Realizar a Atividade Completa

Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 1 LIMITE E CONTINUIDADE Nesta apostila estaremos apresentando um conjunto de procedimentos práticos que podem ser adotados para se determinar o limite de uma função As regras para os cálculos são simples e a maioria dos limites dos quais precisamos pode ser obtida por substituição análise gráfica aproximação numérica álgebra ou alguma combinação dessas Os valores de algumas funções variam continuamente quanto menor a variação na variável independente menor a variação da função Os valores de outras funções podem saltar ou variar de maneira imprevisível independentemente do modo como se controlam as variáveis A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir esses comportamentos Em alguns pontos do texto será feira uma referência à continuidade da função Apesar do estudo das condições de continuidade de uma função ainda não ter sido realizado vamos entender uma função contínua como sendo aquela que apresenta num sistema de coordenadas cartesianas um gráfico dado por uma linha contínua em todos os pontos do seu domínio Vamos apresentar alguns exemplos para ilustrar funções contínuas e descontínuas A fig 1 a seguir expressa o gráfico da função 3 2 f x x é contínua em todos os pontos de seu domínio Figura 1 Seja 2 3 3 2 3 9 3 4 2 5 4 x x se x se x f x se x x se x cujo gráfico está representado a seguir na figura 2 Podese notar que esta função apresenta dois pontos de descontinuidade No ponto 3 x onde o valor da função é 2 f x diferentemente dos valores que a função apresenta imediatamente à esquerda ou à direita de 3 x valores próximos de zero Outro ponto de descontinuidade é x 4 onde a função está definida 7 f x mas apresenta um salto em seu gráfico Para valores de x imediatamente após o ponto x 4 a função tem valores próximos de cinco para valores de x imediatamente antes de x 4 a função está próxima de 7 Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 2 Dessa forma podese notar que a função não converge para um valor único quando os valores de x se aproximam de 4 x y Figura 2 A figura 3 a seguir expressa o gráfico da função 1 f x x que é contínua em todos os pontos de seu domínio no entanto esta função apresenta um ponto de descontinuidade em x 0 devido não estar definida neste ponto Figura 3 Funções contínuas são aquelas cujos gráficos não são interrompidos De um modo geral os pontos de descontinuidade de uma função são aqueles nos quais as funções não estão definidas onde o gráfico apresenta um salto ou ainda naqueles pontos onde há um ponto aberto na linha do gráfico Após esta breve discussão de continuidade apresentaremos uma noção intuitiva do limite de uma função com a idéia de aproximação convergência da variável e da função para um determinado valor NOÇÃO INTUITIVA DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO Para que exista o limite em um ponto x c de uma função x y f ou seja existe lim x x c f L leiase o limite da função x f no ponto c vale L devese observar se os valores da função x f convergem para valor L Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 3 quando os valores de x convergem para c Se houver esta convergência o limite da função estará definido no ponto c Vamos ressaltar alguns pontos importantes sobre existência do limite de uma função Se o limite em um ponto existe ele é único ou seja a função x f converge para um mesmo valor L quando os valores de x convergirem para c pela esquerda ou pela direita do ponto x c Se lim lim x c x c x x f L e f L então lim x c f x L Se 1 2 lim lim x c x c x x f L e f L então o lim x c x f não está definido Só tem sentido perguntar sobre o valor do limite em ponto x c de uma função x f se ela estiver definida imediatamente antes e após o valor x c Veja o exemplo a seguir Considere a função f x x cujo gráfico está representado na figura 4 Figura 4 De acordo com a condição de existência do radical esta função só está definida para valores de x maiores ou iguais a zero 0 D x x Dessa forma se desejássemos determinar o limite num certo ponto essa função deveria estar definida ao redor à esquerda e à direita