Jaqueline Morais Laís Pessoa Designers gráficos Kamilla Moreira Mário Gomes Sérgio RamosTiago da Rocha Ilustradores Anderson Eloy Luiz Meneghel Vinícius Manzi Campos Vinícius Paranaíba Variáveis complexas Vinícius Paranaíba Campos Catia Candida de Almeida São Paulo Cengage 2020 Bibliografia ISBN 9786555580679 1 Matemática 2 de Almeida Catia Candida Grupo Ser Educacional Rua Treze de Maio 254 Santo Amaro CEP 50100160 Recife PE PABX 81 34134611 Email sereducacionalsereducacionalcom É através da educação que a igualdade de oportunidades surge e com isso há um maior desenvolvimento econômico e social para a nação Há alguns anos o Brasil vive um período de mudanças e assim a educação também passa por tais transformações A demanda por mão de obra qualificada o aumento da competitividade e a produtividade fizeram com que o Ensino Superior ganhasse força e fosse tratado como prioridade para o Brasil O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego Pronatec tem como objetivo atender a essa demanda e ajudar o País a qualificar seus cidadãos em suas formações contribuindo para o desenvolvimento da economia da crescente globalização além de garantir o exercício da democracia com a ampliação da escolaridade Dessa forma as instituições do Grupo Ser Educacional buscam ampliar as competências básicas da educação de seus estudantes além de oferecer lhes uma sólida formação técnica sempre pensando nas ações dos alunos no contexto da sociedade Janguiê Diniz PALAVRA DO GRUPO SER EDUCACIONAL Autoria Vinícius Paranaíba Campos Graduado em Engenharia Elétrica e mestre em Engenharia Elétrica pela Escola de Engenharia de São Carlos EESC USP subárea de Análise e Processamento de Imagens Médicas Cátia Candida de Almeida Doutora em Ciência da Informação UNESPMaríliaSP Mestre em Educação Matemática graduada em Estatística e Licenciatura em Matemática Atualmente é professora dos cursos de engenharias do UniSALESIANO e de Bioestatística do curso de Medicina FUNEPE Consultora de análises de dados e estatísticas da empresa STATMART SUMÁRIO Prefácio 8 UNIDADE 1 Introdução às funções de variáveis complexas 9 Introdução10 1 Números complexos 11 2 Propriedades e operações com números complexos 13 3 Representação geométrica 16 4 Forma polar 21 5 Funções de variáveis complexas 26 PARA RESUMIR 41 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 42 UNIDADE 2 Derivação e integração de variáveis complexas 43 Introdução44 1 Funções complexas 45 2 Derivação 51 3 Integração 55 4 Integral do contorno ou curvilínea 58 PARA RESUMIR 62 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 63 UNIDADE 3 Fórmula integral de Cauchy 65 Introdução66 1 Séries 67 2 Séries de funções complexas 69 3 Série de Laurent 79 4 Fórmula integral de Cauchy 81 PARA RESUMIR 89 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 90 UNIDADE 4 Resíduos e polos de variáveis complexas 91 Introdução92 1 Introdução 93 2 Singularidades 96 3 Resíduo 100 4 Aplicações do teorema dos resíduos 105 PARA RESUMIR 111 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 112 O livro Variáveis complexas traz ao leitor além de informações básicas da área o conteúdo parcialmente descrito a seguir em suas quatro unidades Em linhas gerais a primeira unidade Introdução às funções de variáveis complexas trata de números complexos suas diferentes formas de representação e as operações fundamentais envolvendo tal conjunto As principais teorias utilizadas para os cálculos e resoluções de problemas também estão dispostas no texto assim como as técnicas e os conceitos fundamentais relacionados às funções de variáveis complexas a forma como as funções seno e cosseno podem ser representadas em funções exponenciais e as principais semelhanças e diferenças em relação às funções reais A segunda unidade Derivação e integração de variáveis complexas aborda o estudo de variáveis complexas chave para compreensão de tópicos relacionados a circuitos elétricos teoria eletromagnética sinais e sistemas sistemas de controle e automação A terceira unidade Fórmula integral de Cauchy aponta as principais representações de funções complexas em termos de séries de potências Concluindo a obra a quarta e última unidade Resíduos e polos de variáveis complexas apresenta os conceitos mandatórios para análise do comportamento de funções analíticas ou holomorfas e pontos considerados singulares O teorema do resíduo também tratado aqui garante o cálculo das integrais de funções analíticas definidas em regiões de curvas fechadas Esta é apenas uma pequena amostra do que o leitor aprenderá após a leitura do livro Agora é com você Sorte em seus estudos PREFÁCIO UNIDADE 1 Introdução às funções de variáveis complexas Olá Você está na unidade Introdução às funções de variáveis complexas Conheça aqui os números complexos suas diferentes formas de representação bem como as operações fundamentais envolvendo esse conjunto Entenda ainda as principais teorias utilizadas para os cálculos e resoluções de problemas Aprenda técnicas e conceitos fundamentais relacionados com as funções de variáveis complexas de que forma as funções seno e cosseno podem ser representadas por meio de funções exponenciais e quais as principais semelhanças e diferenças em relação às funções reais Bons estudos Introdução 11 1 NÚMEROS COMPLEXOS A Unidade Introdução às funções variáveis complexas apresentará conceitos e técnicas utilizadas para o cálculo de equações e funções envolvendo os números complexos No entanto antes de trabalhar com toda a parte matemática dessas funções é necessário compreender as principais propriedades desse tipo de variável Sendo assim você iniciará aprendendo sobre os números complexos em si desde as características mais básicas até as mais avançadas Primeiramente devemos saber o conceito por trás desse conjunto o que é o que representa um número complexo Posteriormente extrapolar os cálculos e formulações até então presos no mundo dos reais Você aprenderá as diferentes formas de representação desses números forma algébrica retangular e forma polar e como efetuar operações como soma diferença produto divisão e potenciação Trabalhar com esse conjunto é um tanto quanto desafiador mas logo você estará familiarizado e preparado para aplicar os conceitos estudados principalmente no que diz respeito ao universo das engenharias 11 O que é e por que utilizar números complexos Você alguma vez já se perguntou como surgiram os números complexos Mais ainda por que se fez necessário a criação de outro conjunto além dos números reais Antes de responder a essas questões veja a figura Conjunto numérico anterior É possível perceber a inclusão de números diferentes a cada novo conjunto O interessante aqui é entender os motivos para essas criações de conjuntos Figura 1 Conjunto numérico anterior Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVerNa imagem temos a representação de quatro conjuntos numéricos os naturais N os inteiros Z os racionais Q e os reais R Gradativamente um conjunto maior contém os demais conjuntos menores que ele Sendo assim os inteiros contêm os naturais os racionais contêm os dois anteriores e os reais contêm todos 12 Vamos assumir que primeiramente foi criado o conjunto dos números naturais representado pela letra N e que engloba somente os números positivos e inteiros SPIEGEL 1973 Assim temos N 1 2 3 Como seria possível então resolver a equação abaixo x37 Qual valor dentro dos números naturais poderia assumir a variável x Ou melhor como representar numericamente uma situação em que a pessoa gasta mais dinheiro do que recebe Para resolver esse impasse foi criado o conjunto dos números inteiros Z que engloba tanto os inteiros positivos como os negativos sendo Z 3 2 1 0 1 2 3 SPIEGEL 1973 Estaria tudo resolvido se não fosse por outra necessidade que surgiu posteriormente Qual seria a solução para a equação abaixo 2x5 Melhor ainda quando uma pizza é dividida em oito pedaços como representar a quantia referente a um único pedaço Novamente percebese uma limitação no conjunto numérico existente Com isso surge então o conjunto dos números racionais representado pela letra Q que contém os conjuntos não só os existentes até ali mas também os números representados por frações Dessa forma Q 1 SPIEGEL 1973 Finalmente te proponho o seguinte qual número que elevado ao quadrado resulta em 2 Ou melhor quanto mede a diagonal de um quadrado de lado 1 Seria impossível responder a essa questão se não fosse a expansão dos conjuntos numéricos Foi aí que apareceram os números irracionais números estes que de maneira bem simples têm como característica a famosa dízima não periódica Ou seja são números que possuem infinitos algarismos depois da vírgula e não há periodicidade repetição desses algarismos Desse modo não poderiam ser escritos em forma de fração por exemplo Ao conjunto que engloba todas essas representações damos o nome de números reais representado pela letra R SPIEGEL 1973 Você já deve estar se perguntando e os números complexos o que vieram solucionar Esta pergunta é de certa forma fácil de responder Veja a equação a seguir z²4 Sabese que ela tem duas soluções sendo z 2 ou z 2 Mas e se complicarmos um pouco mais e fizermos da seguinte forma z²4 É fácil notar que o conjunto dos reais é insuficiente para resolver a equação acima Como um 13 número real elevado ao quadrado pode resultar em um número negativo De fato esse número real não existe Estabeleceramse assim os números complexos SPIEGEL 1973 Você verá no próximo tópico as principais propriedades desse conjunto e poderá então resolver esse dilema 12 Definição Sabese até o momento que o conjunto dos complexos o qual representaremos pela letra C contém todos os tipos de números vistos anteriormente denominados de reais No entanto eles possuem uma característica a mais a chamada parte imaginária Vamos entender um pouco mais Seja z um número pertencente ao conjunto C podemos representálo como um par ordenado de números reais x e y CHURCHILL 1975 Sendo assim zxy É como se fosse um ponto de duas coordenadas no plano cartesiano com o qual você já deve estar acostumado Porém o entendimento é um pouco mais complexo À primeira coordenada desse ponto damos o nome de parte real Já à segunda damos o nome de parte imaginária Por convenção optouse por atribuir um símbolo a essa segunda parte o símbolo i Dessa forma o número z tal que zC pode ser também escrito da seguinte maneira zxyi Com x sendo a parte real também referido como Rez e y a parte imaginária ou Imz Natural deduzir então que um número puramente real é aquele cuja parte imaginária é nula Ou seja ou Note que é justamente o caso de todo o conjunto R dos números reais abordado anteriormente De forma análoga um número dito imaginário puro é aquele do tipo CHURCHILL 1975 2 PROPRIEDADES E OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Com base nas definições abordadas anteriormente vamos agora mostrar algumas propriedades importantes Juntamente com essas propriedades as operações básicas de adição subtração multiplicação serão também estudadas e demonstradas 21 Igualdade Dois números complexos são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias forem iguais CHURCHILL 1975 14 Por mais trivial que possa parecer devemos nos atentar pois estamos trabalhando com uma variável que possui duas coordenadas x e y 22 Conjugado complexo O conjugado de um número complexo z representado por z barra nada mais é que o número z com sua parte imaginária invertida ou seja multiplicase a parte imaginária por 1 CHURCHILL 1975 Dessa forma1 A definição do conjugado é muito útil e será explorada no decorrer da aula 23 Adição e subtração A adição é obtida somandose separadamente as partes reais e imaginárias de cada um dos números CHURCHILL 1975 Ou seja Em forma de par ordenados temos Veja o exemplo a seguir A subtração é a inversa da adição e é obtida subtraindose separadamente as partes reais e imaginárias de cada um dos números CHURCHILL 1975 Ou seja Como exemplo temos 15 24 Multiplicação e divisão A multiplicação é muito parecida com a forma que você já conhece referente aos números reais Porém cabem duas ressalvas Por definição o quadrado do número imaginário puro é igual a CHURCHILL 1975 Ou seja A prova dessa relação não será abordada aqui mas pode ser encontrada nos livros de referência do material O raciocínio para a multiplicação de complexos é análogo à propriedade distributiva considerandose dois números reais Finalizando a parte da multiplicação é possível demonstrar que multiplicar um número complexo pelo seu conjugado resultará sempre em um número puramente real Para a divisão devemos retomar o conceito anterior de conjugado complexo O raciocínio baseiase em multiplicar a fração inicial em cima e embaixo pelo conjugado do divisor Isso é FIQUE DE OLHO O símbolo que separa as partes real e imaginária de um número complexo tem significado diferente do referente à adição de valores Na representação de um complexo esse símbolo somente nos diz que o número tem parte real e parte imaginária Note também que quando o número possui parte imaginária negativa por convenção e facilidade podemos suprimir o símbolo conforme exemplo ilustrado anteriormente na seção de subtração 16 feito justamente para poder fazer desaparecer a parte imaginária do divisor Como assim Veja A partir desse estágio faremos a multiplicação dos termos normalmente lembrando sempre que e que o divisor resultará em um número real do tipo Você deve estar pensando mas até agora não foi falado como resolver o problema do tópico O que é e por que utilizar números complexos Bom retomando o dilema em questão temos Ou seja são soluções da equação acima Com os números complexos é possível calcular raízes de números negativos É possível resolver as equações de segundo grau em que o delta aquele da fórmula de Bhaskara está lembrado é negativo Claro que essa não é a única função desse conjunto Confira muito