·
Engenharia Mecânica ·
Física 2
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
ser educacional gente criando o futuro Dinâmica de um ponto material Impulso e quantidade de movimento 1 Princípio do impulso e quantidade de movimento 2 Princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais 3 Conservação da quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais 4 Colisão 5 Momento angular 6 Relação entre momento de uma força e momento angular 7 Princípios do impulso e momentos angulares Sumário A equação de movimento para um ponto material de massa m pode ser escrita como Rearranjando os termos e integrando os limites v v1 em t t1 e v v2 em t t2 temos Ou ainda Essa equação traduz o princípio do impulso e quantidade de movimento Ela fornece um meio direto de se obter a velocidade final v2 de um ponto ao fim de um intervalo de tempo quando conhecemos a velocidade inicial e 1 Princípio do impulso e quantidade de movimento Cada um dos vetores da fórmula L mv é denominado quantidade de movimento do ponto material Como m é um escalar positivo o vetor quantidade de movimento tem a mesma direção e sentido de v e seu módulo mv tem unidades de massa vezes velocidade como por exemplo kgms ou slugfts Impulso A integral I Fdt é denominada de impulso Esse termo é uma quantidade vetorial que mede o efeito da força durante o intervalo de tempo de sua ação O impulso tem a mesma direção e sentido da força e seu módulo tem unidades de força vezes tempo como por exemplo Ns ou lbs1 as forças que atuam nele Quantidade de movimento tante o impulso se torna I Fct2 t1 cujo módulo é dado pela área do retângulo mostrado na figura a seguir Em particular o módulo do impulso pode ser representado pela área sombreada sob a curva da força versus tempo Quando o vetor força é cons A quantidade de movimento inicial no instante t1 mais a somatória de todos os impulsos aplicados de t1 até t2 é igual a quantidade de movimento final no instante t2 Podemos observar a ilustração gráfica dos três componentes da equação Princípio do impulso e quantidade de movimento A equação do princípio do impulso pode ser reescrita na forma nentes cartesianos x y e z através das seguintes equações Essas equações representam o princípio do impulso e quantidade de movimento para o ponto material nas direções x y e z respectivamente Equações escalares Podemos expressar cada um dos vetores em termos de seus compo Exemplo 1 A pedra de 100 kg mostrada está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal lisa Se uma força de tração de 200 N a um ângulo de 45º age por 10 s sobre a pedra determine a velocidade final e a força normal que a superfície exerce na pedra durante o intervalo de tempo considerado Exemplo 2 Ao engradado de 50 lb mostrado aplicase uma força de intensidade va riável P 20t lb onde t é dado em segundos Determine a velocidade do engradado 2 s após o início da aplicação da força P A velocidade inicial do engradado é de 3 fts plano abaixo e o coeficiente de atrito cinético entre o engradado e o plano é μc 03 Exemplo 3 Os blocos A e B mostrados tem massas de 3 kg e 5g respectivamente Se o sistema parte do repouso determine a velocidade do bloco B após 6 s de o movimento ter se iniciado Despreze a massa das polias e dos cabos O princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais que se movem relativamente a um referencial inercial é obtido da equação de movimento aplicada a todos os pontos do sistema 2 Princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais O termo no primeiro membro representa somente a soma das forças externas agindo no sistema Pela terceira lei de Newton as forças internas aparecem em pares que se anulam ao serem somadas Multiplicando por dt ambos os membros e integrando obtemos Essa equação estabelece que a quantidade de movimento inicial do sistema mais os impulsos de todas as forças externas de t1 a t2 é igual à quantidade de movimento final do sistema Como a localização do centro de massa G do sistema é determinada por mrG Σmiri onde m Σmi é a massa total do sistema então a derivada temporal nos fornece Substituindo a equação anterior conseguimos Quando a soma do impulsos externos que agem num sistema de pontos materiais é nula a equação de análise reduz a Essa equação expressa a conservação da quantidade de movimento Ela estabelece que a quantidade de movimento total para um sistema de pontos materiais permanece constante durante o intervalo de tempo