Cálculo de Variáveis Complexas - Trabalho 1 - Exercícios Resolvidos

CURSO DE ENGENHARIA Disciplina CÁLCULO DE VARIAVEIS COMPLEXAS Trabalho 1 TURMA Professor Júlio César Araújo Orientação O presente trabalho consta com 05 atividades totalizando assim 30 pontos A presente folha deve ser entregue juntamente com as respostas e cálculos que deve ser feita a caneta preta ou azul SERÁ DESCONTADO 10 PONTO O NÃO CUMPRIMENTO DESTE ITEM Data de entrega 13092022 Será permitido grupos com no máximo de 5 alunos É obrigatório a aposição dos cálculos em todas as questões NOME 1 Encontre n 𝜖 𝑁 talque 1 𝑖𝑛 1 𝑖𝑛 16𝑛3 05 ponto 2 Resolva a equação 𝑍2 𝑖 05 ponto 3 Determine todos os números complexos Z tais que 𝑍𝑍 1𝑍 3 4i 05 ponto 4 Se 𝑍 1 2 2 3 2 𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 10 ponto a 1 𝑍 𝑍2 b 𝑍 𝑍22 5 Escreva os números complexos a seguir na forma z a bi 𝑧 1 7𝑖 8𝑖 43𝑖 05 ponto Questão 1 Temos 1i n 1i n16 n3 1i1i n16 n16 3 1 2i 2 n 16 n 16 3 11 n 2 4 n 2 4 3 2 n2 4n 2 12 2 12n2 4n 12n4 n 123n n4 Questão 2 z 2i Assim temos z 21e i π 2 z1e i π 4 kπ ze i π 4 kπ zcos π 4 kπi sin π 4 kπ Assim temos z1cos π 4 0πi sin π 4 0π z2cos π 4 πisin π 4 π z1cos π 4 isin π 4 z2cos 5π 4 i sin 5 π 4 z12 2 i 2 2 z22 2 i 2 2 Questão 3 Seja zabi Assim temos zz 1 z 34i abiabi 1abi 34i 2a 1abi34 i 2a34i1abi 2a3 1abi4i 1abi 2a33a3bi4i4ia4 bi 2 03a3bi4i4ia4b 03a3bi4i4ia4b 03a4 b3b44 ai Assim devemos ter 3a4b0 3b44 a0 124 a16b0 3b44a0 Somando temos 819b0 b 8 19 Assim temos 3a4b0 a34b a3 32 19 a57 19 32 19 a25 19 Assim temos z25 19 8 19 i Questão 4 A 1zz 21 1 2 2 1 3 2 i 1 2 2 1 3 2 i 2 1 22 2 3 i 1 2 2 2 3 i 1 2 2 2 3 i 1 22 2 3 i 1 2 1 2 2 2 3 i2 2 3 i 1 2 2 2 3 