mais nos próximos tópicos 3 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Sabemos que um número Podemos então utilizar o plano cartesiano xy para representar esse número O eixo das abcissas x se refere à parte real enquanto o eixo das ordenadas y se refere à parte imaginária CHURCHILL 1975 Seguem alguns pontos e suas representações no plano 17 Figura 2 Números complexos no plano Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de quatro números complexos no plano xy também conhecido como plano complexo São eles 2 3i 3 i 3 2i e 2 2i O eixo das abcissas é o eixo real e o eixo das ordenadas o complexo Sendo assim cada ponto tem duas coordenadas e foram marcados no plano com um ponto na cor vermelha Como pode ser visto na figura Números complexos no plano cada número complexo é representado como um ponto no planoxy também referenciado como plano complexo em que os eixos das abcissas e ordenadas indicam respectivamente o eixo real e o imaginário SPIEGEL 1973 Percebese assim que um número complexo pode ser entendido como um vetor SPIEGEL 1973 Ele possui um módulo tamanho A origem do vetor é geralmente o ponto 0 0 ou seja a origem 31 Módulo O módulo de um número complexo é simplesmente o tamanho desse vetor SPIEGEL 1973 Seu cálculo é igual ao de qualquer vetor de duas dimensões como você provavelmente já estudou nas disciplinas de álgebra linear geometria analítica Segue exemplo Essa formulação pode ser detectada analisando a representação gráfica do vetor correspondente O módulo do vetor é igual à hipotenusa do triângulo retângulo formado utilizando as coordenadas reais e imaginárias separadamente Veja a seguir 18 Figura 3 Representação geométrica Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de um número complexo como vetor Em azul representações auxiliares dos lados do triângulo formado utilizando as coordenadas reais e imaginárias separadamente Fácil notar que o módulo de z é correspondente à hipotenusa desse triângulo obtido por meio do teorema de Pitágoras Utilizando a representação vetorial a soma e a subtração seguirão também as mesmas regras para vetores de duas dimensões Em termos algébricos já sabemos que Geometricamente falando o vetor resultante de uma soma é representado pela diagonal do quadrilátero formado pelos dois vetores que estão sendo somados CHURCHILL 1975 Veja a seguir Figura 4 Soma de vetores no plano complexo Fonte Elaborada pelo autor 2020 19 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de dois números complexos z12 e w31 A soma dos vetores correspondentes resulta no vetor z w 4 3 Podese perceber também que o vetor resultante é aquele referente à diagonal do quadrilátero de lados z e w o qual pode ser visualizado com a ajuda das linhas tracejadas em azul Para o caso da subtração a ideia é parecida Porém primeiro devese encontrar o vetor que está sendo subtraído e multiplicálo por 1 Posteriormente fazse uma soma desse vetor com o outro elemento utilizando a mesma técnica mostrada anteriormente Suponha que temos os números complexos z e w e vamos efetuar a operação w z Assim multiplicamos o vetor z por 1 obtendo z Depois efetuamos uma soma CHURCHILL 1975 Veja exemplo a seguir Figura 5 Subtração de vetores no plano complexo Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de dois números complexos z 12 e w 31 A subtração w z resulta no vetor w z 2 1 Para obter o vetor resultante primeiro encontrase o vetor z 1 2 Posteriormente realizase uma soma como já mostrado dos vetores w e z novamente visualizado com a ajuda das linhas tracejadas em vermelho 32 O que o conjugado representa Com base no raciocínio vetorial e sabendo que o conjugado é obtido ao multiplicar a parte imaginária por 1 concluise que este é a reflexão a forma espelhada do número original no eixo x ou melhor no eixo real CHURCHILL 1975 A figura Representação do conjugado complexo nos mostra isso 20 Figura 6 Representação do conjugado complexo Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de um número complexo e de seu conjugado representados pelos pontos 3 2 e 3 2 respectivamente Um é a forma espelhada do outro em relação ao eixo dos reais Antes de avançar os estudos combinando algumas das propriedades mencionadas podemos citar algumas formulações que servirão de apoio para cálculos e resoluções de problemas futuros Essas duas definições são fruto das desigualdades triangulares Em termos de comprimento nenhum lado do triângulo é maior que a soma dos outros dois lados e nem é menor que a diferença deles CHURCHILL 1975 Sugiro que analise as figuras anteriores e tente visualizar esse fato Seguindo temos que o módulo da multiplicação é igual à multiplicação dos módulos e analogamente o módulo da divisão é equivalente à divisão dos módulos CHURCHILL 1975 Algebricamente falando vamos provar a primeira hipótese sobre a multiplicação Sugerese que a prova da divisão seja feita como tarefa 21 Por último as três formulações referentes a operações envolvendo o conjugado Considerando temos Percebese que as operações podem não ser tão triviais não é mesmo Porém com bastante estudo e um pouco de prática tudo fica mais tranquilo Tente revisar o conteúdo até aqui absorvendo os conceitos e siga para o próximo tópico 4 FORMA POLAR Outra maneira mais prática e matematicamente mais elegante de se representar um número complexo é por meio das coordenadas polares Você já sabe que o número complexo possui módulo comumente chamado de r Além disso ele possui um ângulo ou melhor um argumento chamado θ Ele é o ângulo que o vetor faz com o eixo real medido no sentido antihorário em radianos rad CHURCHILL 1975 Veja a figura Módulo e argumento de um número complexo Figura 7 Módulo e argumento de um número complexo Fonte Elaborado pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de um número complexo mostrando suas coordenadas polares A variável r corresponde ao módulo enquanto θ corresponde ao seu argumento Lembrando que θ é o ângulo entre o vetor e o eixo real no sentido antihorário dado em radianos rad Tendo isso em mente é possível notar que as coordenadas reais e imaginárias podem ser obtidas em função de r e θ utilizando conceitos referentes a um triângulo retângulo CHURCHILL 1975 Sendo temos 22 Com a nova formulação de x e y chegamos a Vejamos um exemplo prático Vamos reescrever o número z 2 2i em sua forma polar Primeiramente obtemos o módulo Vale lembrar que o argumento pode ser obtido também pelas relações de seno e cosseno Com os valores de r e θ em mãos Outro detalhe a ser levando em conta é quando o θ possuir valor negativo O sinal de menos nesse caso somente indica que o ângulo está no sentido horário Retomando o exemplo acima atribuindo um valor negativo ao argumento teremos o número Confira como fica a representação desses dois números no plano complexo Figura 8 Compreendendo o argumento do vetor complexo Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de dois números complexos um com argumento positivo e outro com argumento negativo A diferença está no sentido do ângulo O positivo está no sentido antihorário enquanto o negativo está no horário 23 Ainda sobre a figura Compreendendo o argumento do vetor complexo e o ângulo negativo perceba que os números ilustrados no exemplo são conjugados um do outro Ou seja com coordenadas polares para encontrar o conjugado complexo basta multiplicar o argumento por 1 CHURCHILL 1975 41 Multiplicação divisão e potências na forma polar Com base na forma polar de um número complexo vamos explorar as operações de multiplicação divisão e potenciação desse conjunto Utilize o QR Code para assistir ao vídeo Após a explicação abordada no vídeo podemos seguir em frente e estudar sobre as raízes de um polinômio complexo 42 Extração de raízes de polinômios Tendo em vista os conceitos apresentados até o momento vamos agora descobrir como tratar e resolver equações polinomiais do tipo Em que e n é um número natural inteiro positivo Trabalhando um pouco a parte algébrica temos Logo assumindo os ângulos medidos em radianos 24 Vamos entender melhor por meio do seguinte exemplo vamos encontrar as raízes do seguinte polinômio z³8 O número real 8 pode ser reescrito como Basicamente o que essa resolução nos mostra é que temos n raízes nesse caso três que têm o mesmo módulo e diferem entre si por seus argumentos tal que andamos passos de igual tamanho referentes ao valor k para encontrarmos esses argumentos CHURCHILL 1975 Algebricamente nesse exemplo temos as seguintes raízes Note que a diferença entre as raízes é o argumento que nesse caso vai sendo incrementado de 120 graus ou radianos Graficamente obtemos 25 Figura 9 Exemplo gráfico das raízes complexas de z3 8 ParaCegoVer Na imagem temos a representação das três raízes referentes à equação z³8 O módulo delas é o mesmo e de valor igual a 2 O que muda então é o argumento de cada uma delas são aumentadas de 120 graus em relação à anterior Podese dizer que elas estão inseridas em um círculo de raio r 2 Figura 10 Exemplo gráfico das raízes complexas de Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação das duas raízes referentes à equação z²1 O módulo delas é o mesmo e de valor igual a 1 Elas estão inscritas na circunferência tracejada de raio r 1 e diferem entre si porém por um ângulo de 180 graus 26 Figura 11 Exemplo gráfico das raízes complexas de Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação das quatro raízes referentes à equação z41 Note que o módulo delas é o mesmo e de valor igual a 1 Elas estão inscritas na circunferência tracejada de raio r 1 e diferem entre si porém por um ângulo de 90 graus Repare que referese às nésimas raízes do número real 1 conforme visualizado anteriormente Em suma para achar as n raízes de um complexo basta encontrar a primeira delas e depois multiplicálas pelas n raízes da unidade CHURCHILL 1975 Antes de passar para o próximo tópico sempre bom reforçar a necessidade de revisar o conteúdo abordado até o momento e sentirse confortável com ele Falaremos em seguida sobre as funções cujas variáveis são complexas 5 FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS Dando continuidade aos estudos neste tópico vamos utilizar os conceitos abordados anteriormente para estudar o comportamento das funções complexas Vale ressaltar a importância de revisitar conhecimentos relacionados às funções reais principalmente o que diz respeito às 27 funções de duas variáveis do tipo Saber visualizar graficamente essas funções suas formas geométricas facilita bastante a compreensão dos conceitos para o domínio complexo 51 Regiões no plano complexo O primeiro conceito a ser estudado referese aos subconjuntos de um plano complexo Como assim Vamos definir com base em determinadas características o que um subconjunto desse plano representa de forma bem parecida com o que acontece no plano real conjuntos abertos fechados etc Veja o exemplo a seguir Elegendose dois pontos em um plano complexo temos que a distância entre eles é dada por que é a distância usual entre dois vetores quaisquer de duas dimensões correto Sendo assim podemos definir um conjunto chamado de disco com centro em Conjunto aberto Perceba que nesse caso específico o disco é do tipo aberto uma vez que somente fazem parte do conjunto os pontos que estão a uma distância menor que r Ou seja bem na região limítrofe desse conjunto com o resto do plano ele não está definido SPIEGEL 1973 Geometricamente falando temos Figura 12 Disco aberto com centro na origem e raio r 2 Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de um conjunto de pontos formado pelo disco aberto centrado na origem e de raio igual a 2 A linha pontilhada representa a região em que a distância é igual ao raio Neste caso o conjunto não abrange esses pontos Para os demais pontos do interior temos o disco preenchido com a cor azul indicando que ali o conjunto está definido 28 Conjunto fechado De forma análoga definimos como conjunto fechado o que conjunto de pontos que contém todos os pontos interiores e os pontos dessa região limítrofe comentada anteriormente Dessa forma o disco é do tipo Graficamente temos Figura 13 Disco fechado com centro na origem e raio r 2 Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de um conjunto de pontos formado pelo disco fechado centrado na origem e de raio igual a 2 Perceba que agora não há mais a linha pontilhada na região limítrofe Todos os pontos do interior e da fronteira estão preenchidos com a cor sólida azul Vizinhança Uma vizinhança de um ponto delta vizinhança é o conjunto de pontos z tal que em que é um número positivo qualquer Esse conceito é importante para entendermos os seguintes Pontos interiores exteriores e de fronteira Um ponto é dito ponto interior de um conjunto S se é possível estabelecer uma vizinhança de que esteja totalmente contida em Já um ponto de fronteira é aquele que pertence a um conjunto S tal que sua vizinhança esteja parcialmente contida em S Ou seja existem elementos pertencentes e não pertencentes a S SPIEGEL 1973 Retomemos os exemplos anteriores sobre um disco Para facilitar vamos tomar pontos z pertencentes somente ao eixo real É fácil visualizar que o ponto z1 é um ponto interior do disco D pois é possível estabelecer um valor de tal que exista uma vizinhança de z1 inteiramente contida no disco Suponha por exemplo 29 E o ponto É interior Sim Lembrese de que não há restrições para o valor de Existem infinitos pontos entre 199 e 2 Sendo assim podemos estabelecer e formaremos uma vizinhança completamente contida no disco D O mesmo já não acontece quando temos z2 Note que por menor que seja o estabelecido sempre teremos pontos da vizinhança que estão tanto dentro quanto fora do disco Dessa forma o ponto z2 é um ponto de fronteira assim como todos os outros pontos pertencentes à circunferência de raio 2 e centro na origem aquela pontilhada na Figura Disco aberto com centro na origem e raio z2 Finalmente se um ponto z de um conjunto S não é