t1 a t2 Substituindo mvG Σmivi podemos escrever 3 Conservação da quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais A aplicação da conservação da quantidade de movimento é aplicada com frequência a problemas nos quais os pontos materiais colidem ou interagem Devemos fazer um estudo cuidadoso do diagrama de corpo livre para o sistema inteiro de forma a se poder identificar todas as forças que criam os impulsos internos ou externos e assim determinar em que direções a quantidade de movimento é conservada Se o intervalo de tempo durante o qual se estuda o movimento é muito curto alguns dos impulsos externos podem ser desprezados ou considerados aproximadamente nulos As forças responsáveis por esses impulsos são chamadas de forças não impulsivas Forças que são muito intensas e agem por pouco tempo produzindo variação significativa de movimento são chamadas de forças impulsivas indicando que a velocidade do centro de massa não varia quando a soma dos impulsos externos é nula peso de um corpo a força de uma mola ligeiramente deformada que tem rigidez relativamente pequena e forças que sejam pequenas em comparação com outras que são mais intensas impulsivas Ao se fazer essa distinção devemos lembrar que isso ocorre no intervalo de tempo de t1 a t2 Forças impulsivas ocorrem normalmente em explosões ou colisões entre dois corpos enquanto forças não impulsivas podem incluir o Exemplo 4 O vagão de carga A de 15 ton que se desloca a 16 ms ao longo dos trilhos horizontais encontra um vagão tanque B de 12 ton que se desloca a 075 ms no sentido oposto Se os vagões se acoplam determine a a velocidade dos vagões imediatamente após o acoplamento e b a força média entre eles se o processo de acoplamento ocorre em 08 s dade de 1500 fts na boca do canhão relativamente ao solo Se o disparo ocorre em 003 s determine a a velocidade recuo do canhão imediatamente após o disparo e b a força impulsiva média que age no projétil O suporte do canhão é fixo no solo e o recuo horizontal é absorvido por duas molas Exemplo 5 O canhão de 12000 lb mostrado dispara um projétil de 8 lb com veloci Uma colisão ocorre quando dois corpos entram em contato durante um breve intervalo de tempo desenvolvendo forças de relativa alta intensidade forças impulsivas Uma colisão central ocorre quando as direções das velocidades do centro de massa dos corpos em colisão coincidem com a linha que une os centro de massa linha de colisão 4 Colisão Colisão central Em muitas situações as velocidades iniciais são conhecidas e é necessário determinar suas velocidades finais Usase o princípio da conservação da quantidade de movimento do sistema fornecido pelos dois corpos pois durante a colisão os impulsos internos se cancelam Logo Para obtermos uma segunda equação que nos permita encontrar as velocidades finais devemos aplicar o princípio do impulso e quantidade de movimento a cada um dos corpos Vejamos a situação mostrada a seguir Quando uma ou ambas velocidades dos centros de massa formam um ângulo com a linha de colisão ocorre uma colisão oblíqua mAvA₁ mBvB₁ Para a fase de restituição figuras 4 e 5 A razão entre o impulso de restituição e o de deformação é denominada coeficiente de restituição e Para o corpo A o coeficiente de restituição é De maneira semelhante para o corpo B Durante a fase de deformação para o corpo A figuras 1 2 e 3 Coeficiente de restituição Determinando as velocidades relativas experimentalmente verificouse que e varia consideravelmente com a velocidade de colisão assim como com o tamanho e as formas dos corpos que colidem Por essas razões o valor do coeficiente de restituição só é confiável quando usado com dados que se aproximam das condições em que foram efetuadas as medidas Em geral e tem um valor entre zero e um Se a colisão entre dois corpos é perfeitamente elástica e 1 o impulso de deformação é oposto ao impulso de restituição embora na realidade isso nunca aconteça A colisão é denominada plástica e 0 quando não há impulso de restituição de modo que após a colisão os dois corpos se unem Eliminando a incógnita v de ambas as equação temos des desconhecidas Dadas as velocidades iniciais quatro incógnitas estão presentes no problema Colisão oblíqua Nesse tipo de colisão os dois corpos se afastam ente si com velocida lb Após cair até θ 90º o saquinho atinge uma caixa B de 18 lb Se o coeficiente de restituição entre o saquinho e a caixa é 05 determine as velocidades de ambos os corpos