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Engenharia Mecânica ·
Física 2
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ser educacional gente criando o futuro Dinâmica de um ponto material Trabalho e energia 1 Trabalho de uma força 2 Princípio do trabalho e energia 3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de pontos materiais 4 Potência e rendimento 5 Forças conservativas e energia potencial 6 Conservação de energia Sumário Em mecânica uma força F realiza trabalho sobre um ponto material quando este sofre um deslocamento na direção da força Consideremos uma força F agindo no ponto material mostrado se o ponto se desloca ao longo da trajetória a partir da posição r a uma nova posição r o deslocamento é dr r r O módulo desse deslocamento dr é representado pelo arco elementar 1 Trabalho de uma força da trajetória Se o ângulo entre dr e F é θ então o trabalho dU é definidor por Pela definição do produto escalar a equação pode ser reescrita como A unidade do trabalho no sistema internacional é o Joule J de r1 a r2 ou de s1 a s2 o trabalho é determinado por integração Se F é escrito como uma função da posição então F Fs Trabalho de uma força variável Se um ponto material sofre deslocamento ao longo de sua trajetória gulo constante com o deslocamento retilíneo de seu ponto de aplicação então o componente da força na direção do deslocamento é Fccosθ e o trabalho da posição s1 até a posição s2 é Trabalho de uma força constante movendo seu ponto em uma reta Se a força Fc tem intensidade constante e sua direção forma um ân s mostrada Em um ponto intermediário o deslocamento infinitesimal é dado em coordenadas cartesianas por dr dxi dyj dzk Uma vez que W Wj temos Trabalho da força peso Consideremos um ponto material que se move ao longo da trajetória O trabalho é igual a intensidade da força peso vezes o deslocamento vertical ele é negativo pois W é voltado para baixo e o deslocamento se dá para cima Δy do esta sofre uma deformação s é dada por Fs ks onde k é a rigidez da mola Se a mola é distendida ou comprimida de uma posição s1 até outra mais distante s2 o trabalho realizado sobre a mola é positivo e assim Se um ponto material é ligado à mola então a força Fs exercida sobre o ponto é oposta àquela exercida sobre a mola Conseqüentemente quando o ponto se mover e distender ou comprimir a mola a força realizará trabalho sobre ele e o sinal desse trabalho será oposto àquele dado pela equação anterior e assim Trabalho da força de uma mola A intensidade da força desenvolvida numa mola elástica linear quan ponto e comparálo com o deslocamento do ponto material Se ambos tiverem o mesmo sentido o trabalho será positivo caso contrário o trabalho será negativo Quando essa equação for usada um engano de sinal poderá ser facilmente eliminado se observarmos o sentido da força agindo no Exemplo 1 O bloco de 10 kg mostrado está em repouso sobre um plano inclinado Calculando o trabalho devido a força inclinada Se a mola está inicialmente distendida 05 m determine o trabalho total realizado por todas as forças que agem no bloco quando uma força horizontal P 400 N empurrao s 2 m plano acima Calculando o trabalho devido a ação da força na mola Fs Calculando o trabalho devido ao peso W Determinando o trabalho da força normal UN 0 J Determinando o trabalho total como a somatória de todos os trabalhos que atuam no corpo Consideremos o ponto material P se ele tem massa m e está submetido a um sistema de forças externas representado pela resultante FR ΣF então a equação de movimento para o ponto material no referencial inercial tem componente na direção tangencial dado por ΣF mat Considerando a po 2 Princípio do trabalho e energia sição inicial s1 e velocidade v1 e uma posição final s2 e velocidade v2 e aplicando a equação da cinemática at vdvds obtemos Podendo ser escrito como blemas que envolvem força velocidade e deslocamento pois essas quantidades estão envolvidas nos termos da equação É comum a energia cinética ser simbolizada por Essa equação representa o princípio do trabalho e energia para o ponto material Esse princípio é conveniente para se resolverem pro O princípio do trabalho e energia pode ser estendido para um sistema de n pontos materiais contidos numa região do espaço Aplicando o princípio ao