interior e nem é de fronteira ele é um ponto exterior ao conjunto Um pouco trivial não é verdade Mas essa é uma maneira fácil e amigável de definilos Confira a figura a seguir Figura 14 Exemplo de pontos interiores exteriores e de fronteira Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na imagem temos a representação de um conjunto de pontos formado pelo disco centrado na origem e de raio igual a 2 Em azul temos pontos interiores ao conjunto A linha tracejada indica os pontos de fronteira Já a região cinzaclaro mostra o restante do plano complexo representa os pontos exteriores ao disco FIQUE DE OLHO Círculo e circunferência são objetos distintos Círculo é toda a região plana que vai desde o ponto central até à fronteira cuja distância até o centro é igual ao raio Já circunferência é somente o contorno do círculo ou seja somente os pontos cuja distância até o ponto é exatamente igual ao raio 30 Feitas essas formalizações a respeito dos subconjuntos de um plano complexo seguimos em frente para falar um pouco sobre as transformações envolvendo as funções desse conjunto 52 Funções e transformações Dado z como sendo uma variável pertencente aos complexos ou seja uma variável complexa se para cada valor de z determinase o valor de outra variável complexa w dizemos que w é uma função de z ou Domínio e contradomínio Da mesma forma como acontece nas funções reais temos que o conjunto S do plano complexo tal que é dito domínio da função w Já os valores fz constituem outro conjunto do plano complexo chamado de contradomínio ou imagem da função w CHURCHILL 1975 As funções não está definida nos pontos uma vez que estes valores tornam nulo o quociente da função Sendo assim seu domínio é o conjunto contendo todos os números complexos com exceção de Em termos de contradomínio podemos analisar a função novamente Note que para todo valor de z associase um valor puramente real e positivo Então o contradomínio de é o semieixo não negativo do eixo real Univalentes e multivalentes Uma função é do tipo univalente se para cada pertencente ao domínio de existe um único valor correspondente w Já as funções em que podemos associar mais de um valor w para cada z são chamadas de multivalentes CHURCHILL 1975 Exemplos de funções multivalentes são as do tipo Conforme vimos anteriormente na seção Extração de raízes de polinômios existem n valores distintos que satisfazem a relação mencionada Partes real e imaginária de uma função Toda função de uma variável complexa z por exemplo pode ser entendida como duas funções reais de duas variáveis uma em relação à parte real do número z e outra em relação à parte imaginária CHURCHILL 1975 Vejamos o exemplo a seguir 31 Podem acontecer casos em que u ou v assumem valores nulos o que não altera em nada a definição Em notase que Transformações Voltemos um pouco às funções reais Tomando uma função do tipo com y e x sendo reais notase que para cada valor de x associase um respectivo valor de y Além disso temos um único número real sendo transformado em outro número real bastando para isso um eixo de representação para cada uma Com isso podemos representar graficamente utilizando somente o planto cartesiano xy certo Quando adotamos mais uma variável real z não confundir com o z complexo ainda é possível visualizar o gráfico adicionando mais uma dimensão Para por exemplo a representação é o plano perpendicular ao plano xy e que contém a reta yx Quando se utilizam variáveis complexas no entanto a visualização gráfica em uma única imagem não é possível pois necessitaríamos de quatro dimensões uma vez que estamos transformando algo bidimensional variável z complexa possui partes real e imaginária em algo também bidimensional variável Sendo assim uma forma de representar essa transformação é considerar dois planos complexos separados um para z e outro para w Isso facilita bastante o entendimento dessas funções CHURCHILL 1975 Além disso é comum analisarmos a trajetória de um ponto em uma região específica do plano z e encontrar a imagem desta no plano w Veja alguns exemplos Transformação Linear Um exemplo de transformação linear é a translação de cada ponto z através de uma constante complexa CHURCHILL 1975 Chamando essa constante complexa de b temos Outra transformação linear bem interessante é a rotação CHURCHILL 1975 Pelo que já foi estudado anteriormente sabemos que a rotação acontecerá se houver multiplicação ou divisão de números complexos cuja parte imaginária seja não nula caso tenha dúvidas favor 32 rever o vídeo Produtos quocientes e potências na forma polar Chamando de D esse número complexo e assumindo seu raio igual a 1 temos Vamos ver como fica com um exemplo prático aplicando uma rotação e também uma translação Logo podemos concluir que cada ponto z será rotacionado em 90 graus e depois transladado através do ponto b Em relação às funções reais de duas variáveis u e v podemos representálas como Se tomamos um retângulo de vértices A B C e D no plano z podemos representalo no plano w por meio das respectivas imagens A B C e D Veja a Figura a seguir Figura 15 Exemplo de translação e rotação Fonte Elaborado pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos duas imagens a representação do retângulo ABCD em vermelho no plano complexo z Repare que o retângulo se encontra em pé e com seu vértice A sendo a origem b representação do retângulo ABCD em roxo no plano complexo z Repare que o retângulo agora está deitado pois sofreu uma translação de 90 graus Além disso seu vértice A imagem do ponto A encontrase agora no ponto 22i o ponto b de translação 33 Note que foram utilizados os conceitos de rotação e translação para obter de forma mais fácil e intuitiva a representação do retângulo no plano w Seria possível porém fazerse uso das equações algébricas triviais e achar as imagens dos vértices um a um Perceba que as coordenadas no plano w são as transformações ponto a ponto de no plano z Sendo assim poderíamos fazer Ou seja a trajetória de A é também circular no mesmo sentido antihorário e de raio igual a 1 Porém enquanto A se descola um valor referente a um ângulo de se desloca um valor referente a um ângulo de 2 SPIEGEL 1973 Em outras palavras o vetor no plano w se descola duas vezes mais rápido que o vetor no plano z Veja a seguir Figura 16 Exemplo de transformação do tipo w z2 Fonte Elaborado pelo autor 2020 34 ParaCegoVer Na figura temos duas imagens a representação da trajetória circular do ponto A no plano complexo z Sentido antihorário e raio igual a 1 b representação da trajetória circular do ponto A no plano complexo w Sentido também antihorário e raio igual a 1 A diferença está no ângulo percorrido Enquanto A percorre um ângulo de θ A percorre o dobro 2θ Ainda falando sobre a mesma transformação Vamos descobrir curvas no plano z que formam retas no plano w Para que isso ocorra u e v devem ser iguais a valores constantes como por exemplo Verificando a forma algébrica de temos Veja a ilustração considerando somente a primeira função u Figura 17 Transformação u x2 y2 c1 Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos duas imagens a representação no plano z das hipérboles x²y²4 em amarelo e x²y²2 em azulclaro b representação no plano w das retas correspondentes às hipérboles u4 e u2 35 Agora veja a ilustração considerando somente a segunda função v Figura 18 Transformação v 2xy c2 Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos duas imagens a representação no plano z das hipérboles 2xy2 em tracejado preto e 2xy2 em tracejado vermelho b representação no plano w das retas correspondentes às hipérboles u2 e v2 Vejamos o que acontece então quando temos as duas transformações ocorrendo ao mesmo tempo no mesmo gráfico Figura 19 Transformações u e v Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos duas imagens a representação no plano z das quatro hipérboles anteriores x²y²4 x²y²2 2xy2 e 2xy2 Os pontos de A a H são os diferentes pontos de intersecção b representação no plano w das quatro retas correspondentes às hipérboles u 4 u2 e v2 Os pontos de O a R são os diferentes pontos de intersecção dessas retas Perceba na figura Transformações u e v que os oito pontos de intersecção do plano z se transformaram 36 em somente quatro pontos no plano w Isso ocorre pelo fato de a função ser biunívoca ou seja existem dois pontos complexos no plano z que levam ao mesmo ponto no plano w SPIEGEL 1973 53 Funções elementares Nesta seção serão abordadas algumas funções elementares quando se trabalha com números complexos Para a maioria delas no entanto fazse necessária a retomada de uma fórmula bastante conhecida a fórmula de Euler SPIEGEL 1973 Ela nos permite fazer a seguinte relação Utilize o QR Code para assistir ao vídeo Foi possível perceber a infinidade de fórmulas no que diz respeito às funções elementares não é verdade Notou o quão importante todas elas são em especial as funções exponenciais Basicamente quando o assunto é número complexo tudo termina nelas 54 Retas de ramificação e a superfície de Riemann Ao falar de funções complexas uma definição importante deve ser levada em consideração ao analisar o domínio e contradomínio dessas funções Retomando o conceito de multivalente vamos então entender como trabalhar e estabelecer o domínio dessa classe Tomando como exemplo a função vamos escrever z e w em função de suas 37 coordenadas polares Veja como ficam as posições iniciais de um ponto A no plano z e de sua imagem A no plano w para Figura 20 Pontos iniciais em ambos planos complexos Fonte Elaborado pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos duas imagens a representação no plano z da trajetória circular de raio unitário e do ponto inicial A e do ângulo formado por ele b representação no plano w da imagem A O módulo é o mesmo porém o ângulo agora é metade do ângulo de A Imagine agora que o ponto A no plano z dê uma volta completa ou seja percorra o ângulo referente a Sua imagem percorrerá metade disso dedução pode ser feita com base na teoria de extração de raízes explicadas anteriormente ou seja Perceba que o valor de w muda de seu valor inicial SPIEGEL 1973 Confira na figura a seguir 38 Figura 21 Imagem no plano w após rotação Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos a representação da imagem A no plano w após rotacionar 180 graus Interessante lembrar que o ponto A no plano z deu uma volta completa enquanto aqui vemos que A percorreu metade disso Por enquanto tudo certo Porém imagine que o ponto A faça mais uma revolução completa ou seja É possível notar que ele retorna ao mesmo ponto novamente O mesmo já não acontece com a imagem em w pois ela sai do ponto que estava no terceiro quadrante e retorna para sua posição inicial no primeiro quadrante Estranho não é verdade Pois o mesmo ponto no plano complexo z ou seja no domínio da função a cada uma das duas revoluções completas gera imagens distintas no plano w Isso é exatamente o que define uma função multivalente CHURCHILL 1975 Entretanto a função multivalente dessa forma com somente um plano z no seu domínio não está bem definida NACHBIN ZARATE 2007 Deveria haver uma maneira de fazer com que a função fosse definida em todo o domínio Seria possível A resposta é sim Foi com base nesse raciocínio que surgiram conceitos fundamentais em variáveis complexas retaponto de ramificação e superfície de Riemann NACHBIN ZARATE 2007 Vamos lá Foi possível verificar que a imagem da função possui duas partes dois ramos o primeiro referente à primeira volta completa e o segundo referente à segunda correto NACHBIN ZARATE 2007 Note que somente os dois ramos são suficientes Um para os valores de w voltam a se repetir Nesse momento imagine dois planos z empilhados Pegue o semieixo positivo dos reais de ambos planos início na origem e indo ao infinito e faça um corte como se fosse com uma tesoura mesmo Agora junte o quarto quadrante do plano superior com o 39 primeiro quadrante do inferior bem no semieixo onde o corte foi feito Conseguiu visualizar Algo parecido com um espiral se forma correto Agora inicie um trajeto circular começando pelo primeiro quadrante do plano superior em sentido antihorário Assim que estiver chegando no semieixo positivo real onde o corte foi feito e os planos emendados você é levado para o primeiro quadrante do plano inferior Continue girando e quando estiver chegando ao fim do percurso ou seja ao quarto quadrante do plano inferior imagine que de alguma forma ele está também grudado no primeiro quadrante do plano superior Visualizou Com a figura Superfície de Riemann a seguir ficará um pouco mais fácil Figura 22 Superfície de Riemann Fonte Elaborada pelo autor 2020 ParaCegoVer Na figura temos a representação da superfície de Riemann comentada Temos dois planos empilhados I e II O trajeto circular se inicia no plano superior indicado pela linha sólida Quando chega ao fim do quarto quadrante o trajeto continua no plano inferior indicado pela linha tracejada Esta linha tracejada por sua vez volta a encontrar o plano superior quando está completando a volta Dessa forma verificase que para cada ramo da função existe um plano correspondente da superfície criada Além disso em cada plano z a função w multivalente é univalente A reta na qual o corte foi feito é chamada de reta de ramificação e o seu ponto inicial neste caso a origem é o ponto de ramificação Este é o ponto em torno do qual fizemos as revoluções É possível verificar a ser abordado posteriormente que a revolução ao redor de outro ponto diferente da origem não geraria valores diferentes de imagem SPIEGEL 1973 Sendo assim o ponto Antes de finalizar esse assunto gostaria de deixar um exercício de reflexão como seria a superfície de Riemann para Quantos planos deveriam ser empilhados E para raiz nésima Mais ainda e para a função logarítmica É com você 40 55 Aplicação em circuitos elétricos Tendo em vista todo o estudo feito até este momento gostaria de mostrar a você uma