após o impacto Determine também a perda de energia durante a colisão Exemplo 6 Abandonase a partir do repouso na posição θ 0 um saquinho A de 6 5 Momento angular O momento angular Ho de um ponto material em relação ao ponto O é definido como o momento da quantidade de movimento do ponto material em relação ao ponto O Se o ponto material se move ao longo de uma curva contida n plano xy o momento angular em qualquer instante pode ser determinado usandose uma formulação escalar sendo esse escalar onde d é a distância de O à reta suporte mv As unidades mais comuns são o kgm²s e slugft²s O sentido de Ho é dado pela regra da mão direita Se o ponto material se move ao longo de uma curva no espaço usamos o produto vetorial para determinar o momento angular onde r representa o vetor de posição no ponto material P tendo como origem O Ho é perpendicular ao plano sombreado contendo r e mv Para calcular o produto vetorial r e mv podem ser expressos em seus componen tes cartesianos de modo que o momento angular é determinado pelo calculo do determinante Os momentos em relação ao ponto O de todas as forças que agem no ponto material mostrado podem ser relacionados com o momento angular do ponto material por meio da equação de movimento Se a massa do ponto material é constante então 6 Relação entre momento de uma força e momento angular Os momentos das forças em relação a O podem ser obtidos efetuandose a multiplicação vetorial de cada membro da equação acima pelo vetor posição r assim De acordo com o apêndice C a derivada r x mv é anterior se torna Essa equação nos diz que o momento resultante em relação a O de todas as forças agindo no ponto material é igual à derivada temporal do momento angular desse ponto em relação a O Esse resultado é onde L mv de modo que a força agindo no ponto material é igual a derivada temporal da sua quantidade de movimento As dias equações vistas anteriormente são de fato maneiras diferentes de se formular a segunda Lei de Newton O primeiro termo do segundo membro r x mv mr x r 0 pois o produto vetorial de um vetor por si mesmo é nulo Logo a equação de pontos materiais representados na figura a seguir A resultante das forças que agem no iésimo ponto material consiste na força resultante externa Fi e na força resultante interna fi Expressando os momentos dessas forças em relação ao ponto O temos Sistema de pontos materiais Uma equação com a mesma forma pode ser deduzida para um sistema onde ri é o vetor de posição traçado da origem O de um referencial inercial até o iésimo ponto material e Hio é a derivada temporal do momento angular desse iésimo ponto Equações semelhantes podem ser escritas para todos os pontos materiais Somando vetorialmente temos o torque de cada par em relação a O se anula Logo a equação anterior pode ser reduzida a O segundo termo dessa equação é zero pois as forças internas ocorrem aos pares de forças opostas e de mesma reta de ação assim Essa equação diz que a soma dos momentos em relação a O de todas as forças externa agindo num sistema de pontos materiais é igual a derivada temporal do momento angular total do sistema em relação ao mesmo ponto O modo que no instante em que ela está na posição angular θ sua velocidade escalar é v Determine seu momento angular em relação a O nesse instante Determine também a derivada temporal de v isto é at Exemplo 7 A caixa de massa m mostrada escorrega pela rampa circular lisa de Reescrevendo a fórmula para o momento resultante e integrando teremos Essa equação traduz o princípio do impulso e momento angulares para um ponto material Os momentos angulares inicial HO1 e final HO2 são definidos como o momento da quantidade de movimento do ponto material HO r x mv calculado nos instantes t1 e t2 respectivamente O segundo termo do primeiro membro é denominado impulso angular Ele é determinado pela integração no tempo dos torques de todas de todas as forças que agem no ponto material no instante t1 até o instante t2 7 Princípios do impulso e momentos angulares onde r é o vetor de posição que se estende de O ao ponto de aplicação de F De maneira semelhante o princípio do impulso e momentos angulares para um sistema de pontos materiais pode ser escrito como onde o primeiro e o terceiro termos representam os momentos angulares do sistema nos instantes t1 e t2 O segundo termo é a soma dos impulsos angulares dados a todos os pontos materiais Devemos lembrar que esses impulsos são criados apenas pelos