iésimo ponto temos Obtemos uma equação semelhante ao aplicarmos o princípio do trabalho e energia aos outros pontos materiais do sistema Como trabalho e energia são escalares os resultados podem ser somados algebricamente e assim 3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de pontos materiais Essa equação estabelece que a soma da energia cinética inicial com o trabalho realizado por todas as forças internas e externas agindo em todos os pontos do sistema é igual à energia cinética final do sistema Existem exceções onde a ação de forças opostas provocam o cancelamento do trabalho se os pontos materiais formam um corpo rígido em movimento de translação então os trabalhos dos pares de forças internas se cancela pois todas as forças sofrem o mesmo deslocamento Outro exemplo é o de blocos ligados por cabos inextensíveis para os quais as forças internas são deslocadas da mesma quantidade Nesse caso blocos adjacentes exercem forças internas opostas que possuem componentes que sofrem o mesmo deslocamento e portanto os trabalhos se cancelam Podendo ser escrito como superfície áspera Se a força aplicada P equilibra a força de atrito resultante de módulo μcN então a velocidade v do bloco se mantém constante e a equação se torna Trabalho de atrito causado por escorregamento Consideremos um bloco que percorre uma certa distância sobre uma Exemplo 2 O automóvel de 3500 lb mostrado movese para baixo numa estrada com Fazendo um balanço para as forças normais 10º de inclinação a uma velocidade de 20 fts Se o motorista do carro freia provocando um travamento das rodas determine a distância s que o carro percorre durante o escorregamento O coeficiente de atrito é μc 05 Para a força de atrito Aplicando o princípio do trabalho e energia Exemplo 3 Durante um pequeno intervalo de tempo o guindaste mostrado ergue a viga de 25 ton com uma força F 28 3s² kN Determine a velocidade da viga ao fim de um deslocamento vertical s 3 m Quanto tempo leva para a viga atingir essa altura Suponha que ela partiu do repouso Aplicando o principio de trabalho e energia Para o tempo Potência é definida como a quantidade de trabalho realizado por unidade de tempo Logo Também podendo ser escrita como onde v é a velocidade com que o ponto de aplicação da força F se desloca A potência é uma grandeza escalar suas unidades podem ser o Watt ou hp onde 1 hp 746 W O rendimento mecânico de uma máquina é definido como a razão entre a potência útil de saída e a potência de entrada fornecida para que ela funcione assim 4 Potência e rendimento Є 1 Exemplo 4 O carro mostrado tem massa de 2 ton e está trafegando com uma velo Pelo diagrama de corpo livre Cidade de 25 ms quando a motorista aplica os freios às quatro rodas Determine a potência desenvolvida pelo atrito quando o carro desliza Calcule também a velocidade do carro ao fim de 10 m de escorregamento O coeficiente de atrito é 035 Para a força de atrito Aplicando o principio de trabalho e energia Quando o trabalho realizado por uma força sobre um ponto que se move de um local a outro não depende da trajetória seguida dizse que a força é conservativa O peso de um ponto material e a força de uma mola elástica são dois exemplos de forças conservativas encontradas na mecânica O trabalho realizado pelo peso de um ponto material depende apenas do deslocamento vertical e o trabalho realizado por uma mola depende apenas da deformação s da mola Energia pode ser definida como a capacidade de se realizar trabalho A energia proveniente do movimento de um ponto é denominada energia cinética A energia associada à posição de um ponto material medida em relação a uma linha ou um plano fixo é chamada de energia potencial 5 Forças conservativas e energia potencial rência escolhida podese associa a esse ponto uma energia potencial gravitacional Vg uma vez que seu peso W tem capacidade de realizar Energia potencial gravitacional Se um ponto material se situa a uma distância y acima de uma refe trabalho positivo quando o ponto retorna à linha de referência Um raciocínio semelhante mas com sentido contrário pode ser usado quando o ponto material se situa a uma distância y abaixo da linha de referência Na linha de referência Vg 0 Em geral se y é positivo para cima a energia potencial gravitacional do ponto com peso W é