Dinâmica de um Ponto Material e Leis de Newton

ser educacional gente criando o futuro Dinâmica de um ponto material Força e aceleração 1 Leis de Newton para o movimento 2 A equação de movimento 3 Equações de movimento para um sistema de pontos materiais 4 Equações de movimento coordenadas cartesianas 5 Equações de movimento coordenadas normal e tangencial Sumário Newton formulou as três leis fundamentais da dinâmica sendo expressas como Primeira lei Um ponto material permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante se nenhuma força agir sobre ele Segunda lei Um ponto material submetido a uma força F experimenta uma aceleração a de mesma direção e sentido de F com módulo proporcional à intensidade da força F Terceira lei As forças mútuas de ação e reação entre dois pontos materiais têm a mesma intensidade a mesma reta de ação e sentidos opostos 1 Leis de Newton para o movimento cida e aplicada em um ponto material a aceleração a de um ponto pode ser medida A massa m de um ponto material é constante durante qualquer aceleração ela fornece uma medida quantitativa da resistência do ponto material a mudanças em sua velocidade A segunda lei pode ser escrita matematicamente como Essa equação é conhecida como equação do movimento A equação do movimento falha ao predizer o comportamento exato de um ponto material especialmente quando sua velocidade se aproxima da velocidade da luz Desenvolvimentos da teoria quântica indicam que conclusões obtidas pelo uso da segunda lei de Newton não são válidas quando os corpos têm a mesma Medidas de força e aceleração podem ser efetuadas em laboratório de modo que de acordo com a segunda lei se uma força F é conhe Lei de Newton para a atração gravitacional Onde F é a intensidade da força de atração G é a constante da gravitação universal 6673x1012 m³kgs² m1 e m2 são as massas do pontos materiais e r é a distância entre os pontos Quaisquer dois pontos exercem mutuamente forças gravitacionais No caso de um corpo na superfície da Terra a única força gravitacional considerada é a que existe entre a terra e o corpo Essa força é denominada peso e será a única força gravitacional considerada dimensão que átomos e se movem próximos uns aos outros Para a maioria dos casos em engenharia esses efeitos não são relevantes resposta de um corpo àquela a um outro corpo É uma quantidade absoluta pois a medida da massa pode ser feita em qualquer lugar O peso de um corpo entretanto não é uma quantidade absoluta pois depende do campo gravitacional ou seja seu módulo depende do lugar onde a medição será feita O peso W de um ponto material de massa m é dado por Por comparação com F ma chamamos g de aceleração da gravidade A massa e o peso de um corpo são medidos de maneiras diferentes no sistema internacional e no sistema inglês por isso é necessários que entendamos as unidades definidas em cada um desses sistemas Massa e peso Massa é uma propriedade da matéria pela qual podemos comparar a Sistema internacional Sistema inglês Quando mais de uma força agem em um ponto material a força resultante é determinada pela soma vetorial de todas as forças Assim de forma mais geral a equação do movimento pode escrita como Consideremos o ponto material P que tem massa m e submetido à ação das forças F1 e F2 As duas forças podem ser representada em um diagrama de corpo livre a resultante das forças produz o vetor ma seu módulo direção e sentido podem ser representados no diagrama dinâmico Em particular se FR ΣF 0 então a aceleração também é zero de modo que o ponto permanecerá em repouso ou movendose numa linha reta com velocidade constante Essas são as condições de equilíbrio 2 A equação de movimento a FR ΣF m a Diagrama de corpo livre Diagrama dinâmico referencial inercial Esse referencial não gira ele é fixo ou se translada com velocidade constante aceleração nula Quando se está estudando movimentos de foguetes e satélites é justificável considerar o referencial em relação as estrelas enquanto que problemas de dinâmica de movimentos na superfície da terrestre ou próximos a ela podem ser resolvidos usandose um referencial inercial suposto fixo na Terra Embora a Terra gire em torno do seu eixo e se desloque ao redor do sol as acelerações criadas por esses movimentos são relativamente pequenas e podem ser desprezadas na maioria das vezes Referente inercial Ao aplicarmos a equação de movimento é necessário adotarmos um Em repouso ou com velocidade constante Aceleração Desaceleração A equação de movimento será agora estendida par um sistema de n pontos materiais que ocupam uma dada região no espaço A análise a seguir será aplicada igualmente a um