Cálculo Diferencial e Integral

DIÁRIO DE PORTFÓLIO DE AUTOESTUDO Olá estudante Para garantir uma jornada de sucesso fique atento a alguns detalhes importantes Cumpra prazos e datas de entrega para evitar contratempos Garanta informações precisas ao preencher os campos evitando equívocos Verifique se todas as propostas têm as respostas e documentos solicitados Sua atenção a esses aspectos é essencial PORTFÓLIO DE AUTOESTUDO 2 A atividade será x Individual Em grupo Em dupla Formato da entrega x Texto Foto Vídeo Áudio Outro 1 Interpretar o sinal da derivada de uma função 2 Aplicar teoremas e ferramentas de derivada a problemas de otimização 3 Interpretar geometricamente a Integral Definida em termos de áreas 4 Calcular áreas usando a aproximação da Integral Definida por Somas de Riemann 5 Aplicar a noção de integral indefinida na resolução de problemas envolvendo taxas de variação 1 Utilizar o cálculo diferencial na resolução de problemas 2 Utilizar as ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral para estimar projetar e analisar problemas envolvendo funções reais 3 Desenvolver a capacidade de utilizar o Cálculo Diferencial e Integral na modelagem e interpretação de fenômenos naturais 4 Aplicar a derivada como um instrumento para otimização 5 Aplicar a integral como um instrumento para cálculo de variações Os tanques de armazenamento a granel são usados para armazenar grandes quantidades de líquidos como petróleo água produtos químicos e outros materiais líquidos Eles são construídos com materiais resistentes e duráveis como aço carbono aço inoxidável ou concreto para garantir a segurança e a integridade dos líquidos armazenados Uma empresa fabrica tanques retangulares de armazenamento de base quadrada com capacidade de 1000 metros cúbicos feitos com liga metálica para atender múltiplos propósitos industriais O Engenheiro de produto da empresa precisa projetar os seguintes parâmetros da caixa retangular Parte I Determinar as dimensões ótimas da caixa com vistas a minimizar o custo de material de fabricação ou seja minimizar o custo de material é um problema equivalente a minimizar a área superficial do reservatório retangular Parte II Projetar a quantidade de líquido remanescente no reservatório quando uma torneira instalada na base no tanque de armazenamento é aberta e a água flui para fora do tanque a uma taxa de pelo período de 10 minutos considerando que o tanque inicialmente está completamente cheio Parte I A figura a seguir ilustra as variáveis que designam as dimensões da caixa ou seja a variável x designa a largura da caixa y designa o comprimento e z a altura Dados do Problema Volume Base quadrada yx O Engenheiro precisa realizar o seguinte roteiro com vistas a projetar os parâmetros do reservatório retangular 1 Explicitar a função área superficial em termos das áreas que compõem as partes da caixa retangular Atrás Atopo ALateral Afuente Afundo ALateral 2 Parametrizar cada área parcial em termos das variáveis que designam as dimensões da caixa Por exemplo Isolar a variável z na equação de volume dada 4 Use a informação de que a base é quadrada ou seja de que yx e escreva z e y em termos de x 5 Substitua estas variáveis expressadas em termos de x na Equação que descreve a área superficial Agora a área superficial A depende unicamente da variável x 6 Encontre os pontos críticos de AAx Ou seja resolva e 8 Após encontrar a dimensão substitua seu valor nas relações dos dados do problema Com vistas a determinação de e 7 Aplique o Teste da Derivada Segunda nos pontos críticos encontrados para determinar o ponto de mínimo local Parte II Designemos pela variável V o volume de água no tanque t minutos após a torneira ser aberta Como a água está saindo do tanque V estará diminuindo e portanto deve ser negativo O Engenheiro precisa realizar o seguinte roteiro com vistas a projetar a quantidade de líquido remanescente dentro do reservatório 1 Defina a vazão de saída de líquido do tanque a luz da derivada 2 Integre ambos os membros da equação acima com respeito à t usando o operador de integral indefinida 3 Você encontrará a função do volume remanescente no tanque V como uma função de t ou seja V Vt na qual na expressão encontrada