torques das forças externas agindo no sistema Como o momento de uma força em relação ao ponto O é MO r x F o impulso angular pode ser expresso na forma vetorial como princípio do impulso e momentos angulares é possível escrever duas equações que definem o movimento de um ponto material são elas Formulação vetorial Usandose o princípio do impulso e quantidade de movimento e o tes x y e z resultando em um total de seis equações escalares independentes Se o movimento do ponto material se restringe ao plano xy temos três equações escalares independentes para expressar o movimento As duas primeiras equações representam o princípio do impulso e quantidade de movimento Formulação escalar Em geral as equações anteriores podem ser expressas em componen rante o intervalo de tempo t1 a t2 temos Essa equação traduz a chamada conservação do momento angular estabelecendo que o momento angular permanece constante de t1 a t2 Obviamente se nenhum impulso externo é aplicado ao ponto material a quantidade de movimento e o momento angular são conservados Entretanto há situações em que o momento angular é conservado mas a quantidade de movimento não Também podemos escrever a conservação do momento angular para uma série de pontos como Conservação do momento angular Quando os impulsos angulares sobre o ponto material são nulos du rizontal liso Ele está ligado em A a uma haste fina de massa desprezível que por sua vez está presa a uma junta esférica em B Se um torque M 3t Nm onde t é dado em segundos é aplicado a haste e uma força horizontal P 10 N é aplicado a um bloco determine a velocidade escalar do bloco 4 s após o início do movimento Exemplo 8 O bloco com 5 kg e de dimensões desprezíveis apóiase num plano ho fício A feito na mesa lisa Inicialmente a bola está descrevendo uma trajetória circular de raio r1 175 ft de centro A com velocidade v1 4 fts Aumentase então a força F na outra extremidade de modo que esta passa a ter uma velocidade constante para baixo vc 6 fts Determine a velocidade da bola no instante em que r2 06 ft e o trabalho realizado por F para diminuir a distância radial de r1 a r2 Despreze o tamanho da bola Exemplo 9 A bola de 08 lb mostrada está presa a uma corda que passa por um ori ser educacional
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
ser educacional gente criando o futuro Dinâmica de um ponto material Impulso e quantidade de movimento 1 Princípio do impulso e quantidade de movimento 2 Princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais 3 Conservação da quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais 4 Colisão 5 Momento angular 6 Relação entre momento de uma força e momento angular 7 Princípios do impulso e momentos angulares Sumário A equação de movimento para um ponto material de massa m pode ser escrita como Rearranjando os termos e integrando os limites v v1 em t t1 e v v2 em t t2 temos Ou ainda Essa equação traduz o princípio do impulso e quantidade de movimento Ela fornece um meio direto de se obter a velocidade final v2 de um ponto ao fim de um intervalo de tempo quando conhecemos a velocidade inicial e 1 Princípio do impulso e quantidade de movimento Cada um dos vetores da fórmula L mv é denominado quantidade de movimento do ponto material Como m é um escalar positivo o vetor quantidade de movimento tem a mesma direção e sentido de v e seu módulo mv tem unidades de massa vezes velocidade como por exemplo kgms ou slugfts Impulso A integral I Fdt é denominada de impulso Esse termo é uma quantidade vetorial que mede o efeito da força durante o intervalo de tempo de sua ação O impulso tem a mesma direção e sentido da força e seu módulo tem unidades de força vezes tempo como por exemplo Ns ou lbs1 as forças que atuam nele Quantidade de movimento tante o impulso se torna I Fct2 t1 cujo módulo é dado pela área do retângulo mostrado na figura a seguir Em particular o módulo do impulso pode ser representado pela área sombreada sob a curva da força versus tempo Quando o vetor força é cons A quantidade de movimento inicial no instante t1 mais a somatória de todos os impulsos aplicados de t1 até t2 é igual a quantidade de movimento final no instante t2 Podemos observar a ilustração gráfica dos três componentes da equação Princípio do impulso e quantidade de movimento A equação do princípio do impulso pode ser reescrita na forma nentes cartesianos x y e z através das seguintes equações Essas equações representam o princípio do