cial elástica Ve associada a essa deformação pode ser expressa como Nesse caso Ve sempre é positivo pois na configuração de mola deformada Energia potencial elástica Quando uma mola elástica sofre uma deformação s a energia poten a força elástica tem a capacidade de sempre realizar trabalho positivo sobre o ponto material quando a mola retorna ao seu estado de mola não deformada forças gravitacionais e elásticas a energia potencial do ponto pode ser expressa como uma função potencial que é a soma algébrica das energias A medida que V depende da localização do ponto material em relação às referência escolhidas de acordo com as equações anteriores Se o ponto material se situa num ponto x y z do espaço a função potencial é V Vx y z O trabalho realizado por uma força conservativa que desloca seu ponto de aplicação da posição x1 y1 z1 até uma nova posição x2 y2 z2 é medida pela diferença da função potencial assim Vejamos o exemplo a seguir Função potencial No caso geral se o ponto material está submetido simultaneamente a em relação a uma referência situada na posição correspondente à mola não deformada como mostrada na imagem a seguir Temos A função potencial para um ponto material de peso W suspenso por uma mola pode ser expressa em termos de sua posição s medida Se o ponto se move de s1 a uma posição inferior s2 considerando o deslocamento ao longo de uma trajetória infinitesimal e expresso em coordenadas cartesianas então o trabalho pode ser expresso como onde Assim Ou ainda onde representa o operador vetorial para gradiente No caso da função potencial gravitacional O sinal negativo indica que W aponta para baixo sentido oposto ao y Como as mudanças em x y e z são todas independentes umas das outras essa equação é satisfeita se Quando um ponto material é submetido simultaneamente a forças conservativas e não conservativas a parcela de trabalho realizado pelas forças conservativas pode ser escrita em termos das diferenças das respectivas energias potenciais isto é ΣUcons V1 V2 Como resultado o princípio do trabalho e energia pode ser escrito como Nessa equação ΣUnão cons representa o trabalho das forças não conservativas agindo no ponto material Se somente forças conservativas agem no ponto material a equação se reduz a 6 Conservação de energia potencial permanece constante Para isso ocorrer a energia cinética deve ser transformada em potencial e viceversa Por exemplo se deixarmos cair uma bola de peso W de uma altura h acima do solo a energia potencial da bola é máxima na posição inicial energia cinética nula A energia mecânica a soma das energias cinética e potencial nessa posição inicial é Essa equação expressa a conservação da energia mecânica ao estabelecer que durante o movimento a soma das energias cinética e Quando a bola cai de uma distância h2 sua velocidade pode ser determinada como No momento em que a bola atinge o solo sua energia potencial é nula e sua velocidade é v Novamente a energia mecânica da bola fica Se um sistema de pontos materiais está submetido apenas a forças conservativas então uma equação semelhante à equação de conservação da energia mecânica pode ser apresentada Aplicando essa idéias a equação ΣT1 ΣU12 ΣT2 se torna Nessa equação a soma das energias cinéticas e potenciais iniciais do sistema é igual a soma das energias cinéticas e potenciais finais do sistema ou seja constante A energia da bola na posição de meia altura fica avião durante o impacto O avião de massa 8 ton é suspenso até um ângulo θ 60 e estando ele em repouso soltase o cabo AC Determine a velocidade do avião no instante imediatamente anterior ao impacto com o solo θ 15 Qual é o valor máximo da tensão no cabo durante o movimento do avião Exemplo 5 A estrutura de pórtico mostrada é usada para testar a resposta de um Pela equação da conservação da energia Usando a equação do movimento Fn man T 8000 981N cos 15 8000 kg135 ms² 20 m T 149 kN Exemplo 6 O cilindro de bateestaca R de 100 kg mostrado é abandonado a partir Pela conservação de energia do repouso a 075 m do topo de uma mola A de rigidez kA 12 kNm Se uma segunda moa B de rigidez kB 15 kNm está no interior de A determine a deformação máxima que A deve ter para barrar o movimento para baixo do cilindro Subtraindo o espaço entre as molas que corresponde a diferença de altura entre elas ser educacional