sistema sólido líquido ou gasoso A força interna resultante fi é determinada pelas forças que os outros pontos materiais do sistema exerce sobre o iésimo ponto Normalmente essas forças se desenvolvem por contato direto A força externa resultante Fi representa o efeito de forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato entre o i ésimo ponto material e os corpos adjacentes não incluídos no sistema Aplicando a equação do movimento para o ponto material temos 3 Equações de movimento para um sistema de pontos materiais almente todas essas equações obtemos A soma das forças internas se anula pois as forças internas entre dois pontos são sempre opostas Conseqüentemente resta apenas a soma das forças externas assim Se rG é um vetor de posição que localiza o centro de massa G dos pontos materiais assim pela definição de centro de massa mrG Σmiri onde m Σmi é a massa total do sistema Derivando duas vezes essa equação em relação ao tempo e supondo que não haja massa entrando ou saindo do sistema Quando aplicamos a equação do movimento a cada um dos outros pontos do sistema obtemos equações semelhantes Somando vetori Logo a soma das forças externas que agem no sistema é igual à massa total dos pontos materiais multiplicada pela aceleração do seu centro de massa Substituindo o resultado anterior temos Quando um ponto material está se deslocando em relação a um sistema de referencia inercial x y z as forças agentes e a aceleração podem ser expressas em termos de seus componentes cartesianos i j e k Aplicando a equação do movimento temos Escrevendo as equações escalares 4 Equações de movimento coordenadas cartesianas Exemplo 1 Um engradado de 50 kg está em repouso em um plano horizontal para Calculando o peso do engradado o qual o coeficiente de atrito cinemático é μc 03 O engradado passa a ser tracionado por uma força de 400 N como indicado na figura Determine sua velocidade 3 s após ter sido posto em movimento Usando o diagrama de corpo livre Como P é constante a aceleração é constante assim para a velocidade Exemplo 2 Disparase um projétil de 10 kg verticalmente para cima a partir do solo Calculando o peso do projétil com uma velocidade de 50 ms Determine a altura máxima alcançada pelo projétil se a a resistência do ar for desprezível e b se a resistência oferecida pelo ar é dada por FD 001 v² N onde v é é a velocidade do projétil em ms Pela equação do movimento Para a altura máxima Considerando agora a ação de uma força FD 001 v² N a equação do movimento fica Aqui a aceleração não é constante pois FD depende da velocidade Exemplo 3 Um carrinho de bagagem pesa 900 lb reboca um vagão de 500 lb e um outro com 325 lb Por um breve intervalo de tempo a força de atrito desenvolvida nas rodas do carrinho é FA 40t lb onde t é dado em segundos Se o carrinho parte do repouso determine a velocidade após 2 s Qual é a força horizontal agindo no acoplamento do carrinho B Despreze as dimensões do carrinho e dos vagões Um diagrama de corpo livre mostra que Como a aceleração é dada por a dvdt Para a força que atua no acoplamento do carrinho Quando um ponto material se desloca ao longo de uma trajetória curva conhecida a equação de movimento desse ponto pode ser escrita nas direções tangencial normal e binormal e assim 5 Equações de movimento coordenadas normal e tangencial Nessa equação as somatórias das forças representam as somas dos componentes de todas as forças que agem no ponto material Observemos que não há movimento na direção binormal pois o movimento se restringe a trajetória As componentes da aceleração são as mesmas que as já vistas anteriormente onde at representa a taxa temporal da variação da velocidade escalar e an representa a taxa temporal de variação da direção da velocidade Essa equação é satisfeita se Exemplo 5 Determine o ângulo de superelevação θ que uma pista de corrida deve Fazendo um balanço de força nos eixos temos ter para que as rodas do carro não tenham que depender do atrito para evitar que os carros escorreguem para cima ou para baixo na pista Suponha que o carro tenha massa m e trafegue com velocidade v numa curva de raio ρ Dividindo a primeira pela segunda Exemplo 6 O disco D de 3 kg está preso a um fio A outra extremidade do fio está presa a uma junta esférica no centro da plataforma Determine o tempo necessário para o disco atingir uma velocidade escalar suficientemente alta para a ruptura do fio A tensão máxima suportada pelo fio é de 100 N e o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a plataforma é μc 01 Como T 100 N Calculando o peso do disco e fazendo o diagrama de corpo livre Como a aceleração é constante ser educacional