impulso e quantidade de movimento para o ponto material nas direções x y e z respectivamente Equações escalares Podemos expressar cada um dos vetores em termos de seus compo Exemplo 1 A pedra de 100 kg mostrada está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal lisa Se uma força de tração de 200 N a um ângulo de 45º age por 10 s sobre a pedra determine a velocidade final e a força normal que a superfície exerce na pedra durante o intervalo de tempo considerado Exemplo 2 Ao engradado de 50 lb mostrado aplicase uma força de intensidade va riável P 20t lb onde t é dado em segundos Determine a velocidade do engradado 2 s após o início da aplicação da força P A velocidade inicial do engradado é de 3 fts plano abaixo e o coeficiente de atrito cinético entre o engradado e o plano é μc 03 Exemplo 3 Os blocos A e B mostrados tem massas de 3 kg e 5g respectivamente Se o sistema parte do repouso determine a velocidade do bloco B após 6 s de o movimento ter se iniciado Despreze a massa das polias e dos cabos O princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais que se movem relativamente a um referencial inercial é obtido da equação de movimento aplicada a todos os pontos do sistema 2 Princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais O termo no primeiro membro representa somente a soma das forças externas agindo no sistema Pela terceira lei de Newton as forças internas aparecem em pares que se anulam ao serem somadas Multiplicando por dt ambos os membros e integrando obtemos Essa equação estabelece que a quantidade de movimento inicial do sistema mais os impulsos de todas as forças externas de t1 a t2 é igual à quantidade de movimento final do sistema Como a localização do centro de massa G do sistema é determinada por mrG Σmiri onde m Σmi é a massa total do sistema então a derivada temporal nos fornece Substituindo a equação anterior conseguimos Quando a soma do impulsos externos que agem num sistema de pontos materiais é nula a equação de análise reduz a Essa equação expressa a conservação da quantidade de movimento Ela estabelece que a quantidade de movimento total para um sistema de pontos materiais permanece constante durante o intervalo de tempo t1 a t2 Substituindo mvG Σmivi podemos escrever 3 Conservação da quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais A aplicação da conservação da quantidade de movimento é aplicada com frequência a problemas nos quais os pontos materiais colidem ou interagem Devemos fazer um estudo cuidadoso do diagrama de corpo livre para o sistema inteiro de forma a se poder identificar todas as forças que criam os impulsos internos ou externos e assim determinar em que direções a quantidade de movimento é conservada Se o intervalo de tempo durante o qual se estuda o movimento é muito curto alguns dos impulsos externos podem ser desprezados ou considerados aproximadamente nulos As forças responsáveis por esses impulsos são chamadas de forças não impulsivas Forças que são muito intensas e agem por pouco tempo produzindo variação significativa de movimento são chamadas de forças impulsivas indicando que a velocidade do centro de massa não varia quando a soma dos impulsos externos é nula peso de um corpo a força de uma mola ligeiramente deformada que tem rigidez relativamente pequena e forças que sejam pequenas em comparação com outras que são mais intensas impulsivas Ao se fazer essa distinção devemos lembrar que isso ocorre no intervalo de tempo de t1 a t2 Forças impulsivas ocorrem normalmente em explosões ou colisões entre dois corpos enquanto forças não impulsivas podem incluir o Exemplo 4 O vagão de carga A de 15 ton que se desloca a 16 ms ao longo dos trilhos horizontais encontra um vagão tanque B de 12 ton que se desloca a 075 ms no sentido oposto Se os vagões se acoplam determine a a velocidade dos vagões imediatamente após o acoplamento e b a força média entre eles se o processo de acoplamento ocorre em 08 s dade de 1500 fts na boca do canhão relativamente ao solo Se o disparo ocorre em 003 s determine a a velocidade recuo do canhão imediatamente após o disparo e b a força impulsiva média que age no projétil O suporte do canhão é fixo no solo e o recuo horizontal é absorvido por duas molas Exemplo 5 O canhão de 12000 lb mostrado dispara um projétil de 8 lb com veloci Uma colisão ocorre quando dois corpos entram em contato durante um breve intervalo de tempo desenvolvendo forças de relativa alta