i 1 22 2 3 i 1 4 2 2 3 2 i 1 2 2 2 3 i2 2 3 2 3i 2 1 22 2 3 i 1 4 2 5 3 i2 5 3 i2 4 3 3 4 2 4 3 2 2 3 22 5 3 i 3 4 2 4 3 2 2 3 2 2 3 i 3 4 2 4 3 B Temos zz 2 21zz 21 2 3 42 4 3 1 2 1 4 2 4 3 2 1 4 2 4 3 2 Questão 5 z17i 8i 43i 18i7i8i 43i 43i 43i 8i56i7i 2 169i 2 43i 1 8i56i7 169 43i 1 1555i 25 43i 1 311i 5 43i 1 4 311i3i 311i 5 1244i9i33i 2 5 1235i33 5 4535i 5 97i Questão 1 Temos 1 𝑖𝑛1 𝑖𝑛 16𝑛3 1 𝑖1 𝑖𝑛 16𝑛163 12 𝑖2𝑛 16𝑛 163 1 1 𝑛 24𝑛 243 2𝑛 24𝑛 212 212𝑛 24𝑛 12 𝑛 4𝑛 12 3𝑛 𝒏 𝟒 Questão 2 𝑧2 𝑖 Assim temos 𝑧2 1 𝑒𝑖𝜋 2 𝑧 1 𝑒𝑖𝜋 4𝑘𝜋 𝑧 𝑒𝑖𝜋 4𝑘𝜋 𝑧 cos 𝜋 4 𝑘𝜋 𝑖 sin 𝜋 4 𝑘𝜋 Assim temos 𝑧1 cos 𝜋 4 0 𝜋 𝑖 sin 𝜋 4 0 𝜋 𝑧2 cos 𝜋 4 𝜋 𝑖 sin 𝜋 4 𝜋 𝑧1 cos 𝜋 4 𝑖 sin 𝜋 4 𝑧2 cos 5𝜋 4 𝑖 sin 5𝜋 4 𝒛𝟏 𝟐 𝟐 𝒊 𝟐 𝟐 𝒛𝟐 𝟐 𝟐 𝒊 𝟐 𝟐 Questão 3 Seja 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 Assim temos 𝑧 𝑧 1 𝑧 3 4𝑖 𝑎 𝑏𝑖 𝑎 𝑏𝑖 1 𝑎 𝑏𝑖 3 4𝑖 2𝑎 1 𝑎 𝑏𝑖 3 4𝑖 2𝑎 3 4𝑖1 𝑎 𝑏𝑖 2𝑎 31 𝑎 𝑏𝑖 4𝑖1 𝑎 𝑏𝑖 2𝑎 3 3𝑎 3𝑏𝑖 4𝑖 4𝑖𝑎 4𝑏𝑖2 0 3 𝑎 3𝑏𝑖 4𝑖 4𝑖𝑎 4𝑏 0 3 𝑎 3𝑏𝑖 4𝑖 4𝑖𝑎 4𝑏 0 3 𝑎 4𝑏 3𝑏 4 4𝑎𝑖 Assim devemos ter 3 𝑎 4𝑏 0 3𝑏 4 4𝑎 0 12 4𝑎 16𝑏 0 3𝑏 4 4𝑎 0 Somando temos 8 19𝑏 0 𝑏 8 19 Assim temos 3 𝑎 4𝑏 0 𝑎 3 4𝑏 𝑎 3 32 19 𝑎 57 19 32 19 𝑎 25 19 Assim temos 𝑧 25 19 8 19 𝑖 Questão 4 A 1 𝑧 𝑧2 1 1 2 2 1 3 2 𝑖 1 2 2 1 3 2 𝑖 2 1 2 22 3𝑖 1 2 22 3𝑖 1 2 22 3𝑖 1 2 22 3𝑖 1 2 1 2 22 3𝑖 22 3𝑖 1 2 22 3𝑖 1 2 22 3𝑖 1 4 22 3 2 𝑖 1 2 22 3𝑖 22 32 3𝑖2 1 2 22 3𝑖 1 4 25 3𝑖 25 3𝑖 24 3 3 4 24 3 22 3 2 25 3 𝑖 3 4 24 3 22 3 22 3 𝑖 𝟑 𝟒 𝟐𝟒 𝟑 B Temos 𝑧 𝑧22 1 𝑧 𝑧2 12 3 4 24 3 1 2 1 4 24 3 2 𝟏 𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟐 Questão 5 𝑧 1 7𝑖 8 𝑖 4 3𝑖 18 𝑖 7𝑖8 𝑖 4 3𝑖 4 3𝑖 4 3𝑖 8 𝑖 56𝑖 7𝑖2 16 9𝑖2 4 3𝑖 1 8 𝑖 56𝑖 7 16 9 4 3𝑖 1 15 55𝑖 25 4 3𝑖 1 3 11𝑖 5 4 3𝑖 1 43 11𝑖 3𝑖3 11𝑖 5 12 44𝑖 9𝑖 33𝑖2 5 12 35𝑖 33 5 45 35𝑖 5 𝟗 𝟕𝒊