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ser educacional gente criando o futuro Dinâmica de um ponto material Trabalho e energia 1 Trabalho de uma força 2 Princípio do trabalho e energia 3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de pontos materiais 4 Potência e rendimento 5 Forças conservativas e energia potencial 6 Conservação de energia Sumário Em mecânica uma força F realiza trabalho sobre um ponto material quando este sofre um deslocamento na direção da força Consideremos uma força F agindo no ponto material mostrado se o ponto se desloca ao longo da trajetória a partir da posição r a uma nova posição r o deslocamento é dr r r O módulo desse deslocamento dr é representado pelo arco elementar 1 Trabalho de uma força da trajetória Se o ângulo entre dr e F é θ então o trabalho dU é definidor por Pela definição do produto escalar a equação pode ser reescrita como A unidade do trabalho no sistema internacional é o Joule J de r1 a r2 ou de s1 a s2 o trabalho é determinado por integração Se F é escrito como uma função da posição então F Fs Trabalho de uma força variável Se um ponto material sofre deslocamento ao longo de sua trajetória gulo constante com o deslocamento retilíneo de seu ponto de aplicação então o componente da força na direção do deslocamento é Fccosθ e o trabalho da posição s1 até a posição s2 é Trabalho de uma força constante movendo seu ponto em uma reta Se a força Fc tem intensidade constante e sua direção forma um ân s mostrada Em um ponto intermediário o deslocamento infinitesimal é dado em coordenadas cartesianas por dr dxi dyj dzk Uma vez que W Wj temos Trabalho da força peso Consideremos um ponto material que se move ao longo da trajetória O trabalho é igual a intensidade da força peso vezes o deslocamento vertical ele é negativo pois W é voltado para baixo e o deslocamento se dá para cima Δy do esta sofre uma deformação s é dada por Fs ks onde k é a rigidez da mola Se a mola é distendida ou comprimida de uma posição s1 até outra mais distante s2 o trabalho realizado sobre a mola é positivo e assim Se um ponto material é ligado à mola então a força Fs exercida sobre o ponto é oposta àquela exercida sobre a mola Conseqüentemente quando o ponto se mover e distender ou comprimir a mola a força realizará trabalho sobre ele e o sinal desse trabalho será oposto àquele dado pela equação anterior e assim Trabalho da força de uma mola A intensidade da força desenvolvida numa mola elástica linear quan ponto e comparálo com o deslocamento do ponto material Se ambos tiverem o mesmo sentido o trabalho será positivo caso contrário o trabalho será negativo Quando essa equação for usada um engano de sinal poderá ser facilmente eliminado se observarmos o sentido da força agindo no Exemplo 1 O bloco de 10 kg mostrado está em repouso sobre um plano inclinado Calculando o trabalho devido a força inclinada Se a mola está inicialmente distendida 05 m determine o trabalho total realizado por todas as forças que agem no bloco quando uma força horizontal P 400 N empurrao s 2 m plano acima Calculando o trabalho devido a ação da força na mola Fs Calculando o trabalho devido ao peso W Determinando o trabalho da força normal UN 0 J Determinando o trabalho total como a somatória de todos os trabalhos que atuam no corpo Consideremos o ponto material P se ele tem massa m e está submetido a um sistema de forças externas representado pela resultante FR ΣF então a equação de movimento para o ponto material no referencial inercial tem componente na direção tangencial dado por ΣF mat Considerando a po 2 Princípio do trabalho e energia sição inicial s1 e velocidade v1 e uma posição final s2 e velocidade v2 e aplicando a equação da cinemática at vdvds obtemos Podendo ser escrito como blemas que envolvem força velocidade e deslocamento pois essas quantidades estão envolvidas nos termos da equação É comum a energia cinética ser simbolizada por Essa equação representa o princípio do trabalho e energia para o ponto material Esse princípio é conveniente para se resolverem pro O princípio do trabalho e energia pode ser estendido para um sistema de n pontos materiais contidos numa região do espaço Aplicando o princípio ao iésimo ponto temos Obtemos uma equação