intensidade forças impulsivas Uma colisão central ocorre quando as direções das velocidades do centro de massa dos corpos em colisão coincidem com a linha que une os centro de massa linha de colisão 4 Colisão Colisão central Em muitas situações as velocidades iniciais são conhecidas e é necessário determinar suas velocidades finais Usase o princípio da conservação da quantidade de movimento do sistema fornecido pelos dois corpos pois durante a colisão os impulsos internos se cancelam Logo Para obtermos uma segunda equação que nos permita encontrar as velocidades finais devemos aplicar o princípio do impulso e quantidade de movimento a cada um dos corpos Vejamos a situação mostrada a seguir Quando uma ou ambas velocidades dos centros de massa formam um ângulo com a linha de colisão ocorre uma colisão oblíqua mAvA₁ mBvB₁ Para a fase de restituição figuras 4 e 5 A razão entre o impulso de restituição e o de deformação é denominada coeficiente de restituição e Para o corpo A o coeficiente de restituição é De maneira semelhante para o corpo B Durante a fase de deformação para o corpo A figuras 1 2 e 3 Coeficiente de restituição Determinando as velocidades relativas experimentalmente verificouse que e varia consideravelmente com a velocidade de colisão assim como com o tamanho e as formas dos corpos que colidem Por essas razões o valor do coeficiente de restituição só é confiável quando usado com dados que se aproximam das condições em que foram efetuadas as medidas Em geral e tem um valor entre zero e um Se a colisão entre dois corpos é perfeitamente elástica e 1 o impulso de deformação é oposto ao impulso de restituição embora na realidade isso nunca aconteça A colisão é denominada plástica e 0 quando não há impulso de restituição de modo que após a colisão os dois corpos se unem Eliminando a incógnita v de ambas as equação temos des desconhecidas Dadas as velocidades iniciais quatro incógnitas estão presentes no problema Colisão oblíqua Nesse tipo de colisão os dois corpos se afastam ente si com velocida lb Após cair até θ 90º o saquinho atinge uma caixa B de 18 lb Se o coeficiente de restituição entre o saquinho e a caixa é 05 determine as velocidades de ambos os corpos após o impacto Determine também a perda de energia durante a colisão Exemplo 6 Abandonase a partir do repouso na posição θ 0 um saquinho A de 6 5 Momento angular O momento angular Ho de um ponto material em relação ao ponto O é definido como o momento da quantidade de movimento do ponto material em relação ao ponto O Se o ponto material se move ao longo de uma curva contida n plano xy o momento angular em qualquer instante pode ser determinado usandose uma formulação escalar sendo esse escalar onde d é a distância de O à reta suporte mv As unidades mais comuns são o kgm²s e slugft²s O sentido de Ho é dado pela regra da mão direita Se o ponto material se move ao longo de uma curva no espaço usamos o produto vetorial para determinar o momento angular onde r representa o vetor de posição no ponto material P tendo como origem O Ho é perpendicular ao plano sombreado contendo r e mv Para calcular o produto vetorial r e mv podem ser expressos em seus componen tes cartesianos de modo que o momento angular é determinado pelo calculo do determinante Os momentos em relação ao ponto O de todas as forças que agem no ponto material mostrado podem ser relacionados com o momento angular do ponto material por meio da equação de movimento Se a massa do ponto material é constante então 6 Relação entre momento de uma força e momento angular Os momentos das forças em relação a O podem ser obtidos efetuandose a multiplicação vetorial de cada membro da equação acima pelo vetor posição r assim De acordo com o apêndice C a derivada r x mv é anterior se torna Essa equação nos diz que o momento resultante em relação a O de todas as forças agindo no ponto material é igual à derivada temporal do momento angular desse ponto em relação a O Esse resultado é onde L mv de modo que a força agindo no ponto material é igual a derivada temporal da sua quantidade de movimento As dias equações vistas anteriormente são de fato maneiras diferentes de se formular a segunda Lei de Newton O primeiro termo do segundo membro r x mv mr x r 0 pois o produto vetorial de um vetor por si mesmo é nulo Logo a equação de pontos materiais representados na figura a seguir A resultante das forças que agem no iésimo ponto material consiste na força resultante