curiosidade bem interessante envolvendo a aplicação um pouco mais prática de números complexos Confira a seguir Utilize o QR Code para assistir ao vídeo Bom chegamos ao fim da Unidade Introdução às funções de variáveis complexas Espero que tenha aprendido bastante sobre esse conjunto numérico fascinante Com um pouco de estudo podemos ver que de complexo só o nome mesmo concorda De qualquer maneira aproveite para dar uma boa revisada no conteúdo e assim trabalhar nos exercícios 41 Nesta unidade você teve a oportunidade de conhecer as noções e conceitos sobre os números complexos compreender as suas diferentes formas de representação aprender sobre as operações fundamentais estudar as funções de variável complexa conhecer as principais funções elementarescom destaque para a exponencial visualizar algumas funções de transformações no plano complexo PARA RESUMIR CHURCHILL R V Variáveis complexas e suas aplicações São Paulo Editora McGrawHill do Brasil 1975 NACHBIN A ZARATE A R Tópicos introdutórios à análise complexa aplicada 26Coló quio Brasileiro de Matemática Rio de Janeiro IMPA 2007 SPIEGEL M R Variáveis complexas com uma introdução às transformações conformes e suas aplicações resumo da teoria 379 problemas resolvidos 973 problemas propostos São Paulo Editora McGrawHill do Brasil 1973 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UNIDADE 2 Derivação e integração de variáveis complexas Você está na unidade Derivação e integração de variáveis complexas Conheça aqui os principais conceitos necessários do cálculo de equações que envolvem variáveis complexas O estudo de variáveis complexas é essencial para compreensão dos assuntos relacionados a circuitos elétricos teoria eletromagnética sinais e sistemas sistemas de controle e automação entre outras aplicações Além disso estudará um exemplo que ilustra a aplicação de equações matemáticas com variáveis complexas que simulam otimização do tempo de resposta de um sistema transitório e estacionário de um controle automático de processo produtivo Bons estudos Introdução 45 1 FUNÇÕES COMPLEXAS Inicialmente recordaremos o conceito de funções complexas partindo da noção de conjunto complexo Entendese que um conjunto de números complexos com domínio D e f de uma função que associa cada elemento z do conjunto D a um único número complexo fz do conjunto I Partindo dessa noção a figura Representação do conceito de função complexa apresenta um desenho esquemático que caracteriza uma função complexa Figura 1 Representação do conceito de função complexa Fonte Elaborada pela autora 2020 ParaCegoVer Na imagem temos dois conjuntos o conjunto domínio D e o contradomínio I Notase que o conjunto D é o conjunto domínio e o conjunto I é o contradomínio A associação de todos os valores de z do domínio D a valores do conjunto contradomínio é caracterizada por sendo z variável independente e w variável dependente ÁVILA 2008 Por outro lado os números complexos pertencem ao conjunto C e assumem a forma genérica de representação Lêse z é igual a x mais i vezes y em que x e y pertencem ao conjunto dos números reais denominada como parte real Rez e denominada parte imaginária Imz O recurso utilizado para visualização geométrica de uma função complexa reconhecida por imagens de curvas ou regiões pertencentes a um domínio é a forma polar coordenadas polares 46 Figura 2 Representação da função complexa no plano complexo Fonte Elaborada pela autora 2020 ParaCegoVer A figura Representação da função complexa no plano complexo apresenta uma função representada na forma polar As coordenadas Rez parte real Imzparte imaginária do ponto chamado de plano complexo C sendo escrita na forma de coordenadas polares e parametrizada por Lêse função z igual a rraio vezes cosseno de theta mais i vezes rraio vezes seno de theta Desse modo as propriedades e as operações matemáticas realizadas com os números complexos também são representadas na forma de coordenadas polares No estudo de funções complexas fazse necessário o aprofundamento do entendimento sobre o comportamento das funções complexas fundamentado no relacionamento da função e determinados valores a forma de variação das funções e a possibilidade de realizar cálculos de suas regiões que abrangem curvas e contornos 11 Limite e continuidade O estudo do limite de funções complexas tem o propósito de expor o comportamento de uma função complexa em situações de aproximação de determinados valores ou ainda aproximação a uma determinada região chamada de região vizinhança dos pontos da função FIQUE DE OLHO Sugerese revisitar os conceitos as principais propriedades e as operações matemáticas realizadas com os números complexos bem como a representação na forma de coordenadas polares Esses conceitos são importantes para o entendimento das funções complexas 47 Em outras palavras o limite tem o propósito de determinar o comportamento da função à medida que ela se aproxima de alguns valores ou vizinhança de um ponto no domínio A definição do limite empregada em funções complexas segue os mesmos conceitos formais do limite estudado no curso de cálculo e análise de reta de uma função real GUIDORIZZI 2000 Ávila 2008 p 37 define o limite de variáveis complexas pensando em um ponto no domínio de D f de uma função dizse que f tem limite L com z tendendo ao ponto se dado qualquer Lêse z pertence ao conjunto domínio D sendo o módulo da diferença entre os pontos z e definidos no intervalo de zero a delta implica que o módulo da diferença entre a função f de z um número L deve ser menor do que o épsilon Complementando a definição e atribuindo uma expressão acima f tem limite L com z tendendo a isto é a distância fz L entre fz e L pode ser muito pequena quando a variável z aproxima de uma vizinhança de assim representase o limite Lêse limite da função f de z quando o ponto z tende ao ponto é igual a um número real L Desse modo segue um exemplo para ilustrar a aplicação denominada intuitiva cálculo de forma simples do limite de funções complexas Ávila 2008 mostra um exemplo do cálculo do limite forma intuitiva Calcule o limite da função complexa quando o ponto se aproxima do ponto 2i Usando a definição do limite Observação Existem casos de funções complexas em que o resultado do limite pode não ser imediato ou seja necessita de aplicação de propriedades do limite não serão tratadas neste estudo para se chegar a um resultado O cálculo do limite de uma função complexa é fundamentado em operações matemáticas do limite como a soma produto e quociente também conhecida no caso de função real e que permanece válida para função complexa Dessa forma as principais operações de acordo com 48 Ávila 2008 p44 Seja f e g com limites finitos e z tendendo ao ponto assim limite de f F e limite de g G então Lêse limite da soma das funções f de z e g de z quando z tende ao ponto é igual a limite de f de z quando z tende a mais o limite de g de z quando z tende a Lêse limite do produto das funções f de z e g de z quando z tende ao ponto é igual a limite de f de z quando z tende a mais o limite de g de z quando z tende a Lêse limite do quociente das funções f de z e g de z quando z tende ao ponto é igual a limite de f de z quando z tende a mais o limite de g de z quando z tende a Vale ressaltar que o limite de funções complexas é constituído de limite da parte real e limite da parte imaginária ÁVILA 2008 assim Outra definição importante a ser estudada juntamente com o conceito de limite é a de continuidade de funções complexas Quando uma função é contínua no ponto então a parte real e a parte imaginária deve ser contínua nesse ponto As definições de limite e continuidade de funções complexas fundamentam o conceito de derivadas de função complexas tratadas aqui com o termo diferenciabilidade de funções complexas 12 Diferenciabilidade Denominase diferenciabilidade de uma função complexa quando se realiza uma análise com objetivo de saber se a função é derivável em todos os pontos do domínio do plano complexo C Conforme visto no caso do estudo de derivadas de função de variável real GUIDORIZZI 2008 aplicase a mesma definição formal da derivada em uma função de variável complexa mas respeitando as condições do plano complexo 49 No entanto a função f está definida em um conjunto domínio do plano complexo sendo uma região R conjunto aberto e conexo e z um ponto dessa região R então afirmase que f é derivável no ponto z se existe o limite da função no ponto z ÁVILA 2008 Desse modo o limite da função f pode ser escrito da seguinte forma Lêse limite de f de z mais delta z menos f de z sob delta z quando delta z tende a zero Quando esse limite existe e ele tende a ao ponto z definese o limite de uma nova função de z chamada de função derivada de z ou derivada denotada por f Lêse f linha ÁVILA 2008 Sendo assim equivalente Lêse f linha de z é igual ao limite de f de z mais delta z menos f de z sob delta z quando delta z tende a zero De maneira correspondente função complexa escrita por Soares 2009 afirma que dada a existência do limite então existe a função derivada a saber Lêse limite da função f com os pontos sob h quando h tende ao ponto zero A função derivada é caracterizada pela existência da derivada da função complexa em um ponto ou em todos os pontos do domínio da função Entretanto quando uma função possui função derivada em um ponto isolado do seu domínio ela é denominada função complexa não analítica Uma vez que a definição exige que a função admita derivada em todos os pontos do conjunto domínio Ademais a função deve satisfazer a condição de continuidade no mesmo domínio SOARES 2009 Nessa perspectiva uma função é considerada função holomorfa comumente chamada de função analítica deve ser uma função contínua definida no domínio do plano complexo e derivável em todos os pontos ou seja cada ponto z pertence ao plano complexo SOARES 2009 50 Outra condição utilizada para avaliar a derivada de funções complexas é saber se a função derivada f admite derivadas parciais GUIDORIZZI 2008 em relação a e denotadas por Soares 2009 afirma que a função pode ser escrita na seguinte forma em que u e v são funções reais A função escrita dessa forma facilita realizar transformações e manipulações no plano complexo Uma ferramenta bastante usada no contexto de transformações e manipulações algébricas no plano complexo é o emprego das equações de CauchyRiemann Neste contexto as equações de CauchyRiemann são usadas na avaliação da condição necessária e suficiente de função analítica Partindo da função uma é considerada função analítica em um ponto se a função satisfizer os critérios das equações CauchyRiemann dadas por Lêse derivada parcial de u em relação à derivada parcial de x é igual a derivada parcial de v em relação à derivada parcial de y Seguido Lêse derivada parcial de u em relação à derivada parcial de y é igual a menos derivada parcial de v em relação à derivada parcial de x Dessa forma as derivadas parciais primeira ordem das funções existem e são contínuas satisfazendo as equações de CauchyRiemann Um exemplo de aplicação das equações de CauchyRiemann segundo Soares 2009 Dada uma função complexa 51 Logo as equações de CauchyRiemann são satisfeitas e a função é analítica no domínio C Ainda as equações de CauchyRiemann podem ser representadas na forma polar sendo fazendo as transformações matemáticas necessárias temse o resultado Lêse derivada parcial de u em relação à derivada parcial de r raio é igual a um sob r raio vezes a derivada parcial de v em relação a derivada parcial de theta Portanto Lêse u de r raio é igual a um sob r raio vezes v de theta Essas transformações das equações de CauchyRiemann na forma polar são usadas em estudo de representações geométricas espaço vetorial no plano complexo 2 DERIVAÇÃO O procedimento de cálculo da função derivada é chamado de regras de derivação da função As regras de derivação de funções de variáveis complexas são tratadas com mesma abordagem das regras de derivação de função de variável real No entanto uma versão mais rigorosa das demonstrações teóricas das formulações matemáticas dos teoremas e proposições sustentam as regras de derivação Aos interessados em demonstrações das formulações matemáticas da teoria das derivadas recomendamse os estudos de Churchill 1978 Soares 2009 e Ávila 2008 As regras de derivação das funções complexas são válidas a partir da suposição da função f definida plano complexo C e f é uma função holomorfa analítica e se existe derivada f da função em todo ponto SOARES 2009 Baseados nessa definição apresentase algumas propriedades de acordo com Soares 2009 e Ávila 2008 de funções analíticas que devem satisfazer às seguintes condições de regras de derivação FIQUE DE OLHO Ressaltase que as equações de CauchyRiemann são empregadas em avaliações de funções analíticas porém elas não são suficientes para garantir a condição de existência da função derivada em alguns casos específicos de funções complexas encontradas na literatura 52 a Sabendose que f é uma função analítica dada por então a sua derivada é dada b Sabendose que f e g são funções analíticas então a derivada do produto por uma constante k é dada Exemplo Calcule a derivada da função complexa A derivada é c Sabendose que f e g são funções analíticas então a derivada da soma ou subtração é dada d Sabendose que f e g são funções analíticas então a derivada do produto de duas funções é dada Exemplo Calcule a derivada da função complexa e Sabendose que f e g são funções analíticas então a derivada do quociente de duas funções é dada 53 f Sabendose que f e g são funções analíticas e h uma função analítica composta de f com g hg f Lêse h é igual a função composta de g e f então a derivada da função composta Vale destacar que é possível obter o mesmo resultado dessa derivada com aplicação da regra da cadeia SOARES 2009 Exemplo Calcule a derivada da função complexa Além dessas regras de derivação existem algumas