deste ponto Observe na tabela 1 o que ocorre para valores de x próximos de zero x f x Limites laterais Limite no ponto 01 não definida Não está definido 0 lim x x f Não está definido 0 lim x x f 001 não definida 0001 não definida 01 031 0 lim 0 x x f 001 010 0001 0031 00001 0010 000001 00031 0000001 00010 Tabela 1 Para os limites laterais temos Limite lateral à esquerda Limite lateral à direita Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 4 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 0 x x x x x x x f não está definido e f não existe f x O valor do limite somente estará definido se a função convergir para um determinado valor Algumas funções ao se aproximarem de um determinando ponto oscilam muito de valor não sendo possível verificar sua convergência para um valor específico Veja o exemplo da função 1 sen f x x que não está definida no ponto x 0 mas pode assumir valores de x que próximos de zero Observase que para valores de x próximos de zero os valores da função oscilam entre 1 e 1 mínimo e máximo valor para o seno e não convergem para um valor específico O gráfico dessa função está representado na figura abaixo x y Devido a esse comportamento de não convergir para um determinado valor o limite da função não está definido no ponto zero 0 1 limsen x x não está definido PROCEDIMENTOS PARA SE DETERMINAR O LIMITE DE UMA FUNÇÃO No texto a seguir você irá encontrar alguns procedimentos úteis no cálculo de limites Ficando atento a essas dicas tornase mais fácil encontrar caso exista o valor do limite da função 01 Para uma função x f definida no ponto x c existe c f e ao redor dele caso a função apresente a mesma expressão matemática imediatamente antes e imediatamente após x c então o limite da função no ponto equivale ao valor numérico da função lim x c x c f f Exemplo Seja a função 2 3 f x x A tabela 2 na próxima página ilustra o comportamento desta função para valores de x próximos de 2 Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 5 x f x Limites laterais Limite no ponto 199 698 2 lim 7 x x f 2 lim 7 x x f 1999 6998 19999 69998 199999 699998 201 702 2 lim 7 x x f 2001 7002 20001 70002 200001 700002 Tabela 2 Com a convergência dos valores de x para 2 observase a conseqüente convergência dos valores da função para 7 Assim existe o limite da função quando x se aproxima de 2 e este limite vale 7 Assim 2 2 lim lim2 3 2 2 3 7 x x x f x fx 2x 3 02 Nos casos que a função estiver definida ao redor de x c mas apresentar expressões matemáticas distintas à esquerda e à direita deste ponto independentemente da função estar ou não definida em x c ou seja existindo ou não c f é necessário se calcular os limites laterais ao ponto c para verificar se eles são iguais Se lim lim x c x c x x f L e f L então lim x c f x L Se 1 2 lim lim x c x c x x f L e f L então o lim x c x f não está definido Exemplos A Seja a função 2 2 1 2 2 2 9 2 x x para x f para x x para x Observe nos dados da tabela 3 como a função se comporta para valores de x próximos de 2 x f x Limites laterais Limite no ponto 199 496 2 lim 5 x x f 2 lim 5 x x f 1999 4996 19999 49996 199999 499996 201 495 2 lim 5 x x f 2001 4995 20001 49995 200001 499996 Tabela 3 Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 6 Mesmo apresentando expressões diferentes na vizinhança de x 2 observa se uma convergência da função para valores próximos de 5 5 x f quando os valores de x convergem para 2 x 2 Então como os limites laterais são iguais o limite no ponto está definido Temos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 1 2 1 5 lim 5 lim lim 9 9 2 5 x x x x x x x x f x e f f x Nota É interessante ressaltar que apesar desta função estar definida para o ponto x 2 pois 2 2 f para o cálculo dos limites este valor não produz nenhuma influência uma vez que os limites são determinados para valores de x próximos de 2 mas não iguais a 2 B Considere a função 2 1 4 4 1 x x para x f x x para x Observe na tabela 4 como esta função se comporta para valores de x próximos de 1 x f x Limites laterais Limite no ponto 099 099 1 lim 1 x x f 1 lim 1 x x f 0999 0999 09999 09999 099999 099999 101 0980 1 lim 1 x x f 1001 