externa Fi e na força resultante interna fi Expressando os momentos dessas forças em relação ao ponto O temos Sistema de pontos materiais Uma equação com a mesma forma pode ser deduzida para um sistema onde ri é o vetor de posição traçado da origem O de um referencial inercial até o iésimo ponto material e Hio é a derivada temporal do momento angular desse iésimo ponto Equações semelhantes podem ser escritas para todos os pontos materiais Somando vetorialmente temos o torque de cada par em relação a O se anula Logo a equação anterior pode ser reduzida a O segundo termo dessa equação é zero pois as forças internas ocorrem aos pares de forças opostas e de mesma reta de ação assim Essa equação diz que a soma dos momentos em relação a O de todas as forças externa agindo num sistema de pontos materiais é igual a derivada temporal do momento angular total do sistema em relação ao mesmo ponto O modo que no instante em que ela está na posição angular θ sua velocidade escalar é v Determine seu momento angular em relação a O nesse instante Determine também a derivada temporal de v isto é at Exemplo 7 A caixa de massa m mostrada escorrega pela rampa circular lisa de Reescrevendo a fórmula para o momento resultante e integrando teremos Essa equação traduz o princípio do impulso e momento angulares para um ponto material Os momentos angulares inicial HO1 e final HO2 são definidos como o momento da quantidade de movimento do ponto material HO r x mv calculado nos instantes t1 e t2 respectivamente O segundo termo do primeiro membro é denominado impulso angular Ele é determinado pela integração no tempo dos torques de todas de todas as forças que agem no ponto material no instante t1 até o instante t2 7 Princípios do impulso e momentos angulares onde r é o vetor de posição que se estende de O ao ponto de aplicação de F De maneira semelhante o princípio do impulso e momentos angulares para um sistema de pontos materiais pode ser escrito como onde o primeiro e o terceiro termos representam os momentos angulares do sistema nos instantes t1 e t2 O segundo termo é a soma dos impulsos angulares dados a todos os pontos materiais Devemos lembrar que esses impulsos são criados apenas pelos torques das forças externas agindo no sistema Como o momento de uma força em relação ao ponto O é MO r x F o impulso angular pode ser expresso na forma vetorial como princípio do impulso e momentos angulares é possível escrever duas equações que definem o movimento de um ponto material são elas Formulação vetorial Usandose o princípio do impulso e quantidade de movimento e o tes x y e z resultando em um total de seis equações escalares independentes Se o movimento do ponto material se restringe ao plano xy temos três equações escalares independentes para expressar o movimento As duas primeiras equações representam o princípio do impulso e quantidade de movimento Formulação escalar Em geral as equações anteriores podem ser expressas em componen rante o intervalo de tempo t1 a t2 temos Essa equação traduz a chamada conservação do momento angular estabelecendo que o momento angular permanece constante de t1 a t2 Obviamente se nenhum impulso externo é aplicado ao ponto material a quantidade de movimento e o momento angular são conservados Entretanto há situações em que o momento angular é conservado mas a quantidade de movimento não Também podemos escrever a conservação do momento angular para uma série de pontos como Conservação do momento angular Quando os impulsos angulares sobre o ponto material são nulos du rizontal liso Ele está ligado em A a uma haste fina de massa desprezível que por sua vez está presa a uma junta esférica em B Se um torque M 3t Nm onde t é dado em segundos é aplicado a haste e uma força horizontal P 10 N é aplicado a um bloco determine a velocidade escalar do bloco 4 s após o início do movimento Exemplo 8 O bloco com 5 kg e de dimensões desprezíveis apóiase num plano ho fício A feito na mesa lisa Inicialmente a bola está descrevendo uma trajetória circular de raio r1 175 ft de centro A com velocidade v1 4 fts Aumentase então a força F na outra extremidade de modo que esta passa a ter uma velocidade constante para baixo vc 6 fts Determine a velocidade da bola no instante em que r2 06 ft e o trabalho realizado por F para diminuir a distância radial de r1 a r2 Despreze o tamanho da bola Exemplo 9 A bola de 08 lb mostrada está presa a uma corda que passa por um ori ser educacional