semelhante ao aplicarmos o princípio do trabalho e energia aos outros pontos materiais do sistema Como trabalho e energia são escalares os resultados podem ser somados algebricamente e assim 3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de pontos materiais Essa equação estabelece que a soma da energia cinética inicial com o trabalho realizado por todas as forças internas e externas agindo em todos os pontos do sistema é igual à energia cinética final do sistema Existem exceções onde a ação de forças opostas provocam o cancelamento do trabalho se os pontos materiais formam um corpo rígido em movimento de translação então os trabalhos dos pares de forças internas se cancela pois todas as forças sofrem o mesmo deslocamento Outro exemplo é o de blocos ligados por cabos inextensíveis para os quais as forças internas são deslocadas da mesma quantidade Nesse caso blocos adjacentes exercem forças internas opostas que possuem componentes que sofrem o mesmo deslocamento e portanto os trabalhos se cancelam Podendo ser escrito como superfície áspera Se a força aplicada P equilibra a força de atrito resultante de módulo μcN então a velocidade v do bloco se mantém constante e a equação se torna Trabalho de atrito causado por escorregamento Consideremos um bloco que percorre uma certa distância sobre uma Exemplo 2 O automóvel de 3500 lb mostrado movese para baixo numa estrada com Fazendo um balanço para as forças normais 10º de inclinação a uma velocidade de 20 fts Se o motorista do carro freia provocando um travamento das rodas determine a distância s que o carro percorre durante o escorregamento O coeficiente de atrito é μc 05 Para a força de atrito Aplicando o princípio do trabalho e energia Exemplo 3 Durante um pequeno intervalo de tempo o guindaste mostrado ergue a viga de 25 ton com uma força F 28 3s² kN Determine a velocidade da viga ao fim de um deslocamento vertical s 3 m Quanto tempo leva para a viga atingir essa altura Suponha que ela partiu do repouso Aplicando o principio de trabalho e energia Para o tempo Potência é definida como a quantidade de trabalho realizado por unidade de tempo Logo Também podendo ser escrita como onde v é a velocidade com que o ponto de aplicação da força F se desloca A potência é uma grandeza escalar suas unidades podem ser o Watt ou hp onde 1 hp 746 W O rendimento mecânico de uma máquina é definido como a razão entre a potência útil de saída e a potência de entrada fornecida para que ela funcione assim 4 Potência e rendimento Є 1 Exemplo 4 O carro mostrado tem massa de 2 ton e está trafegando com uma velo Pelo diagrama de corpo livre Cidade de 25 ms quando a motorista aplica os freios às quatro rodas Determine a potência desenvolvida pelo atrito quando o carro desliza Calcule também a velocidade do carro ao fim de 10 m de escorregamento O coeficiente de atrito é 035 Para a força de atrito Aplicando o principio de trabalho e energia Quando o trabalho realizado por uma força sobre um ponto que se move de um local a outro não depende da trajetória seguida dizse que a força é conservativa O peso de um ponto material e a força de uma mola elástica são dois exemplos de forças conservativas encontradas na mecânica O trabalho realizado pelo peso de um ponto material depende apenas do deslocamento vertical e o trabalho realizado por uma mola depende apenas da deformação s da mola Energia pode ser definida como a capacidade de se realizar trabalho A energia proveniente do movimento de um ponto é denominada energia cinética A energia associada à posição de um ponto material medida em relação a uma linha ou um plano fixo é chamada de energia potencial 5 Forças conservativas e energia potencial rência escolhida podese associa a esse ponto uma energia potencial gravitacional Vg uma vez que seu peso W tem capacidade de realizar Energia potencial gravitacional Se um ponto material se situa a uma distância y acima de uma refe trabalho positivo quando o ponto retorna à linha de referência Um raciocínio semelhante mas com sentido contrário pode ser usado quando o ponto material se situa a uma distância y abaixo da linha de referência Na linha de referência Vg 0 Em geral se y é positivo para cima a energia potencial gravitacional do ponto com peso W é cial elástica Ve associada a essa deformação