09980 10001 099980 100001 099998 1000001 0999998 Tabela 4 A função anterior não está definida para x 1 ou seja não existe f 1 No entanto quando os valores de x convergem para 1 x 1 tanto para valores à esquerda quanto para valores à direita de x 1 a função apresenta convergência para 1 1 x f Como os limites laterais estão definidos e apresentam mesmo valor o limite no ponto está definido Temse Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 7 1 1 1 2 2 1 1 lim lim 1 lim 1 lim lim 4 4 1 4 1 4 1 x x x x x x x x f x e f f x x C Seja a função 5 1 1 6 3 1 2 2 x x para x f x para x x A tabela 5 na página seguinte mostra o comportamento da função para valores de x próximos de 1 x f x Limites laterais Limite no ponto 099 0492 1 1 lim 2 x x f Não está definido o 1 lim x x f 0999 04992 09999 049992 099999 0499992 101 51 1 lim x x f 1001 501 10001 5001 100001 50000 1000001 500001 10000001 5000000 Tabela 5 Ainda que a função esteja definida para x 1 1 1 2 f o limite no ponto não está definido Pela tabela é possível notar que para valores de x próximos a 1 pela esquerda os valores da função convergem para 1 2 enquanto para valores de x próximos a 1 pela direita a função apresenta valores positivos numericamente cada vez maiores tendendo ao infinitoDessa forma os limites laterais estão definidos mas o limite no ponto não existe Temos 1 1 1 1 1 5 1 5 1 1 5 2 3 lim lim 1 6 3 6 3 6 3 lim 1 1 1 lim lim 2 2 2 1 2 2 2 0 x x x x x x x x x f e f não existe x f x Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 8 03 Quando numerador e o denominador de uma função x f estiverem convergindo para zero temos uma indeterminação matemática Nestes problemas o limite caso ele exista pode ser calculado através de uma função equivalente g x Para se encontrar esta função equivalente iremos utilizar processos de fatoração e racionalização e simplificação de expressões e determinaremos o lim x c x f através do limite da função g x Assim se x f é equivalente a g x para todo x c e lim x c g x L temos lim lim x c x c x x f g L Exemplo Seja a função 3 2 2 3 6 x x x f x Para essa função fatorando o numerador e o denominador colocando os termos comuns em evidência e simplificando a expressão obtemos o seguinte 2 3 2 2 2 2 3 6 3 2 3 x x x x x x x Assim as funções 3 2 2 3 6 x x x f x e 2 3 x x g são equivalentes para valores de x 2 A tabela 6 mostra o comportamento da função x f ao redor do ponto x 2 x f x Limites laterais Limite no ponto 19 120333333 2 4 lim 3 x x f 2 4 lim 3 x x f 199 132003333 1999 133200033 19999 133320000 199999 133332000 1999999 133333200 21 147000000 2 4 lim 3 x x f 201 134670000 2001 133466700 20001 133346667 200001 133334667 2000001 133333467 Tabela 6 Para a função x f não é possível calcular diretamente 2 lim x x f uma vez que o denominador e o numerador da função convergem para zero Utilizando Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 9 se a função equivalente 2 3 x x g podemos determinar o limite da função x f Temos 2 2 2 2 2 4 lim lim 3 3 3 x x x x g Então 2 2 4 lim lim 3 x x x x f g A figura 9 mostra o gráfico da função x f equivalente ao gráfico de 2 3 x x g exceto em x 2 Nota Há uma dúvida muito comum ao se utilizar este artifício para se determinar o valor de um limite devido ao fato que na função g x seja permitido substituir x 2 e a função x f não estar definida neste ponto Porém através da convergência da função f x apresentada na tabela 6 verificase facilmente que os limites das funções são iguais LIMITES NO INFINITO 04 Nos limites de funções x y f onde a variável converge para o infinito x há uma simplificação possível se utilizar em boa parte dos casos Nas funções polinomiais ou funções racionais com divisão de polinômios basta analisar o limite da função através dos termos de maior expoente Esta simplificação é possível porque para valores de x numericamente grandes os termos de maior expoente tornamse muito mais significativos que os demais Veja um exemplo 5 3 3 10 2 y x x x x y 3 2 4 Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 10 A tabela 7 abaixo mostra o comportamento da função para valores de x que vão se tornando numericamente cada