funções que possuem regras específicas segundo Ávila 2008 e Soares 2009 destacamse a Função exponencial referindose a função analítica de Lêse exponencial de z então a derivada resulta em A função exponencial pode ser escrita em termos de número complexo pode ser representada por Lêse exponencial de z igual a exponencial de x vezes exponencial de i vezes y sendo escrita por exponencial de x vezes cosseno de y mais i vezes exponencial de x vezes seno de y Considerando essa representação e usando as derivadas parciais para o cálculo da parte real e parte imaginária de ez a derivada resulta na função ez para todo z 54 b Função logaritmo referindose à função então a derivada Lêse ln de z linha é igual a 1 sob z sendo Entretanto pode se referir também ao logaritmo de um número complexo logaritmo real do número r 0 definido para todo número complexo c Funções trigonométricas referindose às principais funções analíticas trigonométricas em todo o plano complexo representada de seno Logo as suas respectivas derivadas são dadas Lêse seno de z linha é igual a cosseno de z Lêse cosseno de z linha é igual a menos seno de z Além disso a derivada de tangente de z Lêse derivada de tangente de z é igual à secante ao quadrado de z A identidade trigonométrica abaixo permanece válida no plano complexo como segue usadas como procedimento de manipulação matemática No caso das funções analíticas hiperbólicas do seno e cosseno seguem Lêse seno hiperbólico de z é igual à exponencial de z menos exponencial de menos z sob dois Lêse cosseno hiperbólico de z é igual exponencial de z mais exponencial de menos z sob dois Apresentam as suas respectivas derivadas Lêse seno hiperbólico de z linha é igual a cosseno hiperbólico de z 55 Lêse cosseno hiperbólico de z linha é igual a seno hiperbólico de z Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 3 INTEGRAÇÃO O estudo de integrais de funções complexas é importante na compreensão dos cálculos matemáticos que envolvem curvas e regiões presentes em simulações de modelos e métodos de análises quantitativas de sistemas de controles tais como temperatura pressão umidade viscosidade vazão entre outras variáveis usadas em modelos matemáticos de simulações OGATA 2003 As integrais de funções complexas abrangem cálculos de curvas e regiões vistas no estudo de integrais de funções de duas variáveis reais GUIDORIZZI 2008 Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 56 31 Integral complexa No estudo de integral complexa recorrese à aplicação da integral de linha GUIDORIZZI 2009 no contexto de funções complexas considerando o plano complexo sendo f uma função contínua e admite a existência de derivada assim f está definida no domínio D e K uma curva Suponha que os pontos P e Q pertencem ao domínio D K uma curva decomposta em n partes por meio dos pontos da curva escolhidos de modo arbitrário ÁVILA 2008 SOARES 2009 Logo admitese a integral da função curva ou arco em um intervalo fechado a b da função representada por Lêse integral da função g de t dt relação ao diferencial t definida no intervalo da curva K A integral complexa pode ser expandida Lêse integral da função g de t dt definida no intervalo de curva K é igual à integral da função f de z de t vezes z linha de t dt definida no intervalo fechado de a b O emprego do cálculo da integral complexa em regiões do plano complexo é baseado em operações matemáticas decomposições de curvas e propriedades que facilitam as manipulações de cálculos As principais operações segundo Ávila 2008 e Soares 2009 tratam de duas funções contínuas f e g e K uma curva simples Lêse integral da soma das funções f de z e g de z definida no intervalo de curva K é igual à integral da função f de z dz definida no intervalo de curva K mais a integral da função g de z dz definida no intervalo de curva K Lêse integral do produto de M vezes a função f de z dz definida em intervalo de curva K é igual a M vezes a integral da função f de z dz definida no intervalo de curva K Lêse integral da função f de z dz definida no intervalo de curva K sentido oposto é igual menos integral da função f de z dz definida no intervalo de curva K 57 em que referese à decomposição da curva em n partes Lêse integral da função f de z dz definida no intervalo particionado da curva K é igual a integral da função f de z dz definida em uma parte da curva mais sucessivamente em todas as partes da curva K 32 Curvas arcos ou contornos Existem funções complexas definidas em regiões similares a curvas arcos e contornos Assim entendese por um arco ou contorno como um conjunto complexo C de pontos representados pela função Suponha uma função zt sendo contínua em t variando no intervalo fechado a b SOARES 2009 A função zt determina a orientação ou sentido da curva de pontos do conjunto complexo C Para ilustrar essa situação de orientação de sentido da curva segue um desenho esquemático apresentado na figura Desenho esquemático da orientação e sentido da curva C e C Figura 3 Desenho esquemático da orientação e sentido da curva C e C Fonte Elaborada pela autora 2020 ParaCegoVer Na imagem há curvas e contornos em duas situações destacando os caminhos orientação de sentido das curvas usadas no procedimento de integração Quando o ponto final coincide com o ponto inicial a curva é fechada A orientação de uma curva é denotada de positiva e corresponde aos valores crescentes de t e parametrização nquanto que quando a orientação for oposta denota C e parametrização dada por considerando uma curva simples 58 Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 4 INTEGRAL DO CONTORNO OU CURVILÍNEA Para o cálculo da integral de função complexa pode ser usada a técnica de integração das integrais curvilíneas de funções reais Pensando no plano complexo a função definida no intervalo fechado a b pode ser representada Lêse integral da função F de t definida no intervalo fechado a b é igual à integral da função U de t no intervalo fechado a b mais i vezes integral da função V de t no intervalo fechado a b Na perspectiva de regiões de curvas seja K um contorno e uma função contínua no conjunto dos números complexos então da integral é denominada integral do contorno Lêse integral da função f de z dz definida em intervalo K chamado de contorno No cálculo das integrais de funções complexas é necessário considerar as partes real e imaginária da função Nesse cálculo é usual fazer uma transformação usando as funções contínuas no intervalo ab Assim possibilita calcular a integral de funções complexas escrevendo em termos de integrais curvilíneas 59 Lêse integral da função h de t definida no intervalo fechado a b é igual a integral da função u de t no intervalo fechado a b mais i vezes integral da função v de t no intervalo fechado a b Para demonstrar o cálculo da integral curvilínea da função complexa segue o exemplo Exemplo Determine a integral curvilínea da função no intervalo 01 Dado que são denominadas de partes real e imaginária da função complexa 41 Aplicando a fórmula da integral curvilínea Substituindo as funções u e v Obtevese o cálculo da integral Demonstrando o cálculo da região de contorno definida no intervalo 01 temse o resultado da função complexa Algumas funções complexas encontramse em regiões delimitadas por determinadas parametrizações de outras funções impondo algumas restrições no momento da integração Quando isso ocorre a função f deve ser contínua em todos os pontos e definida em um intervalo aberto Lêse subconjunto A contido no domínio C e K uma curva suave definida no intervalo fechado a b ÁVILA 2008 SOARES 2009 A integral curvilínea usada para o cálculo dessa região Lêse integral de f de z dt definida no intervalo de curva K é igual à integral da função f de z de t vezes z linha de t dt definida no intervalo fechado ab Exemplo calcule a integral curvilínea da função ao longo de uma curva suave A curva é união de duas curvas suaves parametrizadas por com t pertencente ao intervalo 01 e outra curva parametrizada por com t pertencente ao intervalo 12 60 Ainda existem casos em que a integral curvilínea também pode ser escrita em termos de duas integrais de linha no plano complexo sendo a função e a parametrização da curva ÁVILA 2008 SOARES 2009 A integral pode ser representada em partes real e imaginária Lêse parte real integral de f de z dz definida no intervalo de curva K é igual à integral da função f das funções u de x y dx menos i vezes v de x y dy definida no intervalo de curva K Lêse parte imaginária integral de f de z dz definida no intervalo de curva K é igual à integral da função f das funções u de x y dy menos i vezes v de x y dx definida no intervalo de curva K Além disso existem casos em que a região estudada é delimitada por uma curva fechada K então a integral é dada Lêse integral de f de z dz definida no intervalo de curva fechada K Nesse caso o procedimento de cálculo é realizado sem perda de generalidades considerando apenas a região de curva fechada e o sentido de integral antihorário se for o caso de uma circunferência 42 Primitiva Uma primitiva de uma função complexa é definida de modo análogo ao caso de funções reais GUIDORIZZI 2008 Seja F é a primitiva da função complexa f se para todo z pertencente ao domínio ÁVILA 2008 SOARES 2009 61 A primitiva pode ser obtida sabendo que f é função analítica de uma região R simplesmente conexa então a forma geral de sua primitiva Lêse primitiva da função F de z é igual à integral de f de w dw mais C constante C é uma constante que acompanha as integrais R é a integração é feita ao longo do contorno inteiramente contido em R e Fz é uma função analítica Desse modo segue um exemplo do cálculo da primitiva de uma função complexa Exemplo Calcule a primitiva da função Entendese que e sua função primitiva é Assim o cálculo da integral é primitiva da função 43 Teorema fundamental do cálculo integral O teorema fundamental do cálculo integral discutido no cálculo de função real GUIDORIZZI 2008 também é discutido no cálculo de funções complexas mas considerando que f é uma função analítica e R região contida no domínio C um caminho ou curva regular Assim a integral complexa pode ser calculada conforme uma curva K definida no intervalo fechado a b Esse recurso de cálculo é possível devido à existência da primitiva da função calculada nos pontos que compreende a curva K ÁVILA 2008 SOARES 2009 A integral complexa Lêse integral da função f de z dz definida no intervalo da curva K é igual à primitiva da função F calculada no ponto b menos a Esse teorema apenas fundamenta o assunto que foi tratado de integrais curvilíneas no plano complexo calculadas ao longo de uma curva K que pode ser decomposta em K partes da curva 62 Nesta unidade você teve a oportunidade de conhecer algumas características do comportamento de funções complexas analisar suposições e critérios de limite e continuidade de funções complexas estudar diferenciabilidade de funções complexas compreender as principais regras de derivação das funções complexas entender integração de regiões de curvas e contorno e integral complexa PARA RESUMIR ÁVILA G Variáveis complexas e aplicações 3 ed Rio de Janeiro LTC 2009 CHURCHILL R V Variáveis complexas e suas aplicações São Paulo McGrawHill 1978 GUIDORIZZI L H Um curso de cálculo Vol1 5ed Rio de Janeiro LTC 2008 L H Um curso de cálculo Vol2 5ed Rio de Janeiro LTC 2008 SOARES G M Cálculo de uma variável complexa 5ed Rio de Janeiro IMPA 2009 OGATA K Engenharia de controle moderno 4ed Rio de Janeiro LTC Rio de Janeiro 2000 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Introdução Você está na unidade de Estudos da série de Laurent e fórmula da integral de Cauchy Conheça aqui as principais representações de funções complexas em termos de séries de potências Destacase a série de Laurent com representação em de série de potências admitindo o termo de grau negativo Em muitos casos as séries de Laurent podem assumir o papel de facilitadoras de cálculos de algumas funções complexas Além disso a série de Laurent possibilita uma generalização da fórmula da integral de Cauchy Essa integral é aplicada em caminhos de integração em torno de regiões de contorno e curvas Bons estudos 67 1 SÉRIES Uma série de potência é entendida como um instrumento matemático que permite a representação de funções tornando mais simples a resolução de problema em diversas áreas Um exemplo clássico é o cálculo de áreas que usa uma aproximação do cálculo de área sob uma determinada curva a partir de suas somas parciais resultando em uma soma total sendo representada pela integral GUIDORIZZI 2008 A figura Série como aproximação de função apresenta a noção de série como aproximação do cálculo da área sob da função yfx quando aprendemos o conceito de integral em função de variável real Figura 1 Série como aproximação de função Fonte Elaborada pela autora 2020 ParaCegoVer Na imagem há os eixos das coordenadas x e y e uma função fx em forma de curva a área abaixo da curva limitada entre os eixos de x e y foi dividida em pequenos retângulos cada retângulo forma uma soma parcial Sn1 Sn2 e assim sucessivamente 11 Séries como Aproximação de Função Existem vários tipos de séries mas nesse estudo destacamse as séries de potências Uma série de potências é representada da seguinte forma Lêse somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes x menos c elevado a n Em que chamado de coeficiente 68 Quando uma série de potência é centrada na origem temse Lêse somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes x elevado a n igual a 0 mais a 1 vezes x mais a 2 vezes x elevado ao quadrado mais sucessivamente an vezes x elevado a n Em que neste caso x variável real a coeficiente As séries de potências tornamse um instrumento importante de aproximações de funções Os principais problemas que envolvem aproximações de séries de potências são encontrar uma função mais simples para usar como aproximações de outra função encontrar