existe uma constante C a ser determinada 4 Use a informação de que inicialmente o volume de líquido dentro do tanque é de 1000 m3 Ou seja imponha a condição inicial V01000 na expressão de VVt para encontrar o valor da constante C 5 Após encontrar a forma explícita de Vt então avalie Vt em t10 minutos e obtenha o valor do volume remanescente de líquido dentro do reservatório Escreva aqui sua entrega no formato de texto BASSANEZI R C Introdução ao cálculo e aplicações 1 ed São Paulo Contexto 2015 THOMAS G B WEIR M D HASS J Cálculo volume 1 12 ed São Paulo Pearson 2012 RODRIGUES G L Cálculo diferencial e integral II 1 ed Curitiba Intersaberes 2017 Rubrica de avaliação de entrega da Atividade Prática Critérios Nível de proficiência Compreensão da função objetivo Área Superficial da caixa retangular Insatisfatório Satisfatório Excelente O estudante se esforça para compreender a função objetivo ou explicar a conexão entre as dimensões e a área de superfície O estudante demonstra uma boa compreensão da função objetivo e pode explicar a relação entre as dimensões e a área de superfície O estudante demonstra uma excelente compreensão da função objetivo que é minimizar a área de superfície do tanque de armazenamento retangular dadas as restrições Capaz de explicar claramente a relação entre as dimensões e a área de superfície Rubrica de avaliação de entrega da Atividade Prática Critérios Nível de proficiência Cálculo da derivada da função do volume com respeito ao tempo Insatisfatório Satisfatório Excelente O estudante não consegue calcular corretamente a derivada da expressão de volume ou o trabalho mostrado está incompleto O estudante calcula corretamente a derivada mas com pequenos erros ou omissões no trabalho mostrado O estudante calcula com precisão a derivada da expressão do volume em relação ao tempo mostrando um trabalho passo a passo claro Rubrica de avaliação de entrega da Atividade Prática Critérios Nível de proficiência Determinação das dimensões ideais para minimizar o custo do material do reservatório retangular Insatisfatório Satisfatório Excelente O estudante não consegue determinar as dimensões ideais ou o trabalho apresentado é insuficiente para minimizar o custo do material O estudante determina as dimensões ideais mas a análise ou justificativa está incompleta O estudante analisa com minuciosidade o problema e obtém as dimensões ideais do recipiente retangular que minimizam a área de superfície e o custo do material O trabalho é detalhado e lógico Rubrica de avaliação de entrega da Atividade Prática Critérios Nível de proficiência Aplicação da regra da substituição Insatisfatório Satisfatório Excelente O estudante tem dificuldade em aplicar corretamente a regra de substituição ou apresenta erros significativos no cálculo integral O estudante aplica a regra de substituição corretamente mas pode apresentar pequenos erros algébricos ou de cálculo O estudante aplica corretamente a regra de substituição para calcular a integral indefinida da taxa de variação do volume do reservatório mostrando um trabalho passo a passo claro Rubrica de avaliação de entrega da Atividade Prática Critérios Nível de proficiência Projeção da Quantidade de Líquido do Reservatório Insatisfatório Satisfatório Excelente Esforçase para projetar corretamente a quantidade de líquido restante ou fornecer uma explicação adequada do processo Projeta razoavelmente bem a quantidade de líquido restante mas pode apresentar pequenos erros ou falta de explicação completa Projeta com precisão a quantidade de líquido restante no reservatório após 10 minutos de vazão exponencial fornecendo uma explicação detalhada do processo Rubrica de avaliação de entrega da Atividade Prática Critérios Nível de proficiência Qualidade da apresentação Insatisfatório Satisfatório Excelente A apresentação carece de clareza organização ou uso adequado de convenções matemáticas dificultando o acompanhamento do trabalho A apresentação geralmente é clara mas pode apresentar pequenos problemas de organização notação ou explicações Apresenta o trabalho de maneira clara e organizada com uso adequado de notação matemática e terminologia As explicações são completas e fáceis de seguir UR