pode ser expressa como Nesse caso Ve sempre é positivo pois na configuração de mola deformada Energia potencial elástica Quando uma mola elástica sofre uma deformação s a energia poten a força elástica tem a capacidade de sempre realizar trabalho positivo sobre o ponto material quando a mola retorna ao seu estado de mola não deformada forças gravitacionais e elásticas a energia potencial do ponto pode ser expressa como uma função potencial que é a soma algébrica das energias A medida que V depende da localização do ponto material em relação às referência escolhidas de acordo com as equações anteriores Se o ponto material se situa num ponto x y z do espaço a função potencial é V Vx y z O trabalho realizado por uma força conservativa que desloca seu ponto de aplicação da posição x1 y1 z1 até uma nova posição x2 y2 z2 é medida pela diferença da função potencial assim Vejamos o exemplo a seguir Função potencial No caso geral se o ponto material está submetido simultaneamente a em relação a uma referência situada na posição correspondente à mola não deformada como mostrada na imagem a seguir Temos A função potencial para um ponto material de peso W suspenso por uma mola pode ser expressa em termos de sua posição s medida Se o ponto se move de s1 a uma posição inferior s2 considerando o deslocamento ao longo de uma trajetória infinitesimal e expresso em coordenadas cartesianas então o trabalho pode ser expresso como onde Assim Ou ainda onde representa o operador vetorial para gradiente No caso da função potencial gravitacional O sinal negativo indica que W aponta para baixo sentido oposto ao y Como as mudanças em x y e z são todas independentes umas das outras essa equação é satisfeita se Quando um ponto material é submetido simultaneamente a forças conservativas e não conservativas a parcela de trabalho realizado pelas forças conservativas pode ser escrita em termos das diferenças das respectivas energias potenciais isto é ΣUcons V1 V2 Como resultado o princípio do trabalho e energia pode ser escrito como Nessa equação ΣUnão cons representa o trabalho das forças não conservativas agindo no ponto material Se somente forças conservativas agem no ponto material a equação se reduz a 6 Conservação de energia potencial permanece constante Para isso ocorrer a energia cinética deve ser transformada em potencial e viceversa Por exemplo se deixarmos cair uma bola de peso W de uma altura h acima do solo a energia potencial da bola é máxima na posição inicial energia cinética nula A energia mecânica a soma das energias cinética e potencial nessa posição inicial é Essa equação expressa a conservação da energia mecânica ao estabelecer que durante o movimento a soma das energias cinética e Quando a bola cai de uma distância h2 sua velocidade pode ser determinada como No momento em que a bola atinge o solo sua energia potencial é nula e sua velocidade é v Novamente a energia mecânica da bola fica Se um sistema de pontos materiais está submetido apenas a forças conservativas então uma equação semelhante à equação de conservação da energia mecânica pode ser apresentada Aplicando essa idéias a equação ΣT1 ΣU12 ΣT2 se torna Nessa equação a soma das energias cinéticas e potenciais iniciais do sistema é igual a soma das energias cinéticas e potenciais finais do sistema ou seja constante A energia da bola na posição de meia altura fica avião durante o impacto O avião de massa 8 ton é suspenso até um ângulo θ 60 e estando ele em repouso soltase o cabo AC Determine a velocidade do avião no instante imediatamente anterior ao impacto com o solo θ 15 Qual é o valor máximo da tensão no cabo durante o movimento do avião Exemplo 5 A estrutura de pórtico mostrada é usada para testar a resposta de um Pela equação da conservação da energia Usando a equação do movimento Fn man T 8000 981N cos 15 8000 kg135 ms² 20 m T 149 kN Exemplo 6 O cilindro de bateestaca R de 100 kg mostrado é abandonado a partir Pela conservação de energia do repouso a 075 m do topo de uma mola A de rigidez kA 12 kNm Se uma segunda moa B de rigidez kB 15 kNm está no interior de A determine a deformação máxima que A deve ter para barrar o movimento para baixo do cilindro Subtraindo o espaço entre as molas que corresponde a diferença de altura entre elas ser educacional