uma função que se ajuste ou se adéque para uma função de acordo com os tipos de dados Entretanto as séries de potências podem auxiliar nas aproximações de funções mas a aproximação é de âmbito local ou próximo da uma vizinhança de um determinado ponto Estudo de aproximações globais de uma região são aplicados a outros métodos de aproximações No caso de funções complexas analíticas a abordagem é a série de potências como aproximação de algumas funções complexas visto que em muitas situações é necessário tornar a função complexa mais simples Uma vez que em muitos problemas as séries assumem papel de facilitadoras nos cálculos de funções complexas OGATA 2000 Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 69 2 SÉRIES DE FUNÇÕES COMPLEXAS As funções complexas ditas como analíticas também são aproximadas em termos de série de potências Uma função complexa pode ser demonstrada em forma de série Lêse somatório com n variando de zero ao infinito da função fn de z igual a f0 de z mais f1 de z mais f2 de z assim sucessivamente Sendo que funções complexas sendo todas com domínio comum As séries convergem para uma soma da série Em que é a soma parcial ou reduzida da série de ordem n As mesmas propriedades usadas nas séries de potências de funções reais são empregadas em funções complexas analíticas entre elas destacamse a convergência das séries As mesmas propriedades usadas nas séries de potências de funções reais são empregadas em funções complexas analíticas entre elas destacamse a convergência das séries 21 Convergências das séries Uma série formada por suas sequências de termos de somas parciais podem tender a um ponto ou seja convergir a um ponto ou ainda tender ao infinito Dessa forma denominase convergência simples ou pontual de uma série se satisfizer as condições segundo o teorema ÁVILA 2008 a condição necessária e suficiente para que a série tenha convergência uniforme em D se dado sendo possível determinar N tal que para todo inteiro positivo p satisfaça Lêse z pertencente a D e n maior que N isto implica que a soma e z e o módulo da 70 diferença de soma de z e soma Sn de z é menor que épsilon Ou seja Lêse z pertencente a D e n maior que N isto implica que o módulo de fn1 de z mais fn2 de z mais sucessivamente é menor que épsilon Complementando as séries de funções contínuas são uniformemente convergentes em um conjunto D se 1 f é contínua em D 2 caso a convergência for uniforme ao longo de um contorno C a integral de f sobre C pode ser obtida por integração em termo a termo 3 o ponto z convergência é uniforme em uma região simplesmente conexa R sendo que as funções são analíticas logo a função f também é analítica em R suas derivadas podem ser obtidas derivando a série termo a termo um número conveniente de vezes Além disso existem casos em que uma série não tem convergência simples então dizse que a série é divergente Há ainda estudos em que as séries não convergem para um ponto mas a série pode convergir ao infinito Seguindo essa perspectiva de estudo de convergência as séries de funções complexas são definidas em um disco círculo ou circunferência Neste caso a convergência da série é sustentada de acordo com o teorema ÁVILA 2008 dado um número nãonegativo r tal que a série converge absolutamente em e uniformemente em qualquer disco Dizse que a série diverge em o número r pode assumir os valores chamado raio de convergência da série e o disco de raio r e centro é chamado de disco de convergência Sendo assim o disco de convergência é representado 71 Figura 2 Disco de convergência Fonte StockVectorIllustrations Shutterstock 2020 ParaCegoVer Na imagem há vários círculos um dentro do outro para representar um disco de convergência A figura Disco de convergência apresenta a ilustração de uma convergência uniforme em todo o disco de convergência dada por zz0 r r Enquanto a convergência uniforme mostrada em um raio de convergência é apresentada na figura Raio de convergência Figura 3 Raio de convergência Fonte StockVectorIllustrations Shutterstock 2020 ParaCegoVer Na imagem há um círculo particionado internamente em vários raios para representar raios de convergência 72 A figura Raio de convergência mostra a convergência uniforme no raio de convergência assegurada pela existência do limite como Entretanto existem situações quando as séries divergem nos pontos z fora do disco Para ilustrar o assunto de convergência de série segue um exemplo a Dada a série geométrica expressa em No estudo de convergência quando se considera O módulo temse uma série convergente e sua soma é Logo o termo Neste caso a série converge para todo z de módulo menor do que 1 Em contrapartida quando a série cresce acima de qualquer valor e à medida em que z se aproxima de 1 não é possível determinar o valor da convergência 22 Séries de potências As séries de potências são usadas para representar aproximações de funções complexas SOARES 2009 Essas séries são simbolizadas Lêse somatório com n variando de zero a infinito da função an vezes z menos elevando a n Em que Os termos obtidos da série de potências seguem uma sequência com a tendência de se aproximar de algum limite Ou seja os termos convergem para algum limite no sentido de um ponto mais infinito ou menos infinito Assim afirmase que toda série de potências convergente define uma função analítica e toda 73 função analítica em ponto z z0 pode ser desenvolvida em série de potências em uma vizinhança de z0 ÁVILA 2008 Exemplos Dadas as funções Representar em forma de série de potências Essas séries são úteis no estudo de funções complexas Desenvolver a série Logo temse Essas séries convergem nos pontos z de um disco centrado em z0 As funções complexas podem ser desenvolvidas em termos de séries de potências do tipo a seguir Lêse função f de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes z menos elevado a n Complementando uma função analítica no seu disco de convergência de forma que seu raio de convergência r é pelo menos r Isso mostra que o ambiente de estudos de séries se concentra em um disco ÁVILA 2008 SOARES 2009 23 Operações com séries Em geral no estudo de séries de potências podemse fazer operações matemáticas mas não são triviais exigese um cuidado ao aplicar as manipulações de cálculos 74 No caso das operações de adição e subtração dadas duas funções f e g regulares em um ponto z0 ambas convergentes em um disco dada por Lêse função f de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes z menos z0 elevado a n Lêse função g de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função bn vezes z menos z0 elevado a n A adição resulta em hf g h uma função resultada da soma e de modo análogo para subtração Lêse função h de z igual a f de z mais g de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função cn vezes z menos z0 elevado a n O produto e o quociente de séries de potências em muitos casos são usados para facilitar as manipulações matemáticas no momento das aproximações das funções em termos de séries de potências O produto de duas funções f e g regulares em um ponto z0 ambas convergentes em um disco dada por Lêse função f de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes z menos z0 elevado a n Lêse função g de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função bn vezes z menos elevado a n Resultando em hfg funções regulares em um ponto z0 Lêse função h de z igual a f de z vezes g de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função cn vezes z menos z0 elevado a n Do mesmo modo o quociente de duas funções f e g regulares em um ponto z0 ambas convergentes em um disco dadas por 75 Lêse função h de z igual a f de z sob g de z Em que a função g é regular e não se anula em toda vizinhança de z0 24 Tipos de séries de potências As séries de Taylor são muito importantes no estudo de funções complexas analíticas Partindo das séries de Taylor obtémse a série de MacLaurin e série de Laurent A série de Taylor é definida como Seja f uma função analítica em uma região R z0 um ponto qualquer de R considerando um disco e contida em R Assim nesse disco a função f pode ser desenvolvida em série de potências de conhecida de série de Taylor da função f relativa ao ponto z0 ÁVILA 2008 Decorrendo Lêse função f de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função fn de z0 sob n fatorial vezes z menos z0 elevado a n Quando a série de Taylor é chamada de série de MacLaurin correspondendo Lêse função f de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito da função f0 de z0 sob n fatorial vezes z elevado a n FIQUE DE OLHO A série de Taylor possibilita a realização da aproximação de forma local vizinhança de um ponto de uma função à medida que calcula as suas derivadas Essa série é fundamental no cálculo numérico permitindo aproximar funções complicadas como é o caso de algumas funções complexas tornando as funções mais simples 76 Exemplos a Encontrar a série de Taylor para a função Em torno de z0 Para a função f é analítica se z 1 e não é analítica para z 1 O raio de convergência é R1 Sendo assim calculase a deriva de f b Encontrar a série de Taylor para a função Em torno de z0 algumas séries de Taylor em torno do zero são chamadas série de MacLaurin Considerando Logo Uma série que converge para Ainda outras séries são usadas como procedimento de aproximação de funções complexas tais como série exponencial e binomial 77 Uma série exponencial de uma função é expressa em Lêse função f de z igual à exponencial de z Em termos gerais Lêse função fn de z igual à exponencial de z No ponto zero Lêse função fn de zero igual a um Referindose à série exponencial Lêse função f de z igual ao somatório com n variando de zero ao infinito de z elevado a n sob n fatorial igual a um mais z mais z elevado ao quadrado sob dois fatorial mais z elevado ao cubo sob três fatorial mais e assim sucessivamente A série binomial é expandida a partir de Lêse função f de z igual a um mais z elevado a alpha Em que α um número qualquer complexo A função f referese aos termos da série binomial Considerando z1 Lêse função f de z igual a um mais α mais α vezes α menos um sob dois fatorial vezes z elevado ao quadrado maissucessivamente igual ao somatório com n variando de zero ao infinito de α em n vezes z elevado a n 78 Ainda outros tipos de séries destacamse as séries trigonométricas de seno e cosseno A série trigonométrica do seno Lêse função seno de z igual a z menos z elevado ao cubo sob três fatorial mais z elevado à quinta sob cinco fatorial menos z elevado à sétima sob sete fatorial e assim sucessivamente Sendo expressa por Lêse somatório de n variando de zero ao infinito de menos um elevado a n multiplica z elevado a duas vezes n mais um sob duas vezes n mais um fatorial A série trigonométrica do cosseno Lêse função cosseno de z igual a um menos z elevado ao quadrado sob dois fatorial mais z elevado à quarta sob quatro fatorial menos z elevado à sexta sob seis fatorial e assim sucessivamente Expressa a seguir Lêse somatório de n variando de zero ao infinito de menos um elevado a n multiplica z elevado a duas vezes n sob duas vezes n fatorial Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 79 3 SÉRIE DE LAURENT As situações que necessitam de aproximações de funções em termos de séries que não são regulares no ponto z0 e admitam potências com expoentes negativos as séries de Laurent tornam se uma boa forma de aproximação para essas situações A série de Laurent é uma generalização da série de Taylor Assim seja uma função f univalente injetora e analítica em uma região dada por Logo para todo z nessa região ÁVILA 2008 SOARES 2009 Desse modo a série de Laurent Lêse somatório com n variando de menos infinito ao infinito da função an vezes z0 elevado a n Em que Lêse um sob duas vezes pi vezes i que multiplica integral variando em C da função f de zeta sob zeta menos z0 elevado a n mais um Aplicase em situações que envolvem os elementos C um contorno em G e z0 uma vez no sentido positivo Quando a função analítica f definida em D e seja um ponto p p pertencente a D sendo f diferente da função nula então existe uma vizinhança de p contida em D tal que fp0 Lêse f de z igual a f elevado a k de p sob k fatorial vezes z menos p elevado a k mais f elevado a k mais um de p sob k mais um fatorial vezes z menos p elevado a k mais um Um aspecto a ser considerado quando se aplica as séries de Laurent é que existem funções que não são analíticas em um ponto o ponto é chamado de singular comumente chamado de singularidade da função f Nesse caso existem formas de análises e classificações para as 80 singularidades de uma função Outro aspecto é que em geral as séries de Laurent usadas em estudos de vizinha de um ponto p no plano complexo e no interior de uma circunferência quando a vizinhança passa ser o infinito referese ao exterior de qualquer círculo ou circunferência tendo como ponto de referência o centro na origem Caso assim merecem atenção no desenvolvimento da série Exemplos Encontrar a série de Laurent para função Em torno de z 0 A série de Laurent é válida na região A região de fz é 0z1 e centrada em no ponto z0 No ponto z0 O resultado da série de Laurent depende da região considerada na análise da função 31 Exemplo de aplicação da série de Laurent As séries de Laurent podem ser aplicadas no estudo de processamento de sinais geralmente representadas por série de potências inicialmente generalizadas por série de Taylor de maneira subsequente a série de Laurent O matemático francês Pierre Alphonse Laurent 18131854 colaborou com os estudos teóricos e cálculo matemático de funções e séries principalmente com o desenvolvimento de séries potências conhecidas como série de Laurent 81 A série de Laurent é a base do desenvolvimento da transformada Z Uma transformada pode ser entendida como artifício matemático que permite transformar equações complexas em equações mais simples sendo uma maneira mais fácil