vez maiores x 5 3x 10x3 2x y 10 300000 10000 20 290020 20 9600000 80000 40 9520040 50 937500000 1250000 100 936250100 100 30000000000 10000000 200 29990000200 200 960000000000 80000000 400 959920000400 10 300000 10000 20 290020 40 307200000 640000 80 306560080 80 9830400000 5120000 160 9825280160 120 74649600000 17280000 240 74632320240 200 960000000000 80000000 400 959920000400 Tabela 7 Notase que quanto maiores numericamente forem os valores de x mais próxima a função estará do valor do termo 5 3x Assim para o cálculo de um limite com x bastaria verificar o comportamento do termo 5 3x Assim temos 5 5 3 5 lim 3 10 2 lim 3 3 3 x x x x x x Exemplos a 5 5 3 5 lim 2 8 7 lim 2 2 2 x x x x x b 4 4 4 lim 2 8 4 lim 2 2 2 x x x x x c 3 2 3 3 3 4 1 1 lim lim lim 6 9 6 6 6 x x x x x x x x d 4 3 4 3 7 7 3 8 1 1 1 1 lim lim lim 0 2 5 5 5 5 5 x x x x x x x x x e 2 2 lim 4 5 4 5 4 5 4 5 4 4 x x 05 Quando a função x f não estiver definida em x c e apresentar a mesma expressão ao redor desse ponto devese calcular os limites laterais para se verificar se eles são iguais Este tipo de cálculo é muito comum na determinação de limites onde somente o denominador converge para zero tornandose necessário um estudo do sinal do denominador Exemplo Seja a função 2 1 f x x A tabela 8 mostra o comportamento da função para valores de x próximos de 0 x f x Limites laterais Limite no ponto 001 10000 0 lim x x f 0 lim x x f 0001 1000000 00001 100000000 000001 10000000000 001 10000 0 lim x x f 0001 1000000 00001 100000000 000001 10000000000 Tabela 8 Para valores de x próximos de 0 notase que a função não converge para um valor específico no entanto os valores da função tornamse cada vez maiores numericamente e apresentam sempre sinal negativo Dessa forma podemos Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 11 entender que quando os valores de x convergem para zero a função tende a valores infinitos negativos e ainda que o limite da função está definido no ponto zero Assim 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1 1 1 lim lim 0 0 lim 1 1 1 lim lim 0 0 x x x x x x x x f x e f f x A figura abaixo mostra o gráfico desta função Vamos agora analisar expressões indeterminadas Costumase dizer que as expressões 0 e 0 Sejam f e g funções tais lim lim 0 x a x a f x g x Nada se pode afirmar a priori sobre o limite do quociente f g Dependendo das funções f e g ele pode assumir qualquer valor real ou não existir Exprimimos isso dizendo que 00 é um símbolo de indeterminação Exemplo 1 3 2 2 3 2 lim 4 x x x x Conferindo temos 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 0 lim lim 4 2 4 0 x x x x x Neste caso fatorase o numerador e o denominador fazendose a seguir as simplificações possíveis pois temos uma forma indeterminada 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 lim lim lim 4 2 2 2 lim 2 1 2 2 2 1 9 lim 2 2 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 Nestes casos temos uma indeterminação do tipo 21 2 5 lim 8 x x x Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as propriedades de limites 2 1 f x x Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 12 5 5 lim 2 2 2 5 lim lim 8 8 8 1 lim 1 5 lim 2 lim 2 50 2 8 1 80 lim1 lim x x x x x x x x x x x x x x x x 22 3 5 2 3 5 lim 4 2 x x x x dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que neste caso é 5x 3 2 4 5 2 4 5 5 5 5 2 4 5 5 2 3 5 2 3 5 lim 2 3 5 lim lim 2 4 2 2 4 lim 4 2 lim 1 3 lim 1 5lim1 20 30 50 0 lim4 2 lim 1 4 20 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS LIMITES FUNDAMENTAIS Os limites fundamentais consistem em proposições específicas a casos particulares a saber indeterminações do tipo 0 0 1 e 0 Proposição 1 0 lim x sen x x é igual a 1 Aplicações Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 13 a 0 2 lim x sen x x Para resolvermos este limite utilizaremos alguns recursos básicos 2 e 0 quando 0 u x u x Portanto 0 0 0 0 2 2 lim lim lim 2 2 lim 2 1 2 x u u u sen x sen u sen u u x u sen u u b 0 3 lim 4 x sen x sen x Neste caso não necessitaremos do recurso da substituição como no caso anterior Veja 0 0 0 0 3 3 3 lim 3 3 3 1 3 3 3 lim lim 4 4 4 4 4 1 4 4 lim 4 4 x x x x sen x