resolver um problema de manipulação de cálculos algébricos A transformada Z é a representação de uma série de potência de Laurent aplicada em problemas de sistemas de controle e conversão de sinais analógicos e digitais Um sinal é definido como uma quantidade física com variação no tempo e transporta informação sobre o comportamento de um sistema De forma geral o sinal é representado por uma função sendo amplitude frequência e fase os principais parâmetros Os sinais de variáveis de tempo contínuo assumem um valor dentro de um intervalo contínuo enquanto que sinais de tempo discreto assumem um valor em um instante de tempo discreto Um sistema é entendido como um dispositivo que realiza operações matemáticas com um sinal Os sinais digitais são exemplos de que a sua amplitude é expressada em tempos discretos passando pelo sistema dito processamentos de sinais A transformada Z é usada nos estudos de sinais discretos quando se considera uma determinada função em um tempo discreto Ainda temse outros exemplos de transformada como a de Laplace no caso de tempo contínuo O importante é saber que as séries de Laurent são usadas como fundamentos e tratamento de funções complexas aplicadas em diferentes contextos O contexto de aplicação das séries de Laurent no caso de sinais é apenas um exemplo de aplicação como série facilitadora da aproximação de uma função definida no tempo 4 FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY Partindo da série de Laurent especificamente do coeficiente a formulação da integral de Cauchy decorre da série de Laurent A fórmula integral de Cauchy também é usada como ferramenta de análise de funções analíticas complexas Uma simples inspeção dessa fórmula e do conhecimento da função f nos pontos do contorno C possibilita o cálculo da função f no ponto z do interior do contorno C Os valores da função f estão todos interligados não podem ser alterados na região ao longo de arcos ou mesmo em conjunto mais restritivos de pontos sem que viole a condição de analiticidade ÁVILA 2008 82 A fórmula segundo Ávila 2008 a seguir Lêse um sob duas vezes pi vezes i que multiplica a integral definida em uma curva fechada C da função f de zeta sob zeta menos z Em que z pertence à região R C é qualquer contorno fechado simples de R envolve z uma vez no sentido positivo e o interior está todo contido em R O teorema de CauchyGoursat afirma que seja D um conjunto simplesmente conexo e se a função f é analítica em D então qualquer contorno C está contido em D então Lêse integral definida em C da função f de z igual a zero O matemático francês AugustinLouis Cauchy 17891857 produziu uma boa parte de seus trabalhos ligados à análise de variáveis complexas como são conhecidas nos dias de hoje Cauchy defendia que uma expressão analítica somente assumia valores no local em que ela fosse definida Esse fato evidenciado em seu teorema especificando que uma função é definida em um determinado domínio e suas afirmações são válidas apenas para aquele domínio mostrando o cuidado de cair em generalizações que não se podem provar matematicamente Cauchy reforça em suas ideias que uma quantidade se torna infinitamente pequena se o seu valor numérico decresce indefinidamente de forma a convergir para um limite zero Isso aponta para a ideia de limite e convergência de valores tendendo a zero como podese observar no teorema da fórmula integral de Cauchy Outra ideia introduzida nas definições de Cauchy é que uma função pode ter um salto ou uma descontinuidade isto pode demonstrar uma preocupação com um ponto singular da função ou forma de singularidades da função A integral é válida para ser usada em cálculos sobre caminhos fechados conforme a fórmula da integral de Cauchy consequentemente aplicada em situações de regiões com contorno fechado Vale ressaltar que integral de linha e integral curvilínea são usadas como instrumentos de 83 cálculo dessas regiões sendo abordadas com mais detalhes nos estudos iniciais da função de variável real GUIDORIZZI 2008 Ávila 2008 demonstra os passos da obtenção da fórmula da integral de Cachy fundamentada no teorema de Cachy como segue Lêse integral variando em C da função f de zeta sob zeta menos z igual integral variando em da função zeta sob zeta menos z Escrevendo as integrais em forma de função e decomposição Complementando admitem as derivadas de todas as ordens e teorema expõe uma função analítica em uma região R possui derivadas de todas as ordens Por sua vez elas são analíticas em R e obtidas da fórmula de Cauchy por derivação em conformidade do sinal de integral FIQUE DE OLHO Vale relembrar o teorema da integração de Cauchy que expressa a função fz é uma função analítica em um domínio em C conexo logo toda a curva fechada C tem seus pontos e interior pertencentes ao domínio Assim a integral é dada por Em que o sentido antihorário da integral é considerado como sentido positivo 84 Sendo assim Lêse um sob duas vezes PI vezes i que multiplica a integral variando em C da função f de zeta sob zeta menos z Admitindo derivação conformidade do sinal de integração podese mostrar que a função analítica possui derivada de todas as ordens n número inteiro qualquer Complementando o teorema se C é um caminho qualquer fechado ou não a função gz é contínua e definida para n um número inteiro positivo Portanto Notase que o teorema indica que a condição de analiticidade é bastante restritiva demonstrando a sua consequência pela fórmula da integral de Cauchy Ainda de acordo com Ávila 2008 e Soares 2009 consideramse Teorema de Morera assegura que uma função f é contínua na região R tal que Para todo contorno fechado logo a função f é analítica em R Seja um ponto qualquer de R a expressão Dizse que independe do caminho de integração logo F é uma função analítica de R e sua derivada é dada por 85 Assim F é considerada uma função analítica em R Teorema de Liouville expõe que uma função f é dita inteira isto é analítica em todo o plano sendo limitada é necessariamente constante Seja a função f e M uma constante assim como definida para todo z A fórmula integral da derivada Em que Z é um ponto qualquer C um contorno arbitrário que envolve z e no sentido positivo sendo fazendo r tender ao infinito obtémse Logo f é considerada constante Teorema fundamental da álgebra todo polinômio de grau n 1 possui pelo menos uma raiz complexa Seja P um polinômio A função fz tende ao valor zero com z tendendo ao infinito considerando f uma função contínua Sendo limitada em qualquer parte finita do plano Assim a função f é limitada em todo o plano complexo Complementando com o teorema de Liouville logo a função f é dita constante implica que o polinômio Pz também é constante Ainda a função f é identicamente nula ou seja ela é semelhante ao seu limite no infinito visto que por absurdo o polinômio Pz é finito para todo z Esses teoremas são vistos como afirmações que complementam o entendimento e asseguram que a formulação integral de Cauchy tornando válida nesse ambiente de aplicação Exemplos a Calcule a integral 86 Para calcular a integral definida no intervalo de i a 1 depende do ponto inicial e do ponto final que são caminhos da integração Assim integral deve ser calculada em i e 1 b Determine a integral Assim substituindo Fazendo a multiplicação das funções na integral Calculando a integral 87 Resulta em c Utilize a fórmula integral de Cauchy para calcular O contorno é percorrido no sentido antihorário Observase que o contorno C é definido em do círculo no centro e raio r2 Ainda o ponto de singularidade da função é z2 localizada no interior do círculo conforme o contorno C Considerando que a singularidade é o ponto z2 da função fz aplicando o teorema 41 Exemplos de aplicação da fórmula integral de Cauchy Uma das ferramentas de uma avaliação de funções analíticas é a fórmula integral de Cauchy sendo desenvolvida usando a integral de linha em situações de geometria curvilínea A teoria se baseia na integração numérica em ambiente de arcos curvilíneos e hiperbólicos mas com a introdução de um novo elemento os limites ou regiões definidas de integração são particionadas ou fracionadas em várias áreas que também são consideradas holomorfas ou analíticas permitindo o mapeamento curvilíneo local no plano complexo Desse modo propicia uma ampla aplicação em diversas áreas de estudo tais como eletricidade magnetismo elasticidade fluxo de fluido fluxo de ar fluxo de calor entre outras áreas Em ambientes industriais que usam robôs para executarem tarefas com rapidez e precisão da produção necessitam de robôs flexíveis influenciados por efeitos dinâmicos Esses efeitos dinâmicos podem ser simulados aplicando a fórmula integral de Cauchy Outro exemplo em estudos de grupos alimentares complexos que desempenham várias funções no organismo demandam alimentos com ingredientes compostos de materiais texturas e 88 diferentes tipos de espessura elasticidade Logo é possível simular a combinação dessas variáveis e analisar o comportamento dessas variáveis com aplicação da fórmula integral de Cauchy Estudos realizados no mercado financeiro utilizam equações complexas e aplicam a fórmula integral de Cauchy para analisar o comportamento de variáveis financeiras Esses exemplos apresentados são considerados poucos diante de vários contextos de aplicação Vale ressaltar que muitas soluções das áreas de engenharias são embasadas na teoria de variáveis complexas Apesar do seu entendimento não ser explícito no primeiro momento do ensino e aprendizagem se torna relevante para o profissional que deverá ser capaz em desenvolver habilidades matemáticas aplicadas na resolução de problemas Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 89 Nesta unidade você teve a oportunidade de estudar as séries como composição do cálculo por meio de somas compreender as funções complexas e principais propriedades conhecer as séries de potências destacase a série de Taylor analisar a série de Laurent expressa em séries de potências admitindo termos de grau negativo saber sobre a fórmula da integral de Cachy aplicada em caminhos de contorno fe chado PARA RESUMIR ÁVILA G Variáveis complexas e aplicações 3 ed Rio de Janeiro LTC 2009 GUIDORIZZI L H Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2008 OGATA K Engenharia de controle moderno 4 ed Rio de Janeiro LTC 2000 SOARES G M Cálculo de uma variável complexa 5 ed Rio de Janeiro IMPA 2009 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UNIDADE 4 Resíduos e polos de variáveis complexas Você está na unidade de Resíduos e polos de variáveis complexas Conheça aqui os principais conceitos necessários para analisar o comportamento de funções analíticas ou holomorfas e pontos considerados singulares O teorema do resíduo garante o cálculo das integrais de funções analítica definidas em regiões de curvas fechadas Um exemplo que ilustra a aplicação é o caso da função exponencial e ponto zero que pode ser uma singularidade no seu domínio Vários problemas da área de engenharia utilizam a função exponencial para representar o comportamento de um fenômeno no contexto de funções complexa Assim vale a pena saber mais sobre este importante tema Bons estudos Introdução 93 1 INTRODUÇÃO No estudo de funções complexas analíticas podese contar com o desenvolvimento e termos de séries de potências tornando uma ferramenta poderosa na representação das funções analíticas ou holomorfas Como um exemplo as séries de potências do tipo Lêse função de z igual a somatório do termo an vezes z menos elevado a n com n variando de zero ao infinito As séries de potências aplicadas em ambientes de domínio D do plano complexo considerando um círculo e sendo possível incluir termos de potências negativas auxiliam na resolução de problemas de funções complexas definidas em regiões de curvas fechadas e necessitam de funções que ajam como facilitadoras de seu cálculo Nesse contexto conforme visto em estudos anteriores destacamse as séries de Taylor e a série de MacLaurin Essas séries funcionam como facilitadoras no desenvolvimento da série de Laurent sendo uma série importante para representar funções analíticas Para relembrar essas séries a série de Taylor da função fz é uma função analítica em uma região R e z0 um ponto qualquer de R sendo tal que o disco está contido nessa região então a função f pode ser desenvolvida em série de potências em termos de ÁVILA 2008 Essa função fz é chamada de série de Taylor como segue Lêse função f de z igual a somatório de f de n linha de com n variando de zero ao infinito A série de MacLaurin é obtida tornando o ponto z0 0 da fórmula da série de Taylor como segue Lêse função f de z igual a somatório de f n linha de z0 sob n fatorial vezes z elevado a n 11 Série de Laurent As séries de Laurent de funções analíticas são usadas em muitas situações de representação de séries de potências com termos de grau negativo 94 Considerando uma f é uma função analítica definida em uma região R delimitada no intervalo Assim para todo ponto z dessa região que corresponde à função fz pode ser representada por série de potências com termos positivos e negativos ÁVILA 2008 CHURCHILL 1978 SOARES 2009 Desse modo a série de Laurent é expressa em I II I parte principal Lêse função de f de z igual a somatório de an sob z menos z0 elevando a n com n variando de 1 ao infinito II parte analítica Lêse função de f de z igual a somatório de a que multiplica z menos z0 elevando a n com n variando de zero ao infinito Os coeficientes série de Laurent dados por Lêse an igual a 1 sob duas vezes pi vezes i que multiplica a integral de f de zeta sob zeta menos zeta zero elevado a n mais um variando na região C Sendo um contorno fechado e envolvendo o ponto uma vez no sentido positivo No caso do coeficiente é não nulo ÁVILA 2008 Entretanto o desenvolvimento das séries de Laurent requer manipulações de operações matemáticas de adição multiplicação divisão em alguns casos derivação e integração Além disso em alguns casos de funções analíticas utilizamse as séries de Taylor e MacLaurin como facilitadora de cálculos Para ilustrar o cálculo da série de Laurent segue o exemplo Exemplo Desenvolver a função Lêse f de z igual a z ao quadrado vezes cosseno de 1 sob z em termos da série de Laurent 95 Representar a função em série de Laurent incialmente expressase a função na forma de série de MacLaurin de cosz Além disso as séries de Laurent são um instrumento relevante para o aprofundamento do estudo de funções analíticas e suas singularidades Utilize o QR Code para assistir ao vídeo FIQUE DE OLHO As séries de Taylor e MacLaurin de funções complexas são facilitadores dos cálculos da série de Laurent Recomendase relembrar as principais séries dessas funções Aqui seguem as séries de MacLaurin das funções exponencial cosseno e seno exponencial cosseno seno 96 2 SINGULARIDADES As séries de Laurent auxiliam no estudo e classificação de singularidades de funções analíticas A expressão singularidade remete ao entendimento de um estudo particular de algum ponto no domínio das funções complexas Nessa perspectiva partindo da noção de função analítica ou holomorfas seja f uma função e um ponto a como uma singularidade se f existe um disco centrado em a tal que f é holomorfa em todo o disco exceto nesse ponto a SOARES 2009 Outro conceito usado no estudo de singularidades é o anel estrutura algébrica de conjuntos associados como conjunto aberto fechado e ilimitado Soares 2009 destaca que os números e o ponto a é um número complexo o anel dizse que é um conjunto aberto Lêse A é formado por a rô1 rô2 igual a z pertencentes a C sendo ro1 menor que o módulo de z menos a O conjunto é fechado quando o é anel fechado sendo representado por Lêse A é o formado por a rô1 rô2 igual a z pertencentes a C sendo o módulo de z menos a entre o intervalo de ro1 a ro2 Por outro lado quando o anel ilimitado referese ao conjunto ilimitado Lêse A complementar é formada por a ro1 ro2 igual a z pertencentes a C sendo rô1 menor ou igual ao módulo de z menos a O conceito de anel pode dar uma noção de conjuntos definidos em regiões de funções analíticas no estudo de singularidades Esse estudo dedicase a três tipos de singularidades singularidade isolada removível e essencial Singularidade isolada referese às seguintes proposições de natureza teórica seja f uma função analítica ou holomorfa no anel logo a singularidade isolada deve satisfazer às 97 condições abaixo SOARES 2009 a a é singularidade removível de f Lêse limite de f de z quando z tende a c f é limitado em algum anel Lêse módulo de f é limitado em algum anel A formado por a zero delta contido em A formado por a zero Rô Suponha que a função analítica satisfaça essas condições considerando a série de Laurent O limite dessa função Baseado na definição elementar do limite GUIDORIZZI 2008a dado um propriedade do limite b Assim complementando existe um número K tal que propriedade c Exemplo Considere a função Lêse f de z igual a cosseno de 3 vezes Z sob z elevado a quarta Escrevendo a função em termos da série de MacLaurin de cosz temse Ressaltase que z0 singularidade isolada e o polo de ordem 4 Singularidade removível partindo da série de Laurent temse a condição se para todo n 12 então z0 é uma singularidade removível 98 Em outras palavras ponto é uma singularidade de uma função fz se todos os coeficientes da parte principal da série de Laurent em torno forem nulos referese portanto é uma singularidade removível Exemplo Considere a função fz Lêse seno de z sob z O ponto z0 é uma singularidade removível dessa função visto que o seu desenvolvimento em série em torno z sendo z0 não tem potências negativas de z Escrevendo a função Os termos da série de MacLaurin de senz são escritos por Assim z0 é uma singularidade removível Singularidade essencial de maneira teórica o uso do Teorema de CasoratiWeierstrass define que seja f é uma função holomorfa no anel suponha que a é singularidade essencial de f Logo existe um número complexo e Por outro lado a série de Laurent Em outras palavras caso não tenha nenhuma restrição para que a função assuma o valor de logo a singularidade é essencial Exemplo Suponha a função Lêse exponencial de 1 sob z Escrevendo a função em termos da série de MacLaurin de segue 99 Portanto z0 é uma singularidade essencial Polo Soares 2009 afirma que f é uma função holomorfa no anel então a é chamado de polo de ordem k de f se e somente se assim o limite de fz existe sendo um número complexo não nulo Agora suponha que a é um polo de ordem k de f assim sendo a série de Laurent de f no anel temse Lêse z menos a elevado a k vezes f de z igual a bk maisb1vezes z menos a elevado a k1 mais somatório variando n de 0 a infinito de na que multiplica z menos a elevado a nk Logo Neste caso g tem singularidade removível em a logo a série de potências é centrada em a e convergente no disco Logo Em termos de série 100 Exemplo Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 3 RESÍDUO Referese ao coeficiente da série de Laurent da função complexa fz em torno do ponto é chamado de resíduo e usase a seguinte notação res fz em Exemplo Examine a série de Laurent de fz Lêse f de z igual cosseno de z sob z elevado ao cubo Em torno do ponto z0 Escrevendo a função em termos da série de MacLaurin para auxiliar na compreensão do desenvolvimento 101 Escrevendo a função completa Assim o coeficiente do termo 31 Teorema dos resíduos O teorema dos resíduos tratase de f uma função holomorfa no domínio Suponha que referese a uma curva suave de Jordan por partes orientada no sentido antihorário tal que a região é fechada e limitada e contida em U por sua vez U contém todos os pontos SOARES 2009 O termo an pode ser expresso na forma de Lêse na igual a um sob duas vezes PI vezes i que multiplica integral definida em zeta da função f de z igual a resíduo de fa1 mais resíduo de f a2 maisresíduo de f na Figura 1 Situações que envolvem singularidades no plano complexo Fonte Adaptação de Soares 2009 ParaCegoVer A imagem apresenta uma situação ocorrida no plano complexo com regiões de círculos e singularidades A figura Situações que envolvem singularidades no plano complexo tratase de singularidade isolada da função f um círculo centrado em satisfazendo as condições não tem ponto comum com e k n e não tem ponto comum para no sentido antihorário Conforme o teorema de Cauchy 102 Lêse integral definida em zeta1 união com zeta2união com zeta n da função z dz igual a zero Expressando em Lêse integral definida em zeta j de f de z dz igual integral definida em zeta1 f de z dz mais integral definida em zeta2 de f de z dz maisintegral definida em zeta n de f de z dz Para calcular a seguinte integral Em que j 12k Complementando com o teorema de Laurent segue O teorema mostra que a função f tem singularidade removível em a então No caso em que a é um polo temse Agora suponha que a função f é holomorfa no anel e a é um polo k1 Considere a função 103 Lembrando que a série de Laurent da função f no anel Observase que g é holomorfa no disco a expressão acima representa uma série de Taylor de centro a o coeficiente sendo Para o cálculo do resíduo e k não seja muito grande podese calcular a derivada de um produto Em síntese quando fz for uma função analítica no interior e na fronteira de uma região R delimitada por uma caminho simples fechado C exceto em um número finito de singularidades zk k123n situada no interior da região sendo assim representando Lêse integral de linha de caminho fechado definida em C da função z dz Lêse duas vezes PI vezes i que multiplica resíduo f de z sendo z igual a z1 mais resíduo de f de z sendo z igual a z2 mais resíduo de f de z sendo z igual a Zn Caso as singularidades forem indicada por logo a fórmula é dada 104 Exemplo Dada a função No caso da função f de singularidade essencial em a então a técnica de cálculo de deve ser calculado por meio da série de Laurent de f Exemplo Uma circunferência de centro na origem e raio orientada positivamente calcule a seguinte integral usando o teorema dos resíduos temse Lêse f de z igual um mais exponencial de z sob z elevado ao cubo menos 6 vezes z elevado ao quadrado mais 5 vezes z Encontrando as raízes de sendo 01 e 5 classificadas como polo simples Calculando os resíduos Para z0 Para z5 está no exterior de C 105 Utilize o QR Code para assistir ao vídeo 4 APLICAÇÕES DO TEOREMA DOS RESÍDUOS O teorema dos resíduos é aplicado em diversos formatos de regiões de curva fechada e em alguns casos necessita do auxílio das integrais impróprias integrais definidas e integrais curvilíneas entre outras 41 Integrais impróprias e as funções trigonométricas No cálculo das integrais impróprias GUIDORIZZI 2008b envolve funções trigonométricas integrais curvilíneas e aplicação do teorema dos resíduos Uma importante definição conhecida como lema de Jordan é usada para definir esses cálculos Lema de Jordan Sejam r R0 e um semicírculo Suponha uma função regular no semiplano mas a exceção de um número finito de singularidades isoladas e que o máximo GR e fz para ÁVILA 2008 Em outras palavras existem casos em que a integral de complexas precisa de transformações de integrais impróprias Lêse integral de menos infinito a mais infinito de exponencial de i vezes r vezes z que multiplica f de z dz Considerando a integral no semicírculo 106 Em que o semicírculo é centrado na origem e raio R O lema de Jordan estabelece condição suficiente para que integral tenda a zero com R tendendo ao infinito Exemplo Calcule a integral com auxílio do teorema dos resíduos Dada a função Lêse integral de zero a infinito da função x vezes seno de x sob a elevado ao quadrado mais x elevado ao quadrado Nesse caso transformase a função fx em função complexa fz com uma função par e Dessa forma A função pode ser escrita com singularidade no semiplano superior a integral sendo definida no intervalo R a R R0 em um semicírculo localizado no semiplano superior Logo 42 Integrais impróprias e as funções racionais A integral imprópria de funções reais é expressa Em que P e Q são polinômios Q não pode assumir o valor de zero Além do mais a função fx representa um quociente ou razão de duas funções GUIDORIZZI 2008b Para calcular integras de funções complexas desse tipo utilizase a teoria dos resíduos considerando a integral complexa ao longo do contorno de um semicírculo raio R variando de R a R Os pontos da função racional complexa está no interior do círculo Essa função é integrada ao longo do semicírculo no sentido antihorário e com o auxílio do teorema do resíduo ÁVILA 2008 Logo 107 Em que chamados de pontos singulares em com R tendendo ao infinito conforme a figura abaixo Figura 2 Representação do semicírculo Fonte Elaborada pela autora 2020 ParaCegoVer A imagem mostra um gráfico que representa um semicírculo Exemplo Calcule a integral fx transformando em funções complexas Lêse integral de menos infinito a mais infinito da função 1 sob x elevado a quarta mais um dx Ressaltase que os pontos são chamados de polos simples e representados para essa função como A região semicírculo do semiplano superior delimitada por zR e R O cálculo dos resíduos em 108 Integrando no sentido antihorário ao longo da região do semicírculo Conforme a representação Figura 3 Representação do semicírculo Fonte Elaborada pela autora 2020 ParaCegoVer A imagem mostra um gráfico que representa um semicírculo Substituindo os resíduos temse 43 Integrais definidas e funções trigonométricas A integral definida de funções reais pode ser usada no contexto de funções complexas com auxílio do teorema de resíduos assim a integral definida GUIDORIZZI 2008b como segue A função F é um quociente das funções polinomiais representada por aplicando a transformação 109 Essa integral definida representa a integral curvilínea de uma função racional de z Exemplo Calcule a integral da função Lêse integral de zero a duas vezes PI da função 1 sob dois mais seno ao quadrado de teta d Transformando Manipulando a com operações matemáticas básicas temse Sendo que C é um círculo delimitado por z1 e os pontos no interior de círculo são O cálculo do resíduo nesses pontos é dado por 110 De forma subsequente Manipulando os cálculos temse 111 Nesta unidade você teve a oportunidade de relembrar as séries de potência de Taylor MacLauren e Laurent analisar o comportamento de singularidades de funções complexas conhecer o teorema dos resíduos aplicar o teorema dos resíduos em resolução de problemas com integrais PARA RESUMIR ÁVILA G Variáveis complexas e aplicações 3 ed Rio de Janeiro LTC 2009 CHURCHILL R V Variáveis complexas e suas aplicações São Paulo McGrawHill 1978 GUIDORIZZI L H Um curso de cálculo 5 ed vol1 Rio de Janeiro LTC 2008a Um curso de cálculo 5 ed vol1 Rio de Janeiro LTC 2008a SOARES G M Cálculo de uma variável complexa 5 ed Rio de Janeiro IMPA 2009 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Variáveis complexas é um livro direcionado para estudantes dos cursos de matemática Além de abordar assuntos gerais o livro traz conteúdo sobre as funções de variáveis complexas e suas derivações e integrações fórmula integral de Cauchy resíduos e polos de variáveis complexas Após a leitura da obra o leitor vai aprender sobre as operações fundamentais conhecer as principais funções elementares com destaque para a exponencial visualizar algumas funções de transformações no plano complexo analisar suposições e critérios de limite e continuidade de funções complexas compreender as principais regras de derivação das funções complexas considerar a série de Laurent expressa em séries de potências admitindo termos de grau negativo saber sobre a fórmula da integral de Cachy aplicada em caminhos de contorno fechado relembrar as séries de potência de Taylor MacLauren e Laurent aplicar o teorema dos resíduos em resolução de problemas com integrais e muito mais Aproveite a leitura do livro Bons estudos