sen x x sen x x x x sen x sen x sen x x x x x Proposição 2 1 lim 1 x x e x onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2718281828459 Aplicações a Demonstre que 1 0 lim 1 x x x e Em primeiro lugar vamos provar 1 0 lim 1 x x x e De fato fazendo 1 x t temos que t quando 0 x Logo 1 0 1 lim 1 lim 1 t x t x x e t Da mesma forma podemos deduzir que 1 0 lim 1 x x x e Portanto 1 0 lim 1 x x x e b Determinar 1 0 limln 1 t t t Temos que 1 1 0 0 limln 1 ln lim 1 ln 1 t t t t t t e Proposição 3 0 1 lim ln 0 1 x x a a a a x Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 14 REGRA DE L HOSPITAL A Regra de L Hospital é um método para a resolução de indeterminações do tipo 0 ou 0 Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I exceto possivelmente em um ponto a I Suponhamos que g x 0 para todo x a em I Se lim lim 0 e lim então lim lim x a x a x a x a x a f x i f x g x L g x f x f x L g x g x Se lim lim e lim então lim lim x a x a x a x a x a f x ii f x g x L g x f x f x L g x g x Exemplo 2 2 2 6 lim 3 2 x x x x x Este limite tem a forma indeterminada 00 Vamos conhecer o processo pela qual a Regra de LHospital é resolvida quando você se deparar com o símbolo f x significa que estamos derivando esta função esse é nosso próximo conteúdo estaremos só aprendendo neste ponto como derivamos polinômios para resolvermos o limite REGRAS DE DERIVAÇÂO 1 Derivada de uma constante Se c é uma constante e f x c para todo x então 0 f x 2 Regra de potência Se n é um número inteiro positivo e n f x x então 1 n f x n x 3 Derivada do produto de uma constante por uma função Sejam f uma função c uma constante e g a função definida por g x cf x Se f x existe então g x cf x Vamos praticar derive as funções a seguir a 5 f x x b g x x c 10 h x x d f x 7 e 2 8 f x x f 7 2 g x x g 4 3 8 5 f x x x h 5 2 9 4 2 7 g x x x x Agora que já praticamos como derivar vamos voltar ao nosso exemplo de limite e resolver aplicando a regra de l hospital 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 1 22 1 lim lim lim 5 3 2 3 2 2 3 22 3 x x x x x x x x x x x x x A Regra de LHospital permite resolver muitos limites que tornam formas indeterminadas e para isso basta aplicar as regras de derivação não se esquecendo que a derivada da soma de um número finito de funções é igual á soma de suas derivadas se estas existirem Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 15 Exemplos a 2 2 2 4 4 lim 2 x x x x x b 2 3 6 7 lim 7 1 x x x x x ATIVIDADES DE FIXAÇÃO 1 Dado o gráfico das funções a seguir determine seus limites a 1 se 2 1 se 2 x f x x 0 3 2 lim lim lim x x x f x f x f x b 6x7 se 2 4x se 2 x f x x 1 2 lim lim x x f x f x c 2 x 4 se 3 2 1 se 3 x f x x x 0 3 4 lim lim lim x x x f x f x f x d 1 se 0 0 se 0 1 se 0 x f x x x Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 16 0 0 0 lim lim lim x x x f x f x f x 2 Calcule os limites a 3 2 lim 4 1 x x x b 2 3 lim 3 4 x x x c 2 8 8 lim 64 x x x d 2 2 lim 2 x x x e 3 2 3 2 2 3 4 lim 16 20 x x x x x x f 2 2 2 5 6 lim 4 x x x x g 1 lim 3 x x i 4 7 lim 2 3 x x x 3 Calcular os limites a 4 3 2 1 2 1 lim 3 1 x x x x x b 3 2 1 1 lim 4 3 x x x x c 3 4 1 1 lim 3 4 x x x x d 2 2 2 2 lim 5 6 x x x x x e 2 2 2 2 2 4 lim 2 8 x x x x x f 1 1 lim 1 x x x g 2 0 lim x x x x h 2 2 0 3 1 lim 2 x x x x i 3 2 1 1 lim 1 x x x j 8 lim 5 x l 2 lim 3 1 x x x x m 2 1 lim 3 2 x x x n lim 3 3 2 1 x x x o 2 5 lim5 4 x x x x 4 Calcular os limites se existir a 3 5 lim 3 x x b 2 1 2 3 lim 1 x x x c 2 1 2 3 lim 1 x x x d 2 2 lim 3 4 x x x e 2 2 1 2 2 5 3 lim 6 7 2 x x x x x f 2 3 1 2 4 6 3 lim16 8 7 x x x x x g 2 2 2 2 lim 2 x x x x h 2 2 2 2 3 lim 5 6 x x x x x i 2 3 2 3 lim 4 5 x x x x j 3 2 2 lim 2 3 x x x x l 3 3 2 3 1 lim 6 2 7 x x x x x m 3 4 1 lim 2 7 2 x x x x x o 4 6 7 lim 3 2 x x x Cursos de Engenharias e Tecnologias Cálculo Diferencial 17 REFERENCIAL DE RESPOSTAS 1 a 0 3 2 lim 1 lim 1 lim x x x f x f x f x c 0 3 4 lim 4 lim 5 lim 7 x x x f x f x f x b 1 2 lim 3 lim x x f x f x d 0 0 0 lim 1 lim 1 lim x x x f x f x f x 2 a 17 b 14 c 1 16 d 0 e 3 7 f 1 4 g 0 i 7 3 3 a 0 b 3 2 c 3 7 d 3 e 1 f 1 2 g 1 h 1 2 i 3 2 j 5 l 0 m 1 3 n o 4 a b c d 13 e 7 f 1